Giáo án bồi dưỡng học sinh giỏi toán 8 chuyên đề bất đảng thức

GIÁO ÁN BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI TOÁN CHUYÊN ĐỀ: BẤT ĐẲNG THỨC Cauchy (AM – GM) A: LÝ THUYẾT Tên gọi: Bất đẳng thức Cauchy (AM- GM) hay cịn gọi BĐT Trung bình cộng Trung bình Nhân Ngồi cịn số sách số giáo viên thường gọi Cô si Định nghĩa: Trung bình cộng n số thực khơng âm ln lớn trung bình nhân chúng trung bình cộng trung bình nhân n số Tổng quát: Ở cấp THCS, Tài liệu Toán xin phép đưa hai công thức tổng quát sau: - - Với Với a, b≥ a,b,c ≥ a+ b ≥ ab , Dấu “ = “ a+ b+ c ≥ 33 abc a= b , Dấu “ = “ B: CÁC DẠNG BÀI TẬP VÀ ỨNG DỤNG Dạng 1: ÁP DỤNG TRỰC TIẾP CÔNG THỨC Bài 1: Cho HD: x, y , z ≥ , CMR : ( x + y ) ( y + z ) ( z + x ) ≥ xyz Áp dụng Cô si cho hai số x, y ≥  y + z ≥ yz   z + x ≥ zx Làm tương tự ta có : ( x + y ) ( y + z ) ( z + x ) ≥ xyz Dấu “ = “ khi: Bài 2: Cho a, b, c > abc = , ta có: x + y ≥ xy , Nhân theo vế ta được: x = y   y = z x = y = z z = x  , CMR: , ( a + 1) ( b + 1) ( c + 1) ≥ a= b= c HD : Áp dụng Cô si cho hai số khơng âm Tương tự ta có : Bài 3: Cho HD : a= b= c=1 không âm CMR: ( a + b ) ( ab + 1) ≥ 4ab Áp dụng Cô si cho hai số không âm Tương tự : , ta có : a +1 ≥ a b + ≥ b => ( a + 1) ( b + 1) ( c + 1) ≥ abc =  c + ≥ c  Dấu “ = “ khi: a,b a,1 ab + ≥ ab Dấu “ = “ a,b , ta có : , nhân theo vế ta : a = b a = b =  ab =  a + b ≥ ab ( a + b ) ( ab + 1) ≥ 4ab Bài 4: Cho số x,y,z >0, CMR: HD: Ta có: x y z x y z + + ≥ 33 = y z x y z x a + b + c + d ≥ 4abcd Bài 5: CMR: HD : Vì a4 , b4 , c4 , d 4 , Dấu , Với  x = yz  x y z = = =>  y = xz => x = y = z y z x  z = xy  a,b,c, d a + b + c + d ≥ 4 ( abcd ) = 4abcd số dương => Dấu “ = “ Bài 6: Cho HD : x y z + + ≥3 y z x a,b, c, d > 0; abcd = a= b= c = d CMR : a + b + c + d + ab + cd ≥  a + b ≥ 2ab => a + b + c + d + ab + cd ≥ ( ab + cd ) ≥ 3.2 abcd =  2 c + d ≥ 2cd Ta có : Dấu “ = “ Bài 7: CMR: HD: a b2 c2 c b a + + ≥ + + b2 c a b a c Áp dụng Cô si cho hai số không âm Tương tự : b c b + ≥ 2 c a a Cộng theo vế ta : Dấu “ = “ xảy khi: Bài 8: Cho a,b,c > 0, CMR: HD : Ta có : , a2 b2 ; b2 c2 , ta có : a b2 a + ≥ 2 b c c c a c + ≥ 2 a b b  a2 b2 c2   a b c 2 + + ÷ ≥ 2 + + ÷ => VT ≥ VP  c a b b c a  a= b= c bc ca ab + + ≥ a+b+c a b c bc ca