Bài tập có đáp án chi tiết về nón trụ môn toán lớp 12 của thầy phạm quốc toản

Câu [2H2-4] Một nhà sản xuất sữa có hai phương án làm hộp sữa Hộp sữa có dạng khối hộp chữ nhật hộp sữa có dạng khối trụ Nhà sản xuất muốn chi phí bao bì thấp tốt( tức diện tích tồn phần hộp nhỏ nhất), phải chứa thể tích xác định V cho trước Khi diện tích tồn phần hộp sữa bé hai phương án A 2π V B V C 3 6V D 3 2π V Lời giải Chọn D Trường hợp 1: Hộp sữa hình trụ V 2V Stp = 2π r + 2π rh = 2π r + , πr r V V Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho ba số dương 2π r , , r r Thể tích không đổi V = π r h ⇒ h = V V V V + ≥ 3 2π r = 3 2π V , ( *) r r r r Trường hợp 2: Hộp sữa hình hộp chữ nhật Thể tích khơng đổi V V V V V  =  ab + + ÷ V = abh ⇒ h = , Stp = 2ab + ( a + b ) h = 2ab + 2a + 2b ab ab a b ab  V V Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho ba số dương ab; ; a b Ta có Stp = 2π r + V V Ta có Stp ≥ 2.3 ab = V , a b ( **) So sánh hai kết ta thấy ( *) nhỏ Vậy diện tích tồn phần hộp sữa bé là: Stp = 3 2π V Câu [2H2-3] Một cốc nước có dạng hình trụ chiều cao 15 cm, đường kính đáy cm, lượng nước ban đầu cốc cao 10 cm Thả vào cốc nước viên bi hình cầu có đường kính cm Hỏi sau thả viên bi, mực nước cốc cách miệng cm? (Kết làm sau dấu phảy chữ số) A 4,81 cm B 4, 25 cm C 4, 26 cm D 3,52 cm Lời giải Chọn C r = 3; Thể tích cốc nước là: Vcn = π r h = π 15.32 = 135π 290π Thể tích sau thả viên bi: V1 = π 10.3 + π = 3 Gọi h1 khoảng cách từ mực nước tỏng cốc đến miệng cốc 115π 115 ⇒ h1 = ≈ 4, 26cm 27 [2H2-3] Một bồn hình trụ chứa dầu, đặt nằm ngang, có chiều dài bồn m, có bán kính đáy m, với nắp bồn đặt mặt nằm ngang mặt trụ Người ta rút dầu bồn tương ứng với 0,5 m đường kính đáy Tính thể tích gần khối dầu cịn lại bồn π 32.h1 = Câu ( theo đơn vị m3 ) A 12, 637 m3 B 11,923 m3 C 11, 781 m3 Lời giải Chọn A R OB = ⇒ ∆OHB tam giác nửa 2 · ⇒ HOB = 60° ⇒ ·AOB = 120° 1 Suy diện tích hình quạt OAB S = π R = π 3 Nhận xét OH = CH = 0,5 = Mặt khác S ∆AOB = 2S∆HOB = S ∆BOC = OB 3 ( ∆BOC đều) = 4 D 8,307 m3 Vậy diện tích hình viên phân cung AB π− 1 3 Suy thể tích dầu rút là: V1 =  π − ÷ ÷ 3  Thể tích ban đầu: V = 5.π = 5π Vậy thể tích cịn lại là: V2 = V − V1 = 12, 637m Câu [2H2-3] Từ miếng tơn hình vng cạnh 4dm , người ta cắt hình quạt tâm O bán kính OA = 4dm ( xem hình) để cuộn lại thành phễu hình nón (khi OA trùng với OB ) Chiều cao phễu có số đo gần (làm trịn đến chữ số thập phân) A 3,872 dm B 3,874 dm C 3,871 dm Lời giải Chọn D Ta có cung AB có độ dài π = 2π D 3,873 dm Dựa vào đề ta thấy tạo thành hình nón đỉnh O , đường sinh OA Để cuộn lại thành phễu hình nón (khi OA trùng với OB ) chi vidduowfng trịn đáy độ dài cung AB 2π Khi bán kính đáy C = 2π R = 2π ⇒ R = Xét tam giác OIA vuông I có OA = dm , IA = R = dm Câu h = OI OI = OA2 − IA2 = 42 − 12 = 15 ⇒ OI = 