Nếu có m cách thực hiện hành động thứ nhất và ứng với mỗi cách đó có n cách thực hiện hành động thứ hai thì có m.n cách hoàn thành công việc.. Nếu số chẵn thì số tận cùng là số chẵn..[r]
(1)1 PHÉP ĐẾM PHÁT TRIỂN ĐỀ MINH HỌA LẦN DẠNG 1 PHÉP ĐẾM KIẾN THỨC CẦN NHỚ Quy tắc đếm Nhóm: PHÁT TRIỂN ĐỀ MINH HỌA Quy tắc cộng: Một công việc hoàn thành hai hành động Nếu hành động này có m cách thực hiện, hành động có n cách thực không trùng với bất kì cách nào hành động thứ thì công việc đó có m + n cách thực ÿ Nếu A và B là các tập hợp hữu hạn không giao thì: n(A ∪ B) = n(A) + n(B) Quy tắc nhân: Một công việc hoành thành hai hành động liên tiếp Nếu có m cách thực hành động thứ và ứng với cách đó có n cách thực hành động thứ hai thì có m.n cách hoàn thành công việc ÿ Dạng toán tìm số các số tạo thành: Gọi số cần tìm có dạng: abc · · ·, tuỳ theo yêu cầu bài toán: Nếu số lẻ thì số tận cùng là số lẻ Nếu số chẵn thì số tận cùng là số chẵn BÀI TẬP MẪU Ví dụ Từ nhóm học sinh nam và nữ, có bao nhiêu cách chọn học sinh? A 14 B 48 C D Lời giải Phân tích hướng dẫn giải DẠNG TOÁN: Đây là dạng toán quy tắc đếm, cụ thể là quy tắc cộng HƯỚNG GIẢI: B1: Số cách chọn học sinh nữ từ học sinh nữ có cách B2: Số cách chọn học sinh nam từ học sinh nam có cách B3: Số cách chọn học sinh là + = 14 LỜI GIẢI CHI TIẾT Từ đó, ta có thể giải bài toán cụ thể sau: Cách Số cách chọn học sinh nữ từ học sinh nữ có cách Số cách chọn học sinh nam từ học sinh nam có cách Số cách chọn học sinh là 8+6 = 14 Cách Tổng số học sinh là + = 14 Số cách chọn học sinh nữ từ 14 học sinh có 14 cách Chọn phương án A h Geogebra Pro Trang 13 (2) PHÉP ĐẾM PHÁT TRIỂN ĐỀ MINH HỌA LẦN BÀI TẬP TƯƠNG TỰ VÀ PHÁT TRIỂN Câu Trong hộp chứa sáu cầu trắng đánh số từ đến và ba cầu đen đánh số từ đến Có bao nhiêu cách chọn các cầu ấy? A B C D Lời giải Mỗi cầu đánh số khác nhau, nên lần lấy cầu bất kì là lần Số cầu là + = Tương ứng với cách Chọn phương án D Câu Từ các chữ số 1, 2, 3, có thể lập bao nhiêu số tự nhiên gồm chữ số? A B C D Lời giải Số tự nhiên cần lập có chữ số lấy từ số trên, đó có cách Chọn phương án D Câu Bạn muốn mua cây bút mực và cây bút chì Các cây bút mực có màu khác nhau, các cây bút chì có màu khác Như bạn có bao nhiêu cách A 16 B C 64 D Lời giải Mua cây bút mực có cách Mua cây bút chì có cách Công việc mua bút là hành động liên tiếp, theo quy tắc nhân ta có 8.8 = 64 cách Chọn phương án C Câu Bạn cần mua cây bút để viết bài Bút mực có loại khác nhau, bút chì có loại khác Như bạn có bao nhiêu cách A 16 B C 64 D Lời giải Công việc mua bút có phương án độc lập Phương án mua cây bút mực có cách Phương án mua cây bút chì có cách Theo quy tắc cộng, ta có: + = 16 cách Chọn phương án A h Geogebra Pro Trang 14 50 DẠNG TOÁN PHÁT TRIỂN ĐỀ MINH HỌA LẦN Câu Lớp 12A có 43 học sinh, lớp 12B có 30 học sinh Chọn ngẫu nhiên học sinh từ lớp 12A và 12B Hỏi có bao nhiêu cách A 43 B 30 C 73 D 1290 Lời giải Tổng số học sinh lớp là 43 + 30 = 73 Số cách chọn là 73 Chọn phương án A (3) PHÉP ĐẾM PHÁT TRIỂN ĐỀ MINH HỌA LẦN Nhóm: PHÁT TRIỂN ĐỀ MINH HỌA Câu Từ thành phố A có 10 đường đến thành phố B, từ thành phố B có đường đến thành phố C Từ A đến C phải qua B, hỏi có bao nhiêu cách từ A đến C? A 10 B C 17 D 70 Lời giải Công việc từ A đến C gồm hành động liên tiếp Hành động 1: từ A đến B có 10 cách Hành động 2: từ B đến C có cách Theo quy tắc nhân, từ A đến C có 10 · = 70 cách Chọn phương án D Câu Từ thành phố A có 10 đường đến thành phố B, từ thành phố A có đường đến thành phố C, từ thành phố B đến thành phố D có đường, từ thành phố C đến thành phố D có 11 đường và không có đường nào nối B với C Hỏi có bao nhiêu cách từ thành phố A đến thành phố D A 156 B 159 C 162 D 176 Lời giải A 10 đường B đường đường D 11 đường C Phương án 1: từ A đến B đến D Đây là hành động liên tiếp nên ta áp dụng quy tắc nhân: 10 · = 60 Phương án 2: từ A đến C đến D Tương tự ta áp dụng quy tắc nhân: 9.11 = 99 Hai phương án độc lập nên ta áp dụng quy tắc cộng 60 + 99 = 159 cách Chọn phương án B Câu Trong giải đấu bóng đá có 20 đội tham gia với thể thức thi đấu vòng tròn Cứ hai đội thì gặp đúng lần Hỏi có tất bao nhiêu trận đấu xảy ra? A 120 B 39 C 380 D 190 Lời giải Mỗi đội phải đấu với 19 đội còn lại, nên theo quy tắc nhân ta có 19 · 20 = 380 trận 380 Nhưng đội A gặp đội B thì tính hai lần Do đó số trận đấu thực tế là = 190 trận Chọn phương án D Câu Một người vào cửa hàng ăn, người đó chọn thực đơn gồm món ăn món, loại loại, loại nước uống loại Hỏi có bao nhiêu cách lập thực đơn? A 73 B 75 C 85 D 95 Lời giải h Geogebra Pro Trang 15 (4) PHÉP ĐẾM PHÁT TRIỂN ĐỀ MINH HỌA LẦN Lập thực đơn gồm hành động liên tiếp: Chọn món ăn có cách Chọn có cách Chọn nước uống có cách Theo quy tắc nhân: · · = 75 cách Chọn phương án B Câu 10 Cho hai tập hợp A = {a, b, c, d}; B = {e, f, g} Kết n(A ∪ B) là A B C D Lời giải Ta có A ∩ B = ∅ nên A và B rời n(A ∪ B) = n(A) + n(B) = + = Chọn phương án A 50 DẠNG TOÁN PHÁT TRIỂN ĐỀ MINH HỌA LẦN Câu 11 Cho hai tập hợp A = {a, b, c, d}; B = {c, d, e} Kết n(A ∪ B) là A B C D Lời giải Ta có A ∩ B = {c, d} ⇒ n(A ∩ B) = n(A ∪ B) = n(A) + n(B) − n(A ∩ B) n(A ∪ B) = + − = Chọn phương án B Câu 12 Có bao nhiêu hình vuông hình đây? 1cm 1cm A 14 B 12 C 10 Lời giải Gọi A là tập hợp hình vuông có cạnh 1cm B là tập hợp hình vuông có cạnh 2cm A và B là