BI TẬP ẠI SỐ CHUYN Ề BỒI DỠNG HỌC SINH GIỎI V N THI VO LỚP 10 PHẦN II: HỚNG DẪN GIẢI m2 m Giả sử l số hữu tỉ (tối giản) Suy hay 7n2 m2 n n (1) ẳng thức ny chứng tỏ m m l số nguyn tố nn m ặt m = 7k (k Z), ta có m2 = 49k2 (2) Từ (1) v (2) suy 7n2 = 49k2 nên n2 = 7k2 (3) Từ (3) ta lại c n2 v v l số nguyn tố nn n m n chia hết cho nn phn số m khng tối giản, tri giả thiết Vậy n khng phải l số hữu tỉ; l số v tỉ Khai triển vế tri v ặt nhn tử chung, ta ợc vế ph ) (ad bc) Cách : Từ x + y = ta c y = - x Do : S = x2 + (2 - x)2 = 2(x - 1)2 + 2 Vậy S = x = y = Cách : p dụng bất ẳng thức Bunh a = x, c = 1, b = y, d = 1, 2 Ta có :(x + y) (x + y )(1 + 1) ) = 2S S.2 mim S = x = y = b) p dụng bất ẳng thức Cauchy cc cặp số dng bc ca bc ab ca ab ; ; a b a c b bc ca bc ca 2 2 a b a b c vế ta c) Với cc lợt c: bc ab ca ab ca ab 2b ; 2a cộng a c b c b c ức cần chứng minh Dấu xảy a = b = c g 3a v 5b , theo bất ẳng thức Cauchy ta c : 3a 5b (3a + 5b)2 4.15P (vì P = a.b) 122 60P 12 12 P max P = 5 Dấu xảy 3a = 5b = 12 : a = ; b = 6/5 Ta có b = - a, M = a3 + (1 - a)3 = -(3a2 + 3a) Dấu = xảy a = Vậy M = a = b = ặt a = + x b3 = - a3 = - (1 + x)3 = - 3x - 3x2 -x3 = -(1 + 3x + 3x2 +x3 = -(1 + x)3 Suy : b x Ta lại c a = + x, nn : a + b + x + x = Với a = 1, b = th a3 + b3 = v a + b = Vậy max N = a = b = Hiệu vế tri v vế phải (a b)2(a + b) Vì | a + b | , | a b | , nên : | a + b | > | a b | a2 + 2ab + b2 a2 2ab + b2 4ab > ab > Vậy a v b l hai số cng dấu a) Xt hiệu : (a + 1)2 4a = a2 + 2a + 4a = a2 2a + = (a 1)2 b) Ta có : (a + 1)2 4a ; (b + 1)2 4b ; (c + 1)2 4c v cc bất ẳng thức ny c hai vế ều dng, nn : [(a + 1)(b + 1)(c + 1)]2 64abc = 64.1 = 82 Vậy (a + 1)(b + 1)(c + 1) 10 a) Ta có : (a + b)2 + (a b)2 = 2(a2 + b2) Do (a b)2 0, nên (a + b) 2(a2 + b2) b) Xét : (a + b + c)2 + (a b)2 + (a c)2 + (b c)2 Khai triển v rt gọn, ta ợc : 3(a2 + b2 + c2) Vậy : (a + b + c)2 3(a2 + b2 + c2) 2x x 3x 11 a) 2x x 2x x x x x b) x2 4x (x 2)2 33 | x | -3 x x 2 c) 2x(2x 1) 2x (2x 1) Nhng (2x 1) thể : 2x =0 Vậy : x = 12 Viết ẳng thức cho dới dạng : a2 + d2 ab ac ad = (1) Nhn hai vế (1) với a dạng : a (a 2c)2 + (a 2d)2 = (2) Do ta c : a = a 2b = a 2c = a 2d = = b = c = d = 2 13 2M = (a + b 2) + (a 1) + (b 1) 2.1998 M 1998 Dấu = xảy c ồng thời a 10 14 Giải tng tự bi 15 a ẳng thức 16 A Vậy M =1998a = b= g : (x 1)2 + 4(y 1)2 + (x 3)2 + = 1 max A= x x 2 5 x 17 a) 16 Vậy 15 < b) 17 16 49 45 c) 23 19 23 16 23 2.4 25 27 3 d) Giả sử 2 Bất ẳng thức cuối cng ng, nn : 18 Cc số c thể l 1,42 v 18 12 18 12 2 19.Viết lại phng trnh dới dạng : 3(x 1)2 5(x 1)2 16 (x 1)2 Vế tri phng trnh khng nhỏ hn 6, cn vế phải khng lớn hn Vậy ẳng thức xảy hai vế ều 6, suy x = -1 20 Bất ẳng thức Cauchy ab ab viết lại dới dạng ab ab (*) (a, b 0) p dụng bất dẳng thức Cauchy dới dạng (*) với hai số dng 