Giáo án bồi dưỡng học sinh giỏi toán 8 chuyên đề bất đảng thức

0) Với A > 0, (Nâng hai vế BĐT (Khai hai vế BĐT) a − b ≤ a+ b ≤ a + b - (Tính chất giá trị tuyệt đối) B LUYỆN TẬP Dạng 1: SỬ DỤNG ĐỊNH NGHĨA: A > B TA XÉT HIỆU A – B > 0, CHÚ Ý BĐT A2 ≥ Bài 1: CMR : với x, y, z HD: x + y + z ≥ xy + yz + zx ( x + y + z − xy − yz − zx ) ≥ ( x − y ) + ( y − z ) + ( z − x ) ≥ 2 Xét hiệu ta có: Dấu xảy x = y = z Bài 2: CMR : với x, y, z HD: x + y + z ≥ xy + yz − zx x + y + z − xy − yz + zx ≥ ( x − y + z ) ≥ Xét hiệu ta có: Dấu xảy x + z = y x2 + y + z + ≥ ( x + y + z ) Bài 3: CMR : với x, y, z HD: 2 ( x − 1) + ( y − 1) + ( z − 1) ≥ Xét hiệu ta có: , Dấu x = y = z = Bài 4: CMR : với a, b ta có : HD : Xét hiệu ta có : a + b2  a + b  ≥ ÷   a + b a + 2ab + b − ≥0 a + 2ab + b ≥ ( a + b ) ≥ 2a + 2b − ( a − 2ab + b2 ) ≥ 2 , Dấu a = - b Bài 5: CMR : với a, b, c ta có : HD: Ta có: a + b2 + c  a + b + c  ≥ ÷ 3   a + b2 + c a + b2 + c + 2ab + 2bc + 2ac ≥ 3a + 3b + 3c − ( a + b + c + 2ab + 2bc + 2ac ) ≥ 2a + 2b + 2c − 2ab − 2bc − 2ac ≥ ( a − b ) + ( b − c ) + ( c − a ) ≥ 2 a + b2 + c2 ≥ Bài 6: CMR : HD: Ta có: ( a + b + c) , Dấu a = b = c 3a + 3b + 3c ≥ a + b2 + c + 2ab + 2bc + 2ca 2a + 2b + 2c − 2ab − 2bc − 2ac ≥ ( a − b ) + ( b − c ) + ( c − a ) ≥ 2 a + b2 ≥ ( a + b) ≥ 2ab Bài 7: CMR : HD: a +b 2 , Dấu a = b = c ( a + b) ≥ 2a + 2b ≥ a + 2ab + b 2 Ta chứng minh: a + b − 2ab ≥ ( a − b ) ≥ ( a + b) Ta chứng minh a = b , Dấu a = b ≥ 2ab a + 2ab + b2 ≥ 4ab ( a − b ) ≥ a2 + Bài 8: Cho a, b, c số thực CMR: HD: 4a + b − 4ab ( 2a − b ) ≥ Ta có: Dấu b = 2a Bài 9: Cho a, b, c số thực CMR : HD: Ta có: , Dấu b2 ≥ ab a + b + ≥ ab + a + b a + b + − ab − a − b ≥ 2a + 2b + − 2ab − 2a − 2b ≥ ( a − 2ab + b ) + ( a − 2a + 1) + ( b − 2b + 1) ≥ ( a − b ) + ( a − 1) + ( b − 1) ≥ Dấu a = b = Bài 10: Cho a, b, c, d số thực CMR : HD: Ta có: 2 a + b2 + c + d + e2 ≥ a ( b + c + d + e ) a + b + c + d + e − ab − ac − ad − ae ≥ 4a + 4b + 4c + 4d + 4e − 4ab − 4ac − 4ad − 4ae ≥ ( a − 4ab + 4b ) + ( a − 4ac + 4c ) + ( a − 4ad + 4d ) + ( a − 4ae + 4e ) ≥ ( a − 2b ) + ( a − 2c ) + ( a − 2d ) + ( a − 2e ) ≥ 2 2 Dấu xảy a = 2b = 2c = 2d = 2e Bài 11: Cho a, b thỏa mãn: a + b = 1, a > 0, b > CMR: HD: Ta có: VT    1 + ÷1 + ÷ ≥  a  b  b  a  a + b  a + b   a b = 1 + ÷ + ÷ =  + ÷ + ÷ = +  + ÷+ a  b   a  b  b a a b = +  + ÷ ≥ + 2.2 = b a Dấu a b = => a + b a = b = b a 2 Bài 12: Cho HD:  x+ y x, y ≥ 0, CMR :  ÷ ≥ xy   x + y + xy ≥ xy x − xy + y ≥ ( x − y ) ≥ Ta có: , Dấu x = y Bài 13: Cho a > 0, b > CMR: HD: Ta có: ( (a a + b3 ≥ a 2b + ab − a 2b ) + ( b3 − ab ) ≥ a ( a − b ) − b ( a − b ) ≥ a − b ) ( a − b ) ≥ ( a − b ) ( a + b) ≥ Dấu a = b Bài 14: Cho HD: a ≥ b ≥ 1, CMR: 1 + ≥ 2 + a + b + ab   1   − −  ÷+  ÷≥ 2  + a + ab   + b + ab  Xét hiệu: a ( b − a) b ( a − b) + ( + a ) ( + ab ) ( + b2 ) ( + ab ) ( b − a ) ( ab − 1) + ab ) ( a + 1) ( b + a ) ( ≥0 ≥0 , Dấu a = b a.b = Bài 15: CMR : với số thực x, y, z, t ta ln có : HD: Ta có: ( x2 + y2 + z2 + t ≥ x ( y + z + t ) x + y + z + t − xy − xz − xt ≥ x + y + z + 4t − xy − xz − xt ≥ x − xy + y ) + ( x − xz + z ) + ( x − xt + 4t ) + x ≥ Dấu x = 2y = 2z = 2t = Bài 17: CMR : HD: Ta có: a2 + b + c ≥ ab − ac + 2bc 2 a + 4b + 4c − 4ab + 4ac − 8bc ≥ a − 4a ( b − c ) + ( b + c − 2bc ) ≥ a − 4a ( b − c ) + ( b − c ) ≥ ( a − 2a + 2c ) ≥ Bài 19: CMR : HD: Ta có: x + y + z ≥ xy − zx + yz 2 x + y + z − xy − yz + zx ≥ x − x ( y − z ) + y − yz + z ≥ x − x ( y − z ) + ( y − z ) ≥ ( x − y + z ) ≥ Bài 20: CMR : HD: (x Ta có: x + y + z + ≥ x ( xy − x − z + 1) x + y + z + − x y + x − xz − x ≥ + y − x y ) + ( x − xz + z ) + ( x − x + 1) ≥ (x − y ) + ( x − z ) + ( x − 1) ≥ 2 Bài 21: CMR : HD: , Dấu x = z = 1, y = ±1 a + b + c ≥ ab + bc + ca a + b + c − ab − bc − ca ≥ 2a + 2b + 2c − 2ab − 2bc − 2ca ≥ Ta có : 2 ( a − b ) + ( b − c ) + ( c − a ) ≥ Bài 22: CMR : HD: a + b ≥ ab Ta có: b b 3b b  3b  a − a + + ≥ a − ≥0  ÷ + 4 2  a + b − ab ≥ Bài 23: CMR : HD: x + xy + y ≥ y y2 y2 y  y2  x + x + + ≥  x + ÷ + ≥0 4 2  Ta có: Bài 24: CMR : HD: a ( a + b ) ( a + c ) ( a + b + c ) + b 2c ≥ a ( a + b + c ) ( a + b ) ( a + c ) + b 2c ≥ ( a + ab + ac ) ( a + ab + ac + bc ) + b c ≥  a + ab + ac = x  bc = y Đặt Bài 25: CMR : HD: Ta có: ( (a +b x ( x + y ) + y ≥ x + xy + y ≥ , Khi ta có: )(a + b ) ≥ ( a + b3 ) a + a 2b + a 4b + b6 ≥ a + 2a 3b + b a 4b − a 3b3 ) + ( a 2b − a 3b3 ) ≥ 2 a b ( a − b ) + a b ( b − a ) ≥ ( a − b ) ( a 3b − a 2b3 ) ≥ a 2b ( a − b ) ≥ Bài 26: CMR : HD: Ta có: ( a + b ) ( a + b3 ) ≤ ( a + b ) a + ab3 + a 3b + b ≤ 2a + 2b a − ab3 + b − a 3b ≥ ( ) 3 a − b3 ( a − b ) ≥ ( a − b ) a ( a − b ) + b ( b − a ) ≥ Bài 27: Cho a, b > 0, CMR : HD: Ta có: (a + ab + b ) ≥ ( a3 + b3 ) ≥ ( a + b ) ( a + b ) 2a + 2b3 ≥ a3 + ab + a 2b + b3 3 a − a b + b − ab ≥ 2 a ( a − b ) + b ( b − a ) ≥ ( a − b ) ( a + b) ≥ Bài 