topdoc vn các chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi đại số lớp 9 nguyễn trung kiên

Chủ đề 1: BIẾN ĐỔI ĐẠI SỐ Chương 1: Căn thức 1.1 CĂN THỨC BẬC Kiến thức cần nhớ:  Căn bậc hai số thực a số thực x cho x  a  Cho số thực a không âm Căn bậc hai số học a kí hiệu số thực khơng âm x mà bình phương a :  x  a     x  a  ax  Với hai số thực khơng âm a, b ta có:  Khi biến đổi biểu thức liên quan đến thức bậc ta cần lưu ý: A0 A + A2  A   A0  A + a a  b  a b A2 B  A B  A B với A, B  ; A2 B  A B   A B với A  0; B  + + A  B A.B  B2 A.B với AB  0, B  B M M A với A  ;(Đây gọi phép khử thức mẫu)  A A   M A B M  với A, B  0, A  B (Đây gọi phép A B A B trục thức mẫu) + 1.2 CĂN THỨC BẬC 3, CĂN BẬC n 1.2.1 CĂN THỨC BẬC Kiến thức cần nhớ: http://topdoc.vn – File sách tham khảo, giáo án dạy thêm, file word  Căn bậc số a kí hiệu  Cho a  R; a  x  x3   Mỗi số thực a có bậc  Nếu a  a   Nếu a  a 0  Nếu a  a   a  a 3a với b   b 3b  ab  a b với a, b  ab a  b  A B  A3 B   A  B A  B 3 3 a số x cho x3  a a AB với B  B A B3 A2 AB  B với A   B  A B A3 B http://topdoc.vn – File sách tham khảo, giáo án dạy thêm, file word   1.2.2 CĂN THỨC BẬC n Cho số a  R, n  N ; n  Căn bậc n số a số mà lũy thừa bậc n a  Trường hợp n số lẻ: n  2k  1, k  N Mọi số thực a có bậc lẻ nhất: k 1 a  x  x2 k 1  a , a  k 1 a  , a  a  , a  k 1 a  Trường hợp n số chẵn: n  2k , k  N k 1  Mọi số thực a  có hai bậc chẵn đối Căn bậc chẵn dương kí hiệu 2k a (gọi bậc 2k số học a ) Căn bậc http://topdoc.vn – File sách tham khảo, giáo án dạy thêm, file word chẵn âm kí hiệu 2k a , 2k a  x  x  x 2k  a ; 2k a  x  x  x 2k  a Mọi số thực a  khơng có bậc chẵn Một số ví dụ: Ví dụ 1: Phân tích biểu thức sau thành tích: a) P  x4  b) P  8x3  3 c) P  x4  x2  Lời giải:    x  a) P   x   x    x  x   x   b) P   x       2x    3x  c) P   x  1  x   x  x  1 x  x  1 Ví dụ 2: Rút gọn biểu thức: a) A  x  x  x  x  b) B  x  x   x  x  x  c) C     10  Lời giải: 1  a) A  x  x  x   x   x    x  2  x http://topdoc.vn – File sách tham khảo, giáo án dạy thêm, file word + Nếu x 1  x  + Nếu x 1   x  x 1  x   A 2 x 1  x   A2 x  2 b) B  x  x   x  x   x 1  x 1   x 1  x 1  Hay B      4x 1 1   4x 1   4x 1 1  4x 1  4x 1 1  4x 1  + Nếu 4x 1 1   4x 1   x  x    x   suy B  x  + Nếu 4x 1 1   4x 1   1  x  4 x     x   suy B  http://topdoc.vn – File sách tham khảo, giáo án dạy thêm, file word  c) Để ý rằng:      74  2 Suy C     10(2  3)    28 10  9 5 5   Hay C    5(5  3)   25     http://topdoc.vn – File sách tham khảo, giáo án dạy thêm, file word Ví dụ 3) Chứng minh: a) A     số nguyên 84 84 số nguyên ( Trích đề TS vào lớp  1 9 10 chuyên Trường THPT chuyên ĐHQG Hà Nội 2006) b) B   c) Chứng minh rằng: x  a  a a  8a  