15 ≈ 3,873 dm Vậy h = 3,873 dm [2H2-3] Một khúc gỗ có dạng hình khối nón có bán kính đáy r = 2m , chiều cao h = 6m Bác thợ mộc chế tác khúc gỗ có dạng hình khối trụ hình vẽ Gọi V thể tích lớn khúc gỗ hình trị sau chế tác Tính V A V = 32π (m ) B V = 32π (m ) C V = 32 (m ) Lời giải Chọn A Giả sử khối trụ có bán kính đáy đường cao r , h′ ( < x < 2; < h′ < ) Ta có: h′ − x = ⇔ h′ = − x D V = 32π (m ) 2 Thể tích khối trụ: V = π x h′ = π x ( − x ) = 6π x − 3π x x = ⇒ V ′ ( x ) = 12π x − 9π x ⇒ V ′ ( x ) = ⇔  x =  32π Khi ta suy với x = V đạt giá trị lớn V = (m ) [2H2-3] Hình bên cho ta hình ảnh đồng hồ cát với kích thước kèm theo OA = OB Câu Khi tỉ số tổng thể tích hai hình nón ( Vn ) thể tích hình trụ ( V1 ) A B C D Lời giải Chọn D 1h π R 2h π R2 = 32 π R2 h π R 2h Tổng thể tích hai khối nón Vn = = Thể tích khối trụ V = π R h V Vậy n = V [2H2-3] Cần xẻ khúc gỗ hình trục so đường kính d = 40 cm chiều dài h = cm thành xà hình chữ nhật có chiều dài Lượng gỗ bỏ tối thiểu xấp xỉ là: A 1, m3 B 0, 014 m3 C 0,14 m3 D 0, m3 Thể tích khối nón V1 = Câu Lời giải Chọn C Lượng gỗ bỏ tối thiểu ⇔ thể tích xà lớn ⇔ diện tích đáy xà lớn ⇔ đáy hình vng nội tiếp đường trịn đáy Hình vng có đường chéo đường kính đường trịn đáy 2  0,  Vtru = π R h = π  ÷ 3; S hh = ( 0, )   Vhh = Shh h = ( 0, ) 3;Vgo bo di = Vtru − Vhh ≈ 0,14 m3 [2H2-3] Người ta thiết kế thùng chứa hình trụ ( hình vẽ) tích V định Biết giá vật liệu làm mặt đáy nắp thùng đắt gấp lần so với giá vật liệu để làm mặt xung quanh thùng h h h h A = B = C = D = r r r r Câu Lời giải Chọn D Khơng tính tổng qt, giả sử thể tích hình trụ V = giá cho đơn vị diện tích h Theo ta có h = ⇒ = πr r πr Diện tích xung quanh hình trụ S1 = 2π r.h = 2π r = πr r Diện tích mặt đáy S = π r Câu 1 2 Suy giá vật liệu để làm hình trụ f = + 3.1.2π r = + + 6π r ≥ 3 12π r r r 1 h 1 = 6π r ⇔ r = ⇒ = 3= =6 Dấu xảy r 6π r πr π 6π [2H2-3] Học sinh A sử dụng xô đựng nước có hình dạng kích thước giống hình vẽ, đáy xơ hình trịn có bán kính 20 cm , miệng xơ đường trịn bán kính 30 cm , chiều cao xô 80 cm Mỗi tháng A dùng hết 10 xô nước Hỏi A phải trả tiền nước tháng, biết giá nước 20000 đồng /1 m3 (số tiền làm tròn đến đơn vị đồng)? A 35279 đồng B 38905 đồng C 42116 đồng D 31835 đồng Lời giải Chọn D Ta xét hình nón đỉnh A , đường cao h > 80 cm , đát đường tròn tâm O , bán kính 30 cm Mặt phẳng ( α ) cách mặt đáy 80 cm cắt hình nón theo giao tuyến đường trịn tâm O′ có bán kính 20 cm Mặt phẳng ( α ) chia hình nón thành phần Phần I phần chứa đỉnh A , phần II phần không chứa đỉnh A ( hình vẽ) OB′ AO′ AO′ = ⇔ = ⇔ AO′ = 160 cm Ta có OC AO AO′ + OO′ 3 Thể tích hình nón V = AO.π 30 = 72000π cm 64000 π cm3 Thể tích phần I V1 = AO′.