Giáo án bồi dưỡng học sinh giỏi toán 8 chuyên đề phân tích đa thức thành nhân tửdocx

CHUYÊN ĐỀ: PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ GIÁO ÁN BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI TOÁN CHUYÊN ĐỀ: A LÝ THUYẾT Phương pháp: Dùng máy tính nhẩm nghiệm tổng hệ số đa thức có nghiệm x = Tổng hệ số bậc chẵn tổng hệ số bậc lẻ đa thức có nghiệm x = - 1 số HĐT đáng nhớ: 1, 2, ( a + b) = a + b2 + 2ab = ( a − b ) + 4ab ( a − b) = a + b − 2ab = ( a + b ) − 4ab 2 a + b2 = ( a + b ) − 2ab = ( a − b ) + 2ab 3, a + b = ( a + b ) ( a − ab + b ) = ( a + b ) − 3ab ( a + b ) 4, a − b3 = ( a − b ) ( a + ab + b ) = ( a − b ) + 3ab ( a − b ) 5, ( a + b2 ) = ( a + b ) + ( a − b ) 6, 7, 8, ( a + b) − ( a − b ) = 4ab 2 a + b4 = ( a + b ) ( a − b )  ( a + b ) − 2ab    9, 2 a + b = ( a + b ) − 2ab  − ( ab )   10, 11, 3 a + a 2b + b4 = ( a + ab + b2 ) ( a − ab + b2 ) a + a + = ( a + a + 1) ( a − a + 1) 12, a + b + c − 3abc = ( a + b + c ) ( a + b + c − ab − bc − ca ) 2 Face Nguyễn Văn Ma ( Tuấn) – Gmail: Sinhlaobenhtu0388765490@gmail.com B LUYỆN TẬP a + 4a − 29a + 24 Bài 1: Phân tích đa thức thành nhân tử: HD: Bấm máy nhận thấy đa thức có ba nghiệm 1,3 -8, nên có chứa nhân tử (a - 1), (a - 3) (a + 8), a + 4a − 29a + 24 = ( a − a ) + ( 5a − 5a ) + ( −24a + 24 ) Ta có: a ( a − 1) + 5a ( a − 1) − 24 ( a − 1) = ( a − 1) ( a + 5a − 24 ) ( a − 1) ( a − 3) ( a + ) = x + x3 + x − x + Bài 2: Phân tích đa thức thành nhân tử: HD: Nhận thấy đa thức bậc không dùng máy tính Và đa thức khơng có hai nghiệm -1 Tuy nhiên đa thức lại có hệ số cân xứng nhau: Nên ta làm sau: −6   1    x + x3 + x − x + = x  x + x + + + ÷ = x  x + +  x − ÷+ ÷ x x  x x     x− Đặt 1 = t => x + = t + x x a thức trở thành : Đ x ( t + + 6t + ) = x ( t + 6t + ) = x ( t + 3) 2  x2 − + 3x    2 x  x − + ÷ = x2  ÷ = ( x + x − 1) x x     Thay t trở lại ta : Vậy x + x3 + x − x + = ( x + x − 1) x3 + x + 11x + Bài 3: Phân tích đa thức thành nhân tử: HD : Bấm máy ta thấy đa thức có ba nghiệm nguyên -1, -2, -3, nên ta phân tích : x3 + x + 11x + = ( x + 1) ( x + ) ( x + 3) Bài 4: Phân tích đa thức thành nhân tử: HD : ( x + 1) ( x + 3) ( x + 5) ( x + ) + 15 Face Nguyễn Văn Ma ( Tuấn) – Gmail: Sinhlaobenhtu0388765490@gmail.com Với dạng này, ta việc lấy số nhỏ nhân với số lớn nhất, để tạo số hạng giống : ( x + 1) ( x + ) ( x + 3) ( x + ) + 15 = ( x + x + ) ( x + x + 15 ) + 15 x + x = t => ( t + ) ( t + 15) + 15 = t + 22t + 105 + 15 = t + 22t + 120 Đặt = ( t + 10 ) ( t + 12 ) = ( x + x + 10 ) ( x + x + 12 ) = (x + x + 10 ) ( x + ) ( x + ) x + 2x2 + Bài 5: Phân tích đa thức thành nhân tử: HD : Nhận thấy đa thức đẳng thức nên ta có : x + x + = ( x + 1) x − x + 17 x − Bài 6: Phân tích đa thức thành nhân tử: HD : x= Bấm máy tính cho ta có nghiệm , nên có nhân tử : (3x - 1) x − x + 17 x − = x − x − x + x + 15 x − 3 2 nên ta có : = x ( x − 1) − x ( x − 1) + ( x − 1) = ( x − 1) ( x − x + ) x3 − x + x − Bài 7: Phân tích đa thức thành nhân tử: HD : x= Bấm máy tính cho ta có nghiệm , nên có nhân tử : (2x - 1) x − x + 8x − = x − x − x + x + x − 3 2 Nên ta có : = x ( x − 1) − x ( x − 1) + ( x − 1) = ( x − 1) ( x − x + ) Bài 8: Phân tích đa thức thành nhân tử: HD : x − 14 x + x + x= Bấm máy tính cho ta nghiệm : −1 nên có nhân tử : (3x + 1) 3x − 14 x + x + = 3x + x − 15 x − x + x + 3 2 Ta có : x ( 3x + 1) − x ( x + 1) + ( x + 1) = ( x + 1) ( x − x + ) Face Nguyễn Văn Ma ( Tuấn) – Gmail: Sinhlaobenhtu0388765490@gmail.com x3 + x + x + Bài 9: Phân tích đa thức thành