HSG toan 8 dang 10 BIEN DOI BIEU THUC HUU TI

Giaovienvietnam.com DẠNG 10: BIỂU THỨC HỮU TỈ A Bài minh họa  − x3  − x2 A= − x ÷: − x − x − x + x3   Bài 1: Cho biểu thức : a) Rút gọn biểu thức A b) Tính giá trị biểu thức A A < c) Tìm giá trị để x Bài 2: Cho ( a − b) Chứng minh Bài 3: Cho 2 chứng minh : A= A 2) Tính giá trị a + b3 + c3 = 3abc 2x − x + 2x + − − x − 5x + x − − x biết x − x = A 3) Có giá trị x a=b=c Bài 4: Cho biểu thức: 4) Tìm + ( b − c ) + ( c − a ) = 4.( a + b + c − ab − ac − bc ) a + b + c = 0, 1) Rút gọn x = −1 ( x ≠ ±1) nguyên để x A để A =1 không ? nhận giá trị số nguyên − x  − 2x  A= + − : 2 ÷ − x x + 1 − x x −1   Bài 5: Cho biểu thức a) Rút gọn biểu thức A b) Tìm giá trị nguyên c) Tìm x để A=A Bài 6: Cho biểu thức a) Rút gọn Q x để biểu thức A nhận giá trị nguyên  x3 − x  x +1 Q =1+  − − ÷: 2  x +1 x − x −1 x +1 x − x + x Giaovienvietnam.com b) Tính giá trị Q biết x− c) Tìm giá trị nguyên x để = 4 Q có giá trị nguyên  ( a − 1) − 2a + 4a  a + 4a M = − : a − 4a a + a − ( )     Bài 7: Cho biểu thức a) Rút gọn b) Tìm a M để M >0 c) Tìm giá trị a để biểu thức M đạt giá trị lớn Bài 8: Cho x + y + z = x + y + z = Tính A = x Bài 10: Cho 3 a + b + c = a + b + c = 2 Tính B= n + 3n + 2n + 6n − n2 + + y 2015 + z 2015 S = a + b 2012 + c 2013 Bài 11: Tìm số tự nhiên n để: 2015 có giá trị số nguyên Bài 12: Chứng minh rằng: a b c + + =1 ab + a + bc + b + ac + c + a) biết abc = a + b + c = ab + bc + ca ( ) a + b + c = b) Với 4 2( x − y ) x y − + =0 3 2 x + y = xy ≠ y − x − x y + Bài 13: Cho Chứng minh rằng: 5x + Bài 14: Cho phân thức x + x a) Tìm điều kiện b) Tìm giá trị Bài 15: Cho biểu thức x x để giá trị phân thức xác định để giá trị phân thức Giaovienvietnam.com 2x − 2x −  21 + x − x  P= + − +1 ÷: 2 x − 12 x + 13 x − x − 20 x − x + x −   a) Rút gọn P b) Tính giá trị P x= c) Tìm giá trị nguyên d) Tìm x để P > Bài 16: a) Rút gọn biểu thức : b) Cho x để P nhận giá trị nguyên x2 + x − x3 − x − 18 x + 1 + + = ( x, y , z ≠ ) x y z Tính yz xz xy + + x2 y2 z x2 − x − 2x − A= + − x − x − x + 10 x − Bài 17: Thực phép tính: Bài 18: Cho x, y , z 1 + + =0 x y z đôi khác A= Tính giá trị biểu thức: Bài 19: Cho ba số yz xz xy + + x + yz y + xz z + xy khác đôi khác 0, đồng thời thỏa mãn diều kiện a, b, c  a  b  c  a+b b+c c+a A =  + ÷ + ÷ + ÷ = =  b  c  a  c a b Tính giá trị biểu thức: Bài 20: Cho x ( m + n) = y ( n + p ) = z ( p + m) x, y, z la số khác khác 0, Chứng minh rằng: m−n n− p p−m = = x( y − z ) y ( z − x ) z ( x − y ) 3x3 − 14 x + x + 36 A= 3x − 19 x + 33 x − Bài 21: Cho biểu thức a) Tìm giá trị x để biểu thức A xác định b) Tìm giá trị x để biểu thức A có giá tri c) Tìm giá trị nguyên x dể biểu thức A có giá trị nguyên Giaovienvietnam.com Bài 22: x + y ) ( x − x y + xy − y ) = x − y ( a) Chứng minh : b) Tìm a, b, c biết: a + b + c = ab + bc + ac a + b + c = Bài 23: Cho biểu thức: 2 8  x2 y2 − x2 y2  x+ y P = − + − ÷ x  x + xy xy xy + y  x + xy + y a) Rút gọn biểu thức P với x ≠ 0; y ≠ 0; x ≠ − y b) Tính giá trị biểu thức P, biết x, y thỏa mãn đẳng thức: x + y + 10 = ( x − y ) a2 b2 c2 a b c + + =0 + + = Bài 24: Cho b + c c + a a + b Chứng minh rằng: b + c c + a a + b   10 − x   x A= + + ÷:  x − + ÷ x+2   x −4 2− x x+2  Bài 25: Cho biểu thức: a) Rút gọn biểu thức A x= b) Tính giá trị A, biết c) Tìm giá trị x để A < d) Tìm giá trị nguyên x để A có giá trị nguyên 2000 + b 2000 = a 2001 + b 2001 = a 2002 + b 2002 Tính : a 2013 + b2014 Bài 26: Cho a, b dương a A=  x2  x2 + − ÷+  x − 3 x  Bài 27: Cho biểu thức a) Rút gọn biểu thức A b) Tìm giá trị x để A đạt giá trị nhỏ nhất, tìm giá trị nhỏ Bài 28: Cho số a, b, c khác 0, thỏa mãn ( a + b + c )  M = ( a 2015 + b 2015 ) ( b 2017 + c 2017 ) ( c 2019 + a 2019 ) 1 1 + + ÷ = a b c  Tính giá trị biểu thức Bài 29: Cho a, b, c đôi khác khác Chứng minh rằng: a b   a−b b−c c−a  c + + + +  ÷. ÷= c a b a − b b − c c − a     a + b + c = Nếu   x −8   x−4 P= + ÷: 1 − ÷ ( x ≠ 1) x − x − x + x +     Bài 30: Cho biểu thức a) Rút gọn biểu thức P b) Tính giá trị P x nghiệm phương trình x − x + =  x + x − x − x −  x + 2013 A= − + ÷ x −1 x + x2 −  x  Bài 31: Cho biểu thức : a) Tìm điều kiện x để biểu thức xác định b) Rút gọn biểu thức A c) Tìm giá trị nguyên x để biểu thức A nhận giá trị nguyên − x  − 2x  A= + − : 2 ÷ − x x + 1 − x x −1   Bài 32: Cho biểu thức : a) Rút gọn biểu thức A b) Tìm giá trị nguyên x để bểu thức A nhận giá trị nguyên A + A=0 c) Tìm x để Giaovienvietnam.com a − b ) + ( b − c ) + ( c − a ) = 210 Bài 33: Cho số nguyên a, b, c thỏa mãn ( B = a −b + b−c + c −a Tính giá trị biểu thức 3 Bài 34: a) Cho x + y + z = xyz Hãy rút gọn phân thức : 3 P= ( x + y) ( xyz y + z) ( z + x) 14 + 54 + 94 + 174 + M= 4 + + 11 + 19 + b) Tìm tích: c) Cho x = by + cz; y = ax + cz; z = ax + by x + y + z ≠ 0; xyz ≠ 1 + + =2 + a + b + c CMR: 1 yz xz xy + + = 0, P= + + x y z d) Cho x y z tính giá trị biểu thức  x +1 x2 + x − x2  P= : − + ÷ x − 2x +  x − x x2 − x  Bài 35: Cho biểu thức : a) Rút gọn biểu thức P b) Tìm x để P < c) Tìm giá trị nhỏ P x > Bài 36:  x2 − x  2 x2 A= − − − ÷ ÷ x + 8 − x + x − x x x    a) Rút gọn biểu thức sau: b) Chứng minh rằng: a( b − c) ( b + c − a) + c( a − b) ( a + b − c) = b( a − c) ( a + c − b) 2 Bài 37: 2 x + y + z = xy + yz + zx x = y = z a) Chứng minh rằng: Nếu a b2 c a c b + 2+ 2= + + a , b , c b c a c b a b) Cho ba số khác thỏa mãn : Chứng minh a = b = c B= Bài 38: Rút gọn biểu thức x3 − y − z − xyz ( x + y) + ( y − z) + ( x + z) 2 Giaovienvietnam.com x +1 x+3   A= + − ÷:  x − 2x − 2x +  4x − Bài 39: Cho biểu thức a) Hãy tìm điều kiện x để giá trị biểu thức A xác định biến x b) Chứng minh giá trị biểu thức xác định khơng phụ thuộc vào giá trị Bài 40: a) Cho a, b, c đôi khác thỏa mãn: ab + bc + ca = ( a + b) ( b + c) ( c + a) A= 2 (1+ a ) (1+ b ) (1+ c ) Tính giá trị biểu thức 2 x + y = a + b  x + y = a2 + b2 b) Cho  Chứng minh với số nguyên dương n ta có: x + y = a + b n n n n Bài 41: a −1 b + c − = = a) Tìm a, b, c biết 5a − 3b − 4c = 46 a + b = ab = a : b ( b ≠ ) b) Tìm số hữu tỉ a b biết: 1 + + = 2 c) Cho a + b + c = a b c Tính a + b + c 1 1 + + = d) Cho a + b + c = 2014 a + b a + c b + c 