b a + = c  + ÷ ≥ 2c a b a b , , Tương tự ta có : ca ab c b + = a  + ÷ ≥ 2a b c b c Cộng theo vế ta : Bài 9: Cho HD: a,b,c > 2VT ≥ 2VP ab bc a c + = b  + ÷ ≥ 2b c a c a a b c 11 1 + + ≤  + + ÷ 2 a +b b +c c +a 2a b c CMR : a2, b2 > Áp dụng Cô si cho hai số Làm tương tự ta có , ta có : a2 + b2 ≥ 2ab 2  a b c 1 11 1 b + c ≥ 2bc => VT ≤ + + = + + =  + + ÷  2 2ab 2bc 2ca 2b 2c 2a  a b c    c + a ≥ ca khi: a = b   b = c a = b = c c = a  Bài 10: CMR: Với HD: a,b,c > Áp dụng Cô si cho ba số ( a + b + c )  , a,b,c > 1 1 + + ÷≥ a b c , ta có : a + b + c ≥ 3 abc 1 1 + + ≥ 33 a b c abc ( a + b + c )  1 1 + + ÷≥ a b c Nhân theo vế ta có: Dấu “ = “ : Bài 11: Cho CMR : a,b,c ≥ a = b = c   1 a = b = c  a = b = c a+b+c ≤ , a b c 1 + + ≤ ≤ + + 2 1+ a 1+ b 1+ c 1+ a 1+ b 1+ c HD: Ta có: 1 + a ≥ 2a  a b c a b c + + ≤ + + = 1 + b ≥ 2b => 2 1+ a 1+ b 1+ c 2a 2b 2a 1 + c ≥ 2c  Dấu “ = “ Đặt 1 + a = x  1 + b = y => x + y + z = a + b + c + ≤ 1 + c = z  B= => 1 + + ≥ x y z , 1 1 1 9 + + ÷ ≥ => + + ≥ ≥ = x y z x+ y+ z x y z ( x + y + z)  Khi đó: Bài 12: Cho a,b,c ba số dương, CMR: HD: a b c + + ≥ b+c c+a a+b 1 1 + + ÷≥ x y z  ( x + y + z)  Ta có : Áp dụng bất đẳng thức : Đặt x = a + b 1    + +  y = b + c => ( a + b + c )  ÷≥ a + b b + c c + a   z = c + a  a+b+c a+b+c a+b+c a b c + + ≥ + + ≥ −3 = a+b b+c c+a b + c c + a a + b 2 Bài 13: Cho a,b > 0, CMR: HD : a b + + ≥ b +1 a +1 a + b 1   a   b     VT =  + 1÷+  + 1÷+  + ÷− = ( a + b + 1)  + + ÷−  b +1   a +1   a + b   b +1 a +1 a + b  = 1   + + ( a + 1) + ( b + 1) + ( a + b )   ÷− ≥ − =  a +1 b +1 a + b  2 Bài 14: Với a, b, c độ dài ba cạnh tam giác CMR: a b c + + ≥3 b+c−a c+a−b a+b−c HD : VT ≥ 3 Ta có : Lại có : => 2c ≥ a≥ => abc ( b + c − a) ( c + a − b) ( a + b − c) ( b + c − a) + ( c + a − b) ≥ ( b + c − a) ( c + a − b) ( b + c − a) ( c + a − b) ( c + a − b) ( a + b − c) , Tương tự ta có : b≥ ( b + c − a) ( a + b − c) abc ≥ ( b + c − a ) ( c + a − b ) ( a + b − c ) => abc ≥ => VT ≥ 3 = ( b + c − a) ( c + a − b) ( a + b − c) 1 a+b+c + + ≤ a + bc b + ac c + ab 2abc Bài 15: Cho a,b,c > 0, CMR: HD : a , bc Co si cho hai số : a + bc ≥ 2a bc => , Ta được: 1 1 1  ≤ => ≤  + ÷ a + bc 2a bc a + bc  ab bc  Tương tự ta có : 1 1  ≤  + ÷ b + ac  ab bc  2 1 1  ≤  + ÷ c + ab  ca cb  2VT ≤ Cộng theo vế ta : 1 a +b+c a +b+c + + = => VT ≤ ab bc ca abc 2abc Dạng 2: TÌM ĐIỂM RƠI CỦA BĐT AM - GM Nhận dạng xử lý: - Với tốn có điều kiện ẩn, điểm rơi thường điểm biên ẩn - Với ẩn có vai trị biểu thức điểm rơi ẩn có giá trị Phương pháp : - Thay giá trị điểm rơi vào biểu thức muốn AM – GM, để tách biểu thức cho Cơ si xảy dấu - Ta hạ bậc nâng bậc biểu thức để Cô si để biểu thức sau Cô si ý Dạng 2.1: Điểm rơi cho Cô - si hai số a ≥ 2, CMR : a + Bài 1: Cho HD : ≥ a Dự đoán dấu : a = => a+ Khi ta có : Dấu Bài 2: Cho HD : a≥3 1 a 3a a 3a 3a = + + ≥2 + = 1+ ≥ 1+ = a a 4 4a 4 2 1 a  =  a a = a = S =a+ , Tìm GTNN của: a = => Dự đốn dấu : Khi ta có : S= Vậy Min Bài 3: Cho HD : x ≥1 1 = = k a = k => k = a a 1 = = k => k = a 8.3 10  a  8a S =  + ÷+ ≥ + = + = 3 9 a 9 10 A = 3x + , Tìm GTNN của: 2x x = => Dự đoán dấu Khi : 1 = = k => k = 2x 5.1  3x  x A =  + ÷+ ≥ + = 1+ = 2  2x  1 + ≥5 a b a + b ≤ 1, CMR : a + b + Bài 4: Cho a, b > 0, HD : Dự đốn dấu Khi : a + b = 1 1 => a = b = => = = k => k =  a a = b 1  1  1  1  VT =  + a ÷+  + b ÷ =  + 4a ÷+  + 4b ÷− ( a + b ) a  b  a  b  ≥ + − 3( a + b) => VT ≥ + − = , Mà a + b ≤ => −3 ( a + b ) ≥ −3 x ≥ 3; y ≥ Bài 5: Cho hai số thực x, y thỏa mãn : Tìm GTNN biểu thức :  1  1 A = 21 x + ÷+ 3 y + ÷ y  x  HD : Bài 6: Cho HD : x > y > 0, P= Ta có : P= Tìm GTNN của: x y + y x , đặt x = a => a ≥ => P = a + y a a = => Dự đoán dấu : P≥ x2 + y xy 1  a  3a = = k => k = => P =  + ÷+ a a 4 3.2 + =1+ = 2 4 ≥ ≥ A= a+ ≥ Bài 7: Cho a 10, b 100, c 1000, Tìm GTNN của: HD : a = 10 => Dự đốn dấu : c, Khi ta có : 1 +b+ +c+ a b c 1 = = k 10 => k = a 10 100 , Tương tự với b a  99a 99.10 101 1 B= + ≥ + = ÷+ 10 100 100  a 100  100 , Tương tự với b c Bài 8: Cho a, b, c ba số thực dương thỏa mãn: P = a +b+c+ Tìm GTNN của: a +b + c ≤1 , 1 + + a b c HD : a =b=c= Dấu , Khi P ≥ + + − 8( a + b + c) Vậy P ≥ + + − = 10 Mà 1  1  1  P =  + 9a ÷+  + 9b ÷+  + 9c ÷− ( a + b + c ) a  b  c  a + b + c ≤ => −8 ( a + b + c ) ≥ −8 a+b+c ≤ Bài 9: Cho a, b, c ba số thực dương thỏa mãn: Tìm GTNN của: , 1 P = a +b+c+ + + a b c HD : Dự đoán dấu : a=b=c= 1  1  1  => P =  + 4a ÷+  + 4b ÷+  + 4c ÷− ( a + b + c ) a  b  c  15 P ≥ + + − = 2 Bài 10: Cho a, b, c ba số thực dương thỏa