nhân tử: HD : bấm máy tính cho ta nghiệm : x= -1 x= -2 x + x + x + = ( x + 1) ( x + ) Như ta có : Bài 10: Phân tích đa thức thành nhân tử: HD: Ta có: (x x + 1997 x + 1996 x + 1997 + x + 1) + ( 1996 x + 1996 x + 1996 ) = ( x + x + 1) ( x − x + 1) + 1996 ( x + x + 1) = ( x + x + 1) ( x − x + 1997 ) Bài 11: Phân tích thành nhân tử: HD: x4 + 2004x2 + 2003x + 2004 ( ) ( ) = x4 + 2004x2 + 2004x − x + 2004 = x − x + 2004 x + x + ( ) ( ) ( ) ( ) = x x3 − + 2004 x2 + x + = x( x − 1) x2 + x + + 2004 x2 + x + ( )( ) = x2 + x + x2 − x + 2004 x − x − 2001.2002 Bài 12: Phân tích đa thức thành nhân tử: HD : x − x − 2001( 2001 + 1) = x − x + 20012 − 2001 = ( x − 20012 ) − ( x + 2001) Ta có: ( x − 2011) ( x + 2011) − ( x + 2011) = ( x + 2011) ( x − 2012 ) x ( x + ) ( x + ) ( x + 10 ) + 128 Bài 13: Phân tích đa thức thành nhân tử: HD : x ( x + 10 ) ( x + ) ( x + ) + 128 = ( x + 10 x ) ( x + 10 x + 24 ) + 128 Đặt : x + 10 x = t , Khi đa thức trở thành : t ( t + 24 ) + 128 = t + 24t + 128 = ( t + ) ( t + 16 ) Face Nguyễn Văn Ma ( Tuấn) – Gmail: Sinhlaobenhtu0388765490@gmail.com (x Thay t trở lại đa thức ta đươc : + 10 x + 8) ( x + 10 x + 16 ) = ( x + 10 x + ) ( x + ) ( x + ) x4 + x3 + x − x + Bài 14: Phân tích đa thức thành nhân tử: HD : Nhận thấy đa thức bậc khơng dùng máy tính đa thức khơng có hai nghiệm -1 Tuy nhiên đa thức lại có hệ số cân xứng nhau: nên ta làm sau: −6   1    x + x3 + x − x + = x  x + x + + + ÷ = x  x + +  x − ÷+ ÷ x x  x x     x− Đặt 1 = t => x + = t + x x Đa thức trở thành : x ( t + + 6t + ) = x ( t + 6t + ) = x ( t + 3) Thay t trở lại ta : 2    x − + 3x  2 x  x − + 3÷ = x  ÷ = ( x + x − 1) x x     Vậy x + x3 + x − x + = ( x + x − 1) Bài 15: Phân tích đa thức thành nhân tử: HD : Đặt x2 + x = t (x + x + 1) ( x + x + ) − 12 đa thức trở thành : Thay t trở lại đa thức ta : (x Bài 16: Phân tích đa thức thành nhân tử: HD : ( t + 1) ( t + ) − 12 = t + 3t − 10 = ( t − ) ( t + 5) + x − ) ( x + x + ) = ( x − 1) ( x + ) ( x + x + ) (x − ) ( x − 10 ) − 72 x2 − = t Đặt đa thức trở thành : t ( t − ) − 72 = t − 6t − 72 = ( t − 12 ) ( t + ) = ( x − 16 ) ( x + ) = ( x − ) ( x + ) ( x + ) x + x − 11x + x + Bài 17: Phân tích đa thức thành nhân tử: HD : Nhận thấy đa thức bậc khơng dùng máy tính Face Nguyễn Văn Ma ( Tuấn) – Gmail: Sinhlaobenhtu0388765490@gmail.com đa thức hai nghiệm -1 Tuy nhiên đa thức lại có hệ số cân xứng nhau: nên ta làm sau:   1    x + x3 + x + x + = x  x + x + + + ÷ = x  x + +  x + ÷+ ÷ x x  x x     x+ Đặt 1 = t => x + = t − x x x ( t − + 6t + ) = x ( t 2 2 Đa thức trở thành : + 6t + ) = x ( t + 1) ( t + ) Thay t trở lại ta :  x + + x  x + + x     2 x  x + + 1÷ x + + ÷ = x  ÷ ÷ = ( x + x + 1) ( x + x + 1) x x x x       Vậy x + x3 + x − x + = ( x + x + 1) ( x + x + 1) ( a + 1) ( a + ) ( a + 3) ( a + ) + Bài 18: Phân tích đa thức thành nhân tử: HD : ( a + 1) ( a + ) ( a + ) ( a + 3) + = ( a + 5a + ) ( a + 5a + ) + Ta có : Đặt a + 5a + = t , Khi đa thức trở thành : ( t − 1) ( t + 1) + = t = ( a + 5a + 5) ( x + ) ( x + 3) ( x + ) ( x + 5) − 24 Bài 19: Phân tích đa thức thành nhân tử: HD : ( x + ) ( x + 5) ( x + 3) ( x + ) − 24 = ( x + x + 10 ) ( x + x + 12 ) − 24 Ta có : x + x + 11 = t Đặt : , Khi đa thức trở thành ( t − 1) ( t + 1) − 24 = t − 25 = ( t − 5) ( t + 5) = ( x + x + ) ( x + x + 16 ) = ( x + 1) ( x + ) ( x + x + 16 ) ( x + 1) ( 12 x − 1) ( 3x + ) ( x + 1) − Bài 20: Phân tích đa thức thành nhân tử: HD : ( x + 1) ( 3x + ) ( 12 x − 1) ( x + 1) − = ( 12 x + 11x + ) ( 12 x + 11x − 1) − Đặt 