a  8a   a với 3 3 số tự nhiên  d) Tính x  y biết x  x  2015  y   y  2015  2015 Lời giải: a) Dễ thấy A  0, Tacó A2   72  72          14  2.5  Suy A  2 b) Áp dụng đẳng thức:  u  v   u  v3  3uv  u  v  Ta có: 3   84 84  84 84 84 84    1  B3     1 1  3  1   9  9 9       84 84   1  Hay  1  9     84  84  84 3 1 B3   3 1   B  B   B  B3   B  B3  B      9 81    http://topdoc.vn – File sách tham khảo, giáo án dạy thêm, file word 1    B  1  B  B    mà B  B    B     suy B  2  Vậy B số nguyên 2 c) Áp dụng đẳng thức:  u  v   u  v3  3uv  u  v  Ta có x3  2a  1  2a  x  x3   2a  1 x  2a    x  1  x  x  2a   Xét đa thức bậc hai x2  x  2a với    8a  + Khi a  1 ta có x    8 + Khi a  , ta có    8a âm nên đa thức (1) có nghiệm x  Vậy với a  a  8a  a  8a  1  a  ta có: x  a  3 3 số tự nhiên d) Nhận xét:  x  2015  x   x  2015  x  x  2015  x  2015 Kết hợp với giả thiết ta suy x  2015  x  y  2015  y  y  2015  y  x2  2015  x  x2  2015  x  y  2015  y  x  y  Ví dụ 4) a) Cho x   10    10  Tính giá trị biểu thức: x  x3  x  x  12 P x  x  12 http://topdoc.vn – File sách tham khảo, giáo án dạy thêm, file word b) Cho x   Tính giá trị biểu thức B  x4  x4  x3  3x2  1942 (Trích đề thi vào lớp 10 Trường PTC Ngoại Ngữ - ĐHQG Hà Nội năm 2015-2016) c) Cho x    Tính giá trị biểu thức: P  x5  x4  x3  x2  x  2015 Giải: a) Ta có:   x    10    10      10   10     x2        1 82   1      1  x   Từ ta suy  x  1   x  x  x Ta biến đổi: P   x    x  x   12 x  x  12  42  3.4  12   12 b) Ta có x     x  1   x3  3x  3x   Ta biến đổi biểu thức P thành: P  x2 ( x3  3x2  3x  3)  x  x3  3x  3x  3   x3  3x  3x  3  1945  1945 c) Để ý rằng: x  22   ta nhân thêm vế với  để tận dụng đẳng thức: a  b   a  b   a  ab  b  Khi ta có: 3   1    1    1 x   x  x   x  1 x  3 3 2 3   x  1  x3  3x  3x   Ta biến đổi: P  x5  x4  x3  x2  x  2015   x2  x  1 x3  3x2  3x  1  2016  2016 Ví dụ 5) Cho x, y, z  xy  yz  zx  http://topdoc.vn – File sách tham khảo, giáo án dạy thêm, file word a) Tính giá trị biểu thức: 1  y 1  z   y 1  z 1  x   z 1  x 1  y  Px 2  x2 b) Chứng minh rằng: 2 1 y2 1 z2 x y z    2 1 x 1 y 1 z2 xy 1  x 1  y 1  z  2 Lời giải: a) Để ý rằng:  x2  x2  xy  yz  zx  ( x  y)( x  z ) Tương tự  y ;1  z ta có: 1  y 1  z   x  y  x  y  z  z  x  z  y   x y  z   x  x2  x  y  x  z  Suy P  x  y  z   y  z  x   z  x  y    xy  yz  zx   b) Tương tự câu a) Ta có: x y z x y z      2 1 x 1 y 1 z  x  y  x  z   x  y  y  z   z  y  z  x   x  y  z   y  z  x  z  x  y xy    x  y  y  z  z  x   x  y  y  z  z  x  xy 1  x 1  y 1  z  Ví dụ 6) a) Tìm x1 , x2 , , xn thỏa mãn: x12  12  x2  22   n xn  n2   x1  x22   xn2  4n  4n  với n nguyên dương Tính 2n   2n  f (1)  f (2)   f (40) b) Cho f (n)  http://topdoc.vn – File