2x v xy Ta ợc : 2x xy 2x.xy 4 Dấu = xảy : 2x = xy = : tức l x = 1, y = max A = x = 2, y = 21 Bất ẳng thức Cauchy viết lại dới dạng : p dụng ta c S > 2 ab a b 1998 1999 22 Chứng minh nh x y x2 y2 2xy (x y)2 23 a) 0 y x xy xy x2 y2 x y x2 b) Ta có : A y x y x y 2 x y x y y x y x 2 x2 y2 x y y Theo câu a :A 1 y x y x y x x4 y x2 y2 x y a) Từ cu b suy : Vì (câu a) y x y x x4 y x y b) Do : y x y x 24 a) G tỉ (v l) b) Giả sử m + = m (m : số hữu tỉ) = a (a : số hữu tỉ) n 2 =m =a m n l số hữu = n(a m) l số hữu tỉ, v l 25 C, chẳng hạn (5 2) x y x2 y2 x2 y2 26 ặt a a Dễ dng chứng minh nên y x y x y x a2 4, | a | (1) Bất ẳng thức phải chứng minh tng ng với : a2 + 3a a2 3a + (a 1)(a 2) (2) Từ (1) suy a a -2 Nếu a th (2) ng Nếu a -2 (2) cng ng Bi ton ợc chứng minh 27 Bất ẳng thức phải chứng minh tng ng với : x4z2 y4 x2 z4 x2 x2 z y2 x z2 y xyz x2 y2z2 Cần chứng minh tử khng m, tức l : x3z2(x y) + y3x2 (y z) + z3y2(z x) (1) Biểu thức khng ổi hon vị vng x y z x nn c thể giả sử x l số lớn Xt hai trờng hợp : a) x y z > Tch z x (1) thnh (x y + y z), (1) tng ng với : x3z2(x y) + y3x2(y z) z3y2(x y) z3y2(y z) z2(x y)(x3 y2z) + y2(y z)(yx2 z3) Dễ thấy x y , x3 y2z , y z , yx2 z3 nn bất ẳng thức trn ng b) x z y > Tch x y (1) thnh x z + z y , (1) tng ng với : x3z2(x z) + x3z2(z y) y3x2(z y) z3y2(x z) z2(x z)(x3 zy2) + x2(xz2 y3)(z y) Dễ thấy bất ẳng thức trn dng Cch khc : Biến ổi bất ẳng thức phải chứng minh t với : 2 x y z x y 1 1 1 y z x 28 Chứng minh phản chứng Giả sử tổ ữu tỉ a với số v tỉ b l số hữu tỉ c Ta c : b = c a Ta thấy, hiệu ữu tỉ c v a l số hữu tỉ, nn b l số hữu tỉ, tri với giả thiết số v tỉ 2 29 a) Ta có : (a + b) + (a b) = 2(a (a + b)2 2(a2 + b2) b) Xét : (a + b + c)2 + (a b)2 + (a c Khai triển v rt gọn ta ợc : 2 2 2 3(a + b + c ) Vậy : (a + b + c) b +c) c) Tng tự nh câu b 30 Giả sử a + b > a3 + b3 + 3ab(a + b) > + 3ab(a + b) > ab(a + b) > b) a3 + b3 Chia hai vế cho số dng a + b : ab > a2 ab + (a b)2 Vậy a + b 31 Cách x x ; y y nên x + y x + y Suy x + y số nguyn khng vợt qu x + y (1) Theo ịnh ngha phần nguyn, x y số nguyn lớn khng vợt qu x + y (2) Từ (1) v (2) suy : x + y x y Cách : Theo ịnh ngha phần nguyn : x - x < ; y - y < Suy : (x + y) ( x + y ) < Xt hai trờng hợp : - Nếu (x + y) ( x + y ) < x y = x + y (1) - Nếu (x + y) ( x + y ) < (x + y) ( x + y + 1) < nên x y = x + y + (2) Trong hai trờng hợp ta ều c : x + y + x y 32 Ta có x2 6x + 17 = (x 3)2 + 8 nn tử v mẫu A l cc số dng , suy A > : A lớn Vậy max A = nhỏ x2 6x + 17 nhỏ A x = 33 Khng ợc dng php hon vị vng quanh x y z x v giả sử x y z Cách : p dụng bất ẳng thức Cauchy cho số dng x, y, z : A x y z x y z x y z 33 y z x y z x x y z Do x y z y z x y z x x y z x y y z y x y Ta c (do x, y z x y x z x x x y z y y > 0) nn ể chứng minh ta cần chứng m (1) x x y z x