π 20 = 3 Vậy thể tích xơ thể tích phần II là: V2 = V − V1 = 152000 19 π cm3 = π ( m3 ) 375 19π 10.20000 ≈ 31835 đồng 375 Câu 10 [2H2-4] Một công ty dự kiến chi tỉ đồng để sản xuất thùng đựng sơn hình trụ có dung tích lít Biết chi phí để làm mặt xung quanh thùng 100.000 đ /m , chi phí để làm mặt đáy 120.000 đ /m Hãy tính số thùng sơn tối đa mà cơng ty sản xuất ( giả sử chi phí cho mối nối khơng đáng kể) Vậy số tiền phải trả T = A 57582 thùng B 58135 thùng C 18209 thùng D 12525 thùng Lời giải Chọn B Gọi chiều cao hình trụ h ( h > ) ( m ) Bán kính đáy hình trụ x ( x > ) ( m ) 5 ⇒h= 1000 1000π x Diện tích xung quanh là: S xq = 2π xh = 100 x Diện tích hai đáy là: S d = 2π x Thể tích khối trụ là: V = π x h = ( m) 1000 + 240000π x ( x > ) x 1000 Ta có: f ′ ( x ) = − + 480000π x ⇒ f ′ ( x ) = ⇔ x = x 480π Bảng biến thiên: Số tiền cần làm thùng sơn là: f ( x ) = 109 ≈ 58135 thùng 17201.05 Câu 11 [2H2-3] Phần không gian bên chai nước có dạng hình bên Biết bán kính đáy R = cm , bán kính cổ r = cm, AB = cm , BC = cm , CD = 16 cm Thể tích phần khơng gian bên chai nước bằng: Vậy với số tiền tỷ đồng cơng ty sản xuất tối đa là: A 495π ( cm ) B 462π ( cm ) C 490π ( cm ) D 412π ( cm ) Lời giải Chọn C Thể tích khối trụ có đường cao CD : V1 = π R CD = 400π ( cm ) Thể tích khối trụ có đường cao AB : V2 = π r AB = 12π ( cm ) Ta có MC CF = = ⇒ MB = MB BE π R MC − r MB ) = 78π ( cm3 ) ( 3 Thể tích không gian bên là: V = V1 + V2 + V3 = 490π ( cm ) Thể tích phần giới hạn BC : V3 = Câu 12 [2H2-3] Cho hình trị có chiều cao nội tiếp hình cầu bán kính Tính thể tích khối trụ 20 π A 40π B 20π C D 36π Lời giải Chọn B Gọi R, r bán kính hình cầu bán kính đường trịn đáy hình trụ Gọi h chiều cao hình trụ h Theo ta có r = R −  ÷ = 32 − 22 = 2 Suy thể tích khối trụ V = π r h = π 5.4 = 20π Câu 13 [2H2-3] Cho hình trị có đường cao h = cm , bán kính đáy r = cm Xét mặt phẳng ( P ) song song với trục hình trụ, cách trụ cm Tính diện tích S thiết diện hình trụ với mặt phẳng ( P ) A S = 5 cm B S = cm C S = cm D S = 10 cm Lời giải Chọn D Giả sử mặt phẳng ( P ) cắt hình trụ theo thiết diện hình chữ nhật ABB′A′ hình vẽ Gọi OH ⊥ AB H , OH = cm Trong ∆OHA có HA = OA2 − OH = Khi AB = HA = Diện tích thiết diện tạo bới hình trụ với mặt phẳng ( P) là: S ABB′A′ = AB AA′ = 5.5 = 10 ( cm ) Câu 14 [2H2-3] Cho mặt cầu ( S ) bán kính R Một hình trụ có chiều cao h bán kính đáy r thay đổi nội tiếp mặt cầu Tính chiều cao h theo bán kính R cho diện tích xung quanh hình trụ lớn R R A h = R B h = R C h = D h = 2 Lời giải Chọn A Ta có OO′ = h; IA = R, AO = r ⇒ r = R − h2 Diện tích xung quanh hình trụ S = 2π rh = π h R − h ≤ π (Áp dụng BĐT ab ≤ h2 + 4R − h2 a + b2 ) Vậy S max = 2π R ⇔ h = R − h ⇔ h = R Câu 15 [2H2-3] Cho hình trụ ( T ) có chiều cao bán kinh Một hình vng ABCD có hai cạnh AB, CD hai dây cung hai đường tròn đáy Cạnh AD, BC khơng phải đường sinh hình trụ ( T ) Tính cạnh hình vng này? A C B Lời giải Chọn D