28: Cho a, b > 0, CMR: ( a + b3 ) ≥ ( a + b ) HD: Ta có: 4a + 4b3 ≥ a + 3a 2b + 3ab + b3 3 3a − 3a b + 3b − 3ab ≥ 3a ( a − b ) + 3b ( b − a ) ≥ ( a − b ) ( a − b ) ≥ ( a − b ) ( a + b) ≥ Bài 29: Cho a, b, c > 0, CMR: HD: Ta có: a + b3 + abc ≥ ab ( a + b + c ) a + b3 + abc ≥ a 2b + ab + abc 2 3 a − a b + b − ab ≥ a ( a − b ) + b ( b − a ) ≥ ( a − b ) Bài 30: CMR: HD: Ta có: ( + b ) ≥ ab ( a + b ) 3 a ( a − b ) + b ( b − a ) ≥ − b3 ) ( a − b ) ≥ ( a − b ) Bài 31: CMR: HD: Ta có: (a + ab + b ) ≥ a2 + b2 + c2 ≥ a ( b + c ) a + b + c − ab − ac ≥ 4a + 4b + 4c − 4ab − 4ac ≥ a − 4ab + 4b ) + ( a − 4ac + 4c ) + 2a ≥ Bài 32: CMR: HD: Ta có: ( a + b) ≥ a + 2a 2b + b ≥ ab ( a + 2ab + b ) = a 3b + 2a 2b + ab a − a 3b ) + ( b − ab3 ) ≥ a ( ( (a 2 ( a − 2b ) + ( a − 2c ) + 2a ≥ 2 a + b2 + c2 + d ≥ a ( b + c + d ) a + b + c + d − ab − ac − ad ≥ 4a + 4b + 4c + 4d − 4ab − 4ac − 4ad ≥ ( a − 4ab + 4b ) + ( a − 4ac + 4c ) + ( a − 4ad + 4d ) + a ≥ ( a − 2b ) + ( a − 2c ) + ( a − 2d ) + a ≥ 2 a + b2 + c + Bài 33: CMR: HD: (a 2 ≥ ( a + b + c) − a ) + ( b2 − b ) + ( c2 − c ) + Ta có: ≥0 1  1  1   a − a + ÷+  b − b + ÷+  c − c + ÷ ≥ 4  4  4  2 1  1  1  a − ÷ + b − ÷ + c − ÷ ≥ 2  2  2  Bài 34: CMR: HD: Ta có: ( a a + b + ≥ 4ab a + b − 4ab + ≥ a + b − 2a 2b + 2a 2b − 4ab + ≥ − b ) + ( a 2b − 2ab + 1) ≥ ( a − b ) + ( ab − 1) ≥ Bài 35: CMR: HD: (x x4 − x + > − x + ) + ( x − x + 1) > Ta có: Khơng xảy dấu x4 − x + Bài 36: CMR: HD: ( x − ) + ( x − 1) > >0 2 Ta có: 2 1 1  1  1   x − ÷ +x− ÷ ≥  x − x + ÷+  x − x + ÷ ≥ 4  4 2  2   Bài 37: CMR: HD: x + x + > x ( x > 0) 2 x3 − x + x + > x ( x − x + ) + x + > x ( x − ) + x + > Ta có: , Vì x>0 Bài 39: CMR: HD: ( x − 1) ( x − ) ( x − 3) ( x − ) ≥ −1 ( x − 1) ( x − ) ( x − ) ( x − 3) + ≥ Đặt x2 − 5x + = t ( , Khi ta có: x2 − 5x + 4) ( x2 − 5x + ) + ≥ ( t − 1) ( t + 1) + ≥ t ≥ , Dấu t =0 Bài 40: CMR: HD: x + x3 + x + x + > x3 ( x + 1) + ( x + 1) + x > ( x + 1) ( x + 1) + x > Ta có : x + 1) ( x − x + 1) + x > ( Bài 41: CMR : HD: ( ĐPCM) a + 4b + 4c ≥ 4ab + 8bc − 4ac 2 a + 4b + 4c − 4ab − 8bc + 4ac ≥ a Ta có: 2 + ( 2b ) + ( 2c ) − 2.a.2b − 2.2b.2c + 2.a.2c ≥ ( a − b + c ) ≥ ( a + b3 + c ) ≥ ( a + b ) + ( b + c ) + ( c + a ) Bài 42: CMR : HD: Ta có: 3 với a, b, c >0 8a + 8b3 + 8c ≥ 2a + 2b3 + 2c + 3a 2b + 3ab + 3b c + 3bc + 3a c + 3ac 3 2 2 2 6a + 6b + 6c − 3a b − 3ab − 3b c − 3bc − 3a c − 3ac ≥ ( 3a − 3a 2b ) + ( 3a − 3a 2c ) + ( 