Giáo án bồi dưỡng học sinh giỏi toán 8 chuyên đề chia hết của đa thức

GIÁO ÁN BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI TOÁN CHUYÊN ĐỀ: CHUYÊN ĐỀ: CHIA HẾT CỦA ĐA THỨC A LÝ THUYẾT Định nghĩa: - Cho A B hai đa thức đa thức P R cho: A = B.Q + R (B ≠ 0) , Khi tồn cặp hai R= , Trong đó: bậc R nhỏ bậc B Q đa thức thương, R dư - Nếu R = phép chia A cho B phép chia hết Mở rộng: - Có thể dử dụng thêm phương pháp: ( a + b ) : ( a + b) = a − ab + b + Sử dụng đẳng thức: 2 ( a − b ) : ( a + b) = a − b + Sử dụng thêm phương pháp phân tích thành nhân tử, nhẩm nghiệm + Sử dụng định lý: Bơzu Lược đồ Horner B LUYỆN TẬP Dạng 1: SỬ DỤNG ĐỊNH LÝ BOWZU TÌM SỐ DƯ Định nghĩa: - Định lý Bơ-zu: ” Dư phép chia f(x) cho nhị thức bậc x - a số có giá trị f(a)” Hệ quả: - Nếu a nghiệm đa thức f ( x) f ( x) M( x − a) Bài 1: Không thực phép chia, xét xem, hết cho x-2 khơng, có chia hết cho x+2 khơng? HD: Theo định lý Bơ- zu dư thức bậc x - f ( x ) = 3x3 − x − x + f ( x ) = 3x − x − x + có chia chia cho nhị có giá trị là: Tương tự: f ( ) = 2.23 − 2.22 − 9.2 + = Vậy f ( x ) M( x − ) f ( x ) = 3x − x − x + Số dư chia cho x + có giá trị là: f ( −2 ) = ( −2 ) − ( −2 ) − ( −2 ) + = −4 Vậy / ( x + 2) f ( x) M Bài 2: Tìm số a để HD: x3 − x + x + a Mx + Theo định lý Bơ- zu dư thức bậc x+2, f ( x ) = x3 − x + x + a chia cho nhị f ( −2 ) = ( −8 ) − 3.4 − + a = a − 22 có giá trị là: Để f(x) chia hết cho x+2 a-22=0 hay a=22 Bài 3: Tìm hế số a để: HD: x − x + a Mx − Theo định lý Bơzu dư bậc x - 3, f ( x ) = 4x2 − 6x + a chia cho nhị thức f ( 3) = 4.9 − 6.3 + a = a + 18 có giá trị là: Để f(x) chia hết cho x - a + 18 = hay a = -18 Bài 4: Tìm hế số a để: HD: x + x + a Mx + Theo định lý Bơzu dư f ( x ) = 2x2 + x + a chia cho nhị thức bậc f ( −3) = 2.9 − + a = a + 15 x + 3, có giá trị là: Để f(x) chia hết cho x + a + 15 = hay a = -15 Bài 5: Tìm hế số a để: HD: 10 x − x + a M2 x − Hạ phép chia ta có: Để 10 x − x + a = ( x − 3) ( 5x + ) + ( a + 12 ) 10 x − x + a M2 x − => a + 12 = => a = −12 x + ax + 1: x − Bài 6: Tìm hế số a để: HD : Theo định lý Bơzu ta có : Dư f ( x ) = x + ax + Để có số dư dư , chia cho x - f ( 3) = 2.9 + 3a + = 3a + 19 3a + 19 = => 3a = −15 => a = −5 ax5 + x − 9Mx − Bài 7: Tìm hế số a để: HD : Theo định lý Bơ- Zu ta có : Dư f ( x ) = ax + x − Để có phép chia hết Bài 8: Tìm hế số a để: HD : a − = => a = x − 26 x + a M2 x − Hạ phép chia ta có: Để , chia cho x - f ( 1) = a + − = a − x − 26 x + a = ( x − 3) ( x − ) + a − 21 x − 26 x + a M2 x − => a − 21 = => a = 21 x − x + x − x + a Mx − x + Bài 9: Tìm hế số a để: HD : Hạ phép chia đồng nhất, ta có: x − x + x − x + a = ( x − x + ) ( x + 1) + a − Để phép chia phép chia hết a - = hay a = Bài 10: Tìm hế số a, b để: x3 + ax + bMx + x − HD : Hạ phép chia ta có: x + ax + b = ( x + x − ) ( x − 1) + ( a + ) x + b − Để phép chia hết a + 3=0 b-2 =0 hay a=-3 b=2 x3 + ax − 4Mx + x + Bài 11: Tìm hế số a để: HD : Hạ phép chia ta có : x3 + ax − = ( x + x + ) ( x + a − ) + ( 12 − 4a ) x + 12 − 4a Để phép chia hết 12-4a=0 hay a=3 Bài 12: Tìm hế số a để: HD : x + ax + bMx −  x + ax + b Mx −   x + ax + b Mx + x + ax + bMx − Để Áp dụng định Bơzu ta có: f ( x ) = x + ax + b => f ( ) = 16 + 2a + b = f ( −2 ) = 16 − 2a + b = Và: Giải hệ ta a = b = -16 Bài 13: Tìm hế số a để: HD : Để x + ax + bx − 1Mx − x + ax + bx − 1Mx − Áp dụng định Bơzu ta có: Và: f ( −1) = − a + b − =  x + ax + bx − 1Mx −   x + ax + bx − 1Mx + f ( x ) = x + ax3 + bx − => f ( 1) = + a + b − = , Giải hệ ta a tùy ý b = - a x + ax + b Mx + x − Bài 14: Tìm hế số a để: HD : x3 + ax + b = ( x + x − ) ( x − ) + ( a + b ) x + b − Hạ phép chia ta có : Để phép chia phép chia hết : a+b=0 b-4=0=> b=4 a=-4 Bài 15: Tìm hế số a để: HD : x + ax + b Mx − x + Hạ phép chia ta có : x + ax + b = ( x − x + 1) ( x + x + a ) + ( a − 1) x + a − b Để phép chia hết a-1=0 a-b=0=> a=b=1 ax3 + bx + x + 50Mx + 3x − 10 Bài 16: Tìm hế số a để: HD : Hạ phép chia ta có : ax3 + bx + x + 50 = ( x + 3x − 10 ) ( ax + 3a − b ) + ( a + 3b + ) x + ( 30a − 10b + 50 ) Để phép chia hết a+3b+5=0 30a-10b+50=0 ax + bx3 + 1M( x − 1) Bài 17: Tìm hế số a để: HD : Hạ phép chia ta có : ax + bx + = ( x − x + 1) a.x + ( 2a + b ) x + ( 3a + 2b )  + ( 8a + 5b ) x − ( 3a + 2b − 1) Để phép chia hết : 8a + 5b = 3a + 2b - 1=0 x + 4M( x + ax + b ) Bài 18: Tìm hế số a để: HD : x4 + = ( x2 + x + ) ( x2 − x + ) Tách: Vậy b = a = a = -2 Bài 19: Tìm hế số m để: HD : x − 3x3 + x − x + mMx − x + x − x + x − x + m = ( x − x + 1) ( x − x + 3) + m − Ta có: Để phép chia hết m – = => m = Bài 20: Tìm hế số a để: HD : 10 x − x + a M2 x − 10 x − x + a = ( x − 3) ( x + ) + a + 12 Hạ phép chia ta có: Để phép chia hết a + 12 = hay a = -12 Bài 21: Tìm hế số a để: HD : x + ax − 4Mx + Theo định lý Bơ- Zu ta có, Dư là: f ( x ) = x + a x − chia cho x + f ( −4 ) = 2.16 − 4a − = 28 − a Để phép chia hết 28 - 4a = => a = Bài 22: Tìm hế số a để: HD : x − ax + x + 3Mx + x + Hạ phép chia ta có: x − a.x + x + = ( x + x + 3)  x − ( a + )  + ( 2a + ) x − 3a − 3 Để phép chia hết -3a - = => a = -1 Bài 23: Tìm hế số a để: HD : x − ax − 5a − Mx + 2a f ( x ) = x − a.x − 5a − Theo định lý Bơ- Zu ta có, Dư + 2a là: f ( −2a ) = 4a + 2a − 5a − 1 = a2 − 4 chia cho x , Để phép chia hết 1 a − = => a = ± x + x3 + x + x 27 + x81 Bài 24: Tìm số dư chia cho x - HD : P ( x ) = ( x − 1) + ( x − 1) + ( x − 1) + ( x 27 − 1) + ( x81 − 1) + Ta có : nên số dư x + x3 + x + x 27 + x81 x2 − Bài 25: Tìm số dư : chia cho HD : P ( x ) = ( x − x ) + ( x − x ) + ( x 27 − x ) + ( x 81 − 1) + x Ta có : => Dư 5x P ( x ) = + x + x + x 25 + x 49 + x 81 Bài 26: Xác định dư của: chia cho HD : P ( x ) = ( x − x ) + ( x 25 − x ) + ( x 49 − x ) + ( x 81 − x ) + x + = x ( x8 − 1) + x ( x 24 − 1) + x ( x 48 − 1) + x ( x80 − 1) + x − , Vậy số dư : 5x - 3n + 10n − 5M 3n + Bài 27: Tìm n nguyên để: HD : Hạ phép chia ta có : Để x3 − x 3n3 + 10n − = ( 3n + 1) ( n + 3n − 1) − 3n3 + 10n − 5M3n + => 4M3n − => 3n − 1∈ U ( ) = { ±1; ±2; ±4} Bài 28: Tìm n nguyên để HD : 2n − n + 2M2n + Hạ phép chia ta có : 2n − n + = ( 2n + 1) ( n − 1) + Để : 2n − n + 2M2n + => 3M2n + => 2n + 1∈ U ( ) = { ±1; ±3} x − x + x M2 x − Bài 29: Tìm số x nguyên để HD : Hạ phép chia ta có : Để x − x + x = ( x − 1) ( x − x + ) + x − x + x M2 x − => 3M2 x − => x − ∈ U ( ) = { ±1; ±3} Bài 30: Tìm số x nguyên để: HD : x − x + x − 83Mx − Theo định Bơ zụ dư f ( 3) = 4.27 − 3.9 + 2.3 − 83 = f ( x ) = x − 3x + x − 83 , chia cho x-3 : Để x − x + x − 83Mx − => x − ∈U ( ) = { ±1; ±2; ±4} Bài 31: Tìm số x nguyên để: HD : Hạ phép chia ta có : Để 4n3 − 4n − n + = ( 2n + 1) ( 2n − 3n + 1) + 4n3 − 4n − n + 4M2n + => 3M2n + => n + ∈ U ( 3) = { ±1; ±3} Bài 32: Tìm số x nguyên để: HD : Hạ phép chia ta có : Để 4n3 − 4n − n + 4M2n + 8n − 4n + 1M2n + 8n − 4n + = ( 2n + 1) ( 4n − ) + 8n − 4n + 1M2n − => 5M2n − => 2n − ∈ U ( ) = { ±1; ±5} Bài 33: Tìm số x nguyên để: HD : Hạ phép chia ta có : 3n3 + 8n2 − 15n + = ( 3n − 1) ( n2 + 3n − ) + 3n3 + 8n2 − 15n + 6M3n − => 2M3n − => 3n − 1∈ U ( ) = { ±1; ±2} Để Bài 34: Tìm số x nguyên để: HD : Hạ phép chia ta có : Để 3n3 + 8n − 15n + 6M3n − 4n3 − 2n − 6n + 5M2n − 4n3 − 2n − 6n + = ( 2n − 1) ( 2n − 3) + 4n3 − 2n − 6n + 5M2n − => 2M2n − => 2n − ∈ U ( ) = { ±1; ±2} Bài tập chưa làm : Bài 1: Tìm phần dư phép chia f ( x ) = x 2012 + x 2011 + cho đa thức : x −1 a, x2 + x + b, HD: P ( x) = x + x + x − 40 x + m − 1979 Bài 2: Cho đa thức: a, Tìm m cho P(x) chia hết cho x-2 b, Với m tìm được, giải thích phương trình P(x)=0 HD: Bài 3: Tìm số nguyên n cho: HD: 3n3 + 10n2 − chia hết