Gọi cạnh hình vng a D 10 Gọi A1 hình chiếu vng góc A lên mặt phẳng chứa DC , AA1 ⊥ CD Lại có CD ⊥ AD nên suy CD ⊥ ( AA1 D ) ⇒ CD ⊥ A1 D Vậy A1C đường kính 2 2 Xét tam giác AA1 D vuông A1 có: a = + A1 D ⇒ A1 D = a − 10 Xét tam giác A1 DC vng D có: 36 = A1 D + a = a − + a ⇒ a = Câu 16 [2H2-3] Cho hình lăng trụ tam giác ABC A′B′C ′ có độ dài cạnh đáy a chiều cao h Tính thể tích V khối trụ ngoại tiếp lăng trụ cho A V = π a 2h B V = π a 2h C V = 3π a h D V = π a h Lời giải Chọn B Khối trụ ngoại tiếp tam giác có hình trịn đáy hình trịn ngoại tiếp tam giác đáy lăng trụ chiều cao chiều cao lăng trụ Tam giác cạnh a có bán kính đường trịn ngoại tiếp 3a  3a  π a h V = hS = h π Vậy thể tích khối trụ cần tìm  ÷ ÷ =   Câu 17 [2H2-3] Cho hai hình vng có cạnh xếp chồng lên cho đỉnh X hình vng tâm hình vng cịn lại Tính thể tích V vật thể trịn xoay quay mơ hình xung quanh trục XY A V = C V = ( ) 125 + π ( ) 125 + π 24 B V = D V = ( ) 125 + 2 π 12 ( ) 125 + π Lời giải Chọn C Cách Khối trịn xoay gồm phần: Phần 1: Khối trụ có chiều cao , bán kính đáy tích 2 125π 5 V1 = π  ÷ = 2 Phần 2: Khối nón có chiều cao bán kính đáy 5  V2 = π  ÷  ÷    125π  ÷ ÷ = 12   Khối 3: Khối nón cụt tích là: ( ) ( ) −   2  2 5  125 2 − π  ÷= ÷ + ÷ +   ÷ 2 2÷ 24      Vậy thể tích khối trịn xoay là: V3 = π V = V1 + V2 + V3 = Cách ( ) ( ) 125π 125π 125 2 − π 125 + π + + = 12 24 24 2 tích Thể tích khối trụ tạo thành từ hình vng ABCD 125π VT = π R h = Thể tích khối tịn xoay tạo thành từ hình vng XEYF 125π V2 N = π R h = Thể tích khối trịn xoay tạo thành từ tam giác XDC 125π VN ′ = π R h = 24 Thể tích cần tìm V = V + V − V ′ = T 2N N ( 125π + ) 24 Câu 18 [2H2-3] Cắt hình nón đỉnh S mặt phẳng qua trục ta tam giác vuông cân có cạnh huyền a Gọi BC dây cung đường trịn đáy hình nón cho mặt phẳng ( SBC ) tạo với mặt phẳng đáy góc 60° Tính diện tích tam giác SBC A S = a2 B S = a2 C S = a2 Lời giải Chọn B ∆SAB vuông cân S , AB = a , SA = SB = a ⇒ OB = Gọi I trung điểm BC , ∆SBC cân S ⇒ SI ⊥ BC a = SO D S = a2 · Góc tạo ( SBC ) đáy SIO = 60° sin ·AOB = SO a = sin 60° ⇒ SI = SI BC = BI = SB − SI = 3a a2 SI BC = Câu 19 [2H2-3] Cho tam giác ABC cạnh a nội tiếp đường trịn tâm O , AD đường kính đường trịn tâm O Thể tích khối trịn xoay sinh cho phần tơ đậm (hình vẽ bên) quay quanh đường thẳng AD ⇒ S ∆SBC = A 23π a 3 126 B π a3 24 C 20π a 3 217 D 4π a 3 27 Lời giải Chọn A Khi quay tam giác ABC quanh trục AD khối nón tích là: 1  a  a a 3π V = π r h = π HC AH = π  ÷ = 3 2 24 4  a  3π a 3 V = π R = π AO = π  ÷ = 3  ÷ 27  23 3π a 216 Câu 20 [2H2-3] Xét hộp bóng bàn có dạng hình chữ nhật Biết hộp chứa vừa khsit ba bóng bàn xếp theo chiều dọc, bóng bàn có kích thước Phần khơng gian cịn trống hộp chiếm A 65, 09% B 47, 64% C 82,55% D 83,3% Thể tích khối trịn xoay cần tìm: V − N = Lời giải Chọn B Gọi đường