2014 a b c S= + + b+c a+c a +b Tính Bài 42: a) Chứng minh biểu thức sau không phụ thuộc vào biến: ( x + ) ( x − 3) − ( x + 1)  x −  7 ÷ 4 x− y x − y = xy ( x + y ≠ 0; y ≠ ) x + y b) Tính giá trị biểu thức Biết  xy  1 A= : + 2  2 ÷ y −x y −x y + xy + x  Bài 43: Cho biểu thức : a) Tìm điều kiện x, y để giá trị A xác định b) Rút gọn A 2 c) Nếu x, y số thực làm cho A xác định thỏa mãn: 3x + y + x − y = 1, tìm tất giá trị nguyên dương A  x2 − 2x  2 2x2 A= − 1− − ÷ ÷ x + 8 − x + x − x x x    P= Bài 44: Cho biểu thức : a) Tìm x để giá trị A xác định Rút gọn biểu thức A b) Tìm giá trị nguyên x để A nhận giá trị nguyên Giaovienvietnam.com x − x − x + 8x − x + + 4x2 − x3 + P= Bài 45: Cho biểu thức : a) Rút gọn P b) Tìm giá trị x để P =  − x3  − x2 A= − x ÷: x ≠ −1;1) 3( − x − x − x + x   Bài 46: Cho biểu thức a) Rút gọn biểu thức A b) Tính giá trị biểu thức A c) Tìm giá trị x để A < x = −1 2  x +1  x − A= −  − x − 1÷ :  x  3x x +  3x Bài 47: Cho biểu thức: a) Rút gọn A b) Tìm giá trị nguyên x để Bài 48: Cho biểu thức: 5) Rút gọn A A= A có giá trị nguyên 2x − x + 2x + − − x − 5x + x − − x 6) Tính giá trị A biết x − x = 7) Có giá trị x để A = khơng ? 8) Tìm x ngun để A nhận giá trị số nguyên 2   10 − x   x A= + + : x − + ÷ ÷ x −4 2− x x+ 2  x+2   Bài 49: Cho biểu thức : a) Rút gọn biểu thức A x= b) Tính giá trị A, biết c) Tìm giá trị x để A < d) Tìm giá trị nguyên x để A có giá trị nguyên  x2   10 − x  M = + + : x − + x + ÷ x − x − x x +     Bài 50: Cho biểu thức a) Rút gọn M b) Tính giá trị M x= 2   10 − x   x A= + + : x − + ÷ ÷ x −4 2− x x+ 2  x+2   Bài 51: Cho biểu thức a) Rút gọn biểu thức A Giaovienvietnam.com b) Tính giá trị A biết c) Tìm giá trị x để A < d) Tìm giá trị ngun x để A có giá trị nguyên x= a − 4a − a + P= a − 7a + 14a − Bài 52: Cho a) Rút gọn P b) Tìm giá trị nguyên a để P nhận giá trị nguyên 2+ x x2 − x  x2 − 3x A= − − ÷: 2 − x x − + x x − x3   Bài 53: Cho biểu thức : a) Tìm ĐKXĐ rút gọn biểu thức A b) Tìm giá trị x để A > c) Tính giá trị A trường hợp x−7 =4 − x  2x − 2x  x P= + − ÷:  x − 25 x + x  x + x − x Bài 54: Cho biểu thức : a) Rút gọn biểu thức P Tìm giá trị nguyên lớn x để P có giá trị số nguyên  x3 − y x2 − y    P= + : − ÷  ÷ x + y   y2x x2 y   x + xy + y Bài 55 Cho biểu thức : a) Rút gọn biểu thức P 2 P x, y thỏa mãn ; x + y = 6; x + y = 26 \ c) Nếu x; y số thực dương làm cho P xác định thỏa mãn: x + y = Hãy tìm giá trị b) Tính giá trị biểu thức lớn biểu thức P  − x3  − x2 A= − x ÷: − x − x − x + x3   Bài 56 Cho biểu thức ( x ≠ ±1) a) Rút gọn biểu thức A b) Tìm giá trị x để A <  x2 − x  2 2x2 A= − ÷. − − ÷ x + 8 − x + x − x3   x x   Bài 57 Rút gọn biểu thức sau: Bài 58 Chứng minh rằng: a( b − c) ( b + c − a) + c( a − b) ( a + b − c) = b( a − c) ( a + c − b) Bài 59 Biết 4a + b = 5ab với 2a > b > Tính giá trị biểu thức: 2 C= ab 4a − b 2 Giaovienvietnam.com 6x +   Q= + − ÷: ( x + ) x + x + x − x +   Bài 60 Cho biểu thức : a) Tìm điều kiện xác định Q, rút gọn Q b) Tìm x Q= c) Tìm giá trị lớn biểu thức Q ab + bc + ca + = = c a Chứng minh a = b = c Bài 61 Cho