cho 3n+ Dạng 2: TÌM ĐA THỨC f ( x ) = x + ax + b Bài 1: Tìm a, b cho dư -5 HD : , chia cho x + dư 7, chia cho x - f ( x ) = ( x + 1) A ( x ) + f ( x ) = ( x − 3) B ( x ) − , Cho x = -1, x = 3=> a − b = −8  3a + b = −32 Theo ta có: Bài 2: Tìm số a, b, c cho: x −1 ax3 + bx + c chia hết cho x + 2, chia cho dư HD : x − = ( x − 1) ( x + 1) Theo ta có: f ( x ) = a.x + bx + c = ( x + ) A ( x ) Khi dó ta có : => Cho x = - ta có : - 8a + 4b + c = Cho x = 1=> a + b + c = Cho x = -1 => - a + b + c = Khi ta có hệ:  −8a + 4b + c =  a + b + c = −a + b + c =  Bài 3: Xác định a, b biết: 21 HD : Theo ta có : f ( x ) = ( x − 1) ( x + 1) B ( x ) + 2x + ax + b chia cho x + dư -6, chia cho x - dư f ( x ) = x3 + a.x + b = ( x + 1) A ( x ) − f ( x ) = 2.x + a.x + b = ( x − ) B ( x ) + 21 Cho Cho x = −1 => −2 − a + b = −6 x = => 16 + 2a + b = 21 Khi ta có hệ : −2 − a + b = −6  16 + 2a + b = 21 Bài 4: Tìm hệ số a, b cho: 2x - HD : x − x − x + ax + b chia cho x2 − x − dư Theo ta có : Nên ta có : Cho Cho x − x − = ( x − ) ( x + 1) f ( x ) = x − x − x + a.x + b = ( x − ) ( x + 1) + x − x = => 16 − − 12 + 2a + b = x = −1 => + − − a + b = −6 Khi ta có hệ  2a + b =  − a + b = −5 P ( x) = x + x3 − x + ax + b, Q ( x ) = x + x − Bài 5: Cho , Xác định a, b để HD : Đặt phép chia ta có : P ( x ) = x + x − x + a.x + b = ( x + x − ) A ( x ) + ( a − 1) x + b + Để a − = a = P ( x ) MQ ( x ) =>  =>  b + = b = −2 Bài 6: Xác định số hữu tỉ a, b, c cho: 2, chia cho HD : P ( x ) MQ ( x ) x2 − 2x + ax + bx + c chia hết cho x - dư 2x Theo ta có : f ( x ) = x + a.x + bx + c = ( x − ) A ( x ) f ( x ) = x + a.x + bx + c = ( x − 1) ( x + 1) B ( x ) + x Và Cho Cho Cho x = => 32 + 4a + 2b + c = x = => + a + b + c = x = −1 => + a − b + c = −2 4a + 2b + c = −32  a + b + c = a − b + c = −4  Khi ta có hệ : P ( x ) = ax + bx + 1M Q ( x ) = ( x − 1) Bài 7: Xác định a, b cho: HD : P ( x ) = a.x + bx3 + = ( x − 1) A ( x ) + ( 4a + 3b ) x + − 3a − 2b Đặt phép chia: Để  4a + 3b = P ( x ) MQ ( x ) =>  1 − 3a − 2b = 10 Bài 8: Xác định a, b cho: HD : Đặt phép chia x − x + ax + x + Mx − x + b x − x + a.x + x + = ( x − x + b ) A ( x ) + ( a − 5b + ) x + ( 6b − ab + b + )  a − 5b + =  6b − ab + b + = Để phép chia hết Bài 10: Tìm đa thức f(x) biết: f(x) chia cho x + dư 9, f(x) chia cho x f ( x ) : x + x − 12 x2 + - dư 2, có thương dư HD : f ( x ) = ( x + x − 12 ) ( x + 3) + ax + b = ( x − 3) ( x + ) ( x + 3) + ax + b  f ( x ) = −4a + b = x = −4, x = =>   f ( x ) = 3a + b = Cho Bài 11: Xác định đa thức