HSG toan 8 dang 6 BAT DANG THUC

thuvienhoclieu.com DẠNG 6: BẤT ĐẲNG THỨC A.Bài toán Bài Cho x, y, z dương x  y  z  Chứng minh : 1   9 x  yz y  xz z  xy a  b2  với a  b  Bài 2: Chứng minh rằng: Bài : Cho a, b, c ba cạnh tam giác Chứng minh rằng: a b c   3 bca acb abc Bài : Cho a, b, c ba số dương thỏa mãn abc  Chứng minh rằng: 1    a  b  c  b3  c  a  c  a  b  Bài : a) Chứng minh x  x   (với x) x2  x  1  x  x  b) Chứng minh: x2  x  A x  x 1 c) Tìm giá trị lớn (GTLN) biểu thức : Bài : a) Tìm giá trị nhỏ biểu thức sau: A  x  xy  y  y  b) Tìm giá trị lớn biểu thức sau:  x  1 B x  x2  x  Bài 7: Tìm giá trị nhỏ biểu thức : P  x  2006  x  2007  2006 Bài 8: Tìm giá trị nhỏ biểu thức: A 2010 x  2680 x2  1 1   9 a , b , c a b c Bài : Cho số dương có tổng Chứng minh rằng: Bài 10: Tìm giá trị x để biểu thức: P   x  1  x    x  3  x   có giá trị nhỏ Tìm giá trị nhỏ Bài 11 : Cho a, b, c ba cạnh tam giác Chứng minh rằng: a b c A   3 bca a c b a bc 1 1 P      1 1002 Bài 12 : Chứng minh rằng: 2 Bài 13 Cho a, b thỏa mãn a  b  Chứng minh 4  a  b  thuvienhoclieu.com Trang thuvienhoclieu.com x  y   x y  x  y   x , y Bài 14: Cho hai số thỏa mãn điều kiện Tìm giá 2 trị lớn giá trị nhỏ biểu thức A  x  y a, b, c thỏa mãn  a, b, c  Bài 15 : Cho số Chứng minh rằng: a  b  c  ab  bc  ca  1 1    Bài 16 : Cho ba số dương a, b, c có tổng Chứng minh rằng: a b c abc p Bài 17 : Cho tam giác có nửa chu vi với a, b, c độ dài ba cạnh Chứng minh 1 1 1 1    2    pa pb pc b c a x, y, z thỏa mãn x  y  z  Bài 18 : Cho số thực dương 1    Chứng minh rằng: x  x y  y z  z a, b, c ba số dương thỏa mãn abc  Bài 19 : Cho 1    a  b  c b  c  a c  a  b Chứng minh rằng: 2 1  1  x  y  8 x  y Bài 20 : Cho x, y  thỏa mãn x  y  Chứng minh :  a3  b3  ab  Bài 21 : Cho hai số a, b thỏa mãn điều kiện a  b  Chứng minh : Bài 22 : Chứng minh  a  1  a  3  a    a    10  với a 2 2 Bài 23 : Chứng minh rằng: a  b  c  d  e  a  b  c  d  e  Bài 24 : Cho a, b, c cạnh tam giác, p nửa chu vi CMR: 1 1 1    2.    p a p b p c a b c Bài 25 : Cho a, b, c, d số dương Chứng minh rằng: a b bc cd a d    bc cd d a ab 1 1 B      1 2 100 Bài 26 : Chứng minh rằng: C    1  22  1  24  1  28  1  216  1 32 Bài 27 : So sánh hai số sau: D  Bài 28 : Cho số thực dương a, b, c thỏa mãn a  b  c  2016 Tìm giá trị nhỏ 2a  3b  3c  3a  2b  3c 3a  3b  2c  P   2015  a 2016  b 2017  c biểu thức: Bài 29 : Cho a, b, c ba cạnh tam giác thuvienhoclieu.com Trang thuvienhoclieu.com ab bc ac   abc a  b  c  a  b  c a  b  c Chứng minh: a b2 c2 c b a  2 2   b c a b a c Bài 30 : Chứng minh rằng: 1  a  b  c      a b c Bài 31 : CMR với a, b, c số dương, ta có: Bài 32: Cho x, y, z số lớn Chứng minh rằng: 1   2  x  y  xy Bài 33 : Cho số thực a, b, c  Chứng minh 1 4   3   2a  2b  2c  ab bc ca x  0, y  Bài 34 : a) Cho m, n hai số thực Chứng minh m2 n2  m  n    x y x y b) Cho a, b, c ba số dương thỏa mãn abc  1 1    a b  c b  c  a c  a  b Chứng minh rằng:  Bài 35 : Cho a, b, c ba số thực dương Chứng minh rằng: a b c a2 b2 c2       b  c c  a a  b b2  c2 c2  a2 a2  b2 a b c    (1) b  c c  a a  b Chứng minh Bài 36 : Cho a, b, c ba số dương thỏa mãn abc  Chứng minh rằng: 1    a  b  c b  c  a c  a  b a b c    2 2 Cho a, b, c  0; a  b  c  Chứng minh rằng:  b  c  a Bài 37: x2 y2 z2 x yz    Bài 38 : Cho x, y, z  CMR: y  z x  z x  y Bài 39 : Cho số dương a,b,c thỏa mãn a + b + c = Chứng minh: a b c   1 1 b  a 1 c  b 1 a  c 4 3 Bài 40 : Cho