sách tham khảo, giáo án dạy thêm, file word 2 Lời giải: a) Đẳng thức tương đương với:    x12  12    x2  22     xn  n  n  0 Hay x1  2, x2  2.22 , , xn  2.n2  x  y  4n  b) Đặt x  2n  1, y  2n    xy  4n   x2  y   Suy  x  xy  y x3  y 3 f ( n)     x  y3    2n  1  x y x y 2 Áp dụng vào tốn ta có: f 1  f     f  40    33  13  53  33     813  13  364        2n  1    813  793   Ví dụ 7) 1     Đề thi 1 3 79  80 a) Chứng minh rằng: chuyên ĐHSP 2011 b) Chứng minh rằng: 1 1        1   2 3 n n 1 n 1   1 1       n  với n số nguyên dương n  c) Chứng minh: n   Lời giải: http://topdoc.vn – File sách tham khảo, giáo án dạy thêm, file word 1 ,    1 3 79  80 1 B    2 4 80  81 a) Xét A  Dễ thấy A  B 1 1      1 2 3 79  80 80  81 Ta có A  B  Mặt khác ta có: Suy A  B  k  k 1     2    k 1  k k 1  k        k 1  k   k 1  k  81  80  81   Do A  B suy A  A  B   A  b) Để ý rằng: 1 1 với    k k 1 2k k  k (k  1) k   k   k nguyên dương Suy   1       VT  1          1     2 2  3 n 1  n 1    n  c) Đặt P  Ta có: 1 1      n n  n 1  2   với số tự nhiên n  n n n  n 1 http://topdoc.vn – File sách tham khảo, giáo án dạy thêm, file word x     x   x   x   Vậy phương trình cho có hai nghiệm x   17 , x  Câu 2) Lời giải: Đặt x  a , y  b , z  c x2  y  z  x  y  z  Suy  xy  yz  zx    x  y  z    x  y  z   22   2  xy  yz  zx  Do đó:  a  xy  yz  zx  x   x  y  x  z  ;  b  xy  yz  zx  y   y  z  y  x  ;  c  xy  yz  zx  z   z  x  z  y  Vì a b c x y z       a  b  c  x  y x  z  y  z y  x  z  x z  y   x  y  z   y  z  x   z x  y  xy  yz  zx    x  y  y  z  z  x  x  y y z z x  1  a 1  b 1  c   n n    n   n   3   3  Câu 3) Ta có an                 2 2          n n  1   1  Xét dãy Sn       , ta chứng minh bn số nguyên     http://topdoc.vn – File sách tham khảo, giáo án dạy thêm, file word Xét x1  1 1 ta có , x2  2  x1  x2  suy x1 , x2 hai nghiệm   x1.x2  phương trình: x2  x   Ta có Sn1  x1n1  x2 n1   x1n  x2n   x1  x2   x1 x2  x1n1  x2 n1  hay Sn1  Sn  Sn1 Ta có S1  1, S2   x1  x2   x1 x2  3, S3  S2  S1  Từ phép quy nạp ta dễ dàng chứng minh S n số nguyên Suy an   Sn  A số phương P Câu 4) Q a) Ta có AEF  OAE   G F  ABC  1800  AOC  900 Suy OA EF b) Việc chứng minh trực tiếp AK qua trung điểm DE E H O M N B C D L K tương đối khó Để ý đến chi tiết CH cắt đường tròn (O) điểm G ta thấy G, H đối xứng qua AB , hay F trung điểm GH Như ta cần tìm mối quan hệ điểm F điểm M thông qua tam giác đồng dạng Xét tam giác DFH tam giác DAE : Ta thấy DFH  DBH  DAE , Ta có AED  1800  ABD  FHD suy HF HD 2HF 2HD HG 2HD      DFH ” DAE  hay EA ED EA ED EA ED http://topdoc.vn – File sách tham khảo, giáo án dạy thêm, file word HG HD Từ suy HGD” EAM   EA EM EAM  HGD  CAK  AM  AK c) Giả sử BH cắt đường tròn (O) điểm P khác B Tương tự câu a ta có: P đối xứng với H qua AC Suy AG  AH  AP GP  OA  EF suy EF / / MN / /GP , giả sử AL cắt GP Q Ta có: MNA  AQP  AGQ  QAG  APG  QAG  AKG  GKL  AKL suy tứ giác MKNL nội tiếp Câu 5) Để ý rằng: 2xy  x2  y Ta lại có:  2bc  a   b  c   ;  2ca  b2   c  a   0; 2  2ab  c   a  b   Nên a2 b2 c2 a2 b2 c2       2bc  2ca  2ab  b2  c  c  a  a  b a2 b2 c2 1       3     2 2 2  1 a  b  c  2a 2b 2c  Sử dụng bất đẳng thức Cauchy- Schwarz ta thu được: 1 9     Từ suy ra: 2 2 2 2a 2b 2c 6a b c 2 a b c    3   Chứng minh hoàn tất đẳng thức  2bc  2ca  2ab 5 xảy a  b  c   http://topdoc.vn – File sách tham khảo, giáo án dạy thêm, file word Câu 6) Vì số nguyên dương m lẻ không vượt 2015 , ta xây dựng tập Am gồm số dạng 2k m , k  2k.m  2016 Kí hiệu Am  2k.m | k  , 2k.m  2016 Với cách xây dựng trên, m  1009 Am có phần tử m Vì có 1008 số lẻ khơng vượt q 2016 nên có 1008 tập Am Nhận thấy với n nguyên dương bất kỳ,  n  2016 , ta viết n  2k.m với m số nguyên lẻ, điều cho thấy số nguyên từ đến 2016 thuộc vào 1008 tập Am Nhưng tập M có 1009 phần tử, chắn có hai phần tử M giả sử a, b  a  b  thuộc tập Am Khi a  p.m b  2q.m với p  q , suy b  2q  p hay b bội a a ĐỀ SỐ Câu 1) Viết lại phương trình cho thành: x  x  1  x  x  17  Đặt t  x2  x  17  Ta có x2  x   t  16 phương trình cho viết thành:  t  16   t     t    t   t    1  Phương trình   t   có nghiệm t  hay x2  x    x  1 Phương trình  t  4 t  4   vô nghiệm t  Vậy phương tình có nghiệm x  1 Câu 2) Ta có 62015  (5  1)2015  1(mod5)  62015  5k  với k  Z  Suy A  265m1  26  265  Mặt khác để ý rằng: m  a  b  a5  5a 4b  10a3b2  10a 2b3  5ab4  b5 Nếu a 25   a  b   b5 (mod125) suy 265  1(mod125)  A  26(mod125)  A  125m  26 Dễ thấy A suy http://topdoc.vn – File sách tham khảo, giáo án dạy thêm, file word 125m  26  m chẵn  m  2r  A  250r  26  248r  24  2(r  1)  r chia cho dư  r  p  Hay A  250  p  3  26  1000 p  776 Vậy chữ số tận A 776 Câu 3) a) Ta viết lại phương trình thành:  x  y   3xy( x  y)  xy  x  y  a (a, b  Z ) Ta có a3  3ab  b   a3   b(3a  1) Đặt  xy  b   a3  (3a  1)  27  a3  8 3a    27a3  1  215 3a   215 3a 1 Mặt khác ta có 215  5.43 suy 3a   1; 5; 43; 215 Cuối ta thay trường hợp để tìm a, b  x  2; y  x  0; y  2 b) Ta có  26  15    26  15         Do     Đặt a   3 80   80 ta có: a3  18  3a  a3  3a 18   a3  27  3a     a  3  a  3a     a  (vì a  3a   ) Vậy 2016   80   80  Suy x  Khi P   3x3  x  1 Câu 4) Phân tích định hướng giải: S A A T L K Q P O O F M B H C B E N C http://topdoc.vn – File sách tham khảo, giáo án dạy thêm, file word D T R Ta dễ chứng minh tính chất sau: Tam giác ABC nội tiếp (O) , tiếp tuyến B C cắt T , AT cắt (O) D , OT cắt BC H Khi AHC  ABD BAT  HAC (Xem thêm