Cách : Ta có : (1) xy + z2 yz xz (nhn hai vế với số d xy + z2 yz xz y(x z) z(x (2) ng với giả thiết z l số nhỏ t Từ tm ợc gi trị nhỏ z)(y z) (2) số x, y, z, (1) ng x y 34 Ta có x + y = x2 + 2xy + Ta lại c (x y)2 x2 2xy + y2 Từ suy 2(x2 + y2) 16 + y A = khi x = y = 35 p dụng bất ẳng t ho ba số khng m : + z 3 xyz (1) = (x + y + (z + x) 3 (x y)(y z)(z x) (2) Nhn 2) (do hai vế ều khng m) : A A = 9 2 ax A = v x = y = z = 9 36 a) C thể b, c) Khng thể 37 Hiệu vế tri v vế phải (a b)2(a + b) với x, y > : xy (x y)2 a c a ad bc c2 4(a ad bc c2 ) bc da (b c)(a d) (a b c d)2 b d 4(b2 ab cd d ) Tng tự cd a b (a b c d)2 38 p dụng bất ẳng thức (1) (2) Cộng (1) với (2) a b c d 4(a b2 c2 d ad bc ab cd) = 4B bc cd d a a b (a b c d)2 Cần chứng minh B , bất ẳng thức ny tng ng với : 2B 2(a2 + b2 + c2 + d2 + ad + bc + ab + cd) (a + b + c + d)2 a2 + b2 + c2 + d2 2ac 2bd (a c)2 + (b d)2 : ng 39 - Nếu x - x < 2x - x < nên 2x = x x - x < 2x - x < 2x (2 x + 1) < 2x = - Nếu x + 40 Ta chứng minh tồn cc số tự nhin m, p cho : 96000 00 a + 15p < 97000 00 m chöõsoá0 Tức l 96 < 10k a 15p m < 97 m 10 10 m chöõsoá0 (1) Gọi a + 15 l số c k chữ số : 10 k a + 15 a 15 a 15p k k (2) ặt x n k k Theo (2) 10 10 10 10 10 15 Ta có x1 < k < 10 Cho n nhận lần lợt cc gi trị 2, 3, 4, …, cc tng khng qu n vị, x n trải tng dần, lần trị 1, 2, 3, ến n a 15p lc no ta c x p = 96 Khi 96 tức l 96 < 97 Bất 10k 10k ẳng thức (1) ợc chứng minh 42 a) Do hai vế bất ẳng g m nn ta c : |A+ B|= |A|+ |B| + B |2 = ( | A | + | B | )2 A2 + B2 + 2AB + 2| AB | AB = | AB | (bất ẳng thức ng) Dấu = xảy b) Ta có : M = | x | = | x + | + | x | | x + + x | = Dấu = xả hi (x + 2)(3 x) -2 x (lập bảng xt dấu) Vậy -2 x c) Phng ho | 2x + | + | x | = | x + | = | 2x + + x | (2x + 5)(4 x) -5/2 x x 1 43 iều kiện tồn phng trnh : x2 4x x ặt ẩn phụ x2 4x y , ta ợc : 2y2 3y = (y 2)(2y + 1) = 45 Vô nghiệm 46 iều kiện tồn x l x Do : A = x + x A = x = 47 iều kiện : x ặt x = y 0, ta có : y2 = x x = y2 B = y2 + y = - (y )2 + 13 13 13 11 max B = y= x= 4 48 a) Xét a2 b2 Từ suy a = b b) 13 (2 1) Vậy hai số ny c) Ta có : n n 1 n n n+1 n n 1 n Mà n n n n nên n+2 n n n 49 A = - | 3x | + | 3x |2 = ( | 3x 1| - )2 + Từ suy : A = x = x = 1/6 51 M = 52 x = ; y = ; z = -3 53 P = | 5x | + | 5x | | 5x + 5x | = P = x 5 54 Cần nhớ cch giải số phng trnh dạng sau : A (B 0) a) A B A B B d) A B A B A B b) B A B A B e) A B c A B 0 B A a) a phng trnh dạng : A b) a phng trnh dạng : A B c) Phng trnh c dạng : A B d) a phng trnh dạng : A e) a phng trnh dạng : | |B|=0 g, h, i) Phng trnh k) ặt x = y 0, rnh dạng : | y | + | y | = Xt dấu vế tri l) ặt : 3x v ; 7x z ; 2x t z t Từ suy : u = z tức l : 2 2 u v z t 8x 7x x Ta ợc hệ 55 Cách : Xét x2 y2 2(x y) x2 y2 2(x y) 2xy (x y 2)2 x2 y2 x2 y2 2 2 8 Cách : Biến ổi tng ng x y x y (x2 + y2)2 -8(x- y)2 0 (x2 + y2)2 - 8(x2 + y2 ) (x2 + y2)2 - 8(x2 + y2) + 16 (x2 + y2+ 4)2 Cách : Sử dụng bất ẳng thức Cauchy : x2 y2 x2 y2 2xy 2xy (x y)2 2.1 (x y) (x y) x y xy xy xy x y (x > y) Dấu ẳng thức xảy x 6 6 ; y 2 6 6 ; y 2 1 1 1 1 1 2(c b a 62 2 = a b c abc a b c ab bc ca a b c 1 = Suy iều phải chứng minh a b c x x2 16x 60 (x 6)(x 10) 63 iều kiện : x 10 x x x Bình phng hai vế : x2 16x + 60 < x2 12x + 36 Nghiệm bất phng trnh cho : x 10 64 iều kiện x2 Chuyển vế : x2 x ặt thừa chung : x (1 - x2 x x 1 x x 2 3 Vậy nghiệm bất phng tr h ; x ; x -2 2 2 65 Ta có x (x + 2y 3) + (y (x2 + y2)2 4(x2 + y2) + = - x2 Do : A2 4A + A 3) A A = x = 0, max A = x = 0, y = 66 a) x b) B c n 4 x x 2 x 42 x 2 x 2 x(x 2) x x 2x 67 a) A c ngha 2 x x x 2x x x 2x 4 x 16 x (x 4)2 2x x 8x x b) A = x2 2x với iều kiện trn c) A < kq x 2x < x2 2x < (x 1)2 < - < x < 68 ặt 0,999 99 = a Ta chứng minh 20 chữ số thập phn ầu tin 20chöõsoá9 a l cc chữ số Muốn cần chứng minh a < a < Thật ta có : < a < a(a 1) < a a < a < a Từ a2 < a < suy a < a < Vậy 0,999 99 0,999 99 20 chöõsoá9 20chöõsoá9 69 a) Tm gi trị lớn p dụng | a + b | | a | + | b | A | x | + + | y | + = + max A = + (khi chẳng hạn x = 2, y = - 3) b) Tm gi trị nhỏ p dụng | a b | | a | - | b A | x | - | y | - = - A = - (khi chẳng hạn x = 2, y = 3) 70 Ta có : x4 + y4 2x2y2 ; y4 + z4 2y2z2 ; z4 + x4 uy : 4 2 2 2 x +y +z xy +yz +zx Mặt khc, dễ dng chứng minh ợc : Nếu a + b + th a2 + b2 + c2 Do từ giả thiết suy : x2y2 + y2z2 + z2x2 Từ (1) , (2) : A = x= y= 71 Làm nh 8c ( 2) Thay so s n n n n n n 1 n 3 n n n+1 ta so sánh : n n 1 72 Cách : Viết cc ới dấu cn thnh bnh phng tổng hiệu Cách : T a A 73 p dụ b)(a b) = a2 b2 74 Ta ch g phản chứng a) Giả sử tồn số hữu tỉ r mà = r + 15 + = r2 r2 15 Vế tri l số v tỉ, vế phải l số hữu tỉ, v l Vậy l số v tỉ b), c) Giải tng tự 75 a) Giả sử a > b biến ổi tng ng : 3 2 1 3 2 2 3 2 27 15 225 128 Vậy a > b l ng b) Bình phng hai vế ln so snh 76 Cách : ặt A = , rõ ràng A > A2 = A = Cách : ặt B = B =0 77 Q 2.B 2.3 2.4 2 3 78 Viết 2 3 2 3 2 3 40 2.5 ; 56 2.7 ; 140 5.7 Vậy P = 1 2 5 79 Từ giả thiết ta c : x y2 y x2 Bình phng hai vế ẳng thức ny ta ợc : y x2 Từ : x2 + y2 = 80 Xét A2 ể suy : A2 Vậy : A = x = ; max A = x = 81 Ta có : M a b a b a b 2a a b maxM ab a b 82 Xt tổng hai số : 2a b cd 2c d ab a b = a c a b c d a 2 83 N 18 = 2 32 2 2 32 84 Từ x y z xy z x x y 4 6 2 = 2 2 x y cd a c = 0 Vậy x = y 85 p dụ ng thức Cauchy cho v ( i = 1, 2, 3, n ) 86 p dụ g bất ẳng thức Cauchy với hai số a + b v ab 0, ta có : a b ab 2(a b) ab hay a b 2(a b) ab Dấu = xảy a = b 87 Giả sử a b c > Ta c b + c > a nn b + c + bc > a hay b c a Do : b c a Vậy ba oạn thẳng a , b , c lập ợc thnh tam giác 88 a) iều kiện : ab ; b Xt hai trờng hợp : * Trờng hợp : a ; b > : A b.( a b) a a b a 1 b b b b b