Giáo án bồi dưỡng học sinh giỏi toán 8 chuyên đề 2 bất đẳng thức

GIÁO ÁN BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI TOÁN CHUYÊN ĐỀ: CHUYÊN ĐỀ BẤT ĐẲNG THỨC A LÝ THUYẾT Định nghĩa: - Các mệnh đề “ A > B ” “ A < B ” gọi bất đẳng thức (BĐT) - Các mệnh đề: “ A  B ” “ A  B “ gọi bất đẳng thức suy rộng Bất đẳng thức hệ bất đẳng thức tương đương: - Nếu từ BĐT A > B mà ta biến đổi thành C > D ta nói BĐT C > D BĐT hệ BĐT A > B kí hiệu A > B => C > D - Nếu BĐT A > B hệ BĐT C > D C > D BĐT hệ BĐT A > B ta nói hai BĐT tương đương với nhau, Kí hiệu A > B C > D Tính chất: - A  B  A  C  B  C ( Cộng hai vế BĐT với số)  A  B  AC  B.C, C  0   B.C,  C  0  A  B  AC (Nhân hai vế BĐT với số) - A  B,C  D  A  C  B  D ( Cộng hai BĐT chiều)  - A  B  A2n1  B2n1 lũy thừa) A  B,C  D  AC  BD, A,C  0 - A  B  A  B , A  0 a  b  a b  a  b 2n A (Nhân hai BĐT chiều)  B2n Với A > 0, (Nâng hai vế BĐT lên (Khai hai vế BĐT) (Tính chất giá trị tuyệt đối) B LUYỆN TẬP Dạng 1: SỬ DỤNG ĐỊNH NGHĨA: A > B TA XÉT HIỆU A – B > 0, CHÚ Ý BĐT A  2 Bài 1: CMR : với x, y, z x  y  z  xy  yz  zx HD:  x  y  z  xy  yz  zx     x  y    y  z    z  x   2 Xét hiệu ta có: Dấu xảy x = y = z 2 Bài 2: CMR : với x, y, z x  y  z  xy  yz  zx HD: x  y  z  xy  yz  zx    x  y  z   Xét hiệu ta có: Dấu xảy x + z = y Bài 3: CMR : với x, y, z x  y  z    x  y  z  HD: 2 Xét hiệu ta có:  x  1   y  1   z  1  , Dấu x = y = z = 2 2 Bài 4: CMR : với a, b ta có : HD : Xét hiệu ta có : a  b2  a  b      a  b a  2ab  b  0  a  2ab  b    a  b   2a  2b2   a  2ab  b   , Dấu a = - b Bài 5: CMR : với a, b, c ta có : HD: Ta có: a  b2  c  a  b  c    3   a  b  c a  b2  c  2ab  2bc  2ac   3a  3b  3c   a  b  c  2ab  2bc  2ac    2a  2b2  2c  2ab  2bc  2ac    a  b    b  c    c  a   2 a  b2  c   a  b  c , Dấu a = b = c Bài 6: CMR : HD: 2 2 2 Ta có: 3a  3b  3c  a  b  c  2ab  2bc  2ca  2a  2b  2c  2ab  2bc  2ac    a  b    b  c    c  a   a b Bài 7: CMR : HD: 2  a  b  , Dấu a = b = c  2ab a b Ta chứng minh:  a  b   2a  2b  a  2ab  b 2  a  b  2ab    a  b    a  b Ta chứng minh a = b , Dấu a = b  2ab  a  2ab  b  4ab   a  b   Bài 8: Cho a, b, c số thực CMR: HD: 2 Ta có: 4a  b  4ab   2a  b   Dấu b = 2a Bài 9: Cho a, b, c số thực CMR : HD: Ta có: a2  , Dấu b2  ab a  b   ab  a  b a  b   ab  a  b   2a  2b   2ab  2a  2b    a  2ab  b    a  2a  1   b  2b  1    a  b    a  1   b  1  2 Dấu a = b = 2 2 Bài 10: Cho a, b, c, d số thực CMR : a  b  c  d  e  a  b  c  d  