kính bóng bàn d Khi kích thước hình hộp chữ nhật d , d , 3d Thể tích hình hộp chữ nhật V1 = d d 3d = 3d 4π d π d Thể tích ba bóng bàn V2 = π r = = πd3 π 3d − 3− Phần khơng gian cịn trống hộp chiếm: V2 − V1 = = = 47, 64% V1 3d Câu 21 [2H2-3] Một bóng bàn chén hình trụ có chiều cao Người ta đặt bóng lên chén thấy phần ngồi bóng có chiều cao thể tích bóng chén, đó: A 9V1 = 8V2 B 3V1 = 2V2 C 16V1 = 9V2 chiều cao Gọi V1 , V2 D 27V1 = 8V2 Lời giải Chọn A Gọi r1 bán kính bóng, r2 bán kính chén, h chiều cao chén Theo giả thiết ta có h = 2r1 ⇒ r1 = 2  h   h  3h Ta có r2 =  ÷ −  ÷ = 16 2 4 h r h OO′ = = 2 4  h  π h3 Thể tích bóng V1 = π r13 = π  ÷ = 3 2 Thể tích chén nước V2 = Bh = π r2 h = V π h3 ⇒ = 16 V2 Câu 22 [2H2-3] Người ta bỏ bóng bàn kích thước vào hộp hình trụ có đáy hình trịn có bán kính bán kính bóng bàn chiều cao lần đường kính bón bàn Gọi S1 tổng diện tích bóng bàn, S2 diện tích xung quanh hình trụ S1 là: S2 Tỉ số A B C D Lời giải Chọn C Gọi bán kính bóng bàn R ( R > ) Ta có chiều cao h hình trụ lần đường kính bóng bàn h = 5.2 R = 10 R 2 Khi đó: S1 = 5.4π R = 20π R S = 2π Rh = 2π R10 R = 20π R Vậy S1 =1 S2 Câu 23 [2H2-3] Cho hình chóp S ABCD có đáy hình chữ nhật, AB = 2a , BC = a , hình chiếu S a lên ( ABCD ) trung điểm H AD , SH = Diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S ABCD bao nhiêu? 16π a A 16π a B 4π a C Lời giải Chọn A 2π a D Gọi I ′ tâm đường tròn ngoại tiếp ∆SAD O tâm đường tròn ngoại tiếp ABCD I tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S ABCD Ta có SD = SA = SH + AH = a ⇒ ∆SAD ⇒ I ′A = 3 a= a 3 ⇒ R = IA = I ′A2 + I ′I = I ′A2 + HO = 2a 16π a Câu 24 [2H2-3] Cho hình chữ nhật ABCD có AB = 2a , BC = 3a Gọi M , N điểm cá cạnh AD , BC cho MA = 2MD , NB = NC Khi quay quanh AB , đường gấp khúc AMNB , Vậy S = 4π R = ADCB sinh hình trụ có diện tích tồn phần S1 , S Tính tỉ số A S1 12 = S 21 B S1 = S2 C S1 = S2 D S1 S2 S1 = S 15 Lời giải Chọn D Hình trụ có diện tích tồn phần S1 , đường sinh MN = 2a bán kính đường trịn đáy AM = 2a 2 Diện tích tồn phần S1 = 2π AM MN + 2π AM = 16π a Hình trụ có diện tích tồn phần S đường sinh DC = 2a bán kính đường trịn đáy AD = 3a 2 Diện tích toàn phần S = 2π AD.DC + 2π AD = 30π a S1 16π a = = Vậy S 30π a 15 ... xung quanh trục XY A V = C V = ( ) 125 + π ( ) 125 + π 24 B V = D V = ( ) 125 + 2 π 12 ( ) 125 + π Lời giải Chọn C Cách Khối tròn xoay gồm phần: Phần 1: Khối trụ có chi? ??u cao , bán kính đáy... đáy tích 2 125 π 5 V1 = π  ÷ = 2 Phần 2: Khối nón có chi? ??u cao bán kính đáy 5  V2 = π  ÷  ÷    125 π  ÷ ÷ = 12   Khối 3: Khối nón cụt tích là: ( ) ( ) −   2  2 5  125 2 −... Câu 12 [2H2-3] Cho hình trị có chi? ??u cao nội tiếp hình cầu bán kính Tính thể tích khối trụ 20 π A 40π B 20π C D 36π Lời giải Chọn B Gọi R, r bán kính hình cầu bán kính đường trịn đáy hình trụ