mãn: Tìm GTNN của: a +b+ c ≤1 , 1 1 P = a + b + c + 2 + + ÷ a b c HD : a=b=c= Dự đốn dấu Khi đó: 2  2  2  P =  18a + ÷+  18b + ÷+  18c + ÷− 17 ( a + b + c ) a  b  c  => P ≥ 19 Bài 11: Cho a, b số thực dương thỏa mãn: S = ab + HD : ab a +b ≤1 , Tìm GTNN của: a=b= Dự đốn dấu : Khi ta có : 1 => = = 16ab ab   S =  16ab + ÷− 15ab ≥ 16 − 15ab ab   a + b ≥ ab => ≥ ab => ab ≤ mà S ≥ 2.4 − Vậy 15 15 17 =8− = 4 Bài 12: Cho x, y dương thỏa mãn: HD : Dự đốn dấu = khi: đó: P = xy + Bài 13: Cho HD: x= y=2 32 1 + ≥ 64 + xy xy xy a,b> 0,a+ b = Dấu = P ≥ xy + đó: , Mà: 33 xy xy = = , nên k => k = 32 4 1 ≥ = => P ≥ 2.8 + xy ( x + y ) 4 P = a2 + b2 + , Tìm GTNN 1 + a2 b2 ) = a + b ≥ ab => ab ≤ Mà Bài 14: Cho HD : , Tìm GTNN của: 33 xy  1 15 15 P = a2 + b2 +  + ÷ ≥ 2ab + = 2ab + + ≥ + ab 8ab 8ab 8ab a b  ( P ≥ 1+ x+ y =4 P = x2 + y + a= b= Ta có: −15 => −15ab ≥ 4 1 15 15 => ≥ => ≥ ab 8ab 15 17 = 2 a, b> P= Tìm GTNN của: Dự đoán dấu : a+b ab + ab a + b  a+b ab =   m ab a + b => m = a = b  , Thay vào P ta được: x, y, z > P = x3 + 4y3 + 9z3 x + y + z = 11 Bài 11: Cho thỏa mãn: , Tìm GTNN HD: Các thầy bấm máy tính để tìm điểm rơi Hoặc phân tích theo cách sau: Dự đốn x = a, y = b, z = c => a + b + c = 11 x ,a ,a Áp dụng cô si cho số x3 + a3 + a3 ≥ 3xa2 ta được: y + b + b ≥ 3yb Tương tự ta có : 3 3 (1) (2) z + c + c ≥ 3zc Và P ≥ k ( x + y + z) Để có biểu thức P ta cộng (1) + 4.(2) + 9(3) (3) ta : ( x + 2a ) + 4( y + 2b ) + 9( z + 2c ) ≥ 3( a x + b y + c z) 3 ( 3 ) ( ) => P + a3 + 4b3 + 9c3 ≥ a2x + 4b2y + 9c2z , đồng với k ( x + y + z) ta : a + b + c = 11 => a = = x,b = = y, c = = z a2 = 4b2 = 9c2 => a = 2b = 3c , mà Giờ ta quay lại làm hồn thiện tốn sau : x3 + 63 + 63 ≥ 3.36x Cộng (4) , y3 + 33 + 33 ≥ 3.9y ( ) (5) z3 + 23 + 23 ≥ 3.4z (6) (4) + 4.(5) + 9.(6) = x + 4y + 9z + 2.6 + 8.3 + 18.2 ≥ 108( x + y + z) = 11.108 P ≥ 396 3 3 3 Dạng 3: CÔ SI NGƯỢC DẤU Bài 1: Cho HD: a,b > 0; a + b = 4ab A= Tìm GTNN a= b= Dấu xảy a b + 4b + 4a + 2 4b2 + 1≥ 4b => Nếu co si mẫu ta được: thể tìm GTNN Khi ta biến đổi: 1 ≤ 4b + 4b , Như ta không  4ab2   4a2b   4ab2   4a2b  A =  a − ÷+  b − ÷ ≥  a − + b − ÷  ÷ = ( a + b) − 2ab = 4ab − 2ab = 2ab b a b + a +         a + b = 4ab ≤ ( a + b) => ( a + b) − ( a + b) ≥ => a + b ≥ Mà