abc ≠ ±1 b Bài 62 Rút gọn biểu thức : A= 1 1 + + + + a + a a + 3a + a + 5a + a + a + 12 a + 9a + 20 Bài 63 Cho x, y hai số thay đổi thỏa mãn điều kiện x > 0, y < x + y = A= a) Rút gọn biểu thức y − x  y2 2x y : − xy  ( x − y ) x2 − y2 ( ) + x2   y − x  b) Chứng minh rằng: A < - Bài 64 Cho ba số x, y, z thỏa mãn điều kiện: 4x2 + 2y2 + 2z2 – 4xy – 4xz + 2yz – 6y – 10z + 34 = 0, Tính gia trị biểu thức T = (x – 4)2014 + (y – 4)2014 + (z – 4)2014 Bài 65 Cho x, y hai số thay đổi thỏa mãn điều kiện x > 0, y < x + y = y − x  y2 2x y A= : − xy  ( x − y ) x2 − y2 a) Rút gọn biểu thức ( ) x2  +  y − x  b) Chứng minh rằng: A < - Bài 66 Cho ba số x, y, z thỏa mãn điều kiện: 4x2 + 2y2 + 2z2 – 4xy – 4xz + 2yz – 6y – 10z + 34 = 0, Tính gia trị biểu thức T = (x – 4)2014 + (y – 4)2014 + (z – 4)2014 a + a − a − 2a − Q= a + a − a − 4a − Bài 67 Cho a) Rút gọn M b) Xác định a để Qmin Bài 68 Cho x= a b c ,y= ,z = b+c a+c a + b Tính A = yz + zx + xy + xyz  x + x − x + x − x +  x ( x + 1) − (1 + x ) P= − + ÷ x2 − x +1 x −1  x3 −  Bài 69 Cho biểu thức: Giaovienvietnam.com a) Rút gọn P b) Tìm giá trị nguyên x để P nhận giá trị nguyên ? Cho biểu thức: Bài 70: Cho ba số x, y, z đôi khác nhau, thỏa mãn x3 + y3 + z3 = 3xyz xyz ≠ Tính giá trị biểu thức: B= 16( x + y ) 3( y + z ) 2038( z + x) + − z x y  x3 + x − x x + x  x − x M = − + ÷ x −1 x −  2x + x − 2x −  Bài 71 Cho biểu thức: a) Tìm điều kiện x để biểu thức M có nghĩa b) Rút gọn biểu thức M c) Tìm giá trị nguyên x để biểu thức M có giá trị nguyên 1 + x = 14 ( x ≠ ) + x3 Bài 72 Cho x Hãy tính giá trị biểu thức x Bài 73 Tính tổng S= 1 + + + + − x + x + x + x + x8 Bài 74 Cho a, b, c số thỏa mãn a 2009 + b 2009 + c 2009 = ( a + b + c ) ( a + b + c ) ( ab + bc + ca ) = abc 2009 y x + y ) ≠ x − xy = y Tính Bài 75: a) Cho x, y thỏa mãn ( B= b) Tính 2.1 + 1.( + 1)  + Chứng minh rằng: 2.2 +  2.( + 1)  + 2.3 + 3.( + 1)  A= + + 3x − y x+ y 2.99 + 99.( 99 + 1)  Bài 76 a) Tính giá trị biểu thức A = x − 17 x + 17 x − 17 x + 20 x = 16 b) Cho x + y = a xy = b Tính giá trị biểu thức sau theo a b: B = x + y  − x3  − x2 A= − x ÷: ( x ≠ −1;1) 1− x − x − x + x3   Bài 77 Cho biểu thức a) Rút gọn biểu thức A b) Tính giá trị biểu thức c) Tìm giá trị x = −1 x để A < Bài 78 Cho ba số a, b, c thỏa mãn abc = 2004 Giaovienvietnam.com n -2 Vì n ∈ N nên chọn n ∈ { 3; 4;5} Thử lại: + Với n = , ta có: + Với n = , ta có: + Với n = , ta có: KL : A= 5.3 − 11 = −4 ∉ N 4.3 − 13 ( Loại ) A= 5.4 − 11 = 3∈ N 4.4 − 13 ( Nhận ) A= 5.5 − 11 = 2∈ N 4.5 − 13 ( Nhận ) n ∈ { 4;5} b) Tính tổng Ta có: S ( n) = S ( n) = 1 + + + 2.5 5.8 ( 3n − 1) ( 3n + )  1 3 1 =  + + + + + +  ( 3n − 1) ( 3n + )  2.5 5.8 ( 3n − 1) ( 3n + )  2.5 5.8 1 1 1 1  1 1  n =  − + − + + − ÷=  − ÷= 3 5 3n − 3n +   3n +  ( 3n + ) Bài 301: Cho x, y, z thỏa điều kiện x + y + z = xy + yz + zx = Hãy tính giá trị biểu thức: S = ( x − 1) 2017 + y 2018 + ( z + 1) Lời giải x + y + z = ⇔ ( x + y + z) = Ta có: ⇔ x + y + z + ( xy + yz + zx ) = ⇔ x + y + z = ( Vì xy + yz + zx = ) ⇔ x= y=z=0 Suy S = ( − 1) 2017 + 02018 + ( + 1) 2019 =0 Vậy, S = x + y + z = xy + yz + zx = Bài 302: Cho x2 y2 x2 y P= − − ( x + y ) ( 1− y) ( x + y ) ( 1+ x) (1 + x) (1− y ) a) Tìm ĐKXĐ P , rút gọn P b) Tìm x, y nguyên thỏa mãn phương trình P = 2019 17 Giaovienvietnam.com Lời giải a) Tìm ĐKXĐ P , rút gọn P + ĐKXĐ : x + y ≠ 0,1 − y ≠ 0,1 + x ≠ ⇔ x ≠ − y, y ≠ 1, x ≠ −1 P= + Rút gọn : x2 ( + x ) − y ( − y ) − ( x + y ) x2 y = x + xy − y ( x + y ) ( 1− y ) ( 1+ x) Vậy, P = x + xy − y với x ≠ − y , y ≠ 1, x ≠ −1 b)Tìm x, y nguyên thỏa mãn phương trình P = P = ⇔ x + xy − y = ⇔ x ( + y ) − ( + y ) = Ta có : ⇔ ( + y ) ( x − 1) = 1 + y = ⇔  x − = 1 + y = −1   x − = −1 x = x = ⇔   y =  y = −2 ( thỏa ĐKXĐ ) x = x = P=2⇔  y =  Vậy,  y = −2 Bài 303: Rút gọn biểu thức: a) b) M= ( x + 1) ( x + ) ( x + 3) ( x + ) + x2 + 5x + 1 16 + + + + + − x + x + x + x + x + x16 N= Lời giải a) 2 x + 1) ( x + ) ( x + 3) ( x + ) + ( x + x + ) ( x + x + ) + ( M= = x2 + 5x + (x = b) x2 + 5x + + 5x + 4) + ( x2 + 5x + 4) + x + 5x + (x = + 5x + 5) x + 5x + 2 = x2 + 5x + 1 16 + + + + + − x + x + x + x + x + x16 N= = 2 16 4 16 + + + + = + + + 2 16 4 − x + x + x + x16 1− x 1+ x 1+ x 1+ x 1+ x = 8 16 + + 8 − x + x + x16 = 32 − x32 = 16 16 + 16 1− x + x16 Giaovienvietnam.com 4 Bài 304: Cho a + b + c = a + b + c = Tính giá trị biểu thức M = a + b + c 2 Lời giải Ta có : 12 = ( a + b + c ) ⇔ = a + b + c + ( a 2b + b c + c a ) ⇔ a + b + c = − ( a 2b + b c + c a ) a + b + c = ⇒ ( a + b + c) = Ta lại có : ⇒ a + b + c + ( ab + bc + ca ) = ⇒ ab + bc + ca = 2 − ( a2 + b2 + c2 ) 1 ⇒ ab + bc + ca = − ⇒ ( ab + bc + ca ) = ⇒ a 2b + b c + c a + 2abc ( a + b + c ) = ⇒ a 2b + b c + c a = 1 M = a + b + c = − = Do đó, Bài 305: Cho phân thức A= x4 − x2 + x − 3x − a) Rút gọn A b) Tính x để A < Lời giải c Rút gọn A x − x − = = ( x + 1) Ta có ĐKXĐ: d x − x + = = ( x − 1) ( x − 1) ( x + 1) A= ( x + 1) ( x − ) Vậy, ( x − 2) x3 − x − ≠ ⇔ ( x + 1) Ta lại có: Suy ( x − 1) A= ( x − ) ≠ ⇔ x ≠ −1 ( x − 1) = ( x + 1) 2 x−2 x − với x ≠ −1 x ≠ Tính x để A < Ta có: A < ( x − 1) ⇒ x2 − 2x + thỏa mãn: 3a + 3b = 10ab Tính Vì a > b > nên C= a−b >0 a+b C= a −b a+b a + b2 + c2 ( xy ≠ ) Giaovienvietnam.com ( a − 2ab + b ) ( a + b ) − 6ab 10ab − 6ab 4ab a − 2ab + b  a −b  C2 =  = = = = = ÷ = a + 2ab + b ( a + 2ab + b ) ( a + b ) + 6ab 10ab + 6ab 16ab  a+b Xét Suy Vậy, C= C= 2 2 2 C > với a > b > thỏa mãn: 3a + 3b = 10ab  x + 3x   6x  P= + − ÷:  ÷ 2 x + x + x + 27 x +   x − x − 3x + x − 27   Bài 307: Cho biểu thức: e Rút gọn P ; f Với x > P khơng nhận giá trị nào? c)Tìm giá trị nguyên x để P có giá trị nguyên Lời giải a) Rút gọn P ĐKXĐ: x ≠ ±3  x ( x + 3)    6x    P= + : − 2  ( x + 3) ( x + ) x +   x − ( x − ) ( x + )  Ta có: x+3 x2 + − 6x x + ( x − 3) ( x + ) x + = : = = x + ( x − 3) ( x + ) x + x−3 ( x − 3) Vậy, P= x+3 , x ≠ ±3 x−3 b)Với x > P khơng nhận giá trị nào? Ta có: P= x+3 , x ≠ ±3 x−3 ⇒ P ( x − 3) = x + ⇒ x ( P − 1) = ( + P ) ⇒ x = x>0⇔ Với ( P + 1) P −1 ( P + 1) P > P +1 >0⇔ >0⇔  P −1 P −1  P < −1 P ∉ [ −1;1] Vậy, với x > P khơng nhận giá trị từ (-1) đến 1, tức c) Tìm giá trị nguyên x để P có giá trị nguyên