a  b  c  Chứng minh rằng: a  b  c  a  b  c Bài 41 : Chứng minh :  x  1  x  3  x    x    10  với x x  0, y  0, z  x  y  z  Bài 42 : Cho thuvienhoclieu.com Trang thuvienhoclieu.com Chứng minh xy  yz  zx  xyz  27 x, y, z thỏa mãn điều kiện x  y  z  Cho số dương Bài 43 : x3 y3 z3    Chứng minh rằng: y  z z  x x  y Bài 44 : a Chứng minh x  x  1 (với x) b Chứng minh: x2  x  1  x2  x  Bài 45: Cho x,y,z số lớn Chứng minh rằng: 1   2 1 xy 1 x 1 y Bài 46: CMR với a,b,c số dương, ta có:  a  b  c  a1  b1  1c    Bài 47: Cho x,y,z dương x  y  z  Chứng minh : 1   9 x  2yz y  2xz z  2xy a2  b2  với a  b  Bài 48: Chứng minh rằng: Bài 49: Cho a,b,c ba cạnh tam giác Chứng minh rằng: a b c   3 b c a a c b a b c Bài 50: Cho a,b,c ba số dương thỏa mãn abc  Chứng minh rằng: 1    a  b  c b  c  a c  a  b  A  b2  c2  a2   4b2c2 Bài 51: Cho biểu thức a) Phân tích biểu thức A thành nhân tử b) Chứng minh rằng: Nếu a,b,c độ dài cạnh tam giác A  1   9 Bài 52: Cho số dương a,b,c có tổng Chứng minh rằng: a b c  x y x2 y2     y  x y x2 x , y    Bài 53: Cho Chứng minh : Bài 54: Biết a, b, c độ dài ba cạnh tam giác Chứng minh rằng: a  b  c   a 2b  Bài 55: Cho a, b, c cạnh tam giác Chứng minh rằng: thuvienhoclieu.com Trang thuvienhoclieu.com a b c   3 b c a a c b a b c Bài 56: Cho a, b, c ba số dương thỏa mãn abc  Chứng minh rằng: 1    a  b  c b  c  a c  a  b 1   2 Bài 57: Cho số a b thỏa mãn a  1; b  Chứng minh:  a  b  ab A 1   a,b  Bài 58: Chứng minh rằng: a b a  b Bài 59: Cho a,b,c ba số dương thỏa mãn abc  Chứng minh rằng: 1    a  b  c b  c  a c  a  b Bài 60: Cho số thực dương x,y,z thỏa mãn x  y  z  3.Chứng minh rằng: 1    x x y y z z 2  x y x2 y2    3   y x  y x Bài 61: Cho x,y  Chứng minh : Bài 62: Biết a,b,c độ dài ba cạnh tam giác Chứng minh rằng: a  b2  c2   4a2b2  1   2 Bài 63: Cho số a b thỏa mãn a  1;b  Chứng minh: 1 a 1 b 1 ab Bài 64: Cho a,b,c cạnh tam giác Chứng minh rằng: a b c   3 b c a a c b a b c Bài 65: Cho a,b,c ba số dương thỏa mãn abc  Chứng minh rằng: A 1    a  b  c b  c  a c  a  b Bài 66: Cho a, b, c số thực dương thỏa mãn a  b  c  Chứng minh rằng: a  bc b  ca c  ab   2 bc ca a b Bài 67: Cho x, y, z số lớn Chứng minh rằng: 1   2  x  y  xy 1   9 a , b , c Bài 68: Cho số dương có tổng Chứng minh rằng: a b c ab bc cd ad    Bài 69: Cho a, b, c, d số dương Chứng minh rằng: b  c c  d d  a a  b 1 1 P      1 1002 Bài 70: Chứng minh rằng: a2  b2  với a  b  Bài 71: Chứng minh rằng: 2 2 Bài 72: Chứng minh rằng: a  b  c  d  e  a (b  c  d  e) thuvienhoclieu.com Trang thuvienhoclieu.com m2 n2  m  n    x  0, y  m , n x y x y Bài 73: a) Cho hai số thực Chứng minh b) Cho a, b, c ba số dương thỏa mãn abc  1 1    a  b  c b  c  a  c  a  b 2 Chứng minh rằng: 2 1   25  a    b     Bài 74: Cho a, b  thỏa mãn a  b  Chứng minh  b   a  3 Bài 75: Cho a  b  Chứng minh a  b  Bài 76: Cho a, b, c ba cạnh tam giác Chứng minh rằng: a b c A   3 bca a c b a b c Bài 77: Cho a, b, c ba cạnh tam giác Chứng minh rằng: a b c   3 bc a acb abc Bài 78: Cho a, b, c cạnh tam giác, p nửa chu vi 1  1 1        a b c CMR: p  a p  b p  c A Bài 79: Biết a, b, c độ dài ba cạnh tam giác Chứng minh rằng: a  b  c   4a 2b  2 2 2 4 Bài 80: Cho biểu thức A  2a b  2b c  2a c  a  b  c Chứng minh a, b, c cạnh tam giác A  Bài 81: Cho bốn số dương a, b, c, d Chứng minh rằng: 1 a b c d    2 a bc bcd cd a d a b Bài 82: a) Chứng minh với số thực x, y, z, t ta ln có bất đẳng thức sau: x2  