Khi : Bài : Cho HD : 1 4ab = a + b ≥ => 2ab ≥ => A ≥ 2 x, y,z > x + y+ z = Dự đốn dấu P= , Tìm GTNN : Nếu Cơ si mẫu ta : tìm GTNN Cách 1: Ta áp dụng BĐT ( x + y + z) ( Mà ta : ) ta khơng 2 ( x + y + z) ≤ = =3 , Thay vào P = 3+ Cách 2: Hoặc ta biến đổi : mẫu : 1 ≤ x + 2x 1 + + ≥ => P ≥ 2 x + y +z +3 a b c a+ b+ c ≥ x + y + z => x + y + z 1 + + x +1 y +1 z +1 x = y= z = x2 + 1≥ 2x => P≥ Vì a,b > => a + b > x2 + 1− x2 x2 = = − x2 + x2 + x2 + , Rồi Cơ si x2 + 1≥ 2x => Khi ta có : cộng theo vế : x2 x2 x2 x ≤ => − ≥ 1− 2 x + 2x x +1 , làm tương tự  x + y+ z  3 P ≥ 3−  = 3− = ÷  2  Bài : Cho P= x, y, z > 2 x + y+ z = , Tìm GTNN x y z + + 3 x + 2y y + 2z z + 2x3 HD : Dự đoán dấu = x = y= z = ( ) x x + 2y3 − 2xy3 x2 x.x 2xy3 = = = x − x + 2y3 x + 2y3 x + 2y3 x + 2y3 Xét Nên mẫu ta phải Cô si cho số : x + y3 + y3 ≥ 3 xy6 = 3.y2 x => x − , Vì dấu = x = y= z 2xy3 2y.3 x2 ≥ x − x + 2y3 Làm tương tự cộng theo vế ta : P ≥ ( x + y + z) − ( y x + z3 y2 + x3 z2 ) 3y3 x2 = 3.3 x2y3 ≤ xy + xy + y => y3 x2 ≤ Mà theo vế ta có : P ≥ 3−  2( xy + yz + zx) x + y + z +    3  , Làm tương tự công , x2 + y2 + z2 ≥ xy + yz + zx => ( x + y + z) ≥ 3( xy + yz + zx) => xy + yz + zx ≤ Và 2xy + y P ≥ 3− Thay vào P ta : ( + 1) = Dạng 4: KỸ THUẬT DỒN BIẾN Bài 1: Cho HD: x, y, z > Ta dồn người x + y+ z ≤ x2 + y2 + z2 P = x2 + y2 + z2 + , Tìm GTNN của: x + y+ z 20 x + y+ z ngược lại, tùy vào cách nhìn nhật x= y= z = Dự đoán dấu = Cách 1: Áp dụng bất đẳng thức phụ mối quan hệ biến bài: ( ) x2 + y2 + z2 ≥ ( x + y + z) Cách 2: Ta có x2 + 1≥ 2x đặt ẩn, dùng điểm rơi , y2 + 1≥ 2y z2 + ≥ 2z x2 + y2 + z2 + ≥ 2( x + y + z) => P ≥ 2( x + y + z) − 3+ 20 x+ y+ z x + y + z = t,( < t ≤ 3) t = => P = 2t + Dấu = Bài 2: Cho HD: a, b,c ≥ 1 1 + + a b c a2 + b2 ≥ 2ab => Ta có: , đặt 20 18 2 29 − = 2t + + − ≥ 36 + − = t t t 3 , Tìm GTLN của: Ta dồn biến , Cộng theo vế ta được:  a b c  1 P =  2 + 2 + 2 ÷+ + + a b c a +b b +c c +a  , Dự đoán dấu = a a ≤ = a + b 2ab 2b a= b= c = , Làm tương tự cộng theo vế ta được: P≤  1 1 1 + + ÷+ + +  2 a b c  a b c P≤ Và t= , Đặt 1 + + a b c , Dự đoán điểm rơi 0< t ≤ t + t≤ + 2 Bài 3: Cho a, b, c dương thỏa mãn: abc = 1, CMR: HD : b2 c a 9 + + + ≥ a b c 2( a + b + c) Ta có : a2 + c ≥ 2a c , b2 c2 + a ≥ 