Ta có: P= x+3 , x ≠ ±3 x−3 Giaovienvietnam.com x −3+ 6 = = 1+ ∈Z x−3 x−3 x − ∈ U ( ) = { ±1; ±2; ±3; ±6} Suy Lập bảng : x −3 x Vậy, -6 -3 x ∈ { 0;1; 2; 4;5;6;9} -3 -2 -1 M N 32 x − 19 + = Bài 308: Cho x + x − x − x − Tính M N ? Lời giải ĐKXĐ : x ≠ −1, x ≠ Ta có : M ( x − ) + N ( x + 1) 32 x − 19 = ( x + 1) ( x − ) ( x + 1) ( x − ) ⇒ M ( x − ) + N ( x + 1) = 32 x − 19 ⇔ ( M + N ) x + ( N − 2M ) = 32 x − 19 ⇒ M + N = 32, − 2M + N = −19 ⇔ M = 17, N = 15 ⇒ M N = 255 Vậy, M N = 255 với x ≠ −1, x ≠ Q = 1+ Bài 309: Cho biểu thức:  x2 x+3 3x  : − −  ÷ 2 x + x +  x − x 3x − 12 x +  a) Rút gọn Q ; b) Tìm giá trị x để Q = 0, Q = ; c) Tìm giá trị x để Q > Lời giải Rút gọn Q : d Q = 1+ Ta có: x+3 ( x + ) ( x + 3)  8x 3x  :  − − ÷ ÷  4x ( x − 2) 3( x − 2) ( x + 2) x +  ĐKXĐ: x ≠ 0, x ≠ ±2, x ≠ −3 Q = 1+ Suy Vậy, e Q= ( x + 2)  x  x+4 :  − − = = ÷ ÷  ( x − 2) ( x − 2) ( x + 2) x +  x+4 với x ≠ 0, x ≠ ±2, x ≠ −3 Tìm giá trị x để Q = 0, Q = 6 Giaovienvietnam.com x+4 Q=0⇔ = ⇔ x = −4 Ta có ( thỏa ĐKXĐ ) Ta có: Q =1⇔ x+4 =1⇔ x = ( không thỏa ĐKXĐ ) Vậy, x = −4 Q = không tồn x để Q = Tìm giá trị x để Q > f Ta có: Q>0⇔ x+4 > ⇔ x > −4 Kết hợp với ĐKXĐ, ta có: Q > ⇔ x > −4 x ≠ 0, x ≠ ±2, x ≠ −3 Bài 310: Cho phân thức: A= a + 4a + a + a − 4a − a)Rút gọn A ; b)Tìm a ∈ Z để A có giá trị nguyên Lời giải Rút gọn A : c ( a + 2) ( a + 2) a + 4a + A= = = a + 2a − a − a ( a + ) − ( a + ) ( a + ) ( a − ) Ta có: ĐKXĐ: a ≠ ±2 A= Khi đó, d Để a − với a ≠ ±2 Tìm a ∈ Z để A có giá trị nguyên A= a = a − = ±1 ⇔   a = (thỏa ĐKXĐ) a − có giá trị nguyên với a ∈ Z a ≠ ±2 Vậy, a = a = A nhận giá trị nguyên   1      M =  x − ÷:  x + ÷  x − ÷:  x + ÷ = a x   x  x   x  theo a  Bài 311: Cho  Tính Lời giải    x4 −1 a +1  a =  x − ÷:  x + ÷ = ⇔ ⇔ x = ( a ≠ 1) x   x  x +1 1− a  Ta có: Thay x4 = a +1 2a M = ,a ≠1 ( a ≠ 1) a +1 1− a vào M , rút gọn ta Giaovienvietnam.com ab bc ca = = Bài 312: a) Cho a, b, c ba số dương khác thỏa mãn: a + b b + c c + a ( Với giả thiết tỉ số có nghĩa ) Tính: M= ab + bc + ca a + b2 + c2 b) Tìm số tự nhiên n khác 0, biết:     1 − ÷1 − ÷ 1 −  2.3   3.4   n ( n + 1)  2017 ÷ ÷ = 6045        M = 1 + ÷ + ÷ + ÷  + ÷  1.3   2.4   3.5   2017.2019  c) Tính: Lời giải ab bc ca = = a) Cho a, b, c ba số dương khác thỏa mãn: a + b b + c c + a ( Với giả thiết tỉ số có nghĩa ) Tính: M= ab + bc + ca a + b + c2 ab bc ca a+b b+c c+a = = ⇒ = = ab bc ca Ta có: a + b b + c c + a ⇔ Khi đó, M= Vậy, M = 1 1 1 1 1 + = + = + ⇔ = = ⇔a=b=c≠0 b a c b a c a b c ab + bc + ca 3a = =1 a + b + c 3a ⇔ ab bc ca = = a + b b + c c + a với a, b, c ba số dương khác b) Tìm số tự nhiên n khác 0, biết: Ta có:     − −  ÷ ÷ 1 −  2.3   3.4   n ( n + 1)     1 − ÷1 − ÷ 1 −  2.3  3.4   n ( n + 1) =  2017 ÷ ÷ = 6045   10 18 n ( n + 1) − ÷ ÷ = 2.3 3.4 4.5 n ( n + 1)  1.4 2.5 3.6 ( n − 1) ( n + ) 1.2.3.4 ( n − 1) 4.5.6 ( n + ) n + = = 2.3 3.4 4.5 n ( n + 1) 2.3.4 n 3.4.5 ( n + 1) 3n n + 2017 = 6045 ⇔ n = 2015 Khi đó, ta có: 3n Vậy, n = 2015       M = 1 + ÷ + ÷1 + ÷ 1 + ÷  1.3   2.4   3.5   2017.2019  c) Ta có: Giaovienvietnam.com     16   2017.2019 +   2.2   3.3   4.4   2018.2018  =  ÷ ÷ ÷  ÷ =  ÷ ÷ ÷  ÷  1.3  2.4   3.5   2017.2019   1.3   2.4   3.5   2017.2019  = Vậy, M= 2.3 2018 2.3 2018 2018 = 2018 = 2.3.4 2017 2.3.4 2019 2019 2019 2018 2019 ( ab − ) a b + = 2 Bài 313: Cho a + b = ab ≠ Chứng minh: b − a − a b + 3 Lời giải Với a + b = ab ≠ , ta có: a ( a − 1) + b ( b3 − 1) ( a + b ) − ( a + b ) a + b ) − 2a 2b − ( a b + = = = b3 − a − ( a3 − 1) ( b3 − 1) a3b3 − ( a3 + b3 ) + a3b3 − ( a + b ) + 3ab ( a + b ) + 2 ( a + b ) − 2ab  − 2a 2b −  = 3 a b + 3ab ( Vì a + b = ab ≠ ) = = − 4ab + 4a 2b − 2a b2 − ab ( a 2b + 3) 2ab ( ab − ) ab ( a 2b + 3) = ( Vì a + b = ab ≠ ) ( ab − ) (a b 2 + 3) ( Vì ab ≠ ) ( ab − ) a b + = 3 2 Vậy, b − a − a b + với a + b = ab ≠ Bài 314: Cho biểu thức E= a3 a a + + 24 12 với a số tự nhiên chẵn Hãy chứng tỏ E có giá trị nguyên Lời giải Vì a số tự nhiên chẵn nên a = 2k , k ∈ N Do Ta có: a a a 8k 4k 2k 2k + 3k + k k ( k + 1) ( 2k + 1) + + = + + = = = 24 12 24 12 6 E= k ( k + 1) M2 ⇒ k ( k + 1) ( 2k + 1) M2 Ta cần c/m: k ( k + 1) ( 2k + 1) M3 Thật vậy: k k + 1) ( 2k + 1) M + Nếu k = 3n, n ∈ N ⇒ k M3 ( Giaovienvietnam.com 2k + = ( 3n + 1) + = 6n + 3M k k + 1) ( 2k + 1) M3 + Nếu k = 3n + 1, n ∈ N ⇒ ( k k + 1) ( 2k + 1) M + Nếu k = 3n + 2, n ∈ N ⇒ k + = 3n + 3M3 ( Mà ( 2,3) = ⇒ k ( k + 1) ( 2k + 1) M6 Vậy, E= a3 a2 a + + 24 12 có giá trị nguyên với a số tự nhiên chẵn Bài 315: Cho a, b, c số thực thỏa mãn điều kiện: abc = 2019 Chứng minh rằng: 2019 a b c + + =1 ab + 2019a + 2019 bc + b + 2019 ca + c + Lời giải 2019a b c + + Ta có: ab + 2019a + 2019 bc + b + 2019 ca + c + = abca b c + + ab + abca + abc bc + b + 2019 ca + c + = a (bca) b bc + + a (b + abc + bc ) bc + b + 2019 bca + bc + b = bca b bc + + b + abc + bc bc + b + 2019 bca + bc + b = 2019 b bc 2019 + b + bc + + = b + 2019 + bc bc + b + 2019 2019 + bc + b b + 2019 + bc = 2019a b c + + =1 Vậy, ab + 2019a + 2019 bc + b + 2019 ca + c + với abc = 2019 Bài 316: Cho y − x = Tính giá trị biểu thức M= x 2x − y + y−2 x−6 Lời giải Ta có: y − x = ⇒ x = y − 6, y = x + Do đó, M= x x − y y − x − ( x + 6) + = + = +1 = y−2 x −6 y−2 x−6 Vậy, M = y − x = P= Bài 317: Cho biểu thức ( 1.2 ) + ( 2.3) + ( 3.4 ) + + Giaovienvietnam.com 2n +  n ( n + 1)  ,n∈ N * a) Rút gọn P b) Tính giá trị P n = 99 Lời giải c Rút gọn P : ( k + 1) − k = − = 2 k ( k + 1) k ( k + 1) k ( k + 1) 2k + Ta có: P= Do đó, = ( 1.2 ) ( n + 1) Vậy, + ( 2.3) + ( 3.4 ) + + 2n +  n ( n + 1)  ,n∈ N * n ( n + 2) 1 1 1 − + − + + − = 1− = 2 2 2 n ( n + 1) ( n + 1) ( n + 1) n ( n + 2) P= d với k ∈ N * ,n∈ N * Tính giá trị P n = 99 Tại n = 99 ta có Vậy, P= P= 99 ( 99 + ) ( 99 + 1) = 9999 10000 9999 10000 n = 99 Bài 318: Cho đa thức E = x + 2017 x + 2016 x + 2017 x2 − x + = x Tính giá trị E với nghiệm phương trình: Lời giải  x2 − x + = x − x +1 = ⇔   x − x + = −1 Ta có: x = x − x + = ⇔ x − x = ⇔ x ( x − 1) = ⇔  x =1 *) Giaovienvietnam.com 1  x − x + = −1 ⇔ x − x + = ⇔  x − ÷ + = 2  *) (vô nghiệm) Vậy với x = ⇒ E = 2017 ; x = ⇒ E = 6051 A = ( 2017 2016 + 20162016 ) Bài 319: So sánh A B , biết: 2017 ; B = ( 