hai tập hợp rời Số hình vuông hình là n(A ∪ B) = n(A) + n(B) = 10 + = 14 Chọn phương án A D Câu 13 Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, có thể lập bao nhiêu số tự nhiên bé 100? A 42 B 54 C 62 D 36 Lời giải TH1: Số tự nhiên có chữ số: số TH2: Số tự nhiên có hai chữ số: Ta đặt là ab h Geogebra Pro Trang 16 (5) PHÉP ĐẾM PHÁT TRIỂN ĐỀ MINH HỌA LẦN Ta có: · = 36 số thoả mãn Vậy số số tự nhiên thoả yêu cầu bài toán là + 36 = 42 Chọn phương án A Câu 14 Trong mặt phẳng toạ độ Oxy , góc phần tư thứ ta lấy điểm phân biệt; các góc phần tư thứ hai, thứ ba, thứ tư lấy 3, 4, điểm phân biệt (các điểm không nằm trên các trục toạ độ) Trong 14 điểm đó ta lấy điểm và nối chúng lại, hỏi có bao nhiêu đoạn thẳng cắt hai trục toạ độ, biết đoạn thẳng nối điểm bất kì không qua O A 91 B 42 C 29 D 23 Lời giải y A C Nhóm: PHÁT TRIỂN ĐỀ MINH HỌA D B E x O F J G I K M H L N Để chọn điểm 14 điểm đã cho nối lại cắt hai trục toạ độ thì hai điểm đó phải thuộc hai góc phần tư đối đỉnh với TH1: Chọn điểm góc phần tư thứ I và điểm góc phần tư thứ III Số đoạn thẳng tạo thành: 2.4 = TH2: Chọn điểm góc phần tư thứ II và điểm góc phần tư thứ IV Số đoạn thẳng tạo thành: 3.5 = 15 Theo quy tắc cộng ta có + 15 = 23 đoạn thẳng Chọn phương án D Câu 15 Cho tập hợp số A = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6} Hỏi có thể lập thành bao nhiêu số có chữ số khác và chia hết cho A 114 B 144 C 146 D 148 Lời giải Ta có số chia hết cho và tổng các chữ số nó chia hết cho Trong tập A, các tập có chữ số chia hết cho là {0, 1, 2, 3}, {0, 1, 2, 6}, {0, 2, 3, 4}, {0, 3, 4, 5}, {1, 2, 4, 5}, {1, 2, 3, 6}, {1, 3, 5, 6} Xét số {0, 1, 2, 3}, số số có chữ số khác tạo thành từ này là · · · = 18 h Geogebra Pro Trang 17 (6) PHÉP ĐẾM PHÁT TRIỂN ĐỀ MINH HỌA LẦN Tương tự các {0, 1, 2, 6}, {0, 2, 3, 4}, {0, 3, 4, 5} lập 18 số Xét số {1, 2, 4, 5}, số số có chữ số khác tạo thành từ này là · · · = 24 Tương tự cách {1, 2, 3, 6}, {1, 3, 5, 6} lập 24 số Vậy số số thoả yêu cầu bài toán là 18 · + 24 · = 144 Chọn phương án B Câu 17 Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6, lập bao nhiêu số tự nhiên gồm chữ số khác và là số chia hết cho 5? A 180 B 120 C 360 D 216 Lời giải Gọi số có chữ số cần lập có dạng abcd Để số lập chia hết cho thì số tận cùng phải chia hết cho 5, đó d = 5, có cách chọn a có cách b có cách c có cách Theo quy tắc nhân ta có: · · · = 120 cách Chọn phương án B Câu 18 Từ các số 1, 2, 3, 4, 5, 6, lập bao nhiêu số tự nhiên lẻ gồm chữ số khác A 180 B 480 C 360 D 120 Lời giải Gọi số có chữ số cần lập có dạng abcd Số lập là số lẻ thì số tận cùng là số lẻ ⇒ d ∈ {1, 3, 5, 7}, suy ra: d có cách a có cách