3b3 − 3b a ) + ( 3b3 − 3b 2c ) + ( 3c − 3bc ) + ( 3c − 3ac ) ≥ 2 2 2 3a ( a − b ) + 3a ( a − c ) + 3b ( b − a ) + 3b ( b − c ) + 3c ( c − b ) + 3c ( c − a ) ≥ ( a − b ) ( a2 − b2 ) + ( a − c ) ( a2 − c2 ) + 3( b − c ) ( b2 − c2 ) ≥ ( a − b ) Bài 43: CMR: HD: Ta có: ( a + b) + 3( a − c ) ( a + c ) + 3( b − c ) ( b + c ) ≥ ( a + b + c) ≥ a + b3 + c + 24abc với a,b,c>0 a + b3 + c + ( a + b ) ( b + c ) ( c + a ) ≥ a + b3 + c + 24abc ( a + b ) ( b + c ) ( c + a ) ≥ 24abc Vì  a + b ≥ ab  b + c ≥ bc  c + a ≥ ca , Nhân theo vế ta ĐPCM Bài 44: CMR: Với x, y # ta có: HD: (x Ta có: x + y + x y ≥ xy ( x + y )  x y x2 y + + ≥ 3 + ÷ y x  y x + y ) − xy ( x + y ) + x y − xy ( x + y ) ≥ ( x + y ) ( x + y − xy ) + xy ( xy − x − y ) ≥ ( x − y) (x Bài 45: CMR : Nếu HD: ( x + y − xy ) ( x + y − xy ) ≥ − xy + y ) ≥ a +b ≥1 a + b3 ≥ , 1 1  a + b ≥ 3a − 3a + =  a − ÷ + ≥ 3 2 4  b ≥ − a => b ≥ − 3a + 3a − a Ta có: 10 HD: ( a + b + c ) = => ( a + b + c )  1 1 + + ÷≥ a b c Vì Bài 18: Cho x, y, z > 0, CMR : HD: Ta có: x4 y + ≥2 y4 x4 x4 y4 x2 y2 x y + − − + + ≥2 y x4 y x2 y x , Tương tự x y + ≥2 y x VT ≥ + − =  x2 y2 − + x y  ÷ ≤ −2  Cộng theo vế ta có: Bài 19: Cho a, b số dương thỏa mãn: a + b < ab, CMR : a + b > HD: ( a + b) Ta có: a + b < ab => ≥ 4ab => a+b ≥ ab a+b Do a + b ab < = => > => a + b > ab ab a +b 26 Bài 21: Cho a, b, c thỏa mãn: HD: a2 + b2 + c2 = , CMR: ab + bc + ca + a + b + c ≤  a + b ≥ 2ab  2 2 b + c ≥ 2bc => ( a + b + c ) ≥ ( ab + bc + ca ) => 2.3 ≥ ( ab + bc + ca ) c + a ≥ 2ac  Ta có: => (1) ab + bc + ca ≤  a + ≥ 2a  b + ≥ 2b => + ≥ ( a + b + c ) => a + b + c ≤ c + ≥ 2c  Mặt khác: Cộng (1) (2) theo vế ta ĐPCM Bài 22: CMR: HD: x2 y2 + ≤ 4 + 16 x + 16 y Ta có: , với x, y số thực x2 1 + 16 x ≥ 16 x = 2.4 x = x => ≤ + 16 x 4 Tương tự: 2 y y ≤ = + 16 y 8y Cộng theo vế ta : (2) Bài 24: CMR: với a,b > a > b > HD: a − b ( a − b ) ( a + b ) a2 − b2 = = 2 a+b ( a + b) ( a + b) VT < Khi (1) VT ≤ Ta có: (2) a − b a − b2 < a + b a + b2 , Mà a + 2ab + b ≥ a + b a −b a + b2 2 a + b ≥ abc Bài 25: Cho số a,b,c dương thoă mãn: a + b + c = 4, CMR : HD: 2 ( a + b ) ≥ 4ab => ( a + b ) + c  ≥ ( a + b ) c => 16 ≥ ( a + b ) c Ta có: ( ) => ≥ ( a + b ) c => ( a + b ) ≥ ( a + b ) c => ( a + b ) ≥ ab c = 4abc 27 => a + b ≥ abc Bài 26: Cho số x, y > thỏa mãn: HD: Ta có: x3 + y = x − y , CMR : x2 + y < x3 + y > => x − y > x + y < ( x − y ) ( x + y ) < x3 + y 3 2 2 x + xy − x y − y < x + y y + x y − xy > y ( y + x − xy ) > a + b2 ≥ Bài 27: Cho a + b = 1, CMR: HD: ( a + b) Ta có: 2 2  a + 2ab + b = 2 2 = =>  a + b ≥ a + b ≥ 2  a − 2ab + b ≥ 28 a + b4 ≥ Bài 28: Cho a + b = 1, CMR: HD: Ta có: a + 2ab + b2 = 1 2a + 2b ≥ => a + b2 ≥  2 a − 2ab + b ≥ Mặt khác:  4 2 1  a + b + 2a b ≥ 2a + 2b ≥ a + b ≥   a + b − 2a 2b ≥  a + b + c = 1, Bài 30: Cho a, b, c thỏa mãn: abc + ( + a + b + c + ab + bc + ca ) ≥ CMR: HD: a + b + c = => a , b , c ≤ => −1 ≤ x, y, z ≤ Vì Khi đó: ( a + 1) ( b + 1) ( c + 1) ≥ abc + ab + bc + ca + a + b + c + ≥ Mà ( a + b + c + 1) = ( a + b + c) + ( a + b + c) +1 ≥ (1) a + b + c + ( ab + bc + ca ) + ( a + b + c ) + ≥ ab + bc + ca + a + b + c + ≥ Cộng (1) (2) theo vế ta được: (2) abc + ( ab + bc + ca + a + b + c + 1) ≥ 29 Dạng 4: SẮP SẾP CÁC BIẾN VÀ BĐT TAM GIÁC: Bài 1: Cho a, b, c độ dài ba cạnh tam giác, CMR: HD : Ta có : a a 2a < => < b+c b+c a+b+c Tương tự ta có: VT < , < c+a c + a a +b +c a +b a +b +c 2(a + b + c ) =2 a+b+c 1< Bài 2: Cho a, b, c > 0, CMR: HD : Ta có : a b c + + 2b ≥ 2a ≥ ( a + b − c) ( b + c − a) ( a + b − c) ( c + a − b) Tương tự ta có : Nhân theo vế ta ĐPCM Bài 13: Cho a, b, c độ dài ba cạnh tam giác, CMR: a + b + c < ( a 2b + b c + c a ) HD : Ta có : a + b + c − 2a 2b − 2b 2c − 2c a < a + b + c + 2a 2b − 2b 2c − 2c a − 4a 2b < 4 2 2 2 2 ( a + b − c ) − ( 2ab ) < ( a + b − c + 2ab ) ( a + b − c − 2ab ) < 2 ( a + b + c ) ( a + b − c ) ( a − b + c ) ( a − b − c ) < (Luôn ) Bài 14: Cho a, b, c độ dài cạnh tam giác, CMR: b c a a b c + + ≥ + + a b c b c a a≥b≥c với HD : Nhân vế với a, b, c ta có : b 2c + c a + a 2b ≥ a 2c + ab + bc 34 c ( b − a ) + a ( c − b ) + b ( a − c ) ≥ ( c − a ) ( b − c ) ( b − a ) ≥ Đúng Bài 15: CMR với a, b, c độ dài ba cạnh tam giác thì: 4a 2b > ( a + b − c ) HD : 4a 2b − ( a + b − c ) > ( 2ab + a + b − c ) ( 2ab − a − b + c ) > Xét hiệu : ( a + b + c ) ( a + b − c ) ( c + a − b ) ( c − a + b ) > Bài 16: Cho a, b, c độ dài ba cạnh tam giác, CMR: a ( b − c ) + b ( c − a ) + c ( a + b ) < a + b3 + c 2 HD : a ( b − c ) − a = a ( b − c ) − a  = a ( b − c − a ) ( b − c + a ) <   2 Ta xét : Chứng minh tương tự ta có : Tổng số âm số âm a + b + c = 1, CMR : a + b + c ≥ Bài 17: Cho HD :   2 a = x +  a = x + x +     2 b = y + => b = y + y + 3     2 c = z +  c = z + z +   Đặt Cộng theo vế ta : a + b2 + c2 = ( x2 + y + z ) + Mà : ( x + y + z) + 3 a + b + c = x + y + z + => x + y + z = (1) , Thay vào (1) 1 a + b2 + c2 = x2 + y + z + ≥ 3 => Bài 18: Cho a, b, c dộ dài ba cạnh tam giác, CMR: a + b + c < ( ab + bc + ca ) HD : Ta có :  a < ab + ac a b < ab + bc c < a + b c < ac + bc   , Cộng theo vế ta ĐPCM 35 Bài 19: Cho a, b, c độ dài ba cạnh tam giác, CMR: độ dài cạnh tam giác HD : Ta cần chứng minh : 1 , , a+b b+c c+a , 1 1 2 + > + = > = a + b b + c a + b + c a + b + c a + b + c ( a + c) + ( a + c) a + c 1 + > b+c c+a a+b 1 + > c+a a+b b+c Tương tự ta có : Bài 20: Cho a, b, c độ dài ba cạnh tam giác có chu vi 2, so sánh a,b,c với 1, CMR: HD : a + b + c + 2abc < Giải sử : Khi : lại có : ( a + b + c) a ≥ b ≥ c => a 2a < a + b + c = => a < => b, c < ( − a ) ( − b ) ( − c ) > => ab + bc + ca > + abc = a + b + c + ( ab + bc + ca ) > a + b + c + ( + abc ) 2 2 2 > a + b + c + + 2abc a + b + c + 2abc < Bài 21: Cho a, b, c độ dài ba cạnh tam giác, abc > ( a + b − c ) ( b + c − a ) ( c + a − b ) CMR: HD : Ta có : ( a + b − c) + ( b + c − a) ≥ ( a + b − c) ( b + c − a ) 2c ≥ ( b + c − a) ( c + a − b) => 2b ≥ 2a ≥ ( a + b − c) ( b + c − a) ( a + b − c) ( c + a − b) Tương tự ta có : Nhân theo vế ta ĐPCM Bài 22: Cho a, b, c độ dài ba cạnh tam giác, CMR : ab + bc + ca < a + b + c < ( ab + bc + ca ) HD : a + b + c ≥ ab + bc + ca Ta chứng minh : Chuyển vế ta : a + b + c − ab − bc − ca ≥ ( a − b ) + ( b − c ) + ( c − a ) ≥ Ta chứng minh : Ta có : 2 a + b + c ≤ ( ab + bc + ca ) 36  a < ab + ac a b < bc + ba c < a + b c < ac + bc   , Cộng theo vế ta : a + b + c ≤ ( ab + bc + ca ) 37 Bài 23: Cho a, b, c chiều dài ba cạnh tam giác có chu vi 2, CMR: HD : a + b + c + 2abc < Giải sử : Khi : Lại có : a ≥ b ≥ c => a 2a < a + b + c = => a < => b, c < ( − a ) ( − b ) ( − c ) > => ab + bc + ca > + abc ( a + b + c) = a + b + c + ( ab + bc + ca ) > a + b + c + ( + abc ) 2 2 2 > a + b + c + + 2abc a + b + c + 2abc < Bài 24: Cho a, b, c ba cạnh tam giác: CMR: HD : Ta có : 3a + b 3b + c 3c + a + + ≥4 2a + c 2b + a 2c + b  3a + b   3b + c   3c + a  VT  − 1÷+  − 1÷+  − 1÷ ≥  2a + c   2b + a   2c + b  a +b −c b + c − a c + a −b + + ≥1 2a + c 2b + a 2c + b , Lại có : ( a + b − c) ( b + c − a) ( c + a − b) + + ( 2a + c ) ( a + b − c ) ( 2b + a ) ( b + c − a ) ( 2c + b ) ( c + a − b ) ≥1 ( a + b + c) ( 2a + c ) ( a + b − c ) + ( 2b + a ) ( b + c − a ) + ( 2c + b ) ( c + a − b ) =1 2 2 Bài 25: Cho a, b, c độ dài ba cạnh tam