Michael Hoy, John Livernois, Chris Mc Kenna, Ray Rees, Thanasis Stengo S, 2001, Mathematics for Economics, The MIT Press Cambrige, Massachusetts, London, England.[r]
(1)Hướng dẫn học
Để học tốt này,sinh viên cần tham khảo phương pháp học sau:
Học lịch trình mơn học theo tuần, làm luyện tập đầy đủ tham gia thảo luận diễn đàn
Đọc tài liệu:
1 Giáo trình Tốn cao cấp cho nhà kinh tế, phần I: Đại số tuyến tính, NXB Đại học KTQD, 2012
2 Bộ mơn tốn bản, 2009, Bài tập toán cao cấp cho nhà kinh tế, NXB Thống kê
3 Nguyễn Đình Trí, Tạ Văn Đĩnh, Nguyễn Hồ Quỳnh, 2008, Tốn cao cấp 1, NXB Giáo dục
4 Alpha C.Chiang, 1995, Fundamental Methods of Mathematical Economics, Third edition, Mc Graw–Hill, Inc
5 Michael Hoy, John Livernois, Chris Mc Kenna, Ray Rees, Thanasis Stengo S, 2001, Mathematics for Economics, The MIT Press Cambrige, Massachusetts, London, England
Sinh viên làm việc theo nhóm trao đổi với giảng viên trực tiếp lớp học qua email
Tham khảo thông tin từ trang Web môn học
Nội dung
Hệ phương trình Cramer;
Phương pháp ma trận;
Quy tắc Cramer;
Ứng dụng phân tích kinh tế
Mục tiêu
Sinh viên nắm khái niệm tính chất hệ phương trình Cramer
Hiểu áp dụng thành thạo việc giải hệ phương trình Cramer theo hai phương pháp: phương pháp ma trận nghịch đảo phương pháp Cramer
Nắm mơ hình cân thị trường Áp dụng vào tập
Nắm mơ hình cân kinh tế vĩ mơ áp dụng vào tập liên quan
BÀI HỆ PHƯƠNG TRÌNH CRAMER
(2)Tình dẫn nhập
Xét thị trường hải sản gồm mặt hàng cua tôm Ký hiệu p1 giá 1kg cua, p2 giá 1kg tơm
(đơn vị nghìn đồng)
Ký hiệu Qs1, Qs2 lượng cua lượng tôm mà người bán lòng bán mức giá p1, p2
Ký hiệu QD1, QD2, lượng cua, lượng tôm mà người mua lòng mua mức giá p1, p2,
Cụ thể Qs1, Qs2 , QD1, QD2được cho theo quy tắc sau:
QS1 = ─80 + p1, QD1 = 280 – 3p1 + 4p2
QS2 = ─70 + 3p2, QD2 = 130 + 2p1 – p2
(3)6.1 Hệ phương trình Cramer
Định nghĩa: Một hệ phương trình tuyến tính có số phương trình số ẩn định thức ma trận hệ số khác gọi hệ phương trình Cramer Hệ phương trình Cramer n ẩn số có dạng:
11 12 1n n
21 22 2n n
n1 n2 nn n n a x +a x + +a x =b a x +a x + +a x =b a x +a x + +a x =b
(6.1)
Ma trận hệ số hệ phương trình (6.1) ma trận vuông cấp n:
11 12 1n
21 22 2n
n1 n2 nn
a a a
a a a
A=
a a a
Theo giả thiết hệ phương trình Cramer ma trận A khơng suy biến, tức d = |A| ≠
6.2 Phương pháp ma trận
Hệ phương trình (6.1) viết dạng phương trình ma trận:
AX = B (6.2)
Trong A ma trận hệ sốđã nói trên, cịn X B ma trận:
1
2
n n
x b
x b
X = , B =
x b
Ở dạng (6.2) ma trận A B ma trận cho trước, X ma trận phải tìm Ma trận B gọi cột số hạng tự do, X gọi cột ẩn số
Do d = |A| ≠ nên ma trận A có ma trận nghịch đảo A–1 Nhân hai vế phương trình (6.2) với A–1 ta hệ thức tương đương:
X = A–1B (6.3)
Như vậy, hệ phương trình Cramer có nghiệm xác định theo công thức (6.3)
Ví dụ: Giải hệ phương trình
1
1
1
x 3x 2x
2x x 3x
3x x 4x 11
(6.4)
Ma trận hệ số hệ phương trình là:
1
A =
3
(4)Do |A| = 20 ≠ nên hệ phương trình (6.4) hệ Cramer Ma trận nghịch đảo ma trận A là:
-1
7 10 11
1
A = 10
20
5 10
Áp dụng cơng thức (6.3) ta có:
1
-1
3
x 10 11 40
1
X = x = A B = 10 = 20 =
20 20
x 10 11 20
Nghiệm hệ phương trình (6.4) là:
1
2
3 x = x = x =
6.3 Quy tắc Cramer
Định lý sau gọi quy tắc Cramer:
Định lý: Nghiệm hệ phương trình Cramer n ẩn số x1, x2, …, xnđược xác
định theo công thức:
1 n
1 n
d d d
x , x , , x
d d d
(6.5)
Trong d định thức ma trận hệ số, dj (j = 1, 2, …, n) định thức có cột thứ j
là cột số hạng tự do, tất cột lại định thức d
Phương pháp xác định nghiệm hệ Cramer theo quy tắc gọi phương pháp Cramer hay phương pháp định thức
