Giáo án bồi dưỡng học sinh giỏi toán 8 chuyên đề đa thức

GIÁO ÁN BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI TOÁN CHUYÊN ĐỀ: CHUYÊN ĐỂ : ĐA THỨC Bài 1: TÍNH CHIA HẾT CỦA ĐA THỨC A Các kiến thức cần nhớ Giả sử f(x) g(x) đa thức bậc f(x) lớn bậc g(x) Khi ln tồn đa thức q(x) r(x), thỏa mãn: f(x) = g(x) q(x) + r(x) Trong đó: Bậc r(x) nhỏ bậc g(x) Nếu r(x) ≡ ta nói f(x) chia hết cho g(x) Xét phép chia đa thức f(x) cho đa thức bậc x – a f(x) = (x-a) q(x) + r Cho x = a ⇒ f(a) = r - Kết luận: Phần dư phép chia đa thức f(x) cho x – a số f(a) - Nếu f(a) = hay x = a nghiệm đa thức f(x) f(x) chia hết cho x – a - Định lý Bơ Đu: Số dư phép chia đa thức f(x) cho nhị thức x – a giá trị f(x) x = a ⇒ f ( x)M( x − a ) ⇔ f (a ) = Ví dụ: Khơng đặt tính chia, xét xem đa thức A = x3 – 9x2 + 6x + 16 có chia hết cho x + 1; x – hay khơng? Lời giải: Ta có: f(-1) = suy A chia hết cho B f(3) = -20 ≠ nên A không chia hết cho C - Chú ý: +) Nếu f(x) có tổng hệ số chia hết cho x – 1 +) Nếu f(x) có tổng hệ số hạng tử bậc chẵn tổng hệ số hạng tử bậc lẻ chia hết cho x + +) an – bn chia hết cho a – b (a ≠ -b) +) an + bn ( n lẻ) chia hết cho a + b (a +) +) ≠ -b) a n − b n = (a − b)(a n−1 + a n− 2b + a n−3b + + ab n− + b n−1 ) a n + b n = (a + b)(a n−1 − a n− 2b + a n−3b − − ab n −2 + b n−1 ) B Bài tập dạng toán Dạng 1: Chứng minh đa thức chia hết cho đa thức ( Xét đa thức biến ) Cách 1: Phân tích đa thức bị chia thành nhân tử có thừa số đa thức chia Nếu  f ( x)Mg ( x) f ( x) = g ( x).h( x) ⇒   f ( x)Mh( x) Bài 1: Chứng minh a f ( x) = x9 − x8 + 1Mg ( x) = ( x − 1)2 b f ( x ) = x + x + + x + 1; g ( x ) = x + x + x + x + 99 c e 98 f ( x) = x8 n + x n + 1; g ( x ) = x n + x n + d f ( x) = x100 + x 20 + 1; g ( x) = x 40 + x 20 + f ( x) = x10 − 10 x + 9; g ( x) = ( x − 1) Lời giải: a f ( x) = x9 − x8 + = x9 − − x8 + = 8( x9 − 1) − 9( x8 − 1) = 8( x − 1)( x8 + x + + 1) − 9( x − 1)( x + x + x + + 1) = ( x − 1)(8 x8 − x7 − − x − 1) Cách 1: Ta có x8 − x − − x − có tổng hệ số = ⇒ M( x − 1) ⇒ f ( x)M( x − 1) Cách 2: = ( x − 1)(8 x8 − x − − x − 1) = ( x − 1)(8 x8 − x + x − x + + x − 1) = ( x − 1) (8 x + x + + x + 1) M( x − 1)2 b f ( x) = x 99 + x 98 + + x + = ( x 99 + + x 95 ) + ( x + x + + x + 1) = ( x + + 1)( x 95 + x 90 + + x + 1) Mg ( x) Cách 2: Ta có ( x − 1) f ( x) = x100 − = [( x )20 − 1]M(x − 1) = ( x − 1).g ( x) ⇒ f ( x) Mg ( x) c Ta có Lại có: d Đặt Ta có: f ( x) = x8 n + x n + = ( x n ) + 2.x n + − x n = ( x n + 1) − ( x n ) = ( x n + x n + 1)( x n − x n + 1) x n + x n + = ( x n − x n + 1)( x n + x n + 1) ⇒ f ( x )Mg ( x ) t = x 20 ⇒ f (t ) = t + t + 1; g (t ) = t + t + f (t ) = t − t + t + t + = t (t − 1) + (t + t + 1) = (t + t + 1)(t − t + 1) ⇒ f ( x) Mg ( x) f ( x ) = ( x10 − 1) − (10 x − 10) = ( x − 1)( x + x8 + + x + − 10) = ( x − 1)[(x − 1) + + ( x − 1)] e =(x-1) ( x8 + x + + x + 9) ⇒ f ( x)Mg ( x) Cách 2: Biến đổi đa thức bị chia thành tổng đa thức chia hết cho đa thức chia Nếu f(x) = g(x) + h(x) + k(x), mà  g ( x)Mq ( x)  h( x)Mq ( x) ⇒ f ( x) Mq ( x) k ( x)Mq ( x)  Bài 2: Chứng minh a f ( x ) = x 50 + x10 + 1Mg ( x) = x 20 + x10 + b f ( x) = x199 + x 27 − x Mg ( x) = x − x + c f ( x ) = x 99 + x88 + + x11 + 1; g ( x) = x + x + + x + f ( x) = x e m +1 +x 3m + d + 1; g ( x ) = x + x + 1∀n ∈ N f ( x ) = x m + + x n + + 1; g ( x ) = x − x + 1∀m.n ∈ N Lời giải: a f ( x) = x50 + x10 + = ( x50 − x 20 ) + ( x 20 + x10 + 1) Lại có: x50 − x 20 = x 20 ( x 30 − 1) = x 20 [(x10 )3 − 1] = x 20 ( x10 − 1)( x 20 + x10 + 1) ⇒ f ( x) Mg ( x) b f ( x) = x199 + x 27 − x = x199 − x + x 27 + − x + x − = x199 − x + x 27 + − ( x − x + 1) = x ( x1998 − 1) + ( x 27 + 1) − g ( x ) = x[(x 999 )2 − 1] + ( x )9 + − g ( x) = x( x999 − 1)( x 999 + 1) + ( x3 )9 + − g ( x) ⇒ f ( x) Mg ( x) 44 4 43 14 43 Mx999 +1⇒Mx3 +1 c Ta có: Mx3 +1 ( x − 1).g ( x) = x10 − f ( x) = x99 + x88 + + x11 + = ( x99 − x9 ) + ( x88 − 8) + ( x11 − x) + x9 + x8 + + x + = x ( x 90 − 1) + x8 ( x80 − 1) + + x( x10 − 1) + g ( x) = x [(x10 )9 − 1] + x8 [(x10 )8 − 1] + + x( x10 − 1) + g ( x) ⇒ f ( x) Mg ( x) 44 43 4 14 43 Mx10 −1 d Ta có Mx10 −1 M x10 −1 f ( x) = x 3m +1 + x3m + + = ( x m+1 − x) + ( x3m +2 − x ) + ( x + x + 1) x3m +1 − x = x( x 3m − 1) = x[(x ) m − 1]Mx − = ( x − 1)( x + x + 1) x3m + − x = x ( x3m − 1) = x [(x ) m − 1]Mx3 − = ( x − 1)( x + x + 1) ⇒ f ( x) Mg ( x ) f ( x) = x m + + x n + + = x m + − x + x n + − x + x + x + = x [(x ) m − 1] + x [(x ) n − 1] + ( x + x + 1) 14 43 14 43 Mx −1 e x −1 x − = ( x ) − = ( x − 1)( x + 1); x + x + = ( x + x + 1)( x − x + 1) ⇒ f ( x) Mg ( x) 44 43 4 42 4 43 Mx − x +1 M x − x +1 Cách 3: Sử dụng phép biến đổi