Các chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi hình học lớp 9 nguyễn trung kiên

CHƯƠNG 1- HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VUÔNG Hệ thức cạnh đường cao KIẾN THỨC CƠ BẢN Khi giải toán liên quan đến cạnh đường cao tam giác vng, ngồi việc nắm vững kiến thức định lý Talet, trường hợp đồng dạng tam giác, cần phải nắm vững kiến thức sau: Tam giác ABC vuông A , đường cao AH , ta có: 1) a b2 2) b a.b ';c 3) h b '.c ' 4) a.h b.c 5) h b2 6) b' a c2 A a.c ' b c B h c' b' H C a c2 b2 a2 Chú ý: Diện tích tam giác vng: S ab Ví dụ Cho tam giác ABC vuông A , đường cao AH Biết AB : AC : AB AC 21cm a) Tính cạnh tam giác ABC b) Tính độ dài đoạn AH , BH ,CH http://topdoc.vn – File word sách tham khảo, giáo án dạy thêm, đề thi, A Giải: a) Theo giả thiết: AB : AC : 4, H B suy AB AC AC 3.4 12 cm AB AC Do AB 3.3 C cm ; Tam giác ABC vuông A , theo định lý Pythagore ta có: BC AB AC 92 122 225 , suy BC b) Tam giác ABC vuông A , ta có AH BC AB.AC BC AH AH 7,2 9.12 15 x x 15 5, x Vậy BH x 9, AB.AC , suy 7,2 cm BH HC Đặt BH 15cm x2 x 15x x 5,4cm Từ HC HC x 51, 84 x x 5, x BC BH 15 5, x , ta có: 9, x 5, 9,6 (loại) 9, cm Chú ý: Có thể tính BH sau: AB BH BC suy BH AB BC 92 15 5, cm http://topdoc.vn – Cung cấp, chia đề thi, giáo án, sknn, chuyên đề, sách tham khảo,…file word Ví dụ 2: Cho tam giác cân ABC có đáy BC b b 2a , cạnh bên a a) Tính diện tích tam giác ABC AK AC AC Tính tỷ số b) Dựng BK Giải: a) Gọi H trung điểm BC Theo định lý Pitago ta có: AH AC HC b2 b) Ta có BC AH AK b2 BK 2a b a b2 a2 K BK AC BC AH AC giác vng AKB ta có: AB A a2 2a b b Suy BK AK a2 BC AH Suy SABC AH b2 b2 AK AC SABC C a Áp dụng định lý Pitago tam 4a 2 b b2 b2 H B b2 a2 2a b2 Suy 2a b2 http://topdoc.vn – File word sách tham khảo, giáo án dạy thêm, đề thi, Ví dụ 3: Cho tam giác ABC với đỉnh A, B,C cạnh đối diện với đỉnh tương ứng là: a,b, c a) Tính diện tích tam giác ABC theo a b) Chứng minh: a b2 c2 3S Giải: A a) Ta giả sử góc A góc lớn tam giác ABC B,C góc nhọn Suy chân đường cao hạ từ A lên BC điểm Ta có: BC BH H B H thuộc cạnh BC C HC Áp dụng định lý Pi ta go cho tam giác vng AHB, AHC ta có: AB AH HB 2, AC AH HC Trừ hai đẳng thức ta có: c2 b2 HB HB HB c2 HC HC HC HB b2 a a BH 2 HC HB HC a HB HC ta có: a2 c2 2a b2 Áp dụng định lý Pitago cho tam giác vuông AHB AH c a2 c2 2a b2 c a2 c2 2a b2 c a2 c2 2a http://topdoc.vn – Cung cấp, chia đề thi, giáo án, sknn, chuyên đề, sách tham khảo,…file word b2 a c b2 2a Đặt 2p a a a b a p b p c AH BC AH b) Từ câu a ) ta có: S a p p3 p 27 p2 a2 b 3 c b2 12 c2 p p p p Cơ si ta có: p được: a c b b a c b c a 4a 4a S c a 2a Từ tính S S c c b 16p p AH b2 b p a p Hay S a2 a2 b2 b2 p p a a p b p b p c c Áp dụng bất đẳng thức p b p c 3 a b c c a a p b p p c p3 Suy 27 Mặt khác ta dễ chứng minh 12 c suy c2 3S Dấu xảy hki tam giác ABC Ví dụ Cho tam giác nhọn ABC đường cao CK ; H trực tâm tam giác Gọi M điểm CK cho AMB 900 S , S1, S2 theo thứ tự diện tích tam giác AMB, ABC ABH Chứng minh S S1.S2 Giải: A Tam giác AMB vng M có M D MK AB nên MK AK BK (1) H http://topdoc.vn – File word sách tham khảo, giáo án dạy thêm, đề thi, B K C CBK có AHK AKH 900 ; KAH CKB (cùng phụ với ABC ) Suy Từ (1) (2) suy MK SAMB AB.MK Vậy S S1.S2 KCB AK CK HK , AK.KB BK CK HK nên MK AB CK HK CK.KH CK HK ; 1 AB.CK AB.HK 2 S1S Ví dụ Cho hình thang ABCD có A D 900, B 600,CD 30cm,CA CB Tính diện tích hình thang Giải: Ta có CAD ABC 