Ví dụ 1: Giải hệ phương trình
2x y 3z 3x 4y 2z
5x 2y z
Giải: Hệ phương trình có ma trận hệ số A cột số hạng tự B sau
2
A = , B =
5 2
Ta có:
2
d = A = = 55
5
(5)Thay cột thứ d cột B ta được:
1
1
d = =
2
Thay cột thứ hai d cột B ta được:
2
2
d = 3 = 56
5
Thay cột thứ ba d cột B ta được:
3
2 1
d = = 43
5 2
Theo quy tắc Cramer ta tìm nghiệm hệ phương trình cho:
3
1 d
d d 56 43
x , y , z
d 55 d 55 d 55
Ví dụ 2: Giải hệ phương trình tuyến tính ẩn số x, y, z, cho biết ma trận mở rộng
2
A
5
Chú ý ba cột đầu ma trận mở rộng A cột ma trận hệ số A, cột cuối cột số hạng tự B, đó:
1
2
2 4
d = 2, d = 31
5 9
2
d = – 6, d = 21
5
Theo quy tắc Cramer ta tìm nghiệm hệ phương trình cho:
3
1 d
d 31 d 21
x= = , y = = 3, z = =
d d d
6.4 Ứng dụng phân tích kinh tế
6.4.1 Mơ hình cân thị trường 6.4.1.1 Thị trường loại hàng hóa
(6)Hàm cung: Qs = −a0 + a1p,
Hàm cầu: Qd = b0 − b1p,
11 12 10
21 22 20 c p + c p = c
(6.6) c p + c p = c
Giải hệ phương trình tuyến tính (6.6) ta xác định giá cân hàng hóa, sau thay vào hàm cung hàm cầu ta xác định lượng cân
Trong Qs lượng cung, tức lượng hàng hóa mà người bán lòng bán; Qd
lượng cầu, tức lượng hàng hóa mà người mua lịng mua; p giá hàng hóa; a0,
a1, b0, b1 số dương
Mơ hình cân thị trường có dạng:
s s
d d
s d 1
Q a a p Q a a p
Q b b p Q b b p
Q Q a a p b b p
Giải hệ phương trình ta tìm được: Giá cân bằng: 0
1
a b p
a b
Lượng cân bằng: 0
s d
1 a b a b Q Q Q
a b
6.4.1.2 Thị trường nhiều hàng hóa
Trong thị trường nhiều hàng hóa liên quan giá hàng hóa có thểảnh hưởng đến lượng cung lượng cầu hàng hóa khác Để cho đơn giản ta xét mơ hình cân thị trường hàng hóa liên quan Ta ký hiệu biến số sau:
Qsi lượng cung hàng hóa i,
Qdi lượng cầu hàng hóa i,
Pi giá hàng hóa i
Với giả thiết yếu tố khác khơng thay đổi, hàm cung hàm cầu tuyến tính có dạng: Hàm cung hàng hóa i:
Qsi = ai0 + ailp1 + ai2p2 (i = 1, 2)
Hàm cầu hàng hóa i:
Qdi = bi0 + bilp1 + bi2p2 (i = 1, 2)
Mơ hình cân thị trường hai hàng hóa có dạng sau:
s1 10 11 12
d1 10 11 12
s2 20 21 22
d2 20 21 22
1 d1
s2 d2
Q = a + a p + a p Q = b + b p + b p Q = a + a p + a p Q = b + b p + b p Q = Q
Q = Q
s
(7)Từ hệ phương trình ta suy hệ phương trình xác định giá cân bằng:
10 11 12 10 11 12
20 21 22 20 21 22 a + a p + a p = b + b p + b p a + a p + a p = b + b p + b p
Đặt cik = aik – bik với (i, k = 0, 1, 2) ta hệ phương trình:
11 12 10
21 22 20 c p + c p = c c p + c p = c
(6.6)
Giải hệ phương trình tuyến tính (4.1) ta xác định giá cân hàng hóa, sau thay vào hàm cung hàm cầu ta xác định lượng cân
Ví dụ 1: Giả sử thị trường gồm mặt hàng hàng hóa hàng hóa 2, với hàm cung hàm cầu sau
Hàng hóa 1: Qsl = −2 + 3p1 ; Qdl = 10 – 2p1 + p2
Hàng hóa 2: Qs2 = −1 + 2p2 ; Qd2 = 15 + p1 – p2
Hệ phương trình xác định giá cân bằng:
1 2
2 2
2 + 3p = 10 2p + p 5p p = 12
1 + 2p = 15 + p p p + 3p = 16
Giải hệ phương trình ta tìm giá cân mặt hàng: Hàng hóa 1: p =1 26
7 ; Hàng hóa 2: 46 p =
7
Thay giá cân vào biểu thức hàm cung ta xác định lượng cân bằng: Hàng hóa 1: Q = + 3p = 1 1 64
7
Hàng hóa 2: Q = + 2p = 2 2 85
6.4.2 Mơ hình cân kinh tế vĩ mô
Ở dạng đơn giản, ta xét mô hình cân nên kinh tế đóng (khơng có quan hệ kinh tế với nước ngồi)
Gọi Y tổng thu nhập quốc dân (Income) E tổng chi tiêu kế hoạch (Planned Ependiture) kinh tế, trạng thái cân biểu diễn dạng phương trình:
Y = E
Trong kinh tế đóng, tổng chi tiêu kế hoạch toàn kinh tế gồm thành phần sau:
C: Tiêu dùng (Consumption) hộ gia đình; G: Chi tiêu phủ (Government);
I : Chỉ tiêu cho đầu tư nhà sản xuất (Investment) Phương trình cân trường hợp kinh tếđóng là: