Giáo án bồi dưỡng học sinh giỏi toán 8 chuyên đề đồng dạng

GIÁO ÁN BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI TOÁN CHUYÊN ĐỀ: CHUYÊN ĐỀ ĐỒNG DẠNG A ĐỊNH LÝ TALET Định lý Ta Lét ∆ABC A - N M  AM AN AM AN = ; = → MN // BC  AB AC MB NC Hệ định lý Ta Let B C ∆ABC ( M ∈ AB, N ∈ AC )  AM AN MN = = ⇒ MN // BC AB AC BC  Định lý đảo - Nếu: AM AN = → MN // BC MB NC Chú ý: Định lý trường hợp sau C' AB ' AC ' B ' C ' = = AB AC BC B' A - Ta có: Định lý Ta Lét mở rộng A B C m B' C' B C A' A a Thuận: Nếu m cắt a, b, c A, B, C n Nếu N cắt a, b, c A’, B’, C’ a B' B AB A ' B ' AB A ' B ' BC B ' C ' → = ; = ; = BC B ' C ' AC A ' C ' AC A ' C ' b C' c C p b Đảo: Nếu a, b, c, cắt hai cát tuyến m, n có tỉ số sau: → AB A ' B ' AB A ' B ' BC B ' C ' = ; = ; = → a // b / c BC B ' C ' AC A ' C ' AC A ' C ' *) Hệ quả: ( đường thẳng đồng quy cắt hai đường thẳng song song ) Hệ 1: Nhiều đường thẳng đồng quy định hai đường thẳng song song đoạn thẳng tương ứng tỷ lệ AB AC OA = (= ) A ' B ' A ' C ' OA ' Hệ 2: Nhiều đường thẳng không song song định hai đường thẳng song song đoạn thẳng tương ứng tỷ lệ chúng đồng quy điểm O C A a B a A B C O b C' A' B' b C' B' d d' d d'' d' - d’, d’’, d’’’ không song song cắt hai đường thẳng song song a b A, B, C A’, B’,C’ Và thảo mãn: AB AC AB = ; ≠ → d ', d '', d '''∩ O A ' B ' A 'C ' A ' B ' Bài 1: Cho hình bình hành ABCD điểm E thuộc đoạn BD Gọi M, N giao điểm BC, BD với AE Qua C kẻ đường thẳng song song với BD cắt MN F Chứng minh A D a E N B C F M AE = EM EN b c 1 = + AE AM AN AM FM = AN FN Lời giải AE = EM EN ↔ a Ta có: b EA EN = EM EA EA ED EN = = EM EB EA ( Các đường thẳng song song ) 1 AE AE AE = + ↔ = + AE AM AN AE AM AN Ta có: AE DE AE BE AE AE DE + EB = ; = → + = =1 AM DB AN BD AM AN BD Chia hai vế cho AE, ta được: 1 = + AE AM AN FE BC  = FE BC AN FN CN CN MN FM CM  = = (1); CF // ED → = = = (2) → BC AN  FM CM NM FE CD AB MA AB // CD → = CM NM  FC // BE → c Ta có: → Từ (1)(2) FE FN AN MN FN AM = ↔ = ( dpcm) FM FE MN MA FM AN Bài 2: Cho hình thang ABCD có AB // CD, AB < CD Kẻ đường thẳng qua A song song với BC cắt BD E, đường thẳng qua B song song với AD cắt AC F GỌi M, N giao điểm FE với AD, B Chứng minh rằng: a EM = FN B A b N M F E AB = FE.CD Lời giải Ta phải chứng minh FE // AB // CD Hay D Q C P AE AF = EP FC - Ta có: ABQD ABCP hình bình hành nên AB = DQ = CP → DP = CQ AE AB AB FA = = = → FE // PC (Ta.Let.Dao) → FE // CD // AB EP DP CQ FC +) EM // AB → a Ta có: Hoặc: EM DE CN FN = = = → EM = FN AB DB CB AB EM AE FA BN FN  = = = =  DP AP CA BC CQ  → EM = FN  DP = CQ  FE FE BE BE AB BE AB AB BE FE AB = = ; = → = = = → = → AB ? = FE.CD AB DQ BD DE DP BE + DE AB + DP CD BD AB CD b Bài 3: Cho tam giác ABC Một đường thẳng song song với BC cắt cạnh AB, AC D E Qua C kẻ đường thẳng song song với AB cắt DE F Gọi H giao điểm AC với BF Đường thẳng qua H song song với BC I Chứng minh A a b D E DA ED = DB FE HC = HA.HE F H B I C 1 = + IH AB CF c Lời giải DA ED EA = = DB FE EC a b HC HF HE = = HA HB HC IH IH IC BI + = + = → dpcm AB CF BC IC c Bài 4: Cho hình thang ABCD ( AB // CD ) Gọi M trung điểm CD, gọi I giao điểm AM với BD, K giao điểm BM với