y2  z  t  x  y  z  t  Dấu đẳng thức xảy nào? 4 3 b) Chứng minh với x, y bất kỳ, ta có: x  y  xy  x y Bài 83: a) Cmr :  x  1  x    x  3  x    1    1  1   a b a  b  b) Cho số dương thỏa mãn điều kiện Cmr :  a  b  Bài 84: Chứng minh rằng: a2 b2 c2 c b a  2 2   a) b c a b a c b) x  x  x  x   a  b2  c   a  b  c Bài 85: Cmr: a) b) a  b   4ab Bài 86: Chứng minh rằng: a) x  x   3x với x  ; 4 thuvienhoclieu.com Trang thuvienhoclieu.com  x  1  x  3  x    x     b) ; 2 c) a  4b  4c  4ab  4ac  8bc Bài 87: Chứng minh với số thực a, b khác ta ln có bất đẳng thức sau: a b2 a b    3   b a b a x y Bài 88: Chứng minh BĐT:  x  y  2 a2  b  c  ab  ac  2bc Bài 89: a) Chứng minh: a  b  c  abc  a  b  c  b) Chứng minh: c) Chứng minh: 1 1     13 n   n  1 d) Chứng minh: 1 1     25  2n  1 với n  N , n  với n  N , n   a b2   a b         a b e) Cho dấu Chứng minh:  b a   b a  Bài 90: Cho ba số dương a, b, c a) Chứng minh rằng:  a  b  c   1 1    a b c ; a b c    b) Chứng minh rằng: b  c c  a a  b 3 Bài 91: Cho a  b  c  , chứng minh: P  a  b  c  3abc  Bài 92: Chứng minh bất đẳng thức sau:  ab cd       a  c  b  d  2   a) ; b) ab  bc  ca  a  b  c  Bài 93: Cho a, b, c ba cạnh tam giác 2 a) Chứng minh rằng: ab  bc  ca  a  b  c   ab  bc  ca  a  b  c b) Chứng minh rằng:    ab  bc  ca  tam giác tam giác 2017 2017 2018 2018 Bài 94: Cho x  y  Chứng minh rằng: x  y  x  y 1 1 H       n với n  N , n  Bài 95: a) Chứng minh: 1 1 K       n 12 với n  N , n  b) Chứng minh: Bài 96: Cho ba số x, y, z 2 a) Chứng minh x  y  z  xy  yz  zx ; x yz  673 b) Khi Chứng minh xy  yz  zx  2019 2 1   25   a    b    b  a Bài 97: Cho a, b  thỏa mãn a  b  Chứng minh  thuvienhoclieu.com Trang thuvienhoclieu.com a , b , c  Bài 98: Với Hãy chứng minh BĐT: ab bc ab bc ca   2b    abc a) c a ; b) c a b ; a  b b3  c c  a    abc 2ab 2bc 2ca c) Bài 99: 2 a) Cho a  b  Chứng minh rằng: a  b   b) Cho a, b số tùy ý Chứng minh:  c) Cho a, b,c độ dài ba cạnh tam giác 4a a  b a  1  a  b  1  b  Chứng minh: abc   b  c  a   a  c  b   a  b  c  2  1  1 25  a  b   b  a      Bài 100: Cho a,b  0thỏa mãn a  b  Chứng minh  Bài 101: Cho số a,b,c thỏa mãn 1 a,b,c  Chứng minh a  b2  c3  ab  bc  ca  3 Bài 102: Cho a  b  Chứng minh a  b  Bài 103: Cho a,b,c ba cạnh tam giác Chứng minh rằng: rằng: a b c   3 b c a a c b a b c Bài 104: Cho a,b,c số thực dương thỏa mãn a  b  c  Chứng minh rằng: A a  bc b  ca c  ab   2 b c c a a b 2 Bài 105: Cho a,b thỏa mãn a  b  Chứng minh 4  a  b   a  b  c  a1  b1  1c    Bài 106: CMR với a,b,c số dương, ta có: 2 2 2 4 Bài 107: Cho biểu thức A  2a b  2b c  2a c  a  b  c Chứng minh a,b,c cạnh tam giác A  Bài 108: CMR với a, b, c số dương, ta có: Bài 109: Cho a, b, c cạnh tam giác Chứng minh A  a  b  c   1 1    a b c a b c   3 b c a a c b a bc   1    1   a   b  c   a  b  c  Bài 110: Chứng minh  b   c  a   a   b   c  , a, b, c số thực không nhỏ Bài 111: Chứng minh a  b  c   ab  bc  ca  với số thực a, b, c a  3c a  3b 2a   5 Bài 112: Cho a, b, c số thực dương Chứng minh rằng: a  b a  c b  c Đẳng thức xảy nào? Bài 113: Cho a, b, c số thực dương thỏa mãn a  b  c  abc Chứng minh thuvienhoclieu.com Trang thuvienhoclieu.com 1 1 a  b  c  3    a b c Bài 114: Cho a b hai số dương có tổng Chứng minh 1 25 (a  )(b  )  a b Đẳng thức xảy nào? Bài 115: Cho a, b, c độ dài cạnh p nửa chu vi tam giác Chứng 1  1 1    2    a b c minh: p  a p  b p  c Bài 116: Cho a, b, c số dương Chứng minh bất đẳng