N hó m P H Á T T R IỂ N Đ Ề M IN H H Ọ A 20 BIẾN ĐỔI BIỂU THỨC LÔGARIT PHÁT TRIỂN ĐỀ MINH HỌA LẦN 1 DẠNG 20 BIẾN ĐỔI BIỂU THỨC LÔGARIT 1 KIẾN THỨC CẦN NHỚ Định nghĩa 1 Cho hai số dương a, b với a 6= 1[.]
20 BIẾN ĐỔI BIỂU THỨC LÔGARIT DẠNG 20 PHÁT TRIỂN ĐỀ MINH HỌA LẦN BIẾN ĐỔI BIỂU THỨC LÔGARIT KIẾN THỨC CẦN NHỚ Định nghĩa Cho hai số dương a, b với a 6= Số α thỏa mãn đẳng thức aα = b gọi lơgarit số a b kí hiệu loga b Ta viết: α = loga b ⇔ aα = b Tính chất Cho a, b > 0, a 6= 1, Ta có: loga a = 1; loga = 0; aloga b = b; loga (aα ) = α Các quy tắc Nhóm: PHÁT TRIỂN ĐỀ MINH HỌA Lơgarit tích: Cho số dương a, b1 , b2 với a 6= 1, Ta có: loga (b1 · b2 ) = loga b1 + loga b2 Lôgarit thương: Cho số dương a, b1 , b2 với a 6= 1, Ta có: loga b1 = loga b1 − loga b2 b2 Đặc biệt: với a, b > 0, a 6= loga = − loga b b Lôgarit lũy thừa: Cho a, b > 0, a 6= 1, với α, Ta có: loga bα = α loga b Đặc biệt: loga √ n b= loga b n Công thức đổi số: Cho số dương a, b, c với a 6= 1, c 6= 1, Ta có: loga b = logc b logc a Đặc biệt: loga c = 1 logaα b = loga b với α 6= logc a α BÀI TẬP MẪU Ví dụ (ĐỀ MINH HỌA BDG 2019-2020) Xét tất số thực dương a b thỏa mãn log2 a = log8 (ab) Mệnh đề đúng? A a = b2 B a3 = b C a = b D a2 = b Lời giải 20 BIẾN ĐỔI BIỂU THỨC LƠGARIT PHÁT TRIỂN ĐỀ MINH HỌA LẦN Phân tích hướng dẫn giải a) DẠNG TỐN: Đây dạng tốn biến đổi đẳng thức lôgarit b) HƯỚNG GIẢI: Bước 1: Biến đổi đưa số Bước 2: Cho biểu thức lôgarit Bước 3: Dựa vào đáp án, kết luận mệnh đề LỜI GIẢI CHI TIẾT Ta có: ⇔ log2 a = log2 (ab) ⇔ a = (ab) ⇔ a3 = ab ⇔ a2 = b Chọn phương án D BÀI TẬP TƯƠNG TỰ VÀ PHÁT TRIỂN Câu Cho hai số thực dương x, y thỏa mãn log2 x2 + y = + log2 xy Mệnh đề đúng? A x = y B x > y C x < y D x = y2 Lời giải Với x, y > Ta có: log2 x2 + y = + log2 xy ⇔ log2 x2 + y = log2 2xy ⇔ x2 + y = 2xy ⇔ x = y Chọn phương án A Câu Cho số dương a, b, c thỏa mãn ln A abc = Lời giải Ta có: B ab = c a b + ln = Khẳng định sau đúng? c c C a + b = c D ab = c2 50 DẠNG TOÁN PHÁT TRIỂN ĐỀ MINH HỌA LẦN log2 a = log8 (ab) ⇔ log2 a = log23 (ab) ⇔ log2 a = log2 (ab) 20 BIẾN ĐỔI BIỂU THỨC LÔGARIT PHÁT TRIỂN ĐỀ MINH HỌA LẦN a b + ln = c c ⇔ ln a + ln b − ln c = ln ⇔ ln a + ln b = ln c ⇔ ln ab = ln c2 ⇔ ab = c2 Chọn phương án D Câu Cho M = log12 x = log3 y Khi M biểu thức sau đây? x x A log4 B log36 C log9 (x − y) D log15 (x + y) y y Lời giải ® Nhóm: PHÁT TRIỂN ĐỀ MINH HỌA Do M = log12 x = log3 y nên x 12M Suy = M = 4M y x = 12M > y = 3M > x hay M = log4 y Chọn phương án A Câu Cho a = log9 b = log2 Tính ab A B Lời giải Ta có: ab = log9 · log2 = log32 23 · log2 = C D 3 log3 · log2 = log3 = 2 Chọn phương án B Câu Cho log2 m = a A = logm (8m) với m > 0, m 6= Tìm mối liên hệ A a A A = (3 + a)a B A = (3 − a)a C A= 3+a a D A= 3−a a Lời giải Ta có: A = logm (8m) = logm + logm m = logm + 1 3+a +1= +1= =3· log2 m a a Chọn phương án C Câu Với số thực dương a b thoả mãn a2 + b2 = 8ab, mệnh đề đúng? 1 A log(a + b) = (log a + log b) B log(a + b) = (1 + log a + log b) C log(a + b) = + log a + log b Lời giải Ta có: D log(a + b) = + log a + log b 20 BIẾN ĐỔI BIỂU THỨC LÔGARIT PHÁT TRIỂN ĐỀ MINH HỌA LẦN a2 + b2 = 8ab ⇔ a2 + 2ab + b2 = 10ab ⇔ (a + b)2 = 10ab ⇔ log(a + b)2 = log(10ab) ⇒ log(a + b) = + log a + log b ⇒ log(a + b) = (1 + log a + log b) Chọn phương án B Câu Cho a > 0, b > thỏa mãn a2 + 4b2 = 5ab Khẳng định sau đúng? a + 2b log a + log b = C log(a + 2b) = (log a + log b) A log B log(a + 2b) = log a − log b D log(a + 1) + log b = a2 + 4b2 = 5ab ⇔ (a + 2b)2 = 9ab ⇔ log (a + 2b)2 = log(9ab) ⇔ · log(a + 2b) = · log + log a + log b a + 2b = log a + log b ⇔ · log log a + log b a + 2b = ⇔ log Chọn phương án A Câu Cho a > 0, b > thỏa mãn a2 + 9b2 = 10ab Khẳng định sau đúng? A log(a + 1) + log b = C log(a + 3b) = log a − log b Lời giải Ta có: log a + log b a + 3b = D log(a + 3b) = log a + log b B log a2 + 9b2 = 10ab (a + 3b)2 = ab 16 (a + 3b)2 ⇔ log = log ab a > 0, b > 16 a + 3b ⇔ log = log a + log b a + 3b log a + log b ⇔ log = ⇔ Chọn phương án B Câu Cho số dương a, b thỏa mãn 4a2 + 9b2 = 13ab Chọn câu trả lời √ √ √ A log 2a + 3b = log a + log b B log(2a + 3b) = log a + log b 50 DẠNG TOÁN PHÁT TRIỂN ĐỀ MINH HỌA LẦN Lời giải Ta có: 20 BIẾN ĐỔI BIỂU THỨC LÔGARIT Å C log 2a + 3b ã PHÁT TRIỂN ĐỀ MINH HỌA LẦN Å = (log a + log b) D log 2a + 3b ã = (log a + log b) Lời giải Ta có: 4a2 + 9b2 = 13ab ⇔ 4a2 + 12ab + 9b2 = 25ab ⇔ (2a + 3b)2 = 25ab 2a + 3b √ = ab ⇔ 5Å ã √ 2a + 3b ⇒ log = log ab Å ã 2a + 3b ⇔ log = (log a + log b) Nhóm: PHÁT TRIỂN ĐỀ MINH HỌA Chọn phương án C √ Câu 10 Cho số thực x, a, b, c, d dương thoả mãn log x = log(2a) − log b − log c Biểu diễn x theo a, b, c kết A x= 2a2 b3 c B x= Lời giải log x = log(2a) − log b − log ⇔ log