phần tính chất cát tuyến, tiếp tuyến) Trở lại toán: + Áp dụng kết tốn ta có: ABK # EBC + Từ kết ABK # EBC ý rằng: KP, CM trung tuyến tam giác ABK , EBC nên suy BCM  BKP (1) , tương tự CBN  CLQ (2) + Ta có PLK  QBC  PQB (do KLBC nội tiếp PQ / / BC ) Từ suy tứ giác PQKL nội tiếp nên ta có: BKP  CLQ (3) Từ (1), (2), (3) ta có: BCM  CBN Câu 5) a) Ta có: x12  x22  x23   xn2  n3   2n  1 x1  x2   xn   n2   xn2   2n  1 xn  n2  n    x22   2n  1 x2  n2  n     xn2   2n  1 xn  n2  n    x1  n  x1  n  1   x2  n  x2  n  1    xn  n  xn1  n  1  Mặt khác  xk  n   xk   n  1 tích hai số nguyên liên tiếp nên không âm, xk  n xk  n  Do n  nên xk số nguyên dương b) Vì xk n; n  1 nên n  n  1  x1  x2   xn  n2 http://topdoc.vn – File sách tham khảo, giáo án dạy thêm, file word Do n2   n2   n  x1  x2   xn  n2  n    n  1 Suy x1  x2   xn   n nằm hai số phương liên tiếp nên khơng số phương ĐỀ SỐ Câu 1) Điều kiện x  Phương trình tương đương với: x9  x 2x 9x  2x    0 x 1 x 1 x 1 x 1  2x  8x 2x        1  x 1 x 1  x 1   2x   x  x   x  (thỏa mãn) x 1 Câu 2) Ta có: x3  y  y  11   x3  3  y  1   8  x  2 (1) x2  y  x  3  y    x  y  1   y  1  y  x2   2y   2  x  (2) Từ (1) (2) suy x  2 , y2 1 y  Do x3  y  7 Câu 3) Giả sử số tự nhiên n thỏa mãn đề Khi tồn số nguyên dương k cho http://topdoc.vn – File sách tham khảo, giáo án dạy thêm, file word 22012  22015  2n  k  9.22012  2n  k   k  3.21006  k  3.21006   2n k  3.21006  2a  Suy k  3.21006  2b  2a  2b  3.21007 hay 2b1  2a b  1  3.21006  a, b  , a  b  n  b   1006 b  1007   n  2016 Suy  a b a  1009 2   Câu 4) A O G F I E T C M B D a) Ta có : Tứ giác AOMT nội tiếp nên : AOT  AMT suy EOD AMC (cùng bù với góc nhau) b) Ta thấy rằng: AMC# EOD ( g g) suy AC MC 2MC BC    ED OD 2OD AD suy EAD# ABC nên EAD ABC , tam giác ABC nhọn suy O nằm tam giác suy ABC  ADC (cùng chắn cung AC ) Từ suy EAD ADC suy AE / /CD suy AE  AC http://topdoc.vn – File sách tham khảo, giáo án dạy thêm, file word c) Từ chứng minh ta có: FAE  T AC  900  DAC Suy FGT  FAE  DAC  DBC  FBT hay tứ giác FGBT nội tiếp nên TGB  TFB  EGA suy GO phân giác góc AGB Gọi I giao điểm GO với (O) Ta có OA  OB nên AGBO nội tiếp Mặt khác OA  OB  OI nên I tâm vòng tròn nội tiếp tam giác ABG Chú ý: Trong phần chứng minh ta sử dụng bổ đề sau: „‟Cho tam giác ABC nội tiếp (O) , ngoại tiếp ( I ) Đường thẳng AI cắt (O) D DI DB  DC ‟‟ Phần chứng minh dành cho em học sinh http://topdoc – File sác h tham khảo, giáo án dạy thêm, file word Câu 5) Nhận xét tập hợp X có 34 phần tử, phần tử có dạng 3n  với n  0,1, 2, ,33 Trước hết, ta tìm cặp hai phần tử phân biệt X 3n  1,3m  cho 3n   3m   104  m  n  34 Với n  m  34  33 Với n  17 m  17 suy hai phần tử Loại trừ hai phần tử trên, 