thức: a2 b2 c2 abc bc + ca + ab  x  y x2  y2  2 Bài 117: Cho x > y > Chứng minh: x  y x  y Bài 118: Chứng minh biểu thức: A = 4a(a + b)(a + b + c)(a + c) + b 2c2  với a, b, c 1   9 a , b , c Bài 119: Cho số dương có tổng Chứng minh a b c Bài 120: Cho a, b, c > 0; a + b + c = a b c    2 1 b 1 c 1 a Chứng minh rằng: Bài 121: Cho ba số dương thỏa mãn Chứng minh rằng: Bài 122: Cho số thực dương thỏa mãn x + y + z =3 Chứng minh rằng: x y  Bài 123: Cho ba số dương x, y, z thỏa mãn x  y  z  Chứng minh xyz Bài 124: Cho a, b, c  Chứng minh a b c 1 1        2 2 2 3a  2b  c 3b  2c  a 3c  2a  b a b c Bài 125: Cho a, b, c số thực dương Chứng minh bất đẳng thức: ab bc ca 1      2 bc  a ac  b ab  c a b c a , b , c Bài 126: Cho số không âm không lớn thỏa mãn a  b  c  2 Chứng minh a  b  c    1    1   a   b  c   a  b  c  Bài 127: Chứng minh rằng:  b   c  a   a   b   c  , a, b, c số thực khơng nhỏ Bài 128: Cho a, b, c ba cạnh tam giác Chứng minh rằng: A a b c   3 bc a a cb a bc Bài 129: Chứng minh rằng: P 1 1     1 2 1002 thuvienhoclieu.com Trang thuvienhoclieu.com bc ac ab    a bc Bài 130: Chứng minh a b c với số dương a, b, c Bài 131: Cho a, b, c cạnh tam giác Chứng minh : A a b c   3 bca acb abc Bài 132: Cho a, b, c số thực dương thỏa mãn a  b  c  Chứng minh rằng: a  bc b  ca c  ab   2 bc ca ab  x y x2 y    3   y x Bài 133: Cho x, y  Chứng minh : y x Bài 134: Biết a, b, c độ dài ba cạnh tam giác Chứng minh rằng: a  b  c   a 2b  Bài 135: Cho a, b, c số dương 1 27    a  a  b  b  b  c  c (c  a ) 2(a  b  c ) Chứng minh: Bài 136: Chứng minh bất đẳng thức: a b c    a  b b  c c  a với a  b  c  a  b2  Bài 137: Cho a  b  Chứng minh : Cho a, b, c ba cạnh tam giác Chứng minh rằng: Bài 138 a b c A   3 bca acb abc 1   9 Bài 139: Cho số dương a, b, c có tổng Chứng minh rằng: a b c 1   2 Bài 140: Cho x, y thỏa mãn xy  Chứng minh rằng:  x  y  xy Bài 141: Chứng minh bất đẳng thức sau: x  y  z  xy  xz  yz với x, y, z Bài 142: Cho a, b, c ba số dương thỏa mãn abc  Chứng minh rằng: 1    a  b  c b  c  a c  a  b Bài 143: Cho x, y, z số lớn Chứng minh rằng: 1    x  y  xy Bài 144: a) Cho a, b, c cạnh tam giác, p nửa chu vi thuvienhoclieu.com Trang 10 thuvienhoclieu.com  1 1 a a b b c c A   a  b  c      1    1    b c a c a b  a b c  a b  a c   c b  3           b a   c a  b c  x y  2 Mà y x (BĐT Cơ si) Do đó: A  3  2  Vậy A  2 2 2 4 Bài 107: Cho biểu thức A  2a b  2b c  2a c  a  b  c Chứng minh a,b,c cạnh tam giác A  Lời giải  A  2a2b2  2b2c2  2a2c2  a4  b4  c4  4a2b2  2a2b2  2b2c2  2a2c2  a4  b4  c4    2ab  a2  b2  c2    2ab  a  b 2   c2 2ab  a2  b2  c2   2   a  b  c2  c2   a  b    a  b  c  a  b  c  c  a  b  c  a  b    a,b,c Do cạnh tam giác nên a  b  c  0;a  b  c  0;c  a  b  0;c  a  b   A  1  a  b  c       a b c Bài 108: CMR với a, b, c số dương, ta có: Lời giải Ta có: a a b b c c  1 1 A   a  b  c     1   1   1 b c a c a b a b c a b a c  c b            b a  c a b c  x y  2 y x Mà (BĐT Cô si) Do đó: A      Vậy A  Bài 109: Cho a, b, c cạnh tam giác Chứng minh A a b c   3 b c a a c b a bc Lời giải Đặt b  c  a  x  ; c  a  b  y  ; a  b  c  z  yz xz x y a ;b ; c 2 Từ suy A Thay vào ta y  z x  z x  y  y x   x         2x 2y 2z  x y   z z   y z      x   z y  A     2 Từ suy hay A  thuvienhoclieu.com Trang 58 thuvienhoclieu.com   1    1   a   b  c   a  b  c  Bài 110: Chứng minh  b   c  a   a   b   c  , a, b, c số thực không nhỏ Lời giải   1    1  b  a  b   c   