Giáo án bồi dưỡng học sinh giỏi toán 8 chuyên đề phân thức đại số

GIÁO ÁN BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI TOÁN CHUYÊN ĐỀ: PHÂN THỨC ĐẠI SỐ A Các toán biểu thức nguyên ( a + b + c) = a + b + c + 2( ab + bc + ca ) a n − b n = (a − b)(a n −1 + a n − 2b + a n −3b + + b n −1 ) a n − b n = (a + b)(a n −1 − a n −2b + a n−3b − − b n−1 ) a n + bn = (a + b)(a n −1 − a n − 2b + a n −3b − + b n −1 ) (a + b) n = a n + n.a n−1.b + Nhị thức Newton: n(n − 1) n − 2 a b + + b n Bài 1: Cho a + b + c = a2 + b2 + c2 = 14 Tính A = a4 + b4 + c4 Lời giải: Ta có: a + b + c = ⇒ (a + b + c) = ⇒ a + b + c + 2ab + 2bc + 2ca = ⇔ 14 = −2( ab + bc + ca ) ⇒ ab + bc + ca = −7(1) Lại có: a + b + c = 14 ⇒ a + b + c + 2a 2b + 2a 2c + 2b 2c = 142 = 169(2) Từ (1) ⇒ a 2b + b 2c + c a + 2ab 2c + 2a 2bc + 2abc = 49 ⇔ a 2b + b 2c + c a + 2abc (a + b + c) = 49 ⇒ a 2b + b 2c + c a = 49 ⇒ (2) : a + b + c = 14 − 2.49 = 98 Bài 2: Cho x + y + z = xy + yz + xz = Tính A = ( x − 1)2019 + y 2020 + ( z + 1) 2021 Lời giải : Từ : x + y + z = ⇒ x + y + z + 2( xy + yz + zx) = ⇒ x + y + z = ⇒ x = y = z = ⇒ A = −12019 + 02020 + 12021 = Bài : Cho x + y + z = , chứng minh a c ( x + y + z )2 = 2( x + y + z ) b 5( x + y + z )( x + y + z ) = 6( x + y + z ) 2( x5 + y + z ) = xyz ( x + y + z ) Lời giải: a ( x + y + z ) = x + y + z + 2( x y + y z + z x )(1) x + y + z = ⇒ x + y + z = −2( xy + yz + zx) ⇒ ( x + y + z ) = 4( xy + yz + zx) (2) Từ (1)(2) ⇒ x + y + z + 2( x y + y z + z x ) = 4( x y + y z + z x + xy z + x yz + xyz ) = 4[x y + y z + z x + 2( x + y + z )]=4(x y + y z + z x ) ⇒ x + y + z = 2( x y + y z + z x ) 42 43 =0 Thay vào (1), ta : b Từ ( x + y + z )2 = 2( x + y + z ) VT = x + y + z + x y ( x + y ) + x z ( x + z ) + y z ( y + z ) x + y + z = ⇒ x + y = − z; x + z = − y; y + z = − x ⇒ VT = x + y + z − xyz ( xy + yz + zx )(1) x + y + z = ⇒ ( x + y + z ) = ⇒ x + y + z = −2( xy + yz + zx) ⇒ xy + yz + zx = x2 + y + z −2 Theo câu a, ta có : x + y + z = xyz x + y + z = x + y + z x3 + y + z ⇒ −( xy + yz + zx).xyz = (2) Thay vào (1), ta : c Ta có : 5( x + y + z )( x + y + z ) = 6( x + y + z )(*) x3 + y + z = 3xyz , thay vào (*), ta : 5.3 xyz ( x + y + z ) = 6( x5 + y + z ) ⇒ xyz ( x + y + z ) = 2( x + y + z )( dpcm) Bài : Chứng minh a b 2( a3 + b3 + c − 3abc) = (a + b + c) (a − b) + (b − c) + (c − a)  (a + b)(b + c )(c + a ) + 4abc = c (a + b) + a (b + c) + b(c + a ) Lời giải : a VP = (a + b + c)(a + b + c − ab − bc − ca ) VT = a + b3 + c − 3abc = (a + b) + c − 3ab( a + b) − 3abc = ( a + b) + c − 3ab( a + b + c) = ( a + b + c )[(a+b) − (a + b)c + c − 3ab ] = (a + b + c )(a + b + c − ab − bc − ca ) ⇒ VT = VP b VT = 6abc + ca + ac + ab + a 2b + bc + b 2c VP = 6abc + ca + ac + ab + a 2b + bc + b c = VT Bài : Cho a + b + c = 4m Chứng minh a 2ab + b + a − c = 16m − 8mc ( b a + b − c a + c − b −a + b + c ) +( ) +( ) = a + b + c − 4m 2 2 Lời giải: a VT = (a + b)2 − c = (4m − c ) − c = 16m − 8mc = VP a + b + c = 4m ⇒ a + b − c = 4m − 2c ⇒ b Từ a+b−c = 2m − c Tương tự: VT = (2m − c) + (2m − b) + (2m − a) = a + b + c + 12m − 4m(a + b + c) = a + b + c − 4m = VP Bài 6: a Cho b Nếu ( x + y + z )( xy + yz + zx) = xyz (*), CMR : x 2019 + y 2019 + z 2019 = ( x + y + z )2019 x + y + z M6 ⇒ A = ( x + y )( y + z )( z + x) − xyz M6 Lời giải: a Theo (*) ⇔ ( x + y + z )( xy + yz + zx) − xyz = ⇔ xy + x y + xyz + xyz + y z + z y + x z + xz + xyz − xyz = ⇔ xy ( x + y ) + yz ( x + y ) + z ( x + y ) + xz ( x + y ) = ⇔ ( x + y )( xy + yz + z + xz ) = x + y = x = − y  ⇔ ( x + y )( y + z )( z + x) = ⇔  y + z = ⇔  y = − z  z + x =  z = − x Giả sử: x = − y ⇒ x 2013 = − y 2013 ⇒ x 2013 + y 2013 + z 2013 = z 2013 ;( x + y + z )2013 = z 2013 ⇒ dpcm b Theo câu a, ta có: ( x + y )( y + z )( z + x) = ( x + y + z )( xy + yz + zx) − xyz ⇒ A = ( x + y + z )( xy + yz + zx) − xyz Vì x + y + z M6 ⇒ x + y + z Bài : Cho số chẵn ⇒ a + b + c = a + b5 + c = 1 số x, y, z số chẵn Tính ⇒ xyz M6 ⇒ AM6 A = a + b + c1945 Lời giải : a + b + c = ⇒ ≤ a ≤ ⇔ a ≤ ⇔ −1 ≤ a ≤ 1; −1 ≤ b, c ≤ Ta có : a = −1 ≤ a ≤ ⇒ a (1 − a) ≥ ⇒ a ≥ a , '' = '' ⇔  a = b = −1 ≤ b ≤ ⇒ b3 ≤ ⇒ (1 − b3 ).b2 ≥ ⇒ b ≥ b5 , '' = '' ⇔  b = Tương tự : c = c ≥ c ,'' = '' ⇔  c = Mặt khác ta lại có : a + b + c = a + b5 + c = ⇒ a = a ; b = b5 ; c = c ⇒ a , b, c Có số = số = ⇒ A =1 Bài : Tìm số a, b, c cho : x − ax + bx − c = ( x − a)( x − b)( x − c)∀x ∈ R Lời giải: Ta có: ( x − a )( x − b )( x − c) = (a + b + c ) x + (ab + bc + ac ) x − abc + x = x − ax + bx − c a + b + c = a b + c = b = c = 0, ∀a   ⇒ ab + bc + ca = b ⇒ ⇒ a (b + c ) + bc = b ⇒ bc = b ⇒   a = b = −1; c = abc = c c (1 − ab) =   Bài 9: Cho a, b thỏa mãn: a − 3a + 5a − 17 = 0; b − 3b + 5b + 11 = 0.TinhA = a + b Lời giải: (a + b3 ) − 3(a + b ) + 5(a + b) − = ⇔ ( a + b)3 − 3ab( a + b) − 3[(a + b) − 2ab] + 5(a + b) − = ⇔ ( a + b)3 − 3(a + b) + 5( a + b) − − 3ab(a + b) + 6ab = ⇔ ( a + b)3 − 3(a + b)2 + 5(a + b) − − 3ab( a + b − 2) = 0( a + b = → a + b − = 0) ⇔ (a + b)3 − 2(a + b)2 − (a + b) + 2( a + b) + 3( a + b) − − 3ab( a + b − 2) = ⇔ (a + b) (a + b − 2) − (a + b)( a + b − 2) + 3( a + b − 2) − 3ab( a + b − 2) = a + b − = ⇔ (a + b − 2)[(a+b) − (a + b) + − 3ab] = ⇔  (a + b) − (a + b) + − 3ab = A =  ⇔  a − ab + b − a − b + = ⇒ 2a − 2ab + 2b  −2a − 2b + =  A = ⇔ ⇒ A = 2 2 ( a − b ) + ( a − 1) + ( b − 1) + = 0( voly )  Bài 10: Chứng minh A = x8 − x + x − x + > Lời giải: +) Xét +) x ≥ ⇒ x ( x − 1) ≥ ⇒ x8 ≥ x ; x ( x − 1) ≥ ⇒ x ≥ x ⇒ A ≥ > 0 ≤ x ≤ ⇒ − x3 ≥ 0; x5 (1 − x ) ≥ ⇒ ≥ x3 ; x5 ≥ x7 ⇒ A = x8 + − x3 + x5 − x ≥ ⇒ A > +) -  − x > x x ≤ −1 → x ( x + 1) ≥ → x + x ≥ ⇒ A ≥ −1 ≤ x < ⇒ + x > ⇒ A > Vậy A > với x BÀI TẬP VỀ NHÀ Bài 1: Tìm số a, b, c, d cho: thức A( x) = x + ax + bx − x + bình phương đa B ( x ) = x + cx + d Lời giải:  2c = a  c + d = b 2 2 2 [B( x )] = ( x + cx + d ) = x + 2cx + (c + 2d ) x + 2cdx + d ⇒ A( x) = B ( x) ⇔  2cd = −8 d =  +) +) d = ⇒ c = −2; a = −4; d = d = −2 ⇒ c = 2, a = 4, b = Bài 2: Cho a − 3ab = 19; b3 − 3a 2b = 98 Tính E = a + b2 Lời giải: Ta có: ( a − 3ab )2 = 19 = a − 6a 4b + 9a 2b ;982 = (b3 − 3a 2b) = b − 6b a + 9a 4b 192 + 982 = a + b + 3a 4b + 3a 2b = (a + b )3 ⇒ a + b = 9965 Bài 3: Chứng minh rằng: A = x12 − x + x − x + > 0∀x ∈ R Lời giải +) Với +) Với +) Với  x ( x − 1) ≥ x ≥1→  ⇒ A ≥ > 0∀x ∈ R  x( x − 1) ≥ − x > x0 − x > 1 − x ≥ 0 ≤ x ≤1→  ⇒ A>0 x − x = x (1 − x ) ≥  Do dấu “ = ’’ không xảy Bài 4: Chứng minh a Nếu a + b + c ≥ b a + b + c − 3abc ≥ 0(a, b, c ∈ R ) a + b + c + d − 4abcd ≥ 0∀a, b, c, d ∈ R Lời giải a Có: a + b3 + c − 3abc = ( a + b + c )(a + b + c − ab − bc − ca ) mà: a + b + c ≥ 02( gt );( a − b) ≥ ⇒ a − 2ab + b ≥ ⇒ a + b ≥ 2ab; a + c ≥ 2ac; b + c ≥ 2bc ⇒ a + b + c ≥ ab + bc + ca ⇒ a + b + c − ab − bc − ca ≥ b a + b + c + d − 4abcd = a + b − 2a 2b + c + d − 2c d + 2a 2b + 2c d − 4abcd = ( a − b ) + (c − d ) + 2( ab − cd ) ∀a, b, c, d ∈ R CÁC DẠNG TOÁN VỀ PHÂN THỨC ĐẠI SỐ A Rút gọn, tính giá trị biểu thức thỏa mãn điều kiện cho trước A= Bài 1: a Cho a – 2b = Tính giá trị biểu thức 3a − 2b 3b − a + 2a + b−5 Lời giải a − 2b = → a = 2b + → A = Ta có: B= b Biết 2a – b = Tính 3(2b + 5) − 2b 3b − (2b + 5) + =2 2(2b + 5) + b−5 5a − b 3b − 2a + 3a + 2b − Lời giải 2a − b = ⇒ b = 2a − ⇒ B = 10a − 3b + 5ab = 0;9a − b ≠ c Biết 2 