32 phần tử lại cho ta 16 cặp hai phần tử phân biệt 3n  1,3m  thỏa mãn n  m  34  4;100 ,  7;97  , 10;94 , ,  49;55 (*) Nếu ta lấy 19 số từ tập X xảy trường hợp “xấu” 16 số mà số thuộc vào 16 cặp (*) thỏa mãn n  m  34 Vì tập A có 19 phần tử nên thỏa mãn toán (đpcm) ĐÁP ÁN ĐỀ SỐ Câu 1) Ta có x2   y 2 y   3z ; y   z  y  3z  ; 2 3z   x z 15  3x  3z  x  Suy x 1 y2  http://topdoc.vn – File sách tham khảo, giáo án dạy thêm, file word  x  y  y  z  z 15  3x  x   y 2 y   3z 3z   x    Điều tương đương với 2  1 y2  x 1  y  x    hệ:   3z  y  2  z  y Cộng theo vế ba đẳng thức ta  5  x  3z 2    x  3z P  x  y  3z  Câu 2) Trước hết ta có nhận xét: Với số nguyên n  2   Áp dụng vào toán ta có: n  n 1 n n 1  n   1 1 2      A 3 20162  20162    2  1 1 2    2 20162   20162  1  n   n từ suy có: n  n 1    A Mặt khác ta   20162    20162    1 1 2      1 3 20142  20162    2   1 1 2      1 2 20162   20162   1 Do    20162    A      20162   4030  A  4031  A  4030 Câu 3) http://topdoc.vn – File sách tham khảo, giáo án dạy thêm, file word  a) Từ phương trình ( 2) ta có: x  3xy  3x  y     x  y  x  y  1 Hay x3  3xy  x  y  x  y     x  y  x  y  1  8x3  y3  xy  x  y   x3  y3  3xy  x  y    x  y  1 x  y     x  y    x  y  1  x  y  x  y   x  Thay vào phương 3 trình đầu tìm nghiệm hệ là:  x; y   1;1 , 1; 4  a  dx  b) Giả sử  a, b   d  b  dy  x, y    ab  a  b  xy  x  y  d  Z   Z Mặt khác ta dễ a  ab  b2 x  xy  y dàng chứng minh được: Theo giả thiết ta có: x  xy  y , x   1;  x  xy  y , y   1;  x  xy  y , x  y   1;  y , x   suy d x2  xy  y  d  x  xy  y  a  b  d x  y  d 3  d  x2  xy  y   d xy  ab hay a  b  ab A Câu 4) Phân tích định hướng giải a) Từ giả thiết P PC QC PC QC    PA QP PA  PC QP  QC Q S B  R C PC QC   PC  CA.CQ AC PC T Mặt khác tứ giác AQRB nội http://topdoc.vn – File sách tham khảo, giáo án dạy thêm, file word D tiếp nên CACQ  CR.CB Từ suy PC  CR.CB Hay PC tiếp tuyến đường tròn ngoại tiếp tam giác PBR b) Từ chứng minh ta suy APB  PRB ,Ta có ABP  1800  BAP  APB  BRQ  BRP  PRQ ASP  ABP  PRQ  PSQ nên SP phân giác góc ASQ Dựng đường thẳng qua SP cắt AC T ST phân giác ngồi góc ASQ Ta có TQ PQ CQ PQ  CQ CP TQ  CQ TC       suy TA PA CP PA  CP AC TA  CP CT  AP CP  CT  AP   CT AC  CT ( AP  PC )  CP AP  CT AP  CP  CT hay C trung điểm PT Vậy tam giác CSP cân C c) Ta có CS  CP2  CQ.CA  CR.CB suy SRC  BSC  BSD  DSC  BAP  APS  1800  BDS Hay BDS  1800  SRC  SRB Vậy tứ giác BSRD nội tiếp Suy điều phải chứng minh Câu 6) Với k  * , ta có  n  k  n  k  1  n2  n  k  k  n  n  1 Lấy tích từ k  đến m ta  n  m !  n  m nm    n  m ! (1) Ta có n  k  2k , với k  1, 2, , m Lấy tích từ k  đến m , ta  n  m !  2m.m! n! Mặt khác n  m  nên n!   n  m ! suy Do  n  m !  2m.m  n  m !  