a   c  b  c  a  a  b  c   ab  1  bc  1  ca  1  abc a       b2  c2  abc      ab  1  bc  1  ca  1  a  b  c  2   a 2b c  abc  a  b  c    ab  bc  ca   a 2b 2c  a  b  c  a 2b  b 2c  c 2a       a 2b  b c  c a  2abc  a  b  c   a  b  c   ab  bc  ca    ab  bc    bc  ca    ca  ab    a  b    b  c    c  a  2 2   a  c   b  1   b  a   c  1   c  b   a  1  Bài 111: Chứng minh 2 a  b  c   ab  bc  ca  2 2 (đúng với a, b , c  ) với số thực a, b, c Lời giải Vì a, b, c độ dài ba cạnh tam giác nên ta có:  a  b  c  a  ab  ca ;  b  c  a  b  bc  ab  c  a  b  c  ca  bc 2 Do đó, suy ra: a  b  c  2(ab  bc  ca) a  3c a  3b 2a   5 Bài 112: Cho a, b, c số thực dương Chứng minh rằng: a  b a  c b  c Đẳng thức xảy nào? Lời giải b c   ac a b   a        ab ac  bc ac ab  VT   ac ab  2 Áp dụng bđt cơsi ta có: a  b a  c a b c 1      ( a  b  c)    3    ( a  b  c ) bc ac ab 2.(a  b  c) bc ac ab a  3c a  3b 2a       ab ac bc Đẳng thức xảy a = b = c Bài 113: Cho a, b, c số thực dương thỏa mãn a  b  c  abc Chứng minh 1 1 a  b  c  3    a b c Lời giải thuvienhoclieu.com Trang 59 thuvienhoclieu.com 1 1  bc  ac  ab  a  b  c  3    a  b  c    abc a b c    bc  ac  ab   a  b  c  3    a  b  c    bc  ac  ab   abc  2  a  b  c  bc  ac  ab    a  b  c   bc  ac  ab    a  b   b  c   c  a   2 Bài 114: Cho a b hai số dương có tổng Chứng minh 1 25 (a  )(b  )  a b Đẳng thức xảy nào? Lời giải P  (ab  a b 25 )(  )  ab b a (*) 4 ab Vì a b a b 15 15 25 P  (ab  )  (  )  (ab  )(  )     ab b a = 16ab b a 16ab 16 (Theo BĐT Mà  a  b  4ab, a  b 1, ab f  Cauchy) nên BĐT (*) bđt CM ab Đẳng thức xảy Bài 115: Cho a, b, c độ dài cạnh p nửa chu vi tam giác Chứng 1  1 1    2    a b c minh: p  a p  b p  c Lời giải  x  y x y 1  xy      xy x y x y x y Ta có: Áp dụng kết ta được: ( x, y >0) 1 4     p  a p  b  p  a   p  b p  a  b c 1   ; Tương tự ta có: p  b p  c a 1   p c p a b Cộng vế bất đẳng thức trên, thu gọn ta được: 1 1 1    2    p a p b pc a b c Dấu đẳng thức xảy a = b = c hay tam giác cho Bài 116: Cho a, b, c số dương Chứng minh bất đẳng thức: a2 b2 c2 abc bc + ca + ab  Lời giải a2 bc Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho cặp số b  c , khơng âm ta có : thuvienhoclieu.com Trang 60 thuvienhoclieu.com a2 b  c a bc a bc +  bc =2 =a a bc bc  a - Suy Tương tự b2 ac ca  b - c2 a b a b  c - Cộng vế theo vế ba bất đẳng thức ta được: a2 b2 c2 abc abc 2 bc + ca + a b  ( a + b + c ) = 2 a b c abc Vậy b  c + c  a + a  b  (đpcm) x  y x2  y2  2 Bài 117: Cho x > y > Chứng minh: x  y x  y Lời giải Với x > 0; y > Ta có x + y  Áp dụng tính chất phân thức ta có: x  y ( x  y )( x  y )  x y ( x  y )2 x2  y  x  xy  y (1) Mặt khác : x > ; y > nên x2 + 2xy + y2 > x2 + y2 x2  y x2  y  2 x  y (2)  x  xy  y x  y x2  y  2 Từ (1) (2) ta có: x  y x  y (đpcm) Bài 118: Chứng minh biểu thức: A = 4a(a + b)(a + b + c)(a + c) + b2c2  với a, b, c Lời giải 2 A = 4a(a + b)(a + b + c)(a + c) + b c = (a + b) (a + c) a (a + b + c) + b2c2 = 4(a2 + ab + ac + bc)(a2 + ab + ac) + b2c2 Đặt a2 + ab + ac = m, ta có: A = 4(m + bc)m + b2c2 = 4m2 + 4mbc + b2c2 =( 2m + bc)2 = (2 a2 + ab + 2ac + bc)2  với a,b,c (đpcm) 1   9 Bài 119: Cho số dương a, b, c có tổng Chứng minh a b c Lời giải thuvienhoclieu.com Trang 61 thuvienhoclieu.com b c 1  a  1 a  a  a c 1 a  b  c     1  b b b a b 1 c  1 c  c  Từ 1 a b a c b c               a b c b a  c a c b  3 2   abc Dấu "  " xảy Bài 120: Cho a, b, c > 0; a + b + c = Chứng minh rằng: a b c    2 1 b 1 c 1 a Lời giải a ab ab ab  a   a  a 2 1 b 2b Do a, b > + b2 ≥ 2b với b nên  b b bc c ca b c 2 ; 1 a Tương tự ta có :  c a b c ab  bc  ca    3 2 2 mà a + b + c = nên  b  c  a (1) Cũng từ a + b + c =  (a + b + c)2 =  a2 + b2 + c2 + 2(ab + bc + ca) = mà a2 + b2 ≥ 2ab; b2 + c2 ≥ 2bc; c2 + a2 ≥ 2ac nên a2 + b2 + c2 ≥ ab + bc + ca suy 3(ab + bc + ca)   ab + bc + ca  (2) a b c 3    3  2 2 đpcm Từ (1) (2) suy  b  c  a Đẳng thức xảy a  b  c  Bài 121: Cho ba số dương thỏa mãn Chứng minh rằng: Lời giải Trước tiên ta chứng minh BĐT: Với ta có: Dấu “=”xảy Thật vậy, với ta có: ( ln đúng) Dấu “=” xảy Áp dụng bất đẳng thức (**) ta có: Dấu “=” xảy Ta có: Áp dụng BĐT (*) ta có : thuvienhoclieu.com Trang 62 thuvienhoclieu.com (Vì abc = 1) Hay Mà nên : Vậy Bài 122: Cho số thực dương thỏa mãn x + y + z =3 Chứng minh rằng: Lời giải Đặt Áp dụng BĐT : với a,b,c dương; dấu xảy a = b = c Ta có: Bởi (đpcm) x y  Bài 123: Cho ba số dương x, y, z thỏa mãn x  y  z  Chứng minh xyz Lời giải Ta có:  x  y   xy (1)   x  y   z   4( x  y ) z  36  4( x  y ) z (vì x  y  z  )  36( x  y )  4( x  y ) z (vì x, y dương nên x + y dương) (2) Từ (1) (2), ta có: 36( x  y )  16 xyz  x y  x y 4  xyz  xyz (đpcm) Bài 124: Cho a, b, c  Chứng minh a b c 1 1        2 2 2 3a  2b  c 3b  2c  a 3c  2a  b a b c Lời giải Sử dụng bất đẳng thức AM-GM với a, b, c  ta có 18a 18a   2 3a  2b  c  a  b   a  c 2.2 18a  ab  2  ac   18a 4ab  2ac 18a 18a 18a    2 3a  2b  c 4ab  2ac 2a  2b  c  2b  c a b2  a  b    x y Áp dụng BĐT Cauchy Schwarz x y   1 Ta có: 2b  c  22 12    2b c b c   1   18a   2 3a  2b  c  2b  c  2b  c b c Suy : thuvienhoclieu.com Trang 63 thuvienhoclieu.com Tương tự:   1   18b   3b  2c  a  2c  a  2c  a c a   1   18c   3c  2a  b 2a  b 2a  b a b Cộng vế với vế BĐT ta có: 18a 18b 18c 2         2 2 2 3a  2b  c 3b  2c  a 3c  2a  b c a b c a b a b c 1 1  3 3       :18      DPCM 2 2 2 3a  2b  c 3b  2c  a 3c  2a  b  a b c  a b c Bài 125: Cho a, b, c số thực dương Chứng minh bất đẳng thức: ab bc ca 1      2 bc  a ac  b ab  c a b c Lời giải Ký hiệu vế trái A, vế phải B, xét hiệu A  B ab bc ca      2 bc  a a ac  b b ab  c c a  ab  bc  a b  bc  ac  b c  ac  ab  c    a bc  a b ac  b c ab  c    b a  c a  bc  a   c  b  a  b  ac  b    a  c  b   c  ab  c  b a  c   0, c  b  a   a  c  b   Do a, b, c bình đẳng nên giả sử a  b  c,  , a  b3  c  abc  a  abc  b  abc  c  b  a  c  A B   a  b  c b  ac  b b  ac  b    c b  a  a  b  c b  ac  b   a  c  b c  ab  c  b a  c a  bc  a    b  a  c b  ac  b  ab  ac ac  ab  b  ac  b  c  ab  c  c  ab  c  1  b  ac  b  c  ab  c  Mà nên A  B  đpcm Bài 126: Cho a, b, c số không âm không lớn thỏa mãn a  b  c  2 Chứng minh a  b  c  Lời giải Từ giả thiết ta có:   a    b    c      ab  bc  ca    a  b  c   abc  2 Cộng hai vế với a  b  c , sau thu gọn ta được:  a  b  c  a  b  c  abc   a  b  c  abc  Mà abc  nên a  b  c  Dấu xảy ba số a, b, c có số 0, số 2, số 2 thuvienhoclieu.com Trang 64 thuvienhoclieu.com   1    1   a   b  c   a  b  c  Bài 127: Chứng minh rằng:  b   c  a   a   b   c  , a, b, c số thực không nhỏ Lời giải   1    1  c )  a  b  c   a  b  c   b  c  a  a  b  c    ab  1  bc  1  ca  1  a  1  b  1  c  1 abc abc   ab  1  bc  1  ca  1   a  1  b  1  c  1  a 2b c  abc  a  b  c    ab  bc  ca   a 2b 2c  a  b  c   a 2b  b 2c  c a    a 2b  b c  c a   2abc  a  b  c    a  b  c    ab  bc  ca    ab  bc    bc  ca    ca  ab    a  b    b  c    c  a    a  