2b, + b ≥ 2c a b VT ≥ a + b + c + Ki VT ≥ a+b+c  a +b+c = +  + 2( a + b + c) 2 2( a + b + c)  3 abc 2.3 + = +3= 2 2  ÷ ÷≥  Dạng 5: BIẾN ĐỔI ĐỂ ĐƯA VỀ CÔ SI ĐÚNG A= Bài 1: Tìm biểu thức: HD: A= Tách + ( < x < 1) 1− x x − 2x + 2x 1− x + x 2x 1− x 2x 1− x + = 3+ + ≥ 3+ = 3+ 2 1− x x 1− x x 1− x x Dấu ‘’ = ’’ 2x 1− x = => x = − 1− x x B= Bài 2: Tìm của: HD: B= Ta có: x + 1− x x với < x < 5( 1− x) x − 5x + 5x x + = + +5 ≥ +5 1− x x 1− x x 5( 1− x) x = 1− x x C= Bài 3: Tìm của: HD: C= x + x −1 (x > 1) x −1 +1 x −1 1 + = + + ≥ 2+ x −1 x −1 2 B= Bài 4: Cho < x < 1, Tìm của: HD: B= Ta có: , Dấu 4( 1− x) x = 1− x x A= Tách x2 + B= x+2 x −1 = x −1 x + 1− x x 4(1− x) x − 4x + 4x x + = 4+ + ≥ 4+4 1− x x 1− x x Bài 5: Tìm biểu thức: HD: , dấu với , dấu x≥0 x2 − + 5 = x−2+ = x+ 2+ −4≥ 5−4 x+2 x+2 x+2 x+2= Dấu ‘’=’’ C= Bài 6: Tìm của: HD: C= Ta có: x −1 = => x + = ± x+2 x2 x −1 với x >1 x2 −1 + 1 = x +1+ = x −1 + +2 ≥ 2+2 x −1 x −1 x −1 , Dấu => x = x −1 A= Bài 7: Tìm của: HD: A= Tách x2 − x + x2 + x + với x > x2 + x + − x 2x = 1− = 1− x + x +1 x + x +1 x +1+ x x+ , mà 2 ≥ => ≤ x x + +1 x B= Bài 8: Tìm của: HD: B = x+4+ Ta có: x2 + x + x ≥ 4+ = x với x= , dấu xảy  1 B = ( x + 1) 1 + ÷  x Bài 9: Tìm của: HD: B = x +1 +1 + Tách ≥ 2+2 x x>0 => x = x với x > x= , dấu xảy => x = x  x2  A = ( x + 1) +  + 2÷  x +1  Bài 10: Tìm của: HD: x ≠ −1 với   A = ( x + 1) + ( x + 1) + ≥2 2+2  = ( x + 1) + + ( x + 1)  ( x + 1)  Tách ( x + 1) = Dấu ( x + 1) => ( x + 1) = 1 => x + = ± 2 Bài 11: Cho x,y >0, Tìm của: HD:  x y  x y P =  + ÷ −  + ÷−  y x  y x Đặt x y  1 + = t => P = t − t − =  t − ÷ − y x  2 A= Bài 12: Cho a, b > Tìm của: HD: Ta có: , mà 1  t ≥ => P ≥  − ÷ − = 2  ( x + a) ( x + b) x với x > x + ax + bx + ab ab   B= = a + b +  x + ÷ ≥ a + b + ab = x x   ( a+ b ) Bài 13: Cho trước hai số dương a, b, số dương x,y thay đổi cho , Tìm x, y để HD: S = x+ y đạt min, Tìm S theo a,b a b + =1 x y Ta có a b bx ay S = ( x + y )  + ÷= a + b + + ≥ a + b + ab y x x y Dấu ay bx = x y mà S= , Bài 14: Cho x, y > 0, 4xy = x + y = 1, Tìm của: HD: 2 ( x + y ) − xy  + 12 xy ( x + y ) + xy    x+ y+ = x+ y Ta có : ≥2 x+ y Co si => a+ b ) a b + = => x = a + ab , y = b + ab x y A= A= ( A≥4 (  = x + y + x + y   x+ y dấu ) x + y + 12 