2017 2017 + 20162017 ) Lời giải ( A = 2017 2016 + 2016 2016 ) 2017 ( > ( 2017 = 2017 2016 + 20162016 2016 + 2016 2016 ) ) 2016 2016 ( ( 2017 2016 + 20162016 2017 2016 ) =  2017 2016 + 20162016 2017  ( > 2017 2017 + 20162016.2016 = ( 2017 2017 + 20162017 ) 2a + a ( a + 1) ) 2016 ) 2016 2016 =B Bài 320: Hãy viết biểu thức sau : thành hiệu hai bình phương Lời giải 2a + a ( a + 1) = a + 2a + − a a ( a + 1) 2 a + 1) − a     ( = = ÷ − ÷  a   a +1 a ( a + 1)     x P= + : + ÷ ÷  x −1 x − x   x +1 x −1 Bài 321: Cho biểu thức : a) Rút gọn biểu thức P b) Tìm giá trị x để P > −1 P =2 c) Giải phương trình Lời giải a) ĐKXĐ: x ≠ 0; x ≠ ±1 P= x2 + x −1+ x + ( x + 1) ( x − 1) x + : = = x ( x − 1) ( x + 1) ( x − 1) x ( x − 1) x +1 x x2 + x2 + x2 + + x P > −1 ⇔ > −1 ⇔ +1> ⇔ >0 x x x b) 2016 Giaovienvietnam.com 1  x2 + x + =  x + ÷ + > 2  Vì với x x > x2 + + x P > − ⇔  >0⇔ x>0 x ≠ x Để Vậy P = P =2⇔  P = −2 c) x2 + x2 + − x P=2⇔ =2⇔ = ⇔ x = 1(ktm) x P = −2 ⇔ x2 + x2 + + x = −2 ⇔ = ⇔ x = −1( ktm) x x Vậy phương trình vơ nghiệm 2 M = ( x − 1) + ( y − 1) + x y x + y = Bài 322: Cho Chứng minh giá trị biểu thức M không phụ thuộc vào giá trị biến số x, y Lời giải M = ( x − 1) + ( y − 1) + x y 2 = x4 − 2x2 + + y − y + + 2x2 y = ( x4 + x2 y + y ) − ( x2 + y ) + = ( x2 + y ) − ( x2 + y ) + 2 = 22 − 2.2 + = Vậy biểu thức M không phụ thuộc vào giá trị biến số x, y  x −1 − 3x + x  x2 + 2x + A= − − : x − 1 − x x −1 x + x − ( )   Bài 323: Cho a) Tìm điều kiện xác định rút gọn biểu thức A b) Tìm giá trị thực x để A A có giá trị số nguyên Lời giải a) Điều kiện xác định x ≠ ±1 Giaovienvietnam.com  x −1 − 3x + x   x −1 − 3x + x  − − − −   = x3 − 1 − x   x + x + ( x − 1) ( x + x + 1) − x   x + ( x − 1)   ( x − 1) ( x − 1) − ( − 3x + x ) + ( x + x + 1) x2 + 2x + = = ( x − 1) ( x + x + 1) ( x − 1) ( x + x + 1)  x −1 − 3x + x  x2 + x + − −  : x3 − 1 − x  x −1  x + ( x − 1) x2 + 2x + x −1 = = 2 ( x − 1) ( x + x + 1) x + x + x + x + b) A= x + x + nguyên A nguyên nghĩa A ∈U (2) x + x + ≥ ;0 < A ≤ ⇒ A =  x = 0(tm) A = ⇔ x2 + x + = ⇔   x = −1(ktm) Suy Vậy x = Bài 324: Chứng minh rằng: a, b, c độ dài cạnh tam giác thỏa mãn ( a + b + c ) = ( ab + bc + ca ) tam giác tam giác Lời giải 1 2 = = ( a − b ) + ( b − c ) + ( c − a )  a + b + c ) − ( ab + bc + ca ) (  Xét hiệu 1 2  = ( ab + bc + ca ) ⇔ ( a − b ) + ( b − c ) + ( c − a )  = ⇔ a = b = c ( a + b + c) Suy ( a + b + c) Vậy, = ( ab + bc + ca ) tam giác tam giác Giaovienvietnam.com ... b Bài 285 : Rút gọn: k k +2 k +1 a) M = 90 .10 − 10 + 10 , k ∈ N ; b) N = ( 202 + 182 + + 22 ) − ( 192 + 17 + + 12 ) Bài 286 : Tính giá trị biểu thức P = x15 − 20 18 x14 + 20 18 x13 − 20 18 x12 +... − 20 18 x + 20 18 x − 20 18 , với x = 2017 ( )( )( )( ) 32 B = ( + 1) 32 + 34 + 38 + 316 + Bài 287 : a) So sánh hai số A = − Giaovienvietnam.com b) C= 2019 − 20 18 2019 − 20 18 D= 2019 + 20 18 20192... giá trị biểu thức: Bài 283 : Cho a1 , a2 , a3 , , a20 18 20 18 số thực thoả mãn ak = 2k + (k + k) , với k = 1, 2,3, , 20 18 Tính S20 18 = a1 + a2 + a3 + + a2017 + a20 18 Bài 284 : a) Biết a≠ −7 5a −