x = log 4a ⇔ log x = log 4a2 b3 c √ C x= 2a2 c b3 D x= 2a2 c b3 c − log(b3 ) − log c 4a2 b3 c 4a2 ⇔x= b c Chọn phương án B Câu 11 Cho a, b > 0, log8 a + log4 b2 = log4 a2 + log8 b = giá trị ab A 29 B C D 218 Lời giải ® ® ® log2 a + log2 b = log8 a + log4 b2 = log a = a = 26 Ta có: ⇔ ⇔ ⇔ log4 a2 + log8 b = log2 b = b = 23 log2 a + log2 b = Suy ra: ab = 26 · 23 = 29 Chọn phương án A Câu 12 Xét số thực dương a, b thỏa mãn log5 a = log3 b = Tính I = log6 [log5 (5a)] + log b3 A I = Lời giải B I = −2 C I = D I = log6 + 20 BIẾN ĐỔI BIỂU THỨC LÔGARIT PHÁT TRIỂN ĐỀ MINH HỌA LẦN I = log6 [log5 (5a)] + log b3 = log6 (1 + log5 a) − log3 b = log6 − · = − = Chọn phương án C 1 1 210 + + + ··· + = log3 x log32 x log33 x log3n x log3 x với x dương x 6= Tìm giá trị biểu thức P = 2n + A 32 B 40 C 43 D 23 Câu 13 Gọi n số nguyên dương cho Lời giải ⇔ ⇔ ⇔ ñ ⇔ n = 20 n = −21 Do n số nguyên dương nên n = 20 ⇒ P = 43 Chọn phương án C Câu 14 Xét số thực thực dương x, y thỏa mãn log9 x = log12 y = log16 (x + y) Giá trị tỉ số x y √ 3− A √ 3+ B −1 + C √ −1 − D √ Lời giải Đặt log9 x = log12 y = log16 (x + y) = t ⇒ t x = y = 12t (1) (2) x + y = 16t x (1), (2) ⇒ = y x+y = 16t Å ã2 ⇒ x y ⇔ t 9t > + 12t = 16t ⇔ 2t t + √ x x −1 + + −1=0⇒ = y y =1 Chọn phương án C Câu 15 Xét số thực dương a, b, c, b 6= thỏa mãn logb a = x logb c = y Hãy biểu diễn 50 DẠNG TOÁN PHÁT TRIỂN ĐỀ MINH HỌA LẦN ⇔ 1 210 + + ··· + = + log3 x log32 x log33 x log3n x log3 x n 210 + + + ··· + = log3 x log3 x log3 x log3 x log3 x 210 (1 + + + · · · + n) = log3 x log3 x n(1 + n) = 210 n2 + n − 420 = 20 BIẾN ĐỔI BIỂU THỨC LÔGARIT Ä√ PHÁT TRIỂN ĐỀ MINH HỌA LẦN ä b5 c4 theo x y Ä√ ä + 4y A loga2 b5 c = 6x Ä√ ä + 3y C loga2 b5 c = 3x2 loga2 B loga2 D loga2 Ä√ Ä√ ä b5 c = 20y 3x ä b5 c4 = 20x + 20y Lời giải Ta có: ln a = x ⇒ ln a = x · ln b (a, b > 0) ln b ln c = y ⇒ ln c = y · ln b (b, c > 0) logb c = ln b Ä√ ä 4 5 4 3 ln b · c ln b + ln c ln b + y · ln b Ä√ ä ln b c + 4y 3 loga2 b5 c = = = = = ln(a ) · ln a · ln a · x · ln b 6x Nhóm: PHÁT TRIỂN ĐỀ MINH HỌA logb a = Cách khác: y Ta có logb a = x ⇔ a = bx logb c = y ⇔ c = bÅ ã Ä√ ä Ä√ ä 5+4y + 4y 3 Do loga2 b5 c4 = logb2x b5 b4y = logb2x b = 6x Chọn phương án A Câu 16 Cho số thực dương a, b thỏa mãn log16 a = log20 b = log25 mệnh đề mệnh đề sau A −2 < T < B 0 P = log2a b + 16 logb a Tìm m cho P đạt giá