tương đương Muốn chứng minh f(x) chia hết cho g(x) ta chứng minh  f ( x ) + g ( x)Mg ( x )  f ( x ) − g ( x)Mg ( x ) ⇒ f ( x) Mg ( x)  Bài 3: Chứng minh f ( x) = x 99 + x88 + + x11 + 1Mg ( x) = x9 + x8 + + x + Lời giải: f ( x) − g ( x) = x 99 ( x 90 − 1) + x ( x80 − 1) + + x ( x10 − 1) 43 14 43 14 43 Mx10 −1 Ta có: Mà M x10 −1 M x10 −1 x10 − = ( x − 1)( x9 + x8 + x + + x + 1) ⇒ f ( x) − g ( x) Mg ( x) Lại có: g ( x) Mg ( x) ⇒ f ( x ) Mg ( x) Cách 4: Chứng tỏ nghiệm đa thức chia nghiệm đa thức bị chia - Cách áp dụng với toán mà đa thức chia dễ tìm nghiệm Bài 4: Chứng minh a b c d [f ( x) = ( x + x − 1)10 + ( x − x + 1)10 − 2]Mg ( x) = x − x f ( x) = ( x + 1)2 n − x n − x − 1; g ( x) = x( x + 1)(2 x + 1)∀n ∈ N f ( x) = ( x − 2) n + ( x − 3) n − 1Mg ( x) = x − x + 6∀n ∈ N * f ( x ) = x − x − x1945 Mg ( x ) = x − x + Lời giải: a x = g ( x) = ⇔ x − x = ⇔  x = , Vậy g(x) có hai nghiệm x = ; x = f (1) = 0; f (0) = ⇒ f ( x) M( x − 1); f ( x) Mx b c , mà x x -1 không chứa nhân tử chung Vậy −1  −1  g ( x) = ⇔ x ∈ 0; −1;  ; f (0) = 0; f (−1) = 0; f ( ) = ⇒ f ( x) Mg ( x) 2  g ( x) = ⇔ x ∈ { 2;3} ; f (2) = f (3) = ⇒ f ( x) Mg ( x) d Ta có: f ( x) = x − x9 − x1945 = x − x + − ( x9 + 1) − ( x1945 − x) x − x + 1Mx − x + 1(1); x + = [( x3 )3 + 1]M( x3 + 1) Mx − x + 1(2); x1945 − x = x( x1944 − 1) Mx + 1(conghiemx = −1)(3) Từ (1)(2)(3) ta có f(x) chia hết cho g(x) CHUYÊN ĐỂ 3: ĐA THỨC Bài 2: PHẦN DƯ TRONG PHÉP CHIA ĐA THỨC A Tìm dư phép chia đa thức mà không thực phép chia Cách 1: Tách đa thức bị chia thành tổng đa thức chia hết cho đa thức chia dư Bài 1: Tìm dư phép chia a c e f ( x ) = x + x + x + 1; g ( x) = x − b f ( x) = x 41 ; g ( x) = x + d f ( x ) = x100 + x 99 + + x + 1; g ( x ) = x + x + f ( x) = x 100 10 f ( x) = x 43 ; g ( x) = x + f + x + + x + 1; g ( x) = x − x + 90 f ( x) = x 27 + x9 + x3 + x; g ( x ) = x − f ( x) = x100 + x99 + + x + 1; g ( x) = ( x + 1)( x + 1) g h f ( x) = x10 + x + + x + 1; g ( x) = x − x − Lời giải: a f ( x ) = ( x − x5 ) + (2 x − x ) + (3x3 − x) + (3x + 1) = x ( x − 1) + x ( x − 1) + x( x − 1) + x + Vậy đa thức dư là: 3x + f ( x) = ( x 27 − x) + ( x9 − x) + ( x − x) + x = x[(x )13 − 1] + x[(x ) − 1] + x( x − 1) + x b , dư : 4x f ( x) = x 41 = ( x 41 − x) + x = x[(x )10 − 1] + x 42 43 Mx −1⇒Mx +1 c , Vậy dư : x f ( x) = x 43 = ( x 43 + x) − x = x[(x ) 21 + 1] − x 42 43 Mx +1 d , Vậy dư : -x f ( x ) = x100 + x99 + + x + = ( x100 + x99 + x 98 ) + ( x + 1) = ( x + x + 1)( x 98 + x 95 + + x ) + { x +1 4 44 4 4 43 du M ( x + x +1) e f f ( x) = x100 + x 90 + + x10 + = ( x100 + x ) + ( x90 − 1) + ( x80 − x ) + ( x 70 + x) + ( x 60 − 1) + ( x 50 − x ) + ( x 40 + x) + ( x 30 − 1) + ( x 20 − x ) + ( x10 + x ) + x − x + = x[(x )33 + 1] + [(x )15 − 1] + x [(x )13 − 1] + x[(x )33 + 1] + + 3( x − x + 1) − x +1 { du g g(x) có 101 số hạng, nhóm số hạng nhóm, dư : h f ( x) = x10 + x + + x + = ( x10 + x ) + ( x + 1) + ( x − x ) + ( x − x) + ( x + 1) + ( x + x ) + ( x + x) + ( x + 1) − x −1 { du f(x)=(x+2)(x+4)(x+60(x+8)+2008;g(x)=x + 10 + 21 Bài 2: Tìm số dư phép chia f(x)=(x+2)(x+4)(x+60(x+8)+2008 = ( x + 10 + 16)( x + 10 x + 24) + 2008 Lời giải: t = x + 10 x + 21(t ≠ −3; t ≠ −7) ⇒ P (t ) = t − 2t + 1993 { du Đặt Cách 2: Xét giá trị riêng ( phép chia ảo ) Bài 3: Tìm số dư f(x) cho g(x), biết a c f ( x ) = x + x + x + 1; g ( x) = x − b f ( x) = x10 + x + x + 1; g ( x) = x − x − f ( x ) = ( x + 1)( x + 3)( x + 5)( x + 7) + 1999; g ( x) = x + x + 12 Lời giải: a Gọi thương phép chia q(x) dư là: ax + b , ta có” x + x + x3 + = ( x − 1).q( x) + ax+b∀x Vì đẳng thức với x nên ta chọn x = x = -1, được: x = ⇒ = a + b a = ⇒ ⇒ du : x +   x = −1 ⇒ −2 = − a + b b = b Ta có : g ( x) = x − x − = ( x + 1)( x − 2) Thực phép chia f(x) cho g(x) ta được: f ( x ) = ( x + 1)( x − 2).q( x) + ax+b Cho  x = −1 ⇒ = −a + b a = 682 ⇒ ⇒ du : 682 x + 683   x = ⇒ 2047 = 2a + b b = 683 c Cách 1: f ( x) = ( x + 1)( x + 7)( x + 3)( x + 5) + 1999 = x + 16 x3 + 86 x + 176 x + 2014 = ( x + 2)( x + 6).q( x) + ax+b Cho  x = −2 ⇒ 1984 = b − 2a  a = ⇒ ⇒ du :1984   x = −6 ⇒ 1984 = b − 6a b = 1984 t = x + x + ⇒ f (t ) = t (t + 8) + 1999 = (t + 8t + 15) + 1984 = (t + 3)(t + 5) + 1984 { du Cách 2: Đặt Bài 4: Tìm đa thức f(x) biết : a f(x) chia cho x – dư 7, chia cho x – dư 5, chia cho (x-2)(x-3) thương 3x cịn dư b f(x) chia cho x – dư 5, chia cho x – dư 7, chia cho (x-2)(x-3) thương x2 - cịn dư c f(x) chia cho x + dư -5, chia cho x – dư 5, chia cho x2 + x - thương x2 + dư Lời giải: f ( x) = ( x − 3).g ( x) + 7(1); f ( x) = ( x − 2).h( x) + 5(2); f ( x) = ( x − 2)( x − 3) + ax+b(3) a Cho x = Cho x = b c (2) ⇒ f (2) = ⇒ 2a + b = 