12 x + 11x = t , Khi đa thức trở thành : ( t + ) ( t − 1) − = t + t − = ( t − ) ( t + 3) Face Nguyễn Văn Ma ( Tuấn) – Gmail: Sinhlaobenhtu0388765490@gmail.com ( 12 x + 11x − ) ( 12 x + 11x + 3) ( x + ) ( x + ) ( x + 10 ) ( x + 12 ) − 3x Bài 21: Phân tích đa thức thành nhân tử: HD : ( x + ) ( x + 12 ) ( x + ) ( x + 10 ) − 3x = ( x + 17 x + 60 ) ( x + 16 x + 60 ) − 3x Ta có :   60   60   x   x + 17 + ÷ x + 16 + ÷− 3 x  x     x+ , Đặt : 60 =t x x  ( t + 17 ) ( t + 16 ) − 3 = x ( 4t + 132t + 1085 ) = x 2 2 , Khi đa thức trở thành : ( 2t + 31) ( 2t + 35 ) 120 120    = x2  x + + 31÷ x + + 35 ÷ = ( x + 31x + 120 ) ( x + 35 x + 120 ) x x    Bài 22: Phân tích đa thức thành nhân tử: HD : (x + 3x + 1) ( x + 3x − 3) − x + 3x = t Đặt : , Khi đa thức trở thành : ( t + 1) ( t − 3) − = t − 2t − = ( t + ) ( t − ) = ( x + x + ) ( x + 3x − ) ( x + 1) ( x + ) ( x − 1) ( x + ) Bài 23: Phân tích đa thức thành nhân tử: HD : x4 + x3 + x + x + ( x + x + x ) + ( x + x + 1) = x ( x + x + 1) + ( x + x + 1) = ( x + x + 1)( x + 1) 6a + a − 37 a − 8a + 12 Bài 24: Phân tích đa thức thành nhân tử: HD : Nhẩm thấy đa thức có nghiệm x=2, hay có nhân tuer x - Ta có : 6a + a − 37 a − 8a + 12 = (6a − 12a ) + (19 a − 38a ) + ( a − a ) − ( 6a − 12 ) 6a ( a − ) + 19a ( a − ) + a ( a − ) − ( a − ) = ( a − ) ( 6a + 19a + a − ) = ( a − ) ( a + 3) ( 2a − 1) ( 3a + ) Face Nguyễn Văn Ma ( Tuấn) – Gmail: Sinhlaobenhtu0388765490@gmail.com x + x + 13 x + 12 x + Bài 25: Phân tích đa thức thành nhân tử: HD : Thấy tổng hệ số bậc chẵn tổng hệ số bậc lẻ, nên đa thức có nghiệm -1 x + x3 + 13 x + 12 x + = ( x + x ) + ( x + x ) + ( x + x ) + ( x + ) Ta có : x ( x + 1) + x ( x + 1) + x ( x + 1) + ( x + 1) = ( x + 1) ( x + x + x + ) = 2 ( x + 1) ( x + ) = Bài 26: Phân tích đa thức thành nhân tử: HD : (x + x + 8) + 3x ( x2 + x + 8) + x Đặt: (x + x + ) + 3x + 14 x + 24 x 2 (x , + x + ) = y => y + 3xy + x ( y + x ) ( y + 2x ) => Bài 27: Phân tích đa thức thành nhân tử: HD : x + 2010 x + 2009 x + 2010 x + x + + 2009 x + 2009 x + 2009 = ( x + x + 1) ( x − x + 1) + 2009 ( x + x + 1) = ( x + x + 1) ( x − x + 2010 ) (x + x − ) ( x + x − ) − 24 Bài 28: Phân tích đa thức thành nhân tử: HD : ( x2 + 3x − 4) ( x + x − 6) − 24 = ( x − 1) ( x + ) ( x − ) ( x + 3) − 24 Ta có : ( x − ) ( x + ) ( x − 1) ( x + 3) − 24 = ( x + x − ) ( x + x − ) − 24 Đặt : x2 + 2x = t , đa thức trở thành : Thay t trở lại ta : (x ( t − 8) ( t − 3) − 24 = t − 11t = t ( t − 11) + x ) ( x + x − 11) = x ( x + ) ( x + x − 11) Bài 29: Phân tích đa thức thành nhân tử: HD : (x + x + ) − ( x + x + ) ( x + x + 3) Face Nguyễn Văn Ma ( Tuấn) – Gmail: Sinhlaobenhtu0388765490@gmail.com Đặt : x2 + 2x = t , đa thức trở thành : ( t + ) − ( t + ) ( t + 3) = t + − t − 7t − 12 = −t − 6t − = − ( t + 1) ( t + 5) : − ( x + x + 1) ( x + x + 5) = − ( x + 1) (x , Thay t trở lại ta + x + 5) Bài 30: Phân tích đa thức thành nhân tử: HD : x + 10 x3 + 26 x + 10 x + 10   1    x + 10 x3 + 26 x + 10 x + = x  x + 10 x + 26 + + ÷ = x  x + + 10  x − ÷+ 26 ÷ x x  x x     x+ Đặt 1 = t => x + = t − x x Đa thức trở thành : x ( t − + 10t + 26 ) = x ( t + 10t + 24 ) = x ( t + ) ( t + ) Thay t trở lại ta : 2 1     x + x +  x + x +  2 x  x + + ÷ x + + ÷ = x  ÷ ÷ = ( x + x + 1) ( x + x + 1) x x x x       Vậy x + 10 x3 + 26 x + 10 x + = ( x + x + 1) ( x + x + 1) ( x − ) ( x − ) ( x − ) ( x − ) − 1680 Bài 31: Phân tích đa thức thành nhân tử: HD : ( x − ) ( x − ) ( x − 5) ( x − ) − 1689 = ( x − 11x + 28 ) ( x − 11x + 30 ) − 1680 Đặt x − 11x + 