C= Tính 2a − b 5b − a + 3a − b 3a + b Lời giải C= (2a − b)(3a + b) + (5b − a )(3a − b) 3a + 15ab − 6b = (1) (3a − b)(3a + b) 9a − b Từ giải thiết: 3a + 3(3b − 10a ) − 6b −27a + 3b 10a − 3b + 5ab = ⇒ 5ab = 3b − 10a ⇒ A = = = −3 9a − b 9a − b 2 d Cho 3a + 3b = 10ab b > a > D= Tính Lời giải a −b a+b Cách 1: Từ b = 3a a − 3a −1 3a + 3b = 10ab ⇒ 3a + 3b − 10ab = ⇔ (3a − b)( a − 3b) = ⇔  ⇒ A= = a + 3a  a = 3b(loai ) A2 = Cách 2: Do ( a − b) a − 2ab + b 3a + 3b − 6ab ±1 = = = ⇒ A= 2 ( a + b) a + 2ab + b 3a + 3b + 6ab a − b < −1 b>a⇒ ⇒ A< 0⇒ A= a + b > x + y −4 xy = xy − x − Tính e Biết x − 25 y−2 E= : 2 x − 10 x + 25 x y − y − Lời giải Có: x − 3y = x = −8 x + y −4 xy = xy − x − ⇔ ( x − y ) + x − = ⇔  ⇔ ⇒ A= x − = y =1 x+ Bài 2: Cho A = x2 + a D = x5 + x2 =3 x Tính giá trị biểu thức sau: B = x3 + b x3 C = x4 + c x5 Lời giải A = x2 + a b 1 + x − = ( x + ) −2 =7 x2 x x 1 B = x + ( )3 = ( x + )( x − + ) = 3.6 = 18 x x x 10 x4 d Tử số 2 a(a + b)( a − c) + a( a + c)( a − b) a  a + ab − ac − bc + a − ab + ac − bc  a(2a − 2bc) B1 = = = ( a − b)(a − c ) (a − b)(a − c ) (a − b)(a − c ) (b − c) (a − b)(a − c) + (b − c ) a + b + c − ab − bc − ca B1 = + = = ( a − b)(a − c) (a − b)(a − c) (a − b)( a − c ) Mẫu số ⇒ B1 = 2a − abc a + b + c − ab − bc − ca ⇒ B2 = Tuơng tự: ⇒B= 2b3 − 2abc 2c3 − 2abc ; B = a + b + c − ab − bc − ca a + b + c − ab − bc − ca 2(a + b3 + c − 3abc ) = 2(a + b + c ) a + b + c − ab − bc − ca Bài 3: Rút gọn ( a + 2b)3 − ( a − 2b)3 3a + a 2b + 4b A= : (2a + b)3 − (2a − b)3 4a + a 2b + 3b Lời giải (a + 2b)3 − ( a − 2b)3 = [ ( a + 2b) − ( a − 2b) ] (a + 2b) + ( a + 2b)( a − 2b) + ( a − 2b)  +) +) +) = 4b(a + 4ab + 4b + a − 4b + a − 4ab + 4b ) = 4b(3a + 4b ) (2a + b)3 − (2a − b)3 = 2b(12a + b ) 3a + a 2b + 4b = (a +b )(3a + 4b ); 4a + 7a 2b + 3b = (a + b )(4a + 3b ) ⇒ A = Bài 4: Thực phép tính sau A= a + b − 2c b + c − 2a c + a − 2b + + 3 (a − b) (c − a)(c − b) (b − c) ( a − b)(a − c) (c − a) (b − a)(b − c) + + + a − b3 a + ab + b b3 − c b + bc + c c3 − a3 c + ca + a 26 Lời giải A1 = Đặt MS: a + b − 2c ( a − b) (c − a )(c − b) + a − b3 a + ab + b ( a − b)3 (c − a)(c − b) (a − b) + (c − a)(c − b) (a + b − 2c)(a + ab + b ) A1 = 3 + = ⇒ A1 = a −b a + ab + b a + ab + b a + b + c − ab − bc − ca Tương tự: (b + c − 2a)(b + bc + c ) (c + a − 2b)(c + ca + a ) A2 = ; A3 = a + b + c − ab − bc − ca a + b + c − ab − bc − ca Tử số A = [ (a − c ) + (b − c )] (a + ab + b ) + [ (b − a ) + (c − a ) ] (b + bc + c ) + [ (c − b) + (a − b) ] (c + ca + a ) = ( a − c )(a + ab + b ) + (b − c )(a + ab + b ) + = ( a − c )(a + ab + b2 − b − bc − c ) + (b − c )(a + ab + b − c − ca − a ) + (b − a )(b + bc + c − c − ca − a ) = ( a − c)(a − c)( a + b + c) + (b − c)(b − c )(a + b + c ) + (b − a )(b − a )(a + b + c ) TS = (a + b + c ) (a − c ) + (b − c ) + (c − a )  = (a + b + c ).2.(a + b + c − ab − bc − ca ) ⇒ A = = 2(a + b + c ) 4 44 4 4 43 MS MS Bài 5: Cho a, b, c ba số phân biệt CMR giá trị biểu thức sau không phụ thuộc vào giá trị x Sx = ( x − a)( x − b) ( x − b)( x − c) ( x − c)( x − a) + + (c − a )(c − b) ( a − b)( a − c) (b − c)(b − a ) Lời giải x − ( a + b) x + ab x − (b + c) x + bc x − (a + c) x + ac Sx = + + (c − a)(c − b) (a − b)( a − c) (b − c)(b − a ) 27    −( a + b ) 1 (b + c ) ( a + c)  Sx = x2  + + + x − −    (c − a )(c − b) (a − b)(a − c ) (b − c )(b − a )   (c − a )(c − b) (a − b)(a − c ) (b − c )(b − a )  + ab bc ac + + ⇒ S x = A.x + Bx + C (c − a)(c − b) (a − b)(a − c) (b − c)(b − a ) A= 1 a −b+b−c +c−a + + = =0 (c − a )(c − b) ( a − b)(a − c ) (b − c )(b − a ) (a − b)(a − c )(b − c ) B= −( a + b ) b+c a+c − − =0 (c − a )(c − b) ( a − b)(a − c ) (b − c)(b − a ) +) +) ⇒ Sx = C = ab bc ac + + (c − a)(c − b) (a − b)(a − c ) (b − c)(b − a ) Bài 6: Cho a, b, c đôi khác Chứng minh giá trị biểu thức sau không phụ thuộc vào a, b, c S= a a + 2a + b +2b + c + 2c + + + = S + S1 + 3S0 (a − b)(a − c ) (b − c)(b − a ) (c − a )(c − b) S2 = a2 b2 c2 a (c − b) + b (a − c ) + c (b − a ) + + = =1 ( a − b)(b − c) (b − c)(b − a ) (c − a )(c − b) (a − b)(b − c)(c − a ) S0 = 1 c −b + a −c +b −a + + = =0 ( a − b)( a − c) (b − c)(b − a) (c − a)(c − b) ( a − b)(b − c)(c − a ) S1 = a b c a (c − b) + b(a − c ) + c (b − a ) + + = = ⇒ S =1 ( a − b)(b − c) (b − c)(b − a) (c − a)(c − b) (a − b)(b − c)(c − a ) +) +) +) b a − bc b − ca c − ab A= + + ⇒ A=0 (a − b)( a − c) (b − c)(b − a) (c − a)(c − b) 28 C Chứng minh phân số tối giản - Có hai cách chứng minh tử số mẫu số có ƯCLN +) Cách 1: Giả sử d = (a,b), sau d = +) Giải sử d ± ( d ≥2) - Gọi p ước nguyên tố d - Chỉ p = ( Vô lý) - Kết luận d = 29 Bài 1: Chứng minh phân số 3n + 5n + phân số tối giản ∀n ∈ N Lời giải Giải sử 3n + 1Md 5(3n + 1)Md 15n + 5Md (3n + 1,5n + 2) = d ( d ∈ N * ) ⇒  ⇒ ⇒ ⇒ 1Md ⇒ d = 5n + 2Md 3(5n + 2)Md 15n + 6Md Vậy phân số 3n + 5n + phân số tối