b có cách c có cách Theo quy tắc nhân ta có: · · · = 480 cách Chọn phương án B Câu 19 Cho tập hợp A = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6} Từ tập A có thể lập bao nhiêu số tự nhiên gồm chữ số chia hết cho h Geogebra Pro Trang 18 50 DẠNG TOÁN PHÁT TRIỂN ĐỀ MINH HỌA LẦN Câu 16 Từ các chữ số 1, 2, 3, có thể lập bao nhiêu số tự nhiên có chữ số khác nhau? A 24 B C 64 D Lời giải Gọi số tự nhiên có chữ số cần lập có dạng abc a có cách chọn (từ 1, 2, 3, 4) b có cách chọn (từ 1, 2, 3, trừ số a đã chọn) c có cách chọn (từ 1, 2, 3, trừ số a, b đã chọn) Theo quy tắc nhân, ta có: · · = 24 cách Chọn phương án A (7) Nhóm: PHÁT TRIỂN ĐỀ MINH HỌA PHÉP ĐẾM A 660 B 420 C 679 Lời giải Gọi số có chữ số cần lập có dạng abcde Trường hợp 1: e = 0, suy a có cách chọn b có cách chọn c có cách chọn d có cách chọn e có cách chọn Theo quy tắc nhân ta có: · · · · = 360 cách Trường hợp 2: e = 5, suy a có cách chọn b có cách chọn c có cách chọn d có cách chọn e có cách chọn Theo quy tắc nhân ta có: · · · · = 300 cách Theo quy tắc cộng, ta có 360 + 300 = 660 cách Chọn phương án A PHÁT TRIỂN ĐỀ MINH HỌA LẦN D 523 Câu 20 Hỏi có tất bao nhiêu số tự nhiên chia hết cho mà số gồm 2011 chữ số và đó có ít hai chữ số 9? A 102010 − 16151 · 92008 B 102010 − 16153 · 92008 C 102010 − 16148 · 92008 D 102010 − 16161 · 92008 Lời giải Đặt A1 = {0; 9}; A2 = {1}; A3 = {2}; A4 = {3}; A5 = {4}; A6 = {5}; A7 = {6}; A8 = {7}; A9 = {8} Gọi số cần tìm là n = a1 a2 · · · a2010 a2011 (a1 6= 0) ÿ Xét các số tự nhiên chia hết cho 9, gồm 2011 chữ số + Mỗi vị trí từ a2 đến a2011 có 10 cách chọn + a1 phụ thuộc vào tổng (a2 + a3 + · · · + a2011 ) nên có cách chọn Vậy có 102010 số ÿ Xét các số tự nhiên chia hết cho 9, gồm 2011 chữ số không có mặt chữ số + a1 có cách chọn + Từ a2 đến a2010 , vị trí có cách chọn + a2011 có cách chọn Vậy có · 92009 số ÿ Xét các số tự nhiên chia hết cho 9, gồm 2011 chữ số đó có đúng chữ số + Trường hợp a1 = ta có: Từ a2 đến a2010 , vị trí có cách chọn a2011 có cách chọn Do đó có 92009 số h Geogebra Pro Trang 19 (8) PHÉP ĐẾM PHÁT TRIỂN ĐỀ MINH HỌA LẦN + Trường hợp a1 6= ta có: a1 có cách chọn Có 2010 cách xếp chữ số Ở 2008 vị trí còn lại, vị trí có cách chọn Vị trí cuối cùng có cách chọn Do đó có 8.2010 · 92008 số Vậy số các số tự nhiên thỏa mãn yêu cầu bài toán là 2010 2010 2009 2009 2008 10 − 8·9 +9 + · 2010 · = 10 − 16161 · 92008 số Chọn phương án D 50 DẠNG TOÁN PHÁT TRIỂN ĐỀ MINH HỌA LẦN h Geogebra Pro Trang 20 (9) PHÉP ĐẾM PHÁT TRIỂN ĐỀ MINH HỌA LẦN BẢNG ĐÁP ÁN A 12 A D 13 A C 14 D A 15 B D 16 A B 17 B D 18 B B 19 A 10 A 20 D Nhóm: PHÁT TRIỂN ĐỀ MINH HỌA D 11 B h Geogebra Pro Trang 21 (10)