c b 2  1   b  a  c 2  1   c  b  a 2  1  (đúng với a, b, c  1) Bài 128: Cho a, b, c ba cạnh tam giác Chứng minh rằng: A a b c   3 bc a a cb a bc Lời giải Đặt b  c  a  x  0; c  a  b  y  0; a  b  c  z  yz xz x y a ;b  ;c  ; 2 từ suy A Thay vào ta được: y  z x  z x  y  y x   x z   y z               2x 2y 2z  x y   z x   z y      2 Từ suy hay A  1 1 P      1 1002 Bài 129: Chứng minh rằng: A Lời giải Ta có: 1 1     2 100 1 1      2.2 3.3 4.4 100.100 1 1      1.2 2.3 3.4 99.100 1 1 1 1 99           1  1 2 3 99 100 100 100 P bc ac ab    abc Bài 130: Chứng minh a b c với số dương a, b, c Lời giải Với số dương a, b, c ta có: thuvienhoclieu.com Trang 65 thuvienhoclieu.com 2 bc  ac  ab     bc ac ab    a bc     a bc a b c abc abc abc   bc    ac    ab   a 2bc  b ac  c ab 2   bc    ac    ab   2a 2bc  2b ac  2c ab  2 2 2 2   ac   2a 2bc   ab     bc   2b2 ac   ab     ac   2c ab   bc            ac  ab    bc  ab    ac  bc   2 BĐT cuối nên ta có điều phải chứng minh Bài 131: Cho a, b, c cạnh tam giác Chứng minh : A a b c   3 bca acb abc Lời giải Đặt b  c  a  x  0; c  a  b  y  0; a  b  c  z  yz xz x y a ;b  ;c  2 Từ suy A Thay vào ta được: y  z x  z x  y  y x   x z   y z               2x 2y 2z  x y   z x   z y      2 Từ suy hay A  Bài 132: Cho a, b, c số thực dương thỏa mãn a  b  c  Chứng minh rằng: a  bc b  ca c  ab   2 bc ca ab A Lời giải Nhận xét có: Tương tự có: VT  a  bc  a  a  b  c   bc   a  b   c  a  b  ca   b  a   b  c  ; c  ab   c  a   c  b   a  b  a  c   b  a  b  c   c  a  c  b bc ca Do Áp dụng bất đẳng thức Cơ – si ta có: ab  a  b  a  c   b  a   b  c    a  b bc ca  a  b  a  c   c  a   c  b  a  c   bc ab  b  a  b  c   c  a  c  b  b  c   ac ab 2.VT   a  b  c   hay Vậy Đẳng thức xảy abc VT   x y x2 y    3   y x Bài 133: Cho x, y  Chứng minh : y x Lời giải thuvienhoclieu.com Trang 66 thuvienhoclieu.com x y  2 y x Học sinh chứng minh với x, y  x y x y     0;    y x y x x y  x y           y x  y x    x y  x y x2 y           y x  y x  y x  x y x2 y     3   y x  y x Dấu "  " xảy  x  y  Bài 134: Biết a, b, c độ dài ba cạnh tam giác Chứng minh rằng: a a b c  2  b  c   a 2b  Lời giải  4a b   a  b  c  2ab   a  b  c  2ab  2 2 2   a  b   c    a  b   c       a  b  c  a  b  c  a  c  b  b  c  a Tổng hai cạnh tam giác lớn cạnh thứ ba nên thừa số dương, suy điều phải chứng minh Bài 135: Cho a, b, c số dương 1 27    a a  b  b  b  c  c (c  a ) 2(a  b  c ) Chứng minh:  Lời giải Áp dụng BĐT Cô si cho ba số dương ta được: 1    a (a  b) b(b  c ) c (c  a ) abc  a  b   b  c   c  a  (*) Cũng theo BĐT Cô si : 3  33 abc   a  b  c   1  33. a  b   b  c   c  a    a  b  c  Nhân tương ứng hai vế BĐT (1) (2) được: 36 abc  a  b   b  c   c  a    a  b  c  27  **  abc ( a  b)(b  c )(c  a ) 2 a  b  c Hay 1 27    a (a  b) b(b  c ) c (c  a )  a  b  c  * **     Từ suy Dấu "  " xảy a  b  c thuvienhoclieu.com (2) Trang 67 thuvienhoclieu.com Bài 136: Chứng minh bất đẳng thức: a b c    a  b b  c c  a với a  b  c  Lời giải A , Gọi vế trái ta có:  a 1  b 1  c 1 A          ab 2 bc 2 ca 2 ab bc ca    2 a  b 2 b  c 2 c  a  ab  b  a   a  c  c  a  2 a  b 2 b  c 2 c  a a b  1  ac  1        ab bc bc ca a b ca ac a b    a  b  b  c  b  c   c  a    a  b   a  c   1     2 b  c ab ca  a  b   a  c   b  c   0( Do a  b  c  0)  2 b  c  a  b  c  a  Vậy A Bài 137: Cho a  b  Chứng minh a  b2  Lời giải Từ a  b   a   b  a   2b  b , thay vào đẳng thức cần chứng minh ta có: 1  2b  2b  2 2  4b  