e  HD: 2 2 Ta có: a  b  c  d  e  ab  ac  ad  ae   4a  4b2  4c  4d  4e2  4ab  4ac  4ad  4ae    a  4ab  4b    a  4ac  4c    a  4ad  4d    a  4ae  4e     a  2b    a  2c    a  2d    a  2e   2 2 Dấu xảy a = 2b = 2c = 2d = 2e Bài 11: Cho a, b thỏa mãn: a + b = 1, a > 0, b > CMR: HD: Ta có: VT    1   1    a  b  b  a  a  b  a  b   a b  1  1  1   2   2      a  b   a  b  b a a b        2.2  b a Dấu a b   a  b  a  b  b a 2 Bài 12: Cho HD:  x y x, y  0, CMR :    xy   x  y  xy  xy  x  xy  y    x  y   Ta có: Bài 13: Cho a > 0, b > CMR: HD: Ta có: a a  b  a b  ab 3 , Dấu x = y  a 2b    b3  ab    a  a  b   b  a  b   a  b   a  b     a  b   a  b     Dấu a = b Bài 14: Cho HD: a  b  1, CMR: 1   2  a  b  ab   1         2   a  ab    b  ab  Xét hiệu: a  b  a b  a  b     a    ab    b2    ab   b  a   ab  1 2    ab   a  1  b  a  0 0 , Dấu a = b a.b = 2 2 Bài 15: CMR : với số thực x, y, z, t ta ln có : x  y  z  t  x  y  z  t  HD: 2 2 Ta có: x  y  z  t  xy  xz  xt    2 2  x  y  z  4t  xy  xz  xt  x  xy  y    x  xz  z    x  xt  4t   x  Dấu x = 2y = 2z = 2t = Bài 17: CMR : HD: Ta có: a2  b  c  ab  ac  2bc 2 a  4b  4c  4ab  4ac  8bc   a  4a  b  c    b  c  2bc    a  4a  b  c    b  c     a  2a  2c   2 2 Bài 19: CMR : x  y  z  xy  zx  yz HD: 2 2 2 Ta có: x  y  z  xy  yz  zx   x  x  y  z   y  yz  z  2 x  x  y  z    y  z     x  y  z   Bài 20: CMR : HD: x  y  z   x  xy  x  z  1 4 2 Ta có: x  y  z   x y  x  xz  x  x  y  x y    x  xz  z    x  x  1  x  y    x  z    x  1  2 , Dấu x = z = 1, y = Bài 21: CMR : a  b  c  ab  bc  ca HD: 2 Ta có : a  b  c  ab  bc  ca  2   a  b    b  c    c  a   Bài 22: CMR : HD: 1  2a  2b  2c  2ab  2bc  2ca  a  b  ab b b 3b b  3b   a  a     a  0    4 2  a  b  ab  Ta có: 2 Bài 23: CMR : x  xy  y  HD: Ta có: y y2 3y2 y  y2  x  x      x    0 4 2  2 Bài 24: CMR : a  a  b   a  c   a  b  c   b c  HD:  a  a  b  c   a  b   a  c   b 2c    a  ab  ac   a  ab  ac  bc   b 2c  Đặt a  ab  ac  x  bc  y , a Bài 25: CMR :  2 2 Khi ta có: x  x  y   y   x  xy  y   b2   a  b    a  b3  HD: Ta có:   a  a 2b  a 4b  b  a  2a 3b3  b6 a 4b  a 3b3    a 2b  a 3b3   2  a b  a  b   a b  b  a     a  b   a3b2  a 2b3    a b2  a  b   a  b   a  b3    a  b  Bài 26: CMR :  HD: 3 4 4 Ta có: a  ab  a b  b  2a  2b  a  ab  b  a b    3 a  b3  a  b     a  b   a  a  b   b  b  a     a  b3    a  b   a  b  a  ab  b   Bài 27: Cho a, b > 0, CMR : HD: 3 2 Ta có: 2a  2b  a  ab  a b  b 3  a  a b  b  ab  2  a  a  b   b  b  