5(*)  (3) ⇒ f (2) = 2a + b (2) ⇒ f (3) = ⇒ 3a + b = 7(**).Tu : (*)(**) ⇒ a = 2; b = ⇒ f ( x) =  (3) ⇒ f (3) = 3a + b f ( x) = − x + 5x3 − x − 5x + f ( x) = ( x + x − 6)( x + 2) + ax+b=(x+3)(x-2)(x + 2) + ax+b Cho x = 2, ⇒ f (2) = a + b = 5; f ( −3) = −3a + b = −5 ⇒ a = 2; b = ⇒ f ( x) = x + x − x + x − 11 Bài 5: Giả sử đa thức f(x) chia x – dư 11, chia x2 – x + dư 3x + Tìm phần dư chi f(x) cho g(x) = x3 – 3x2 + 3x -2 Lời giải: g(x) = x3 – 3x2 + 3x -2 = ( x – )( x2 – x + 1); Thực phép chia f(x) cho g(x) ta được: f ( x ) = ( x − 2)( x − x + 1) + ax + bx + c f ( x) = ( x − 2).h( x ) + 11 Cho x = ⇒ f (2) = 4a + 2b + c = 11(1) Mặt khác: f ( x) = ( x − 2)( x − x + 1) + a( x − x + 1) + (a + b) x + c − a = ( x − + a)( x − x + 1) + ( a + b) x + c − a 44 43 du =3 x + c − a = 2(2) ⇒ Tu (1)(2)(3) ⇒ (a; b; c) = (1; 2;3) ⇒ du : x + x + a + b = 3(3)  Bài 6: Giả sử f(x) chia cho x + dư chia cho x2 + dư 2x + Tìm phần dư phép chia f(x) cho ( x + )( x2 + 1) Lời giải: f ( x ) = ( x + 2)( x + 1) + ax + bx + c +) +) f (−2) = ⇒ 4a − 2b + c = 4(1) b = 2(2) f ( x) = ( x + 2)( x + 1) + a(x + 1) + bx 14+2c 4−3a ⇒ c − a = 3(3) ⇒ (a, b, c) = (1, 2, 4) ⇒ du : x + x +  du BÀI TẬP VỀ NHÀ Bài 1: Chứng minh a x n + + 2.x n +1 + 1M( x − 1)2 ∀n ∈ N b ( x + 1) n + + ( x − 1) n + Mx + 1∀n ∈ N Bài 2: Chứng minh đa thức a b f ( x) = x95 + x94 + x + x + 1Mg ( x) = x 31 + x 30 + + x + x + f ( x) = x124 + x123 + + x + x + 1Mg ( x ) = x 24 + x 23 + + x + x + Bài 3: Chứng minh Bài 4: Chứng minh f ( x ) = x19 + x18 + + x + 1Mg ( x) = ( x + 1)( x + 1) f ( x) = x 24 + x18 + x12 + x + 1Mg ( x) = x + x + x + x + Lời giải: 10 x n + + 2.x 2n +1 + = ( x n +1 + 1) Bài 1: Lại có: x n +1 + 1M( x + 1) ⇒ ( x 2n +1 + 1) M( x + 1) Bài 2: Ta có Bài 3: Bài 4: ( x − 1) f ( x) = x 96 − = [(x 32 )3 − 1]M( x 32 − 1) = ( x − 1).g ( x) ⇒ f ( x)Mq( x) f ( x) = ( x19 + x16 ) + ( x3 + + 1) = ( x3 + + 1)( x16 + x12 + x8 + x + 1)M( x + 1)( x + 1) f ( x) = x ( x 20 − 1) + x3 ( x15 − 1) + x ( x10 − 1) + x( x − 1) + g ( x) = x ([(x )4 − 1] + x3 [(x )3 − 1] + x [(x ) − 1] + x( x − 1) + g ( x) 44 43 4 4 14 43 x5 −1 x −1 Bài 5: Chứng minh x −1 Mx −1 f ( x) = x80 + x 70 + 1Mg ( x) = x 20 + x10 + Lời giải: Đặt t = x10 ⇒ f (t ) = t + t + 1; g (t ) = t + t + f (t ) = (t − t ) + (t − t ) + t + t + = t [(t ) − 1] + t[(t ) − 1] + (t +t + 1) Mt + t + Bài 6: Tìm số a để đa thức f ( x) = x10 − ax + 3x + 2Mx + Lời giải: Ta có f ( x)Mx + ⇔ f (−2) = ⇔ 1024 − 4a − + = ⇔ a = 255 11 CHUYÊN ĐỂ 3: ĐA THỨC Bài 3: DÙNG PHƯƠNG PHÁP XÉT GIÁ TRỊ RIÊNG ĐỂ TÌM HỆ SỐ CỦA MỘT ĐA THỨC A Kiến thức cần nhớ Giả sử f(x) g(x) đa thức bậc f(x) lớn bậc g(x) Khi ln tồn đa thức q(x) r(x), thỏa mãn: f(x) = g(x) q(x) + r(x) Trong đó: Bậc r(x) nhỏ bậc g(x) Nếu r(x) ≡ ta nói f(x) chia hết cho g(x) Xét phép chia đa thức f(x) cho đa thức bậc x – a f(x) = (x-a) q(x) + r Cho x = a ⇒ f(a) = r - Kết luận: Phần dư phép chia đa thức f(x) cho x – a số f(a) - Nếu f(a) = hay x = a nghiệm đa thức f(x) f(x) chia hết cho x – a - Định lý Bơ Đu: Số dư phép chia đa thức f(x) cho nhị thức x – a giá trị f(x) x = a ⇒ f ( x)M( x − a ) ⇔ f (a ) = Bài 1: Xác định số a, b, c cho a b c d e f ( x ) = ax + bx + x − 50Mg ( x) = ( x + 5)( x − 2) f ( x) = x + ax + bx + c chia cho x – dư 9, chia cho x2 – dư 2x - f ( x) = x + 3x +5x + ax + b Mg ( x) = x + x + f ( x) = ax + bx + c M( x + 2) f ( x ) = x + ax + bx + c chia x2 – dư x + chia hết cho x – chia x2 – a dư 2x 12 Lời giải: a Gọi q(x) thương phép chia f(x) cho g(x) Ta có: ax + bx + x − 50 = ( x + 5)( x − 2).q( x) Xét giá trị riêng x = -5 ; x = , ta được:  x = −5 ⇒ −12a + 25b = 75 a = ⇒   x = ⇒ 8a + 4b = 40 b = b f ( x ) = ( x − 1).q( x) + x − Cho  x = ⇒ a + b + c = 0(1)   x = −1 ⇒ a − b + c = −4(2) Mặt khác: f(x) chia cho x - dư Từ (1)(2)(3) c ⇒ f (2) = ⇒ 4a + 2b + c = −7(3) ⇒ (a, b, c) = ( −3, 2,1) f ( x ) = ( x + 1)( x + 2).q ( x) ⇒ a = −1; b = d Ta có f ( x) = ( x + 2) p( x) ⇒ f ( −2) = ⇔ −8a + 4b + c = 0(1)  f (1) = a + b + c = 6(2) f ( x ) = ( x − 1)( x + 1).q ( x) + x + ⇒  (1)(2)(3) ⇒ (a, b, c ) = (1,1, 4)  f (−1) = −a + b + c = 4(3) ( a , b, c ) = ( e −10 10 ;1; ) 3 Bài 2: Đa thức P(x) có bậc 4, có hệ số bậc cao Biết P(1) = 0, P(3) = 0; P(5) = Tính Q = P(-2) + 7.P(6) Lờ giải: Ta có P(x) chia hết cho x – 1: x – ; x – bậc P(x) nên P(x) có dạng: 13 P ( x ) = ( x − 1)( x − 2)( x − 3)( x − a ) P( −2) + p(6) = ( −3)(−5)(−7)(−2 + a) + 7.5.3.1( a + 6) = −105( a − 2) + 105( a + 6) = 840 Bài 3: [GVG Tỉnh – Bắc Ninh : 09/12/2016 ] Tìm đa thức f(x), biết f(x) chia cho x – dư 5, f(x) chia cho x – dư 7, chia cho (9x2)(x-3) thương x2 – đa thức dư bậc x Lời giải: Gọi dư phép chia f(x) cho (x-2)(x-3) ax + b Ta có: f ( x) = ( x − 2)( x − 3)( x − 1) + ax+b Theo ta có:  f (2) = ⇒ 2a + b = a = ⇒   f (3) = ⇒ 3a + b = b = Bài 4: Tìm f(x), biết f(x) chia cho x – x – dư f(x) chia cho x2 – 4x + thương x + dư Lời giải: f(x) chia cho x – dư f(x) chia cho x – dư ⇒ f ( x ) = ( x − 1).g ( x) + 2(1) ⇒ f ( x ) = ( x − 3).h( x ) + 2(2) f(x) chia cho x2 – 4x + x + dư Từ (1), cho x = ⇒ a + b = 2(4) Từ (2)(3) cho x = Từ (4)(5) ⇒ f ( x ) = ( x − x + 3)( x + 1) + ax+b(3) ⇒ 3a + b = −2(5) a = 0; b = ⇒ f ( x ) = ( x − x + 3)( x − 1) + 14 Bài 4: ĐẶT PHÉP CHIA ĐỂ TÌM HỆ SỐ Bài 1: Tìm a, b cho f ( x) = x − x3 y − x y + axy3 + by Mg ( x) = x − xy + y Lời giải: Đặt phép chia f ( x) = g ( x).( x + xy − y ) + (a − 7) xy + (b + 6) y Để phép chia hết dư phải a − = a = ⇒ ⇒ b + = b = −6 15 Bài 2: Với giá trị a, b đa thức ax4 + bx3 + chia hết cho (x-1)2 Lời giải: Ta có: ax + bx3 + = ( x − 1) [ax + (b + 2a) x + 3a + 2b] + (−b − 2a + 6a + 4b).x + − 3a − 2b Để phép chia hết dư phải Bài 3: Tìm số a, b cho : −b − 2a + 6a + 4b = a = ⇒ ⇔ −1 − 3a − 2b = b = −4 3x − x y + x3 y + 3x y − axy − by M3 x3 − xy + y Lời giải: Thực phép chia ta thương: x2 – xy + y2 dư: -(a-5)xy4 – (b+2)y5 Để phép chia hết dư phải * Bài : Tìm số a, b, c cho: −(a − 5) = a = ⇔ ⇔ b + = b = −2 x + 81Max + bx + c Lời giải: Ta có: x + 34 = (2 x + 32 )2 − (6 x) = (2 x − x + 9)(2 x + x + 9) Chia hết cho a b c 2  = −6 = ≠ 0(k ≠ 0)  ax + bx + c = k (2 x − x + 9)( k ≠ 0) a = k ; b = − k ; c = k  ax + bx + c ⇔  ⇔ ⇔ a = h ; b = h ; c = h ax + bx + c = h (2 x + x + 9)( h ≠ 0)   a = b = c ≠ 0(h ≠ 0)   Bài 5: Tìm số nguyên a, b cho f ( x) = x − x3 + ax+b Mg(x)=x − 3x + Lời giải: a = f ( x) = g ( x).( x − 1) + ( a − 3) x + b + ⇒  b = −4 16 ... cho g(x) CHUYÊN ĐỂ 3: ĐA THỨC Bài 2: PHẦN DƯ TRONG PHÉP CHIA ĐA THỨC A Tìm dư phép chia đa thức mà không thực phép chia Cách 1: Tách đa thức bị chia thành tổng đa thức chia hết cho đa thức chia... −2 + b n−1 ) B Bài tập dạng toán Dạng 1: Chứng minh đa thức chia hết cho đa thức ( Xét đa thức biến ) Cách 1: Phân tích đa thức bị chia thành nhân tử có thừa số đa thức chia Nếu  f ( x)Mg ( x)... f ( x) = x99 + x 88 + + x11 + = ( x99 − x9 ) + ( x 88 − 8) + ( x11 − x) + x9 + x8 + + x + = x ( x 90 − 1) + x8 ( x80 − 1) + + x( x10 − 1) + g ( x) = x [(x10 )9 − 1] + x8 [(x10 )8 − 1] + + x(