Khi ta có hệ : A ( x ) = ax + bx + c −4a + b =  3a + b = 2 A( x) : x + x − , biết: A(x) chia hết cho x - dư 3x + HD : Ta có : x + x − = ( x − 1) ( x + ) Khi ta có : Và A ( x ) = a.x3 + bx + c = ( x − ) B ( x ) A ( x ) = a.x + bx + c = ( x − 1) ( x + ) C ( x ) + 3x + Cho x = => 8a + 4b + c = x = −2 => −8a + 4b + c = −4 , Cho x = => a + b + c = , Cho 8a + 4b + c =  −8a + 4b + c = −4 a + b + c =  Khi ta có hệ : Bài 12: Tìm đa thức f(x) biết: f(x) chia cho x - dư 2, f(x) chia cho x + dư 9, f ( x ) : x + x − 12 x +3 thương dư HD : 11 x + x − 12 = ( x − 3) ( x + ) Do f(x) chia ta có : f ( x ) = ( x + ) ( x − ) ( x + ) + a.x + b Cho Cho thương x2 + dư x = −4 => f ( x ) = −4a + b = x = => f ( x ) = 3a + b = Khi ta có hệ: −4a + b =  3a + b = 12 Bài 13: Tìm đa thức bậc P(x) biết, P(x) chia cho đa thức (x - 1), (x 2), (x - 3) dư 6, P(-1) = - 18 HD : Ta có: f ( x) − chia hết cho x − 1, x − 2, x − Vì f(x) đa thức bậc nên f(x) có dạng m số Lại có : Vậy f ( x) − = m( x − 1) ( x − 2) ( x − 3) , f ( −1) = −18 => −18− = m( −2) ( −3) ( −4) m= f ( x) − = ( x − 2) ( x − 3) ( x − 4) => f ( x) = x3 − 6x2 + 11x Bài 14: Tìm đa thức bậc biết: HD : P(−1) = 0, P ( x ) − P ( x − 1) = x ( x + 1) ( x + 1) P ( ) − P ( −1) = Cho x = 0=> mà P(-1) = => P(0) = Lần lượt cho x = -2, 1, ta có: P(-2) = 0, P(1) = 6, P(2) = 36 P ( x ) = e + d ( x + ) + c ( x + ) ( x + 1) + b ( x + ) ( x + 1) x + a ( x + ) ( x + 1) x ( x − 1) Đặt Chọn x = -2 => e = Chọn x = -1 => d = Chọn x = => c = Chọn x = => b = Chọn x = => a = 1/2 P ( x) = ( x + ) ( x + 1) x ( x − 1) + ( x + ) ( x + 1) Vậy đa thức cần tìm là: Bài 15: Tìm đa thức P(x) thỏa mãn: P(x) chia cho x + dư 1, P(x) chia cho x - dư 8, chia cho (x + 3)(x - 4) thương 3x, cịn dư HD : Vì P(x) chia cho (x + 3)(x - 4) thương 3x dư nên ta có: P ( x ) = ( x + 3) ( x + ) x + ax + b Cho Cho Và x = −3 => P ( x ) = = −3a + b P ( x ) = ( x + 3) A ( x ) + Và P ( x ) = ( x − 4) B ( x ) + x = => P ( x ) = = 8a + b −3a + b =  8a + b = Khi ta có hệ: Bài 16: Tìm đa thức bậc hai P(x) biết: P(0) = 19, P(1) = 5, P(2) = 1995 13 HD : P ( x ) = c + b ( x − ) + a ( x − ) ( x − 1) Đặt: Cho x = => c = 19 Cho x = => b = -14 Cho x = => a = 1002 P ( x ) = 1002 x ( x − 1) − 14 x + 19 Vậy đa thức cần tìm là: Bài 17: Tìm đa thức bậc ba P(x) biết: P(0) = 10, P(1) = 12, P(2) = 4, P(3) = HD : Đặt Cho Cho Cho P ( x ) = d + cx + bx ( x − 1) + ax ( x − 1) ( x − ) x = => P ( ) = 10 = d x = => P ( 1) = 12 = c + d => c = x = => P ( ) = = d + 2c + 2b => b = −5 x = => P ( 