xy x+ y , x + y = 1 => x = y =  4 xy = BẤT ĐẲNG THỨC SCHAWRZ A LÝ THUYẾT Tên gọi: Bất đẳng thức Schawzr hay gọi bất đẳng thức cộng mẫu số hiểu hệ bất đẳng thức Bunyakovsky Còn hay gọi tắt Svac – Xơ Tổng quát: Ở chương trình THCS Tài Liệu Tốn xin phép đưa công thức tổng quát áp dụng cho số an2 ( a1 + a2 + + an ) a12 a22 + + + ≥ b1 b2 bn ( b1 + b2 + + bn ) - Với số b1,b2, bn > , ta có: Dấu “ = “ khi: - Với hai số a, b> 1 = => a = b a b ta có : a1 a2 a = = = n b1 b2 bn 1 + ≥ a b ( a + b) , Dấu “ = “ khi: a, b, c > Với ba số - khi: a= b= c B ta có : 1 + + ≥ a b c a+ b+ c , Dấu “ = “ CÁC DẠNG BÀI TẬP VÀ ỨNG DỤNG Dạng : ÁP DỤNG CÔNG THỨC THÔNG THƯỜNG Bài 1: Cho x, y > Chứng minh BĐT : HD : 1 + ≥ x y x+ y x+ y 2 ≥ ( x + y ) ≥ xy ( x − y ) ≥ xy x+ y Ta có: gt Dấu ‘ = ‘ x=y Bài 2: Cho a,b,c độ dài ba cạnh tam giác, CMR: 1 1 1 + + ≥ + + a +b −c b + c −a c + a −b a b c HD : Vì a, b, c ba cạnh tam giác nên mẫu dương Áp dụng BĐT schawzr ta có : 1 + ≥ = a + b − c b + c − a 2b b 1 + ≥ b+c −a c +a−b c Tương tự ta có : Cộng theo vế ta điều phải chứng minh x > 0, y > 0, x + y ≤ 1 + ≥4 x + xy y + xy Bài 3: Cho , CMR: HD : Áp dụng BĐT schawzr ta có : 1 + ≥ ≥4 x + xy y + xy ( x + y ) 1 + ≥ c+a−b a+b−c a x + y ≤ => ( x + y ) ≤ => 2 , Vì ( x + y) ≥1 Dạng : ĐIỂM RƠI CỦA SCHAWRZ a +b ≤1 Bài 1: Cho HD : a, b> a =b= Dấu ( a + b) + 2 ≥ + = ≥6 2 4ab ( a + b ) ( a + b) ( a + b) a,b > 0; a + b ≤ Bài 2: Cho HD: , Tìm của: A= , Tìm GTNN biểu thức : a= b= Dự đốn dấu = chúng lại với Nên ta sử dụng BĐT phụ: A= Khi đó: , Để ý hai biểu thức mẫu, nhóm 1 + ≥ a b a+ b 1 4 + ≥ 2 ≥ ≥4 a + b 2ab a + b + 2ab ( a + b) A= , Tìm GTNN của: a= b= Dấu A= 1 + a + b 2ab 2 a,b > 0, a + b = Bài 3: Cho HD: 1 + a +b ab   P= + ≥ + ÷+ 2 2ab  a + b 2ab  2ab ( a + b ) Khi : P≥ P= + a + b ab , Biến đổi A thành:  3 1  + = 2+ + = 3 2 + + ≥ + = 14 ÷ 2 a + b 2ab a + b 2ab 2ab  a + b 2ab  2ab ( a + b) ( a + b) Bài 4: Cho a,b>0 HD : a +b ≤1 a=b= Dấu : P= , Tìm GTNN của: 1+ a + b Khi : = 1+ a + b 3.2ab + 2ab 1   => P =  + ≥ 2 + ÷+ 2  + a + b 6ab  3ab ( a + b + 6ab + 1) 3ab P≥ ( a + b ) + 4ab + 3ab + a + b ≥ ab => ab ≤ Mặt khác : Dấu => P ≥ + = + 3 1 + a + b = 6ab  => a = b = a = b a + b =  => Bài 5: Cho HD : A= x, y > 0, x + y ≤ , Tìm GTNN Dấu xảy