29 = t , Khi đa thức trở thành : ( t − 1) ( t + 1) − 1680 = t − 1681 = ( t − 41) ( t + 41) Thay t trở lại đa thức ta : (x − 11x − 12 ) ( x − 11x + 70 ) = ( x − 12 ) ( x + 1) ( x − 11x + 70 ) Bài 32: Phân tích đa thức thành nhân tử: HD : x + x3 − x + x + 1 1   1   x + x − x + x + = x  x + x − + + ÷ = x  x + +  x + ÷− ÷ x x  x  x    Face Nguyễn Văn Ma ( Tuấn) – Gmail: Sinhlaobenhtu0388765490@gmail.com x+ Đặt 1 = t => x + = t − x x x ( t − + t − 4) = x ( t 2 2 Đa thức trở thành : + t − ) = x ( t − ) ( t + 3) Thay t trở lại ta :  x − x +   x + 3x +  1    x  x + − ÷ x + + ÷ = x  ÷ ÷ = ( x − 1) ( x + 3x + 1) x x x x       Vậy x + x − x + x + = ( x − 1) (x + x + 1) Bài 33: Phân tích đa thức thành nhân tử: HD : x − x + 14 x − x + −7   1    x − x + 14 x − x + = x  x − x + 14 + + ÷ = x  x + −  x + ÷+ 14 ÷ x x  x x     x+ Đặt 1 = t => x + = t − x x Đa thức trở thành : x ( t − − 7t + 14 ) = x ( t − 7t + 12 ) = x ( t − 3) ( t − ) Thay t trở lại ta : 2 1     x − 3x +  x − x +  2 x  x + − ÷ x + − ÷ = x  ÷ ÷ = ( x − x + 1) ( x − x + 1) x x x x       Vậy x − x + 14 x − x + = ( x − 3x + 1) ( x − x + 1) ( ) A = b2 + c2 − a2 − 4b2c2 Bài 34: Cho biểu thức: a, Phân tích A thành nhân tử b, Chứng minh rằng: Nếu a, b, c độ dài cạnh tam giác A< HD: a) Ta có: ( ( ) ( ) A = b2 + c2 − a2 − 4b2c2 = b2 + c2 − a2 − ( 2bc) )( 2 ) = b2 + c2 − a2 − 2bc b2 + c2 − a2 + 2bc = ( b + c − a) ( b + c + a) ( b − c − a) ( b − c + a) b) Vì a, b, c độ dài ba cạnh tam giác nên: b + c − a > 0,b + c + a > 0, b − c − a < 0,b − c + a > => A < Face Nguyễn Văn Ma ( Tuấn) – Gmail: Sinhlaobenhtu0388765490@gmail.com 10 = ( x2 + − 2x ) ( x2 + + 2x ) Bài 10: Phân tích đa thức thành nhân tử: x 64 + x32 + a, HD: b, a10 + a + d, x5 − x − x 64 + x 32 + = x 64 + 2.x 32 + − x 32 = ( x 32 + 1) − x 32 a, Ta có: = ( x 32 + + x16 ) ( x 32 + − x16 ) b, Ta có: = = = a ( ( a )3 − 1) + a ( a − 1) + ( a + a + 1) = a ( a − 1) ( a + 2a + 1) + a ( a − 1) + ( a + a + 1) (a (a + 2a + a ) ( a − 1) ( a + a + 1) + a ( a − 1) ( a + a + 1) + ( a + a + 1) + a + 1) ( a + 2a + a ) ( a − 1) + ( a − a ) + 1 c, Ta có: (x a10 + a + = ( a10 − a ) + ( a − a ) + ( a + a + 1) = a ( a − 1) + a ( a − 1) + ( a + a + 1) x − x − = ( x − x + x ) − ( x + 1) = x ( x − x + 1) − ( x + 1) ( x − x + 1) − x + 1) ( x − x − 1) Face Nguyễn Văn Ma ( Tuấn) – Gmail: Sinhlaobenhtu0388765490@gmail.com 16 Dạng 3: ĐA THỨC BẬC CAO I Phương pháp: x3m +1 + x m+ + - Đối với đa thức bậc cao có dạng ln ln có nhân tử chung bình phương thiếu tổng hiệu, nên ta thêm bớt để làm cuất bình phương thiếu cảu tổng hiệu: II Luyện tập: Bài 1: Phân tích đa thức thành nhân tử: HD: Ta có: = = (x x7 + x5 + x + x3 + x + + x + x3 ) + ( x + x + 1) = x3 ( x + x + 1) + ( x + x + 1) (x + x + 1) ( x + 1) = ( x + x + 1) ( x − x + 1) ( x + 1) ( x − x + 1) (x − x + 1) ( x + 1) ( x + x + 1) Bài 2: Phân tích đa thức thành nhân tử: HD: Ta có: x11 + x10 + x + + x + x + 11 10 x11 + x10 + x + + x + x + = ( x + x + x ) + ( x + x + x ) + + ( x + x + 1) = x ( x + x + 1) + x ( x + x + 1) + + ( x + x + 1) (x + x + 1) ( x9 + x + x + 1) = ( x + 1) ( x + 1) ( x − x + 1) ( x − x + 1) ( x + x + 1) Bài 3: Phân tích đa thức thành nhân tử: HD: x8 + 14 x + x8 + x + + 12 x = ( x + 1) + 12 x = ( x + 1) + ( x + 1) x + x − x ( x + 1) + x Ta có: = (x + + x ) − ( x3 − x ) 2 = ( x + + x − x3 + x ) ( x + + x + x − x ) Bài 4: Phân tích đa thức thành nhân tử: HD: x8 + 98 x + Face Nguyễn Văn Ma ( Tuấn) – Gmail: Sinhlaobenhtu0388765490@gmail.com 17 Ta có: = (x (x + 1) + ( x + 1) x + 64 x − 16 x ( x + 1) + 32 x 2 + x + 1) − 16 x ( x + − x ) = ( x + x + 1) − ( x − x ) Bài 5: Phân tích đa thức thành nhân tử: HD: 2 x5 − 3x4 + x3 − x + x5 − x + x3 − x + = x5 − x − x + x + x3 − x − 3x + Ta có: = x ( x − 1) − x3 ( x − 1) + x2 ( x − 1) − ( x − 1) ( x − 1) ( x + 3) ( x + 1) = Bài 6: Phân tích đa thức thành nhân tử: x5 − x + x3 + x − x + Face Nguyễn Văn Ma ( Tuấn) – Gmail: Sinhlaobenhtu0388765490@gmail.com 18 Dạng 4: ĐA THỨC ĐA ẨN Bài 1: Phân tích đa thức thành nhân tử: HD: x + y − z + xy − z − x + y − z + xy − z − = ( x + xy + y ) − ( z + z + 1) = ( x + y ) − ( z + 1) Ta có: = ( x + y + z + 1) ( x + y − z − 1) Bài 2: Phân tích đa thức thành nhân tử: HD: x − y + z − xz + y − x − y + z − xz + y − = ( x − xz + z ) − ( y − y + 1) = ( x − z ) − ( y − 1) Ta có: ( x − z + y − 1) ( x − z − y + 1) Bài 3: Phân tích đa thức thành nhân tử: HD: 3 x − x − x y + xy = x ( x − x − x y + y ) Ta có: = x  x3 ( x − ) − y ( x − )  = x ( x − y ) ( x − ) Bài 4: Phân tích đa thức thành nhân tử: HD: x − x − x3 + x Ta có: = x ( x − y ) ( x − ) ( x + xy + y ) = x6 − x4 − x3 + x x2 ( x4 − x2 − 9x + 9) x  x ( x − 1) − ( x − 1)  = x  x ( x − 1) ( x + 1) − ( x − 1)  = x − x − x3 y + xy 2 Bài 5: Phân tích đa thức thành nhân tử: HD: Ta có: (a ( a + b + c) = x ( x − 1) ( x3 + x − ) + ( a − b + c ) − 4b 2 + b + c + 2ab + 2bc + 2ca ) + ( a + b + c − 2ab − 2bc + 2ac ) − 4b = ( 2a + 2c − 2b + 4ac ) = ( a + 2ac + c − b ) = ( a + c ) − b2    = ( a + c + b) ( a + c − b) Face Nguyễn Văn Ma ( Tuấn) – Gmail: Sinhlaobenhtu0388765490@gmail.com 19 Bài 6: Phân tích đa thức thành nhân tử: HD: a ( b2 − c ) − b ( c − a ) + c ( a − b2 ) ab − ac − bc + a 2b + a 2c − b 2c = a ( b + c ) + b ( a − c ) − c ( a + b ) Ta có: a ( b + c ) + b ( a + b ) − ( b + c )  − c ( a + b ) = = = = a ( b + c ) + b2 ( a + b ) − b2 ( b + c ) − c ( a + b ) ( b + c ) ( a − b2 ) + ( a + b ) ( b2 − c ) = ( b + c ) ( a − b ) ( a + b ) + ( a + b ) ( b − c ) ( b + c ) ( a + b) ( b + c) ( a − b + b − c) = ( a + b) ( b + c ) ( a − c ) xy ( x + y ) + yz ( y + z ) + zx ( x + z ) + 3xyz Bài 7: Phân tích đa thức thành nhân tử: HD:  xy ( x + y ) + xyz  +  yz ( y + z ) + xyz  +  zx ( z + x ) + xyz  Ta có: = = xy ( x + y + z ) + yz ( x + y + z ) + zx ( x + y + z ) = ( x + y + z ) ( xy + yz + zx ) xy ( x + y ) − yz ( y + z ) − zx ( z − x ) Bài 8: Phân tích đa thức thành nhân tử: HD: xy ( x + y ) − yz ( y + z ) − zx ( y + z ) − ( x + y )  Ta có: = = = xy ( x + y ) − yz ( y + z ) − zx ( y + z ) + zx ( x + y ) x ( x + y) ( y + z) − z ( y + z) ( x + y) = ( x + y) ( y + z) ( x − z) x4 ( y − z ) + y ( z − x ) + z ( x − y ) Bài 9: Phân tích đa thức thành nhân tử: HD: x ( y − z ) + y  − ( y − z ) − ( x − y )  + z ( x − y ) Ta có: = = = x4 ( y − z ) − y ( y − z ) − y ( x − y ) + z ( x − y ) ( y − z ) ( x4 − y4 ) − ( x − y ) ( y − z ) ( y − z ) ( x − y ) ( x + y ) ( x2 + y2 ) − ( x − y ) ( y − z ) ( y + z ) ( y2 + z2 ) Face Nguyễn Văn Ma ( Tuấn) – Gmail: Sinhlaobenhtu0388765490@gmail.com 20 = = = = = ( x − y ) ( y − z ) ( x + y ) ( x + y ) − ( y + z ) ( y + z )  ( x − y ) ( y − z ) ( x3 + xy + x y + y − y − yz − y z − z ) ( x − y ) ( y − z ) ( x3 − z + y ( x − z ) + y ( x − z ) ) ( x − y ) ( y − z ) ( x − z ) ( x + xz + z ) + y ( x − z ) + y ( x − z ) ( x + z )  ( x − y ) ( y − z ) ( x − z ) ( x + xz + z + y + xy + yz ) Bài 10: Phân tích đa thức thành nhân tử: HD: Ta có: a 2b + abc + a 2c + ab + b 2c + abc + abc + bc + ac − abc ( a b + ab = = = = Bài 11 HD: ( a + b + c ) ( ab + bc + ca ) − abc + abc ) + ( b c + bc + abc ) + a 2c + ca ab ( a + b + c ) + bc ( a + b + c ) + ac ( a + c ) b ( a + b + c ) ( a + c ) + ac ( a + c ) ( a + c ) ( ab + b + bc + ac ) = ( a + c ) ( b + c ) ( a + b ) : Phân tích đa thức thành nhân tử: ( a + b + c) Ta có: ( a + b + c) − ( a + b − c) − ( b + c − a) − ( c + a − b) 3 3 3 − ( a + b − c ) + ( b + c − a ) + ( c + a − b )    x = a + b − c   y = b + c − a => x + y + z = a + b + c z = c + a − b  = = ( x + y + z) − ( x3 + y + z ) = x3 + y + z + ( x + y ) ( y + z ) ( z + x ) − x − y − z 3 ( x + y ) ( y + z ) ( z + x ) = 3.2a.2b.2c = 24abc Bài 12: Phân tích đa thức thành nhân tử: HD: a2 ( b − c ) + b2 ( c − a ) + c2 ( a − b ) Face Nguyễn Văn Ma ( Tuấn) – Gmail: Sinhlaobenhtu0388765490@gmail.com 21 Ta có: = = = a ( b − c ) + b  − ( b − c ) − ( a − b )  + c ( a − b ) a ( b − c ) − b2 ( b − c ) − b2 ( a − b ) + c ( a − b ) ( b − c) ( a − b) ( a + b) − ( a − b) ( b − c) ( b + c ) ( b − c) ( a − b) ( a + b − b − c) = ( a − b) ( b − c) ( a − c ) Bài 13: Phân tích đa thức thành nhân tử: HD: Ta có: = = = = = = = x ( y − z ) + y ( z − x3 ) + z ( x3 − y ) xy − xz + yz − x y + x z − y z x3 ( z − y ) + y ( x − z ) + z ( y − x ) x ( z − y ) + y  − ( z − y ) − ( y − x )  + z ( y − x ) x3 ( z − y ) − y ( z − y ) − y ( y − x ) + z ( y − x ) ( z − y ) ( x3 − y3 ) + ( y − x ) ( z − y ) ( z − y ) ( x − y ) ( x2 + xy + y ) + ( y − x ) ( z − y ) ( z + yz + y ) ( z − y ) ( x − y ) ( x + xy + y − z − yz − y ) ( z − y ) ( x − y ) ( x − z + xy − yz ) = ( z − y ) ( x − y ) ( x − z ) ( x + y + z ) (x + y + z ) ( x + y + z ) + ( xy + yz + zx ) 2 Bài 14: Phân tích đa thức thành nhân tử: HD: ( x + y + z ) ( x + y + z ) + ( xy + yz + zx )  + ( xy + yz + zx ) Ta có: Đặt: x + y + z = a, xy + yz + zx = b đa thức: a ( a + 2b ) + b = a + 2ab + b = ( a + b ) = ( x + y + z + xy + yz + zx ) 2 Face Nguyễn Văn Ma ( Tuấn) – Gmail: Sinhlaobenhtu0388765490@gmail.com 22 Bài 15: Phân tích đa thức thành nhân tử: ( x4 + y + z ) − ( x2 + y + z ) − ( x2 + y + z ) ( x + y + z ) + ( x + y + z ) 2 HD: x + y + z = a , x + y + z = b, x + y + z = c Đặt: Khi ta có: , 2a − b − 2bc + c = 2a − 2b + b − 2bc + c = ( a − b ) + ( b − c ) , Lại có : a − b = −2 ( x y + y z + z x ) b − c = −2 ( xy + yz + zx ) , −4 ( x y + y z + z x ) + ( xy + yz + zx ) = xyz ( x + y + z ) Thay vào ta : −c ( a − b ) + b ( a − c ) − a ( b − c ) Bài 16: Phân tích đa thức thành nhân tử: HD : −c ( a − b ) + b ( a − b ) + ( b − c )  − a ( b − c ) Ta có : = = = −c ( a − b ) + b ( a − b ) + b ( b − c ) − a ( b − c ) ( a − b) ( b − c) ( b + c) + ( b − c) ( b − a ) ( b + a ) ( a − b) ( b − c) ( b + c − a − b) = ( a − b) ( b − c) ( c − a ) ( x − y ) z + ( y − z ) x3 + ( z − x ) y Bài 17: Phân tích đa thức thành nhân tử: HD : z ( x − y ) + x  − ( x − y ) − ( z − x )  + y ( z − x ) Ta có : = = = = z ( x − y ) − x3 ( x − y ) + y ( z − x ) − x ( z − x ) ( x − y ) ( z − x3 ) + ( z − x ) ( y3 − x3 ) ( x − y ) ( z − x ) ( z + zx + x2 ) + ( z − x ) ( y − x ) ( y + xy + x ) ( x − y ) ( z − x ) ( z + zx + x2 − y − xy − x ) = ( x − y ) ( z − x ) ( z − y ) ( z + y − x ) Bài 18: Phân tích đa thức thành nhân tử: ab ( a + b ) − bc ( b + c ) − ac ( c − a ) Face Nguyễn Văn Ma ( Tuấn) – Gmail: Sinhlaobenhtu0388765490@gmail.com 23 HD : Ta có : = = ab ( a + b ) − bc ( a + b ) + ( c − a )  − ac ( c − a ) ab ( a + b ) − bc ( a + b ) − bc ( c − a ) − ac ( c − a ) b ( a + b) ( a − c) − c ( c − a ) ( b + a) = ( a + b) ( b + c) ( a − c ) ( x − y ) − x3 ( − y ) + y ( − x ) Bài 19: Phân tích đa thức thành nhân tử: HD : ( x − y ) − x3 ( x − y ) + ( − x )  + y ( − x ) Ta có : = = = = ( x − y ) − x3 ( x − y ) − x3 ( − x ) + y ( − x ) ( x − y ) ( − x3 ) − ( − x ) ( x3 − y ) ( x − y ) ( − x ) ( + x + x ) − ( − x ) ( x − y ) ( x + xy + y ) ( x − y ) ( − x ) ( + x + x − x − xy − y ) = ( x − y ) ( − x ) ( − y ) ( x + y + 1) 4a 2b ( 2a + b ) + b 2c ( c − b ) − 4c a ( 2a + c ) Bài 20: Phân tích đa thức thành nhân tử: HD : 4a 2b ( 2a + b ) + b c ( 2a + c ) − ( 2a + b )  − 4c a ( 2a + c ) Ta có : = = = = = 4a 2b ( 2a + b ) + b 2c ( 2a + c ) − b c ( 2a + b ) − 4c a ( 2a + c ) b ( a + b ) ( 4a − c ) + c ( a + c ) ( b − 4a ) b ( 2a + b ) ( a − c ) ( a + c ) − c ( 2a + c ) ( 2a − b ) ( 2a + b ) ( 2a + c ) ( 2a + b ) ( 2ab − b2 c − 2ac + bc2 ) ( 2a + c ) ( 2a + b ) ( b − c ) ( 2ab + 2ac − bc ) x3 ( y − z ) + y ( z − x ) + z ( x − y ) Bài 21: Phân tích đa thức thành nhân tử: HD : z ( x − y ) + x  − ( x − y ) − ( z − x )  + y ( z − x ) Ta có : Face Nguyễn Văn Ma ( Tuấn) – Gmail: Sinhlaobenhtu0388765490@gmail.com 24 = = = = z ( x − y ) − x3 ( x − y ) + y ( z − x ) − x ( z − x ) ( x − y ) ( z − x3 ) + ( z − x ) ( y − x3 ) ( x − y ) ( z − x ) ( z + zx + x ) + ( z − x ) ( y − x ) ( y + xy + x ) ( x − y ) ( z − x ) ( z + zx + x − y − xy − x ) = ( x − y ) ( z − x ) ( z − y ) ( z + y − x ) Bài 22: Phân tích đa thức thành nhân tử: HD : bc ( a + d ) ( b − c ) − ac ( b + d ) ( a − c ) + ab ( c + d ) ( a − b ) bc ( ab − ac + bd − dc ) − ac ( ab − bc + ad − dc ) + ab ( ac − bc + ad − bd ) Ta có : bc ( ab − ac + bd − dc ) − ac ( ab − ac + bd − dc ) + ( ac − bc + ad − bd )  + ab ( ac − bc + ad − bd ) = = = = ( ab − ac + bd − dc ) ( bc − ac ) − ( ac − bc + ad − bd ) ( ac − ab ) ( a + d ) ( b − c) c ( b − a) − ( c + d ) ( a − b) a ( c − b) ( b − c ) ( b − a ) ( ac + dc − ca − ad ) = ( b − c ) ( b − a ) ( c − a ) d ( a − x ) y3 − ( a − y ) x3 + ( x − y ) a3 Bài 23: Phân tích đa thức thành nhân tử: HD : y ( a − x ) − x ( a − x ) + ( x − y )  + a ( x − y ) Ta có : = = = = = y ( a − x ) − x3 ( a − x ) − x ( x − y ) + a ( x − y ) ( a − x ) ( y − x3 ) − ( x − y ) ( x − a ) ( x − a ) ( x − y ) ( x + xy + y ) − ( x − y ) ( x − a ) ( x + xa + a ) ( x − a ) ( x − y ) ( x + xy + y − x − xa − a ) ( x − a) ( x − y) ( y − a) ( y + a + x) a( b + c) + b( a + c) + c( a + b) − 4abc Bài 24: Phân tích đa thức thành nhân từ: Face Nguyễn Văn Ma ( Tuấn) – Gmail: Sinhlaobenhtu0388765490@gmail.com 2 25 ( ) ( ) ( ) a b2 + c2 + b c2 + a2 + c a2 + b2 + 2abc Bài 25: Phân tích đa thức thành nhân từ: Bài 26: Phân tích đa thức thành nhân từ: Bài 27: Phân tích đa thức thành nhân từ: Bài 28 : Phân tích thành nhân tử: HD: abc − ( ab + bc + ca) + ( a + b + c − 1) x2y + xy2 + xz2 + yz2 + x2z + y2z + 2xyz ( ) = xy( x + y) + z2 ( x + y) + z( x + y) = ( x + y) xy + z2 + xz + yz Ta có: a3 ( b − c) + b3 ( c − a) + c3 ( a − b) = ( x + y) ( y + z) ( z + x) Face Nguyễn Văn Ma ( Tuấn) – Gmail: Sinhlaobenhtu0388765490@gmail.com 26 Dạng 5: HỆ SỐ BẤT ĐỊNH: x − x + 12 x − 14 x + Bài 1: Phân tích đa thức thành nhân tử: HD : Ta có : x − x3 + 12 x − 14 x + = ( x + ax + 1) ( x + bx + 3) x − x + 12 x − 14 x + = ( x + ax − 1) ( x + bx − 3) Hoặc : Giả sử TH1 ta có : x − x + 12 x − 14 x + = x + ( a + b ) x + ( + ab ) x + ( 3a + b ) x + Đồng hệ số ta có:  a + b = −6  a = −4   + ab = 12 =>  b = −2 3a + b = −14  , Vậy x − x3 + 12 x − 14 x + = ( x − x + 1) ( x − x + 3) x − x3 − x + x + Bài 2: Phân tích đa thức thành nhân tử: HD: Ta có: = = x − 3x − x + x + = x + x − x − x − x − x + x + x ( x + 1) − x ( x + 1) − x ( x + 1) + ( x + 1) ( x + 1) ( x3 − x − x + ) = ( x + 1) ( x − ) ( x − x − ) 12 x + x − 12 y + 12 y − 10 xy − Bài 3: Phân tích đa thức thành nhân tử: HD: Ta có: 12 x + x − 12 y + 12 y − 10 xy − = ( ax + by + 3) ( cx + dy − 1) 12 x + x − 12 y + 12 y − 10 xy − = acx + ( ad + bc ) xy + bdy + ( 3c − a ) x + ( 3d − b ) y − 2 = Đồng hệ số ta có:  ac = 12 a =  ad + bc = −10    b = −6 =>  bd = −12 3c − a = c =  d = 3d − b = 12 , Vậy 12 x + x − 12 y + 12 y − 10 xy − = ( x − y + 3) ( 3x + y − 1) Face Nguyễn Văn Ma ( Tuấn) – Gmail: Sinhlaobenhtu0388765490@gmail.com 27 Bài 4: Phân tích đa thức thành nhân tử: HD: (x = = = = (x (x (x + y ) + xy ( x + y ) − z ( x + y ) + y ) ( x + y + xy − z ) = ( x + y ) ( x + y ) − z  + y2 ) ( x + y + z ) ( x + y − z ) (z 81x ( z − y ) − z + y = 81x ( z − y ) − ( z − y ) ( z − y ) ( z + y ) ( 3x + 1) ( 3x − 1) ( x + 1) = x6 + x4 + x2 y + y − y6 x6 + x4 + x y + y − y6 x6 − y + x + x2 y + y − x2 y = ( x3 ) − ( y ) + ( x + y ) − x y 2 = 81x ( z − y ) − z + y − y ) ( 81x − 1) = ( z − y ) ( z + y ) ( x − 1) ( x + 1) Ta có: = x + y + x y + xy ( x + y ) − z ( x + y ) Bài 6: Phân tích đa thức thành nhân tử: HD: = + y + xy ) − x y − y z − z x 2 Ta có: = + y + xy ) − x y − y z − z x = x + y + x y + x y + xy + x y − x y − y z − z x Bài 5: Phân tích đa thức thành nhân tử: HD: = (x (x 2 − y ) ( x3 + y ) + ( x + y − xy ) ( x + y + xy ) ( x − y ) ( x + xy + y ) ( x + y ) ( x − xy + y ) + ( x + y − xy ) ( x + y + xy ) (x + y + xy ) ( x + y − xy ) ( x − y + 1) Bài 7: Phân tích đa thức thành nhân tử: HD: x + x3 + 5x + x + Face Nguyễn Văn Ma ( Tuấn) – Gmail: Sinhlaobenhtu0388765490@gmail.com 28 Ta có: x + x3 + x + x + = ( ax + bx + 1) ( cx + dx + 1) Đồng hết số ta có: x + x + x + x + = ( x + x + 1) Bài 8: Phân tích đa thức thành nhân tử: HD: x + x + 63 x + x + 63 = ( x + ax + b ) ( x + cx + d ) Ta có: Đồng hệ số ta có: 2 x + x + 63 = ( x − x + ) ( x + x + ) Bài 9: Phân tích đa thức thành nhân tử: HD: ( x + 1) ( x + 1) + ( x + x + 1) + ( x + x + 1) = ( x + 1) +  x ( x + 1) + 1 2 Ta có: ( x + 1) + x ( x + 1) + x ( x + 1) + = ( x + 1) ( x + 1) = = = + x  + ( x + x + 1)  ( 2x (x + x + ) ( x + x + 1) 2 + x + 1) ( x + 1) + 1   ( x + y) − x5 − y5 Bài 10: Phân tích đa thức thành nhân tử: HD: ( x + y ) = x5 + x y + 10 x y + 10 x y + xy + y − x5 − y Ta có: = xy ( x + x y + xy + y ) = xy ( x + y ) ( x − xy + y ) + xy ( x + y )  5xy ( x + y ) ( x + y + xy ) = Bài 11: Tìm tổng hệ số đa thức sau khai triển: Face Nguyễn Văn Ma ( Tuấn) – Gmail: Sinhlaobenhtu0388765490@gmail.com 29 ( x − 3) a, HD : b, ( 5x − 2) c, (x + x − 2) 100 + ( x2 + − x ) 2017 Tổng hệ số đa thức giá trị đa thức x = Bài 12: Tìm hệ số hạng tử bậc cao tổng hệ số đa thức: ( 3− 6x + 4x ) ( 1− x ) 2005 2004 ( 1− 2x + 3x2 − x3 ) 2003 Face Nguyễn Văn Ma ( Tuấn) – Gmail: Sinhlaobenhtu0388765490@gmail.com 30 ... Bài 6: Phân tích đa thức thành nhân tử: x5 − x + x3 + x − x + Face Nguyễn Văn Ma ( Tuấn) – Gmail: Sinhlaobenhtu0 388 765490@gmail.com 18 Dạng 4: ĐA THỨC ĐA ẨN Bài 1: Phân tích đa thức thành nhân. .. 2abc Bài 25: Phân tích đa thức thành nhân từ: Bài 26: Phân tích đa thức thành nhân từ: Bài 27: Phân tích đa thức thành nhân từ: Bài 28 : Phân tích thành nhân tử: HD: abc − ( ab + bc + ca) + (... − 1) Bài 15: Phân tích đa thức thành nhân tử: HD : Đặt x2 + x = t (x + x + 1) ( x + x + ) − 12 đa thức trở thành : Thay t trở lại đa thức ta : (x Bài 16: Phân tích đa thức thành nhân tử: HD :