3) = = d + 3c + 6b + 6a => a = Cho P ( x) = 5 x ( x − 1) ( x − ) − x ( x − 1) + x + 10 Vậy đa thức cần tìm là: Bài 18: Tìm đa thức bậc hai biết: P(0) = 19, P(1) = 85, P(2) = 1985 HD : Đặt Cho Cho Cho P ( x ) = a.x ( x − 1) + bx + c x = => P ( ) = 19 = c => c = 19 x = => P ( 1) = 85 = b + c => b = 66 x = => P ( ) = 1985 = 2a + 2b + c => a = 917 Vậy đa thức bậc hai cần tìm là: P ( x ) = x + ax + Bài 19: Cho đa thức: Q(x) có nghiệm chung HD : Giả sử nghiệm chung c => P ( x ) = 917 x ( x − 1) + 66 x + 19 Q ( x ) = x + ax + , xác định a để P(x) P ( x ) − xQ ( x ) = x − => P ( c ) − cQ ( c ) = c − P ( c ) = Q ( c ) = => c − = => c = x = c nghiệm , Nên Khi c = => P(1) = Q(1) = a + = = > a = - , 14 Vậy a = - P(x) Q(x) có nghiệm chung Bài tập chưa làm: Bài 1: Tìm đa thức f(x) biết f(x) chia x-2 dư 3, chia cho x-5 dư chia cho x − x + 10 thương x2 + dư Bài 2: Xác định số hữ tỉ a, b cho x + ax + b chia hết cho x2 − 2x − P ( x ) = ax + bx + c Bài 3: Cho đa thức bậc hai : biết P(x) thỏa mãn hai điều kiện sau : P(0)=-2, 4.P(x)-P(2x-1)=6x-6 CMR :a+b+c=0 xác định đa thức P(x) Bài 4: Cho đa thức: 2)=-14 f ( x ) = ax + bx + c , Xác định a,b,c biết f(0)=2, f(1)=7,f(- Bài 5: Cho đa thức bậc f(x)=ax+b, Hãy tìm điều kiện b để thỏa mãn f ( x1 + x2 ) = f ( x1 ) + f ( x2 ) hệ thức: với x Bài 6: Cho đa thức: f ( 1) = 7, f ( −2 ) = −14 Bài 7: Cho đa thức: giá trị x f ( x ) = ax + bx + c , Xác định hệ số f ( x ) = x8 − x + x − x + , CMR f ( x) f ( 0) = , dương với Bài 8: Cho a b hai số tự nhiên Số a chia dư 1, số b chia dư 2, CMR: ab chia dư f ( x) = x3 + 2ax2 + 4x − 3b Bài 9: Cho đa thức: Tìm hệ số a, b biết chia đa thức cho x-3 ta đa thức dư -5 chia đa thức cho x+1 dư -1 Bài 10: Xác định hệ số a, b để x4 + a.x2 + b chia hết cho x2 + x + 15 A = x4 − 2x3 − 2x + m− B = x2 − 2x − Bài 11: Cho đa thức: đa thức: , Tìm m để đa thức A chia cho đa thức B có dư giá trị ẩn làm cho đa thức B 16 ... biết chia đa thức cho x-3 ta đa thức dư -5 chia đa thức cho x+1 dư -1 Bài 10: Xác định hệ số a, b để x4 + a.x2 + b chia hết cho x2 + x + 15 A = x4 − 2x3 − 2x + m− B = x2 − 2x − Bài 11: Cho đa thức: ... + b = 12 Bài 13: Tìm đa thức bậc P(x) biết, P(x) chia cho đa thức (x - 1), (x 2), (x - 3) dư 6, P(-1) = - 18 HD : Ta có: f ( x) − chia hết cho x − 1, x − 2, x − Vì f(x) đa thức bậc nên f(x) có... x + ) ( x + 1) Vậy đa thức cần tìm là: Bài 15: Tìm đa thức P(x) thỏa mãn: P(x) chia cho x + dư 1, P(x) chia cho x - dư 8, chia cho (x + 3)(x - 4) thương 3x, dư HD : Vì P(x) chia cho (x + 3)(x