giản Bài 2: Chứng minh phân số 12n + 30n + ∀n ∈ N phân số tối giản ∀n ∈ N Lời giải Gọi 12n + 1Md → d : le 5(12n + 1)Md (12n + 1,30n + 2) = d (d ∈ N * ) ⇒  ⇒ ⇒ 1Md ⇒ d = 30n + 2Md  2(30n + 2)Md Bài 3: Chứng minh phân số 2n + 2n − phân số tối giản ∀n ∈ N Lời giải Gọi 2n + 2Md (2n + 1, 2n − 1) = d ( d ∈ N * ) ⇒ n(2n + 1) − (2n − 1)Md ⇒ n + 1Md ⇒  ⇒ 1Md ⇒ d = 2n + 1Md Bài 4: Chứng minh phân số n3 + 2n n + 3n + phân số tối giản Lời giải 30 ∀n ∈ N Gọi 3   n + 2nMd n(n + 2n)Md (n3 + 2n, n + 3n + 1) = d (d ∈ N * ) ⇒  ⇒ ⇒ n(n3 + 2n) − (n + 3n + 1)Md  2   n + 3n + 1Md n + 3n + 1Md ⇒ (−n − 1)Md ⇒ n + 1Md Ta có: 4    n(n + 1) + nMd n Md n + 3n Md n + 2n =  ⇒ nMd ⇒  ⇒  ⇒ 1Md ⇒ d = n + M d n M d n + n + d       Bài 5: Cho n3 + 2n − A= n + 2n + n + a Rút gọn A b Chứng minh n∈Z giá trị tìm câu a phân số tối giản Lời giải a n3 + 2n − (n + 1)( n + n − 1) n + n − A= = = n + 2n + 2n + ( n + 1)( n + n + 1) n + n +  n + n − 1Md (n + n − 1, n + n + 1) = d (d ∈ N ) ⇒  ⇒ −2Md ⇒ d = 1; d =  n + n + 1Md b Gọi * n + n + = n(n + 1) + 1(le) ⇒ d ≠ ⇒ d = 14 43 Lại có: M A= Bài 6: Cho phân số phân số A chưa tối giản n2 + (n ∈ N ) n+5 Có số tự nhiên nhỏ 2009 cho Lời giải 31 n + n2 − 25 + 29 29 A= = = n−5+ n+5 n+5 n+5 Để A phân số chưa tối giản ≤ 29k − ≤ 2009 ⇒ Ta có: 29 n+5 phân số chưa tối giản ⇒ n + 5M29 ⇒ n = 29k − 5 2014 ≤k≤ ⇒ ≤ k ≤ 69 ⇒ 69 : giatri 29 29 D Các toán biểu thức hữu tỷ Các bước rút gọn biểu thức hữu tỷ - Tìm điều kiện xác định: Phân tích tử mẫu thành nhân tử, cho tất nhân tử khác - Phân tích tử mẫu thành nhân tử chia tử mẫu cho nhân tử chung A= Bài 1: Cho biểu thức x4 − 5x2 + x − 10 x + a Rút gọn A b Tìm x để A = 2x − = c Tìm giá trị A Lời giải a ĐKXĐ: x − 10 x + ≠ ⇔ ( x − 1)( x − 9) ≠ ⇔ x ≠ ±1; x ≠ ±3 x − x + ( x − 1)( x + 1)( x + 2)( x − 2) ( x − 2)( x + 2) A= = = x − 10 x + ( x − 1)( x + 1)( x − 3)( x + 3) ( x − 3)( x + 3) b x2 − A=0⇔ = ⇔ x = ±2 x −9 32 c 12  x = 4(tm) ⇒ A =  2x −1 = ⇒   x = −3(loai ) A= x3 + x − x x x + − x2 + Bài 2: Cho biểu thức a Rút gọn A b Tìm x nguyên để A có giá trị ngun c Tìm giá trị A x = Lời giải a Nếu x3 + x − x x( x − 1)( x + 2) x ( x − 1) x + > ⇔ x > −2 ⇒ x + = x + ⇒ A = = = x( x + 2) − x + 2( x + 2) x + < ⇔ x < −2 ⇒ x + = −( x + 2) ⇒ A = x3 + x − x −x = − x( x + 2) − x + Nếu Nếu x = −2 ⇒ A khơng xác định b Để A ngun +) x( x − 1) Ta có: +) −x Ta có: x( x − 1) có giá trị nguyên −x có giá trị nguyên  x( x − 1)M2 ⇔  x > −2 x( x − 1)M2∀x > −2 có giá trị nguyên  x M2 ⇔ ⇔ x = 2k (k ∈ Z , k < −1)  x < −2 x( x − 1)M2∀x > −2 33 c x2 − x x = ⇒ x > −2 ⇒ A = = 15 Bài : [ HSG – Yên Phong – 2015] Cho biểu thức y x x y + xy A=( − ) ( x ≠ 0, y ≠ 0, x ≠ − y ) x − xy xy − y x − y a Rút gọn A b Tính giá trị A x > y > thỏa mãn : x + y = xy Lời giải A= a b −( x + y ) x− y  x − y = 0(loai ) x + y = xy ⇔ (2 x − xy ) + (2 y − xy ) = ⇔ (2 x − y)( x − y ) = ⇔   x − y = 0(tm) A= Thay x = 2y vào A, ta : Bài 4: Cho −(2 y + y ) = −3 2y − y  3( x + 2) x − x − 10   3  A= + : + −     2( x + x + x + 1) 2( x − x + x − 1)   x + 2( x + 1) 2( x − 1)  a Rút gọn A 2x −1 = b Tính giá trị A c Tìm x để A > d Tìm x để A nhận giá trị nguyên dương Lời giải 34 a Ta có: x + x + x + = ( x + 1)( x + 2); x − x + x − = ( x − 1)( x + 1) ( x + 2) ( x − 2) 2( x + 2)( x − 2) x+2 M= ;N = ⇒ A=M :N = ( x ≠ ±1; x ≠ ±2) 4 2( x − 1) x −1 b c  x = 1(loai) 2x −1 = ⇒   x = 0(tm) ⇒ A =  x > −2 A>0⇔ x+2>0⇔   x ≠ ±1; x ≠ ±2 d A nguyên dương ⇔ x+2 ∈ Z ⇔ ( x + 2)M2 ⇔ x + = 2k (k ∈ Z ; k ≠ 0; k ≠ 2) ⇔ x = 2k − = 2( k − 1)(k ∈ Z *; k ≠ 2) Bài 5: [ HSG – Long Biên – 2014 ] Cho x+2 2 − x 3x + − x2 A=( + − 3) : − 3x x +1 x +1 3x a Rút gọn A 2014 − x − = 2013 b Tính giá trị A c Tìm x để A < d Tìm giá trị nguyên x để A có giá trị số nguyên Lời giải x ≠ −1; x ≠ 0; x ≠ a ĐKXĐ: b x −1 ⇒ A= x = ⇒ A = 2014 − x − = 2013 ⇒   x = 0(loai) 35 c x <  A < ⇒ x −1 < ⇔  x ≠ 0, x ≠ −1, x ≠   d A có giá trị nguyên ⇒ ( x − 1)M ⇒ x = 3k + 1( k ∈ Z ) 36 BIỂU THỨC CĨ TÍNH QUY LUẬT Bài 1: Tính a 2n + + + + 2 (1.3) (2.3) [ n(n + 1)] (1 − b 1 )(1 − ) (1 − ) 2 n Lời giải a Ta có: 2n + [ n(n + 1)] = 1− b Ta có: = 2n + 1 1 1 1 n( n + 1) = 2− ⇒ A = − + − + + − = 2 n (n + 1) n ( n + 1) 2 n ( n + 1) (n + 1) 2 (n − 1)(n + 1)  (2 − 1)(2 + 1)   (3 − 1)(3 + 1)   ( n + 1)(n − 1)  = ⇒B= 2      n n 22 32 n2  1.3 2.4 3.5 (n − 1)(n + 1) 1.3.2.4.3.5 (n − 1)(n + 1) 1.2.3 (n − 1) 3.4.5 (n + 1) = = 22 32 42 n2 2.32.42 n 2.3.4 ( n − 1).n 2.3.4 ( n − 1).n n +1 n +1 = = n 2n A= Bài 2: Cho 99 98 1 1 + + + + ; B = + + + + 98 99 100 Tính A B Lời giải A + 99 = ( 99 98 100 100 100 + 1) + ( + 1) + + ( + 1) + ( + 1) = 100 + + + + 98 99 98 99 37 1 1 1 = 100 + 100( + + ) ⇒ A = + 100( + + ) = 100.