600 (cùng phụ với CAB ), tam giác vng ACD ta có AC 2AD http://topdoc – File word sách tha m khảo, giáo án dạy thêm, đề thi, Theo định lý Pythagore thì: AC 2AD AD Suy 3AD2 AD2 DC hay 302 900 AD 300 nên AD (2) 10 cm http://topdoc.vn – Cung cấp, chia đề thi, giáo án, sknn, chuyên đề, sách tham khảo,…file word AB Tứ giác AHCD hình chữ nhật có A Kẻ CH suy AH CD 30cm;CH AD CH HA AB AH 300 30 30 30 CH AB SABCD , suy HAHB 10 HB 900 , H 10 cm Tam giác ACB vng C , ta có: CH HB D CD 10 cm , 40 cm 10 10 40 350 cm 30 Vậy diện tích hình thang ABCD 350 3cm Tỉ số lượng giác góc nhọn KIẾN THỨC CƠ BẢN Các tỉ số lượng giác góc nhọn AB ; cos BC sin AB ; cot AC B AC AB góc nhọn + Nếu AC ; tan BC (hình) định nghĩa sau: sin tan 1;0 0;cot 1; Với hai góc , ta có: sin cos Cạnh đối A Nếu hai góc nhọn α Cạnh kề 900 , mà cos ;cos Cạnh huyền sin ; tan có sin sin cot ;cot tan cos cos http://topdoc.vn – File word sách tham khảo, giáo án dạy thêm, đề thi, C sin2 cos2 1; tg cot g Với số góc đặc biệt ta có: sin 300 cos 600 cos 300 sin 600 ; sin 450 ; cot 600 tan 45 cot 45 1;cot 30 2 cos 450 tan 300 tan 60 3 Tính cos , tan 13 Ví dụ Biết sin cot Giải: C ABC vuông A Cách Xét AC suy BC 13 AC 5k, BC AB BC AC AB 13 α A k , 13k Tam giác ABC vuông A nên: AC AB BC Vậy cos tan AC BC Ta có: sin Đặt B 5k 12k 13k 12k 13k 5k 144k , suy AB 12k 12 ; 13 ; cot 12 AB AC 12k 5k 12 http://topdoc.vn – Cung cấp, chia đề thi, giáo án, sknn, chuyên đề, sách tham khảo,…file word B Cách Ta có sin cos2 tan cot 25 , mà sin2 169 cos2 25 169 144 , suy cos 169 12 13 sin2 sin cos cos sin suy sin2 13 12 : 13 13 12 : 13 13 13 13 12 12 13 13 1, ; 12 12 Ở cách giải thứ ta biểu thị độ dài cạnh tam giác ABC theo đại lượng k sử dụng định nghĩa tỉ số lượng giác góc nhọn để tính cos , tan , cot Ở cách giải thứ hai, ta sử dụng giả thiết sin tính sin2 tính cos từ sin2 cot qua sin cos cos2 để 13 Sau ta tính tan Ví dụ Cho tam giác nhọn ABC hai đường cao AD BE cắt H Biết HD : HA : Chứng minh tgB.tgC Giải: A Ta có: tgB AD ; tgC BD Suy tan B tanC E AD CD AD BD.CD H (1) B HBD CAD (cùng phụ với ACB ); HDB Do BDH BD.DC DH DC DH AD (2) Từ (1) (2) suy ADC (g.g), suy C D ADC 900 BD , AD http://topdoc.vn – File word sách tham khảo, giáo án dạy thêm, đề thi, AD DH AD tan B tanC HD AH HD hay HD AD (3) Theo giả thiết AH DH HD AD 3HD DH được: tan B tanC , suy AD suy 3HD Thay vào (3) ta 12 Tính sin , cos 25 Ví dụ Biết sin cos Giải: 12 Để tính sin , cos ta cần tính sin 25 giải phương trình với ẩn sin cos Biết sin cos cos Ta có: sin sin cos cos cos cos sin2 cos2 7 nên sin 12 25 sin cos cos cos2 12 25 cos cos 35 cos 12 cos cos Suy cos + Nếu cos sin sin 12 : 25 12 : 25 5 12 25 49 Suy 25 cos Từ ta có: 25 cos2 + Nếu cos cos cos http://topdoc.vn – Cung cấp, chia đề thi, giáo án, sknn, chuyên đề, sách tham khảo,…file word ... BH 15 5, x , ta có: 9, x 5, 9, 6 (loại) 9, cm Chú ý: Có thể tính BH sau: AB BH BC suy BH AB BC 92 15 5, cm http://topdoc.vn – Cung cấp, chia đề thi, giáo án, sknn, chuyên đề, sách tham khảo,…file... http://topdoc.vn – Cung cấp, chia đề thi, giáo án, sknn, chuyên đề, sách tham khảo,…file word B Cách Ta có sin cos2 tan cot 25 , mà sin2 1 69 cos2 25 1 69 144 , suy cos 1 69 12 13 sin2 sin cos cos sin... giáo án dạy thêm, đề thi, Theo định lý Pythagore thì: AC 2AD AD Suy 3AD2 AD2 DC hay 302 90 0 AD 300 nên AD (2) 10 cm http://topdoc.vn – Cung cấp, chia đề thi, giáo án, sknn, chuyên đề, sách tham