n  m !   n  m ! n!  n  m ! (2) http://topdoc.vn – File sách tham khảo, giáo án dạy thêm, file word Từ (1) (2) ta có đpcm ĐỀ SỐ 10 Câu 1) Đặt y  x  5, z  45  x ta có y  0, z   y  35  z Từ phương trình cho ta có hệ phương trình:  (*)  z  35  y Trừ vế hai phương trình hệ ta y  z  y  z  y  z   y  z  y  z      y  z Với y  z thay vào phương trình đầu hệ (*) ta được: y  y  y  35   y  1  36    y  7 Vì y  nên y  suy x  10 thỏa mãn phương trình cho Với y  z   z   y , thay vào phương trình đầu hệ (*) ta y  35   y   y  1  32  y   2 Vì y  nên y   suy z    Do hệ (*) vơ nghiệm Vậy phương trình có nghiệm x  10 n1 Câu 2) Để ý ta thấy: A  22 n1 A  22   22.4  ta có 4n  3k  nên suy ra: n   22.4   22(3k 1)   4.64k  n 64k   63  1  1 mod   A   mod  Mặt khác ta có: k n1 A  22.4   28   Suy A  22 n  hợp số Câu 3) Vì   A nên theo tính chất c) ta có:   2   A    A Mặt khác theo tính chất a) có  5  A nên  5     A http://topdoc.vn – File sách tham khảo, giáo án dạy thêm, file word Khi      A  6   A    Ta có   A , suy 6       A Do  A (đpcm) 2 3  Câu 4) A E M L N G P O D F H B a) Ta có FCB  FEB  C BCD suy CF phân giác góc BCD CF  BD Nên HCD  HCB  HED nên tứ giác CHDE nội tiếp http://topdoc.vn – File sách tham khảo, giáo án dạy thêm, file word b) Vì tứ giác CHDE nội tiếp nên HEB  HDC  HBC  O   C  cắt theo dây cung BE nên suy B, E đối xứng qua OC suy BDC  CBD  LEC suy tứ giác CELD nội tiếp nên điểm C, E, L, D, H nằm đường tròn ( x) Ta có: HLG  HEC CBE CFE suy HGLF nội tiếp đường tròn ( y ) c) Ta thấy điểm H trực tâm tam giác BCL LH trục đẳng phương hai đường tròn ( x), ( y) nên LH cắt EF P PG.PF PD.PE suy PG PD Mặt khác GM / / DN / / PL nên  PE PF LM PG PD LN suy MN / /EF nên tứ giác GM ND hình bình    LE PE PF LF hành Từ suy DN  MG Câu 5) Ta có  a  1 b  1 c  1   a  1 b  1  b  1 c  1  c  1 a  1  Suy ba số a  1, b  1, c  ln tồn hai số có tích khơng âm Khơng tính tổng qt, giả sử  b  1 c  1  , suy b  c   bc Do abc   bc  a  b  c   bc  a  bc  1 hay a  bc  Sử dụng BĐT Cauchy b2  c2  2bc a  bc  , ta có: a2  b2  c2  abc   a  2bc  abc    a  2 a  bc    Đẳng thức xảy a  b  c  HẾT http://topdoc.vn – File sách tham khảo, giáo án dạy thêm, file word ...  http:/ /topdoc. vn – File sách tham khảo, giáo án dạy thêm, file word Ví dụ 3) Chứng minh: a) A     số nguyên 84 84 số nguyên ( Trích đề TS vào lớp  1 9 10 chuyên Trường THPT chuyên ĐHQG... 3  1   9  9 9       84 84   1  Hay  1  9     84  84  84 3 1 B3   3 1   B  B   B  B3   B  B3  B      9 81    http:/ /topdoc. vn – File sách... để A nhận giá trị nguyên x 5;6;8;20;68 MỘT SỐ BÀI TẬP RÈN LUYỆN Câu (Đề thi vào lớp 10 thành phố Hà Nội – năm học 2013-2014) http:/ /topdoc. vn – File sách tham khảo, giáo án dạy thêm, file