a     a  b   a  b  Bài 28: Cho a, b > 0, CMR:  a  b3    a  b  HD: Ta có: 4a  4b3  a  3a 2b  3ab  b3 3  3a  3a b  3b  3ab   3a  a  b   3b  b  a     a  b   a  b     a  b   a  b  Bài 29: Cho a, b, c > 0, CMR: a  b  abc  ab  a  b  c  HD: 3 2 Ta có: a  b  abc  a b  ab  abc 3 2 3  a  a b  b  ab   a  a  b   b  b  a     a  b  a Bài 30: CMR:  HD: Ta có:    b   ab  a  b  3  a  a  b   b  b  a    b3   a  b     a  b  Bài 31: CMR: a  b  c  a  b  c  HD: 2 Ta có: a  b  c  ab  ac     a  b  a  2a 2b  b  ab  a  2ab  b   a 3b  2a 2b  ab a  a 3b    b  ab3   a   2 a  ab  b   2 2  4a  4b  4c  4ab  4ac  a  4ab  4b    a  4ac  4c   2a    a  2b    a  2c   2a  2 Bài 32: CMR: a  b  c  d  a  b  c  d  HD: 2 2 Ta có: a  b  c  d  ab  ac  ad    2 2 2  4a  4b  4c  4d  4ab  4ac  4ad  a  4ab  4b    a  4ac  4c    a  4ad  4d   a    a  2b    a  2c    a  2d   a  a  b2  c    a  b  c  33: CMR: 2 Bài HD: Ta có: a  a    b2  b    c2  c   0  1  1  1   a  a   b  b   c  c   4  4  4  2 1  1  1   a    b    c    2  2  2   4 34: CMR: a  b   4ab Bài HD: Ta có:   a Bài 35: HD: a  b  4ab    a  b  2a 2b  2a 2b  4ab    b    a 2b  2ab  1    a  b    ab  1  CMR: x  x   2 x Ta có:   x     x  x  1    x 2     x  1  2 Không xảy dấu Bài 36: CMR: HD: x4  x  0 2 Ta có: 1 1  1  1    x    x     x  x   x  x   4  4 2  2    Bài 37: CMR: x  x   3x ( x  0) HD: Ta có: 2 x3  x  x    x  x  x    x    x  x    x   , Vì x >0 Bài 39: CMR:  x  1  x    x  3  x    1 HD:  x  1  x    x    x  3   Đặt x2  5x   t x2  5x  4  x2  5x  6      t  1  t  1    t  , Khi ta có: , Dấu t = Bài 40: CMR: HD: x  x3  x  x   x  x  1   x  1  x    x  1  x  1  x  Ta có : x  1  x  x  1  x    ( ĐPCM) Bài 41: CMR : a  4b  4c  4ab  8bc  4ac HD: 2 Ta có: a  4b  4c  4ab  8bc  4ac  2 a   2b    2c   2.a.2b  2.2b.2c  2.a.2c  2    a  b  c          với a, b, c >0 Bài 42: CMR :  HD: 3 3 3 2 2 2 Ta có: 8a  8b  8c  2a  2b  2c  3a b  3ab  3b c  3bc  3a c  3ac 3 a  b3  c3  a  b  b  c  c  a 3 3 2 2 2  6a  6b  6c  3a b  3ab  3b c  3bc  3a c  3ac  3a  3a 2b    3a  3a 2c    3b3  3b a    3b  3b 2c    3c  3bc    3c  3ac     2 2 2  3a  a  b   3a  a  c   3b  b  a   3b  b  c   3c  c  b   3c  c  a     a  b   a  b2    a  c   a  c    b  c   b2  c     a  b   a  b  3 a  c   a  c   3 b  c   b  c   Bài 43: CMR:  a  b  c  HD:  a  b3  c  24abc với a,b,c>0 3 3 3 Ta có: a  b  c   a  b   b  c   c  a   a  b  c  24abc   a  b   b  c   c  a   24abc Vì  a  b  ab  b  c  bc  c  a  ca , Nhân theo vế ta ĐPCM Bài 44: CMR: Với x, y # ta có:  x y x2 y    3   y x  y x HD: Ta có: x x  y  x y  xy  x  y    y   xy  x  y   x y  xy  x  y     x  y   x  y  xy   xy  xy  x  y     x  y x  xy  y   Bài 45: CMR : Nếu a  b  , HD: a  b3    x  y  xy   x  y  xy   Ta có: 1 1  3 a  b  a  a   a      2 4  b   a  b3   3a  3a  a3  Bài 46: Cho a, b, c > 0, CMR : HD: ab  bc  ca  a  b  c a  b  c  ab  bc  ca    a  b    b  c    c  a   Ta có: a2  a  0 a2  a  Bài 47: CMR : HD: 1  a  a    a  a    0, a 4  Ta có: Bài 48: CMR : 4a  a  b   a  1  a  b  1  b  HD: 1  a  a    a  a    0, a 4  2 Ta có: 4a  a  b  1  a  1  a  b   b  a  ab  a  x   a  ab  a   a  ab  a  b   b  Đặt b  y  2x  y  0 Khi đó: 2  x  x  y   y   x  xy  y   , Dấu x y Bài 49: CMR : HD: Ta có:  x  y  2a  a  1 2a   xy 2  x  y  2  x  y  x  y  xy   x  y   x  y    x  y 2   xy  x  y  xy  xy   x  y    Bài 50: CMR : HD: 1   a b a  b , Với  a  b ab Ta có: Bài 51: CMR : HD: Ta có: x   y  2a  2ab  2a  b  b    a,b > 2 a  b   a  b   4ab   a  b   a  b  ab  a  b  3 a  b  a 3b  ab3   a  a  b   b  a  b     a  b  a  ab  b   a  b4  a  b      Bài 52: CMR : HD: 4 4 2 2 3 Ta có: 8a  8b  a  b  4a b  2a b  4a b  4ab 10 Bài 6: Cho a, b hai số thực có tổng 1, CMR: HD: Ta có: a  b   b   a  b3    a  a  b3  => a  b  a   3a  3a  a  3a  3a  3 3 2 3 1 1     a  a     a     4 2 4   22 Bài 8: Cho a, b, c > 0, CMR : HD: 1 1  3   3 a  b  abc b  c  abc c  a  abc abc a  b3   a  b   a  ab  b    a  b  ab 2 , Do a  ab  b  ab 3 Khi b  abc   a  b  ab  abc  ab  a  b  c  Chứng minh tương tự ta có: 3 b3  c3  abc  bc  a  b  c  c  a  abc  ac  a  b  c  Ta có: Khi ta có: VT  1  abc       a  b  c  ab bc ca  a  b  c abc abc Bài 10: Cho a, b, c > 0, CMR : HD: Từ => a b c    bc ca ab 1 1    x y z ,  x  y  z  Đặt x  a  b  y  b  c z  c  a  1   2 a  b  c      ab bc ca  abc abc abc c a b       3 bc ca => a  b b  c c  a 2 a  b Bài 11: Cho a, b > 0, CMR : HD: Ta có: a b    b 1 a 1 a  b  a   b              b 1   a 1   a  b  1     a  b  1        2  a  b a 1 b 1 a  b  c   a  b  c Bài 15: CMR : HD: Ta có: 1  1  1   a  a   b  b   c  c   4  4  4  Bài 16: Cho a, b, c dương có tổng 1, CMR : HD: Vì 1   9 a b c  a  b  c     a  b  c   1 1    a b c 23 Bài 18: Cho x, y, z > 0, CMR : HD: x4 y  2 y4 x4 , Tương x4 y x2 y x y      2 y x4 y x2 y x x y  2 y x  x2 y2       2 x  y Ta có: tự Cộng theo vế ta có: VT     Bài 19: Cho a, b số dương thỏa mãn: a + b < ab, CMR : a + b > HD: Ta có: a  b  ab   a  b  4ab  ab  ab ab Do a  b