( + + + ) ⇒ A : B = 100 99 99 100 Bài 3: Cho 1 1 1 1 A = + + + + ; B = + + + + + 99 1.99 3.97 5.95 97.3 99.1 Tính A : B Lời giải 100.B = 99 + 97 + + 95 97 + 99 + 1 1 1 1 + + + + + = 1+ + + + + + + + + +1 1.99 97.3 5.95 97.3 99.1 99 97 95 97 99 1 1 1 1 = ( + + + + ) + ( + + + + ) = A + A = A ⇒ A : B = 50 99 99 97 Bài 4: Chứng minh rằng: 1 1 1 + + + + = + + + 1.2 3.4 5.6 (2n − 1).2n n + n + 2n Lời giải VT = − 1 1 1 1 1 1 1 + − + − + + − = ( + + + + ) − ( + + + + ) 2n − 2n 2n − 2n 1 1 1 1 1 1 1 = ( + + + + + ) − 2( + + + + ) = ( + + + ) − (1 + + + + ) 2n − n 2n 2n n = 1 + + + ⇒ VT = VP n +1 n + 2n Bài 5: a Chứng minh rằng: n + + + + n < 2∀n ∈ N * 2 2 Lời giải 2.VT = + n n 1 1 n n + + + n−1 = + + + n−1 ⇒ 2VT − VT = VT = + + + + + n−1 − n = A − n 2 2 2 2 2 38 Trong 1 1 1 n + + + n−1 ⇒ A = + + + + n− ⇒ A − A = A = − n−1 ⇒ VT = − n−1 − n < 2∀n ∈ 2 2 2 2 A = 1+ S= b n + + + + n < ∀n ∈ Z + 3 3 Lời giải 3S = + n 1 n n + + + + n−1 ⇒ S = + + + + n −1 − n ⇒ S = S1 − n 3 3 3 3 S1 = + 1 1 1 1 + + + + n −1 ⇒ 3S1 = + + + + + n−2 ⇒ S1 = − n−1 ⇒ S = − n 3 3 3 3 2.3n−1 ⇒S= n − − < ( dpcm) n −1 n 4.3 2.3 Bài 6: Chứng minh rằng: 1.2! 2.3! 3.4! n( n + 1)! ( n + 2)! + + + + = − 2∀n ∈ N * n n 2 2 Lời giải Cách 1: Chứng minh quy nạp toán học VT = +) Với n = 1, ta có: 1.2! 3! = 1;VP = − = ⇒ VT = VP 2! +) Giả sử với n = k, tức : 1.2! 2.3! 3.4! k ( k + 1)! ( k + 2)! + + + + = − 2∀k ∈ N * k k 2 2 Ta chứng minh với n = k + 1, tức : 1.2! 2.3! 3.4! k ( k + 1)! ( k + 1)(k + 2)! (k + 3)! + + + + + = − 2∀k ∈ N * (**) k k +1 k +1 2 2 2 39 Thật : VT (**) = (k + 2)! (k + 1)(k + 2)! 2( k + 2) ( k + 1)( k + 2) ( k + 2)!( k + 3) ( k + 3)! −2+ = −2+ = = − = VP(**) k k +1 k +1 2 2k +1 k +1 2k +1 Cách 2: Xét số hạng tổng quát k (k + 1)! ( k + − 2)(k + 1)! (k + 2)!− 2( k + 1)! ( k + 2)! ( k + 1)! = = = − k −1 2k 2k 2k 2k Áp dụng cho k chạy từ đến n, ta : VT = 3! 2! 4! 3! 5! 4! ( n + 2)! ( n + 1)! ( n + 2)! 2! ( n + 2)! − + − + − + + − n −1 = − = − = VP( dpcm) 2 2 2 2n 2n 2n 40 ... cd ) ∀a, b, c, d ∈ R CÁC DẠNG TOÁN VỀ PHÂN THỨC ĐẠI SỐ A Rút gọn, tính giá trị biểu thức thỏa mãn điều kiện cho trước A= Bài 1: a Cho a – 2b = Tính giá trị biểu thức 3a − 2b 3b − a + 2a + b−5... 20 08 x = 20 08( x + x + 1) x − x +1 ⇔ 4017 x = 20 08( x + x + 1)(2) Lấy (1).(2) được: 4017 x = 20 082 ( x + x + 1)(*) ⇔ (*) ⇒ x = 4017 x 20 082 2 = 20 08 ⇔ 4017 M = 20 08 ⇒ M = x4 + x2 + 4017 20 082 ... Lại có: M A= Bài 6: Cho phân số phân số A chưa tối giản n2 + (n ∈ N ) n+5 Có số tự nhiên nhỏ 2009 cho Lời giải 31 n + n2 − 25 + 29 29 A= = = n−5+ n+5 n+5 n+5 Để A phân số chưa tối giản ≤ 29k