4b     2b  1  BĐT Vậy a  b   a   2   2b  1    b    Dấu "  " xảy Bài 138: Cho a, b, c ba cạnh tam giác Chứng minh rằng: A a b c   3 bca acb abc Lời giải thuvienhoclieu.com Trang 68 thuvienhoclieu.com Đặt b  c  a  x  0; c  a  b  y  0; a  b  c  z  yz xz x y a ;b  ;c  2 Từ suy Thay vào ta được: y  z x  z x  y  y x   x z   y z   A             2x 2y 2z  x y   z x   z y   Từ suy A    2 hay A   a  b  c 1   9 Bài 139: Cho số dương a, b, c có tổng Chứng minh rằng: a b c Lời giải b c 1 a 1 a  a  a c 1 a  b  c 1  1  c b b a b 1    c c c  Từ 1 a b a c  b c                  a b c b a c a c b  a bc Dấu “=” xảy 1   2 Bài 140: Cho x, y thỏa mãn xy  Chứng minh rằng:  x  y  xy  Lời giải 1   2  x  y  xy (1)  1   1         2   x  xy    y  xy  x y  x y x  y   0   x2    xy    y    xy   y  x   xy  1    x2    y    xy   0 2 Vì x  1; y   xy   xy    B ĐT (2) nên BĐT (1) Dấu "  " xảy  x  y Bài 141: Chứng minh bất đẳng thức sau: x  y  z  xy  xz  yz với x, y, z thuvienhoclieu.com Trang 69 thuvienhoclieu.com Lời giải  với x, y, z Có  x  y    y  z    z  x   x  xy  y  y  yz  z  z  zx  x  2   x  y  z    xy  yz  xz   x  y  z  xy  yz  xz (dfcm) Bài 142: Cho a, b, c ba số dương thỏa mãn abc  Chứng minh rằng: 1    a  b  c b  c  a c  a  b Lời giải Trước tiên ta chứng minh BĐT: Vơi a, b, c  ¡ x, y, z  ta có: a b2 c  a  b  c     (*) x y z x yz a b c    x y z Dấu "  " xảy Thật vậy, với a, b  ¡ x, y  ta có: a b2  a  b    x y x y (**)   a y  b x   x  y   xy (a  b)   bx  ay   (luôn đúng) a b   x y Dấu "  " xảy Áp dụng bất đẳng thức  ** ta có: a b2 c  a  b  c2  a  b  c       x y z x y z x yz a b c    x y z Dấu "  " xảy 1 1 1 a  b2  c2    a b  c  b3 (c  a ) c (a  b) ab  ac bc  ab ac  bc Ta có:  Áp dụng BĐT (*) ta có : 2 1 1 1 1 1         a  b2  c2   a b c    a b c  ab  ac bc  ab ac  bc  ab  bc  ac   1 1 2     a b c  (Vì abc  1) 2 thuvienhoclieu.com Trang 70 thuvienhoclieu.com Hay 1 2 11 1 a  b  c      ab  ac bc  ab ac  bc  a b c  1 1 1 a2  b2  c2    3 Mà a b c nên ab  ac bc  ab ac  bc 1    a b  c b  c  a c  a  b Vậy  (đpcm) Bài 143: Cho x, y, z số lớn Chứng minh rằng: 1    x  y  xy Lời giải 1   2 1 x 1 y  xy (1)  1   1        2  xy    y  xy  1 x x( y  x) y( x  y)   0   x    xy    y  (1  xy )  y  x   xy  1    x    y  (1  xy) 2 0 (2) Vì x  1; y   xy   xy    BĐT (2) nên BĐT (1) Dấu “=” xảy x  y Bài 144: a) Cho a, b, c cạnh tam giác, p nửa chu vi 1  1 1    2.    a b c CMR: p  a p  b p  c ab bc cd a d    a , b , c , d b  c c  d d  a ab b) Cho số dương Chứng minh rằng: Lời giải Ta có: 1    p a p b p a  p b c 1    p b p c p a  p c a 1    pc pa pc p a b Cộng vế ta có điều phải chứng minh b)Ta có: thuvienhoclieu.com Trang 71 thuvienhoclieu.com a b bc cd a b a b bc cd d a        0 bc cd d a a b bc cd d a ab ac bd ca d b     4 bc cd d a ab Xét ac bd c a d b    4 bc cd d a ab       a  c      b  d    bc d a cd ab 4   a  c bd 40 abcd abcd  đpcm Dấu "  " xảy a  b  c  d thuvienhoclieu.com Trang 72 ...  20 06  x  2007  20 06 Lời giải Ta có : P  x  20 06  x  2007  20 06  x  20 06  2007  x  20 06   x  20 06    2007  x   20 06  2007 Vậy P  2007  20 06  x  2007 2010 x  2 68 0 A... 24  1  28  1  2 16  1 C   28  1  28  1  2 16  1 C   2 16  1  2 16  1  232  32 32 Vì   nên C  D Bài 28 : Cho số thực dương a, b, c thỏa mãn a  b  c  20 16 Tìm giá... 28  1  2 16  1 32 D  Lời giải C    1   1   1   1   1 16   1 C    1   1  22  1  24  1  28  1  2 16  1 C   22  1  22  1  24  1  28  1  216