ab      a  b  ab ab a b 24 2 Bài 21: Cho a, b, c thỏa mãn: a  b  c  , CMR: HD: Ta có: ab  bc  ca  a  b  c   a  b  2ab  2 2 b  c  2bc   a  b  c    ab  bc  ca   2.3   ab  bc  ca  c  a  2ac  => (1) ab  bc  ca  a   2a  b   2b     a  b  c   a  b  c   c   2c  Mặt khác: Cộng (1) (2) theo vế ta ĐPCM Bài 22: CMR: HD: Ta có: x2 y2   4  16 x  16 y 4, với x, y số thực  16 x  16 x  2.4 x  x  Tương tự: x2   16 x y y    16 y 8y VT  (2) Bài 24: CMR: với a,b > a > b > HD: a  b  a  b   a  b  a2  b2   2 ab  a  b  a  b VT  (1) Cộng theo vế ta : Ta có: (2) a  b a  b2  a  b a2  b2 2 2 , Mà a  2ab  b  a  b a  b2 a  b2 Khi Bài 25: Cho số a,b,c dương thoă mãn: a + b + c = 4, CMR : HD: a  b Ta có:  a  b  abc  4ab   a  b   c    a  b  c  16   a  b  c      a  b  c   a  b    a  b  c   a  b   ab c  4abc => a  b  abc 3 2 Bài 26: Cho số x, y > thỏa mãn: x  y  x  y , CMR : x  y  HD: Ta có: x3  y   x  y   x  y    x  y   x  y   x3  y 25 2 2  x  xy  x y  y  x  y  y  x y  xy   y  y  x  xy   Bài 27: Cho a + b = 1, CMR: HD: Ta có: a2  b2   a  2ab  b  1 2 2 a  b    a  b   a  b     2  a  2ab  b  26 Bài 28: Cho a + b = 1, CMR: HD: Ta có: Mặt a  b4  2 a  2ab  b   2a  2b   a  b   2 a  2ab  b   4 2 1  a  b  2a b   2a  2b   a  b    a  b  a 2b   khác: 2 Bài 30: Cho a, b, c thỏa mãn: a  b  c  1, CMR: HD: abc    a  b  c  ab  bc  ca   Vì a  b  c   a , b , c   1  x, y, z  Khi đó:  a  1  b  1  c  1   abc  ab  bc  ca  a  b  c   2 (1) Mà  a  b  c  1   a  b  c    a  b  c     a  b  c   ab  bc  ca    a  b  c     ab  bc  ca  a  b  c   (2) Cộng (1) (2) theo vế ta được: abc   ab  bc  ca  a  b  c  1  2 27 Dạng 4: SẮP SẾP CÁC BIẾN VÀ BĐT TAM GIÁC: Bài 1: Cho a, b, c độ dài ba cạnh tam giác, HD : Ta có : a a 2a    bc bc abc Tương tự ta có: VT  a b c   2 CMR: b  c c  a a  b b b 2b c 2c    ,  ca c a a b c a b a bc , cộng theo vế 2(a  b  c) 2 abc Bài 2: Cho a, b, c > 0, CMR: HD : Ta có : 1 a b c   2 ab bc ca a a ac   abc ab abc b b ba   abc bc abc c c cb   abc ca abc Cộng theo vế ta : a b c ab bc ca   M    abc abc abc abc a bc a bc 2 a  b  c abc M    M  abc abc a b c d 1    2 3: Cho a, b, c, d > 0, CMR: a  b  c b  c  d c  d  a d  a  b Bài HD : Ta có : a a ad   abcd abc abcd c c cb   abcd cd a a bcd và b b ab   a bc d bc  d a bc  d d d d c   a bc d d a b a bc d Cộng theo vế ta có : 2 a  b  c  d  abcd M    M  abcd abcd ab bc cd d a 2    3 a bc bc d c d a d a b 4: Cho a, b, c, d > 0, CMR: Bài HD : ab ab a bd   abcd abc abcd Ta