trị nhỏ A m = B m= C m = D m = 2 Lời giải √ 1 Ta có: m = loga ab = + loga b ⇒ loga b = 3m − 1; logb a = Bảng biến thiên x +∞ y0 − + +∞ +∞ y 12 å y = f (1) = 12 ;+∞ Vậy giá trị nhỏ P 12 m = Từ bảng biến thiên suy Ç Chọn phương án A Câu 19 Cho a, b cácsốdương thỏa mãn b > a thức P = log a a + log√b b b A Lời giải Ta có: P = √ a ≤ b < a Tìm giá trị nhỏ biểu B + · (logb a − 1) = − loga b 1− logb a D + · (logb a − 1) √ t a ≤ b < a ⇒ logb ( a) ≤ ≤ logb a ⇔ < < t ⇔ < t < 2 t ⇒P = + 4(t − 1) = + 4(t − 1) với t ∈ (1; 2) t−1 1− t t Xét hàm số f (t) = + 4(t − 1) với t ∈ (1; 2) t−1 Đặt t = logb a Vì √ C 50 DẠNG TOÁN PHÁT TRIỂN ĐỀ MINH HỌA LẦN 1 3 3m − 1 Vì a > 1, b > nên loga b > loga = Suy 3m − > ⇔ m > 16 Do P = loga b + 16 logb a = (3m − 1)2 + ,m> 3m − 16 Xét hàm số y = (3m − 1) + , với m > 3m − 3 − 48 48 6(3m − 1) ⇒ y = 6(3m − 1) − = (3m − 1)2 (3m − 1)2 y = ⇔ 6(3m − 1)3 − 48 = ⇔ (3m − 1)3 = ⇔ 3m − = ⇔ m = 20 BIẾN ĐỔI BIỂU THỨC LÔGARIT PHÁT TRIỂN ĐỀ MINH HỌA LẦN t= −1 = ⇔ f (t) = + 4, f (t) = ⇔ (t − 1) (t − 1)2 t= (tm) (l) Bảng biến thiên t f (t) − +∞ + f (t) Từ bảng biến thiên suy ra: f (t) = f Nhóm: PHÁT TRIỂN ĐỀ MINH HỌA (1;2) 3 = Vậy giá trị nhỏ biểu thức P Chọn phương án C Câu 20 Cho log8 |x|+log4 y = log8 |y|+log4 x2 = Tìm giá trị biểu thức P = |x|−|y| A P = 56 B P = 16 C P = D P = 64 Lời giải Ta có: 1 log2 |x| + log2 y = p p ⇔ log2 |x| + log2 |y| = ⇔ |x| · |y| = 25 ⇔ |x| · |y|3 = (25 )3 = 215 Tương tự: log8 |y| + log4 x2 = ⇔ |y| · |x|3 = 221 (2) 4 36 2 18 Lấy (1) nhân (2) x · y = ⇔ x · y = (3) y Lấy (1) chia (2) = ⇔ x2 = 26 · y (4) x Thay (4) vào (3) 26 · y = 218 ⇔ y = 212 = (23 )4 ⇔ |y| = 23 = Thay |y| = vào (4) x2 = 26 · 64 = (26 )2 ⇔ |x| = 26 = 64 Do P = |x| − |y| = 56 log8 |x| + log4 y = ⇔ Chọn phương án A (1) 20 BIẾN ĐỔI BIỂU THỨC LÔGARIT PHÁT TRIỂN ĐỀ MINH HỌA LẦN BẢNG ĐÁP ÁN A 11 A D 12 C A 13 C B 14 C C 15 A B 16 C A 17 B B 18 A C 19 C 10 B 20 A 50 DẠNG TOÁN PHÁT TRIỂN ĐỀ MINH HỌA LẦN ... ab = + loga b ⇒ loga b = 3m − 1; logb a = Bảng biến thi? ?n x +∞ y0 − + +∞ +∞ y 12 å y = f (1) = 12 ;+∞ Vậy giá trị nhỏ P 12 m = Từ bảng biến thi? ?n suy Ç Chọn phương án A Câu 19 Cho a, b cácsốdương... t= −1 = ⇔ f (t) = + 4, f (t) = ⇔ (t − 1) (t − 1)2 t= (tm) (l) Bảng biến thi? ?n t f (t) − +∞ + f (t) Từ bảng biến thi? ?n suy ra: f (t) = f Nhóm: PHÁT TRIỂN ĐỀ MINH HỌA (1;2) 3 = Vậy giá trị