A= Biến đổi A≥ 2.4 ( x + y)  2 34   32  + + + 2xy = 2 2 + +  2xy + ÷+ ÷ xy  xy x + y 2xy xy  x + y 2xy   ( x + y) a +b ≤1 Bài 7: Cho HD: 1 + + 4ab a +b ab 2       P= + + 4ab ÷ ≥ +  4ab + ÷+  ÷+ 2 4ab  4ab  a + b 2ab   2ab  ( a + b)  ( a + b) ≥ 17 , Tìm Min của: Dấu P≥ P= a =b= Khi : x = y= 2 + 16 + Bài 6: Cho a,b>0, HD : 35 + + 2xy x + y xy 2 + 4ab + ≥7 4ab 4 a,b > 0, a + b ≤ Dấu = đổi P thành: a= b= Dấu a + b2 = 2ab   2 => a = b = a b = 16  a + b =  P= , Tìm GTNN biểu thức: 25 + + ab a + b ab , mẫu ghép lại với Nên ta biến    49 16  17 34 P= 2+ + + ab ≥ +  ab + ÷+ ≥ + 8+ ÷ 2  a + b 2ab  2ab ( a + b)  ab  2ab ( a + b) ( a + b) P≥ 38 ( a + b) Bài 8: Cho HD : + 8≥ 38 83 + 8= 16 x ≥ 2, x + y ≥ a + b ≤ => ( a + b) ≤ 16 , Vì P = x2 + y2 + , y > , Tìm Min 1 + x x+ y Ta có : 1 1 1 1 + ≤ => ≥ + => P ≥ x + y + + + x y x+ y x + y 4x y x 4x y     P ≥  x + ÷+  y + 4x   4y ÷   x, y > 0; x + y = Bài 9: Cho HD: A= , Tìm GTNN x= y= Dấu nhau, ta biến đổi: A= + x + y xy , để ý mẫu kết hợp lại với  5 1  + = 2+ + = 5 2 + + ≥ + ÷ 2 x + y 2xy x + y 2xy 2xy  x + y 2xy  2xy ( x + y) 2xy ( x + y) ≥ 4xy => ( x + y) Mà A≥ , Điểm rơi cosi : x =  x + y = 20 ( x + y) Bài 10: Cho HD : + ( x + y) 1 + + = 4, a b c Áp dụng BĐT : = ≤ 22 ( x + y) CMR: 1 => ≥ 4xy 2xy ( x + y) = , Thay vào A ta được: 22 1 + + ≤1 2a + b + c a + 2b + c a + b + 2c 1 + ≥ x y x+ y a=b=c= Dấu ’’=’’ xảy Khi ta có : => 2a = b + c 1   1  1   1   1 +  + ÷ =  + + ÷  ÷≤  + ÷≤  2a + b + c   2a b + c   2a  b c  ÷  16  a b c  tương tự ta có : 1   1  1   1   1 +  + ÷ =  + + ÷  ÷≤  + ÷≤  a + 2b + c   2b a + c   2b  a c   16  b a c  1  2 1  ÷≤  + + ÷  a + b + 2c  16  c a b  VT ≤ , Khi  4 4  + + ÷= 16  a b c  ... x+ y , x + y = 1 => x = y =  4 xy = BẤT ĐẲNG THỨC SCHAWRZ A LÝ THUYẾT Tên gọi: Bất đẳng thức Schawzr hay gọi bất đẳng thức cộng mẫu số hiểu hệ bất đẳng thức Bunyakovsky Còn hay gọi tắt Svac... a=b=c= Dấu : 1   1   1  3 1 1  => P =  a + + ÷+  b + + ÷+  c + + ÷+  + + ÷ 8a 8a   8b 8b   8c 8c   a b c   P≥ 3 3  27 + + +  ÷= 4 4 a+b+c Bài 7: Cho HD : x≥ P = 2x + , Tìm... a+b+c+ + + a b c HD : 1 + a b2 , Tìm Min a =b=c= Dấu Khi đoa :     1  P =  8a + 8a + ÷+  8b + 8b + ÷+  8c + 8c + ÷− 15 ( a + b + c ) a   b   c   45 27 P ≥ 3.4 + 3.4 + 3.4 − 15 = 36