có : Chứng minh tương tự : 28 bc bc bca   abcd bcd abcd , cd cd cd b   a bc d c d a a b c  d d a d a d ac   abcd d ab abcd Và Cộng theo vế ta có : 2 a  b  c  d  3 a  b  c  d  M  abcd abc d Bài 5: Cho a, b, c độ dài ba cạnh tam giác, CMR: HD : Ta có : 1 a b c   2 bc c a a b a a aa b b bb     a  b  c b  c a  b  c a  b  c c  a a  b  c c c cc   abc ab abc Cộng theo vế ta : 2 a  b  c abc M  abc abc a b c    bc ca ab Bài 6: CMR a, b, c > HD : Áp dung BĐT : Khi ta có : 1 1    x y z ,  x  y  z  Đặt b  c  x  c  a  y  x  y  z   a  b  c  a  b  z  1  abc a bc a bc  2 a  b  c          a b bc ca  a b bc c a  => ĐPCM Bài 7: Cho a, b, c độ dài ba cạnh tam giác, CMR: a b c   3 bca a c b a bc HD : Đặt : b  c  a  x  x  y  2c   a  c  b  y   y  z  2a a  b  c  z  z  a  2b   , Khi : 2A  yz xz x y   x y z  x y  z x  z y            A   y x x z  y z Bài 8: Cho a, b, c độ dài ba cạnh tam giác, CMR: HD : 1 1 1      a bc bc a c  a b a b c 29 Áp dụng BĐT Schawzr : Tương tự ta có : 1   bc a c a b c 1    a  b  c b  c  a 2b b 1   c  a b a bc a , Cộng theo vế ta : ĐPCM Bài 9: CMR với a, b, c độ dài ba cạnh tam giác p nửa chu vi tam giác thì: 1 1 1    2    p a pb p c a b c HD : Ta có : 1 4    p  a p b 2p  a b c 1   p b p c a 1   pc pa b Tương tự ta có : Cộng theo vế ta điều phải chứng minh Bài 10: Cho tam giác ABC có độ dài ba cạnh a, b, c chu vi 2p, CMR: abc   p  a  p  b  p  c HD : p  a    p  b    p  a   p  b   c   p  a   p  b  Ta có :   p  b   p  c  Nhân theo vế ta : abc   p  a   p  b   p  c  Chứng minh tương tự ta có : a2 b2  p  a  p  c 30 Bài 11: CMR: Nếu a, b, c chiều dài ba cạnh tam giác thì: ab  bc  ca  a  b  c   ab  bc  ca  HD : 2 Ta chứng minh : a  b  c  ab  bc  ca Chuyển vế ta : Ta chứng minh : a  b  c  ab  bc  ca    a  b    b  c    c  a   2 a  b  c   ab  bc  ca   a  ab  ac a  b  c   b  a  c  b  bc  ba c  a  b c  ac  bc   , Ta có : Cộng theo vế ta : a  b  c   ab  bc  ca  Bài 12: Cho a, b, c độ dài ba cạnh tam giác, CMR: abc   a  b  c   b  c  a   c  a  b  HD : a  b  c    b  c  a    a  b  c   b  c  a   2b   a  b  c   b  c  a  Ta có :      Tương tự ta có : Nhân theo vế ta ĐPCM Bài 13: Cho a, b, c độ dài ba cạnh tam giác, CMR: 2c  bca c ab 2a  a  b  c  c  a  b a  b  c   a 2b  b c  c a  HD : Ta có : a  b  c  2a 2b  2b 2c  2c a   a  b  c  2a 2b  2b 2c  2c a  4a 2b  4   a  b  c    2ab     a  b  c  2ab   a  b  c  2ab   2   a  b  c   a  b  c   a  b  c   a  b  c   (Luôn ) Bài 14: Cho a, b, c độ dài cạnh tam giác, CMR: b c a a b c      a b c b c a với abc HD : 2 2 2 Nhân vế với a, b, c ta có : b c  c a  a b  a c  ab  bc  c  b  a   a  c  b   b  a  c     c  a   b  c   b  a   Đúng Bài 15: CMR với a, b, c độ dài ba cạnh tam giác thì: HD : Xét hiệu : 4a 2b   a  b  c  4a 2b   a  b  c     2ab  a  b  c   2ab  a  b  c   31   a  b  c   a  b  c   c  a  b   c  a  b   Bài 16: Cho a, b, c độ dài ba cạnh tam giác, CMR: a  b  c   b  c  a   c  a  b   a  b3  c 2 HD : a  b  c   a  a  b  c   a   a  b  c  a   b  c  a     2 Ta xét : Chứng minh tương tự ta có : Tổng số âm số âm Bài 17: Cho HD : a  b  c  1, CMR : a  b  c    2 a  x   a  x  x      2 b  y   b  y  y  3     2 c  z  c  z  z    Đặt Cộng theo vế ta : a  b2  c2   x2  y  z    x  y  z  3 (1) Mà : a  b  c  x  y  z   x  y  z  , Thay vào (1) 1 a  b2  c  x  y  z   3 => Bài 18: Cho a, b, c dộ dài ba cạnh tam giác, CMR: a  b  c   ab  bc  ca  HD : Ta có :  a  ab  ac a  b  c   b  c  a  b  ab  bc c  a  b   c  ac  bc , Cộng theo vế ta ĐPCM Bài 19: Cho a, b, c độ dài ba cạnh tam giác, CMR: độ dài cạnh tam giác HD : Ta cần chứng minh : 1 , , a b bc ca , 1 1 2       a  b b  c a  b  c a  b  c a  b  c  a  c   a  c a  c Tương tự ta có : 1   bc ca ab 1   ca ab bc 32 Bài 20: Cho a, b, c độ dài ba cạnh tam giác có chu vi 2, so sánh a,b,c với 1, 2 CMR: a  b  c  2abc  HD : Giải sử : a  b  c  a  b  c  2a  a  b  c   a   b, c  Khi :   a    b    c    ab  bc  ca   abc lại có :  a  b  c  a  b  c   ab  bc  ca   a  b  c    abc  2 2 2   a  b  c   2abc  a  b  c  2abc  Bài 21: Cho a, b, c độ dài ba cạnh tam giác, CMR: abc   a  b  c   b  c  a   c  a  b  HD : Ta có :  a  b  c   b  c  a   a  b  c  b  c  a  a  b  c  b  c  a  2b      Tương tự ta có : Nhân theo vế ta ĐPCM Bài 22: Cho a, b, c độ dài ba cạnh tam giác, CMR : ab  bc  ca  a  b  c   ab  bc  ca  HD : 2 Ta chứng minh : a  b  c  ab  bc  ca 2c  Chuyển vế ta : Ta chứng minh : Ta có : bca c ab 2a  a  b  c  c  a  b a  b  c  ab  bc  ca    a  b    b  c    c  a   2 a  b  c   ab  bc  ca   a  ab  ac a  b  c   b  a  c  b  bc  ba c  a  b c  ac  bc   , Cộng theo vế ta : a  b  c   ab  bc  ca  33 Bài 23: Cho a, b, c chiều dài ba cạnh tam giác có chu vi 2, CMR: a  b  c  2abc  HD : Giải sử : a  b  c  a  b  c  2a  a  b  c   a   b, c  Khi :   a    b    c    ab  bc  ca   abc Lại có :  a  b  c   a  b  c   ab  bc  ca   a  b  c    abc  2 2 2   a  b  c   2abc  a  b  c  2abc  Bài 24: Cho a, b, c ba cạnh tam giác: CMR: HD : Ta có :  3a  b 3b  c 3c  a   4 2a  c 2b  a 2c  b  3a  b   3b  c   3c  a  VT    1        2a  c   2b  a   2c  b  a b c b c a c  a b   1 2a  c 2b  a 2c  b , Lại có :  a  b  c  b  c  a  c  a  b     2a  c   a  b  c   2b  a   b  c  a   2c  b   c  a  b  1  a  b  c   2a  c   a  b  c    2b  a   b  c  a    2c  b   c  a  b  1 2 2 Bài 25: Cho a, b, c độ dài ba cạnh tam giác: CMR : a 2016 b 2016 c 2016    a 2015  b 2015  c 2015 b c  a c  a b a b c HD :   a  b   a  c    a 2016  a    a 2015   a 2015   1  a 2015    bca bca  bca    Xét hiệu ta có : Tương tự ta có : 2015   b  a    b  c   b   c  a b     c  a   c  b  c 2015   abc   Khi  a 2015  b 2015  a 2015 b 2015  c 2015  c 2015  VT   a  b     b  c   a  c            b  c  a c  a b   c  a b a b c   b c a a b c  Giả sử : a  b  c  Ngoặc 2,  Ta có ngoặc 1= ĐPCM Bài 26: Cho c  a 2015  b 2015    a  b   a 2015  b 2015  a 2015 b 2015   0  b  c  a  c  a  b  b  c  a  c  a  b a  b  c  1, CMR : a  b  c  , 34 HD : Đặt   2 a  x  a  x  x    3     2 b  y   b  y  y  3     2 c  z  c  z  z  a  b2  c2   x2  y  z   Cộng theo vế ta :  x  y  z  3 (1) Mà : a  b  c  x  y  z   x  y  z  , Thay vào (1) => 1 a  b2  c  x  y  z   3 Bài 27: Cho a, b, c độ dài ba cạnh tam giác, CMR: a b c   3 bca a c b a bc HD : Đặt : b  c  a  x  x  y  2c   a  c  b  y   y  z  2a a  b  c  z  z  a  2b   ,  x y z        y x x Khi : 2A  yz xz x y   x y z x  z y      A  z y z Bài 28: Tìm tất tam giác vng có số đo cạnh số nguyên dương số đo diện tích chu vi HD: Gọi cạnh tam giác vng x, y, z cạnh huyền z ( x, y, z số nguyên dương) Ta có: xy  2 x  y  z Từ (2)  z2   x  y  2xy (1) x2  y2  z2 (2) , thay vào (1) ta có: z2   x  y  4 x  y  z  z2  4z   x  y  4 x  y 2 z2  4z    x  y  4 x  y    z  2   x  y  2  z   x  y   z  x  y  2 , thay vào (1) ta : xy  2 x  y  x  y  4  xy  4x  4y  8   x  4  y  4   1.8  2.4 Từ ta tìm giá trị x, y, z :  5;12;13 ; 12;5;13 ; 6;8;10 ; 8;6;10 35 36 ...  a    a b  2a bc  a c    a b  2ab c  b c    a b 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2  2a 2c  2a 2bc  2b ac  2abc  2 2 2  2ab 2c  b c    a c  2abc  b 2c   Bài 83 : Cho a, b, c,... 8bc  4ac HD: 2 Ta có: a  4b  4c  4ab  8bc  4ac  2 a   2b    2c   2. a.2b  2. 2b.2c  2. a.2c  2    a  b  c          với a, b, c >0 Bài 42: CMR :  HD: 3 3 3 2 2... 52: CMR : HD: 4 4 2 2 3 Ta có: 8a  8b  a  b  4a b  2a b  4a b  4ab 10 4 2 2 3  a  7b  4a b  2a b  4a b  4ab    a  b  2a 2b    6a  6b   4ab  a  b   8a 2b  2 2 2