giác: CMR : a 2016 b 2016 c 2016 + + ≥ a 2015 + b 2015 + c 2015 b + c −a c + a −b a +b −c HD :  ( a − b) + ( a − c )   a 2016  a   − a 2015 ÷ = a 2015  − 1÷ = a 2015  ÷  b+c−a b+c−a  b+c−a    Xét hiệu ta có : Tương tự ta có : 2015  ( b − a ) + ( b − c )  b   c+ a−b ÷   ( c − a ) + ( c − b)  c 2015  ÷ a+b−c   Khi  a 2015  b 2015  a 2015 b2015  c 2015  c 2015  VT = ( a − b )  − − − ÷+ ( b − c )  ÷+ ( a − c )  ÷  b +c −a c + a −b  c +a −b a +b −c  b +c −a a +b −c  Giả sử : a ≥ b ≥ c => Ngoặc 2, ≥0 38 Ta có ngoặc 1= ĐPCM c ( a 2015 − b 2015 ) + ( a − b ) ( a 2015 + b 2015 ) a 2015 b 2015 − = ≥0 ( b + c − a) ( c + a − b) ( b + c − a) ( c + a − b) a + b + c = 1, CMR : a + b + c ≥ Bài 26: Cho HD : Đặt   2 a = x + a = x + x +   3     2 b = y + => b = y + y + 3     2 c = z + c = z + z + a + b2 + c2 = ( x2 + y + z ) + Mà : , Cộng theo vế ta : ( x + y + z) + 3 a + b + c = x + y + z + => x + y + z = (1) , Thay vào (1) => 1 a + b2 + c2 = x2 + y + z + ≥ 3 Bài 27: Cho a, b, c độ dài ba cạnh tam giác, CMR: a b c + + ≥3 b+c− a a +c −b a +b−c HD : Đặt : b + c − a = x  x + y = 2c   a + c − b = y =>  y + z = 2a a + b − c = z  z + a = 2b   x y z =  + ÷+  + y x x 2A = , Khi : y+ z x+z x+ y + + x y z x  z y ÷+  + ÷≥ => A ≥ z y z Bài 28: Tìm tất tam giác vng có số đo cạnh số ngun dương số đo diện tích chu vi HD: Gọi cạnh tam giác vuông x, y, z cạnh huyền z ( x, y, z số nguyên dương) Ta có: xy = 2( x + y + z) (1) => z2 = ( x + y) − 2xy x2 + y2 = z2 (2) Từ (2) , thay vào (1) ta có: 39 z2 = ( x + y) − 4( x + y + z) z2 + 4z = ( x + y) − 4( x + y) 2 z2 + 4z + = ( x + y) − 4( x + y) + ( z + 2) = ( x + y − 2) => z + = x + y − z = x + y − 2 , thay vào (1) ta : xy = 2( x + y + x + y − 4) xy − 4x − 4y = −8 ( x − 4) ( y − 4) = = 1.8 = 2.4 Từ ta tìm giá trị x, y, z : ( 5;12;13) ;( 12;5;13) ;( 6;8;10) ;( 8;6;10) 40 ... b8 + c8 ) ≥ ( a + b + c ) ( a + b5 + c ) ( a8 + b8 ) ≥ ( a + b3 ) ( a + b ) ( c + a 8 ) ≥(a +c )(a +c ) ( b8 + c8 ) ≥ ( b + c ) ( b + c ) Cộng theo vế ta được: ( a + b + c ) ≥ ( a + b8... + b8 + c a8 + b8 + c8 1 ≥ ab + bc + ca ≥ + + a 2b2 c a 3b c a b c (a 10 Bài 65: CMR : HD: Ta có: + b10 ) ( a + b ) ≥ ( a + b8 ) ( a + b ) a12 + a10b + a 2b10 + b12 ≥ a12 + a 8b + a 4b8 +... + c ) ( a + b8 + c8 ) ≥ ( a + b3 + c ) ( a + b + c ) a + b8 ≥ a + b Bài 70: Cho a + b = 2, CMR : HD: ( a8 + b8 ) ≥ ( a + b ) ( a + b7 ) = a + b8 + ab7 + a b Ta có: a + b8 − a 7b − ab ≥