AC, đường thẳng IK cắt AD, BC E F Chứng minh rằng: A a IK // AB B b EI = IK = KF K E Lời giải F I AI AB AB AK = = = → IK // MC IM DM MC KC a D M C b Có : IK EI DI KM CF KF = = = = = → EI = IK = KF AB AB DB MB CB AB Bài 5: Cho tam giác ABC, gọi D điểm đối xứng với A qua B, E điểm đối xứng với B qua C F điểm đối xứng với C qua A Chứng minh rằng: trọng tâm Lời giải - Dựa vào tâm đối xứng hình bình hành ∆ABC , ∆DFE có ∆DFE ¬ - Hướng dẫn: G trọng tâm hành PG = ¬ PM // FA ¬ PN // AC ¬ ◊ANPC GF hình bình Giải F Gọi M, N, P trung điểm BC, DE, AB A → CP N G C B → CP // BD; CP = E M đường trung bình CP // BN BD →  → ◊BNCP CP = BN P Là hình bình hành D ∆BDE →M trung điểm NP +) MN đường trung bình → MN // AC ; MN = ∆ABC 1 AC → MP // AC; MP = AC = FA 2 Theo định lý Ta Lét: MG PG MP = = = →G GA GF FA trọng tâm hai tam giác Bài 6: Cho hình thang ABCD ( AB // CD, AB < CD ) AC cắt BD M Kẻ qua M đường thẳng song song với AB cắt AD, BC I K a Chứng minh rằng: MI = MK b Kẻ Bx // AD, Bx cắt AC, CD E, F Kẻ Ay // BC, Ay cắt BD, CD P, Q Chứng minh rằng: DE // IK c Biết AB = a, CD = b Tính IK theo a b Lời giải ∆ADC , IM // CD → B A M a Xét (1) K I E P F D C Q - Tương tự ta có: AI BK = AD BC (3) Từ (1)(2)(3) → IM = MK b Ta chứng minh: Thật vậy: BE BP = → PE // DF FE PD BE AB BP AB = ( AB // CF )(4); = ( AB // DQ )(5) FE FC PD DQ ◊ABFD; ◊ABCQ hình bình hành → Từ (4)(5)(6) → AB = DF = CQ → DQ = CF (6) BE PB AB AB = (= = ) → PE / DF FE PD FC DQ (Ta Lét đảo ) c Ta có: IK = MI = MK ∆BCD( MK // CD) → MK BM = ( He.qua.TaLet )(1) CD BD ∆MCD ( AB // CD) → MB AB a = = ( He.qua.TaLet )(1) MD CD b Xét Xét → MB a BM a = → = (2) MB + MD a + b BD a + b ( Hệ TaLet) MK BK = (2) CD DC IK // AB // CD → Lại có: IM AI = CD AD ( TaLet mở rộng ) → Từ (1)(2) MK a ab 2ab = → MK = → IK = CD a + b a+b a+b Bài 7: Cho hình hình bình ABCD, đường thẳng qua A cắt BD, CD, BC E, I, K CMR: A B E a b I C D AE = EI EK AE AE + =1 AI AK c DI BK không đổi Lời giải K AE = EI EK ¬ a b AE AE AE BE DE =1↔ =1¬ =1 EI EK EI EK ED EB AE AE AE EK + =1↔ = AI AK AI AK Ta có: AE BE AE BE  = → = AE AE EK AE EI DE AI BD  AE EK = ⇒ + = + =1 → EK EB EK BE  AI AK AI AK AK AK = → = AE DE AK BD  DI.BK=AD.AB ⇔ c Ta cần chứng minh: ∆DEI , DI // AB → Chứng minh: Xét ∆AED, AD // BK → Xét DI.BK DI BK DE BE =1↔ =1↔ =1 AD.AB AB AD EB ED DI DE = ( He.qua.Ta.Let )(1) AB EB BK BE = ( He.qua.Ta.Let )(1) AD ED → Từ (1)(2) DI BK = → DI BK = AB AD AB AD ( không đổi ) Hoặc cách khác: DI DE AD = = → DI BK = AB AD AB EB BK ( không đổi ) Bài 8: Cho Tứ giác ABCD, đường thẳng qua A song song với BC cắt BD E Đường thẳng qua B song song với AD cắt AC G a Chứng minh rằng: EG // CD b Giả sử AB // CD Chứng minh rằng: AB = CD.EG Lời giải A EG // CD ¬ B a Hướng dẫn: O OE OG = OD OC OE OA  = OB OC  OE OG = → EG // CD → OB OG  OD OC BG // AB → = OD OA  AE // BC → E G D C đảo ) AB AB AB =1 ↔ =1 CD.EG GE CD OA OB OG ↔ = ( BG // AD ) OG OD OA AB = CD.EG ¬ Hướng dẫn: Giải: b AB // EG → AB OA OA OD CD OD = (1); AD // BD → = (2); AB // CD → = (3) EG OG OG OB AB OB → Từ (1)(2)(3) AB OA OD CD = = = → AB = CD.EG EG OG OB AB ( TaLet BÌ TẬP TỰ LUYỆN: Cho tam giác ABC vng A, có: AB = a, AC = b Vẽ phía ngồi tam giác tam giác vuông cân ABD cân B tam giác ACF vuông cân C Gọi H giao điểm AB CD, K giao điểm AC BF Chứng minh a AH = AK b AH = BH CK B TÍNH CHẤT ĐƯỜNG PHÂN GIÁC Định lý: Trong tam giác, đường phân giác cảu góc chia cạnh đối diện thành hai đoạn thẳng tỉ lệ với hai cạnh kề hai đoạn A ∆ABC ( D ∈ BC )  DB AB ⇒ =  Aˆ1 = Aˆ  DC AC B D C Chú ý: Định lý tia phân giác tam giác D ' B AB = ( AB ≠ AC ) D ' C AC A D B C Chú ý 2: Nếu D thuộc BC mà: DB AB = ⇒ AD DC AC phân giác ˆ BAC Chú ý tính hất tỉ lệ thức: a c a c = → = b d a+b c+d Bài 1: Cho hình bình hành ABCD có AB > CD Phân giác góc BAD cắt BD M Phân giác góc ADC cắt AC N Chứng minh rằng: MN // AD A Lời giải B a N b M D I C 10 b AD AB AH AH = ¬ = ¬ ∆ABH : ∆CAH ( gg ) DC BC CH CH ∆AHB : ∆CHA( gg ) → c Xét chuvi∆AHB AB = = = = k → AB = 3k ; AC = 4k (k ∈ N * ) chuvi∆CHA AC 12 ∆ABC ( Aˆ = 900 ) → BC = 5k → chuvi∆ABC = 12k = 24 → k = → AB = 6; AC = 8; BC = 10 CÁC BÀI TOÁN TRONG ĐỀ THI LIÊN QUAN ĐẾN TAM GIÁC ĐỒNG DẠNG Bài 1: Cho tam giác ABC vuông A ( AC > AB), đường cao AH ( H thuộc BC) Trên tia HC lấy điểm D cho HD = HA Đường vng góc với BC D cắt AC E a Chứng minh rằng: ∆BEC : ∆ADC , tính độ dài đoạn BE theo AB = m b Gọi M trung điểm BE Chứng minh 20 ∆BHM : ∆BEC Tính ˆ ? AHM c Tia AM cắt BC G Chứng A m minh rằng: m Lời giải E m a M 45° B G H Cần thêm: Vậy GB HD = BC AH + HC D C ∆BEC , ∆ADC có: Cˆ : chung CD CA = ¬ ∆CDE : ∆CAB( g − g ) CE CB ˆ = ADC ˆ ∆BEC : ∆ADC (cgc) → BEC ∆AHD +) A vuông cân theo giả thiết ˆ = 450 → ADC ˆ = 1350 → Eˆ = 45 → ∆ABE → DAH vuông cân → BE = AB = m b ∆BEC , ∆ADC Cần thêm: - Ta có: +) ∆AHD có: Bˆ : chung BH BE BH BM = , hoac : = →: c − g − c BM BC BE BC BM BE AD = = ( : ∆BEC : ∆ADC ) BC BC AC vuông cân H → AD = AH → BM AD AH AH BH AH BH BH = = = = ( : ∆ABH : ∆CBA ⇒ = )= ( BE = AB) BC AC AC AC BA BE AC BA 21 Vậy ˆ = BÊC=1350 → AHM ˆ = 450 ∆BHM : ∆BEC (cgc) → BHM c Ta có: mà: Vậy: ∆ABE vuông cân A nên AM phân giác ˆ → GB = AB BAC GC AC AB ED AH HD = (∆ABC : ∆DEC ) = ( ED // AH ) = ( AH = DH ) AC DC HC HC GB HD GB HD GB HD = → = → = GC HC GB + BC HD + HC BC AH + HC Bài 2: Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, đường cao AD, BE, CF cắt H a Chứng minh rằng: b BD.DC = DH DA HD HE HF + + =1 AD BE CF c Chứng minh H giao điểm đường phân giác tam giác DEF d Gọi M, N, P, Q, J, K trung điểm BC, CA, AB, EF, FD, DE Chứng minh ba đường thẳng MQ, NI, PK đồng quy điểm Bài 3: Cho hình chữ nhật ABCD Trên đường chéo BD lấy điểm P Gọi M điểm đối xứng điểm C qua P a Tứ giác AMDB hình gì? b Gọi E F hình chiếu điểm M lên AB Chứng minh EF // AC ba điểm E, F, P thẳng hàng c Chứng minh tỷ số cạnh hình chữ nhật MEAF khơng phụ thuộc vào vị trí điểm P d Giả sử CP vng góc với BD CP = 2,4 cm, tính cạnh hình chữ nhật biết: PD = PB 16 22 Bài 4: [ Việt yên – Bắc Giang – 30/04/2013 ] Cho hình vng ABCD, cạnh AB lấy điểm E cạnh AD lấy điểm F cho AE = AF Vẽ DC BC M, N AH ⊥ BF ( H ∈ BF ), a Chứng minh tứ giác AEMD hình chữ nhật S b Biết BCH = 4.S AEH Chứng minh rằng: AC = 2.EF c Chứng minh rằng: 1 = + 2 AD AM AN Lời giải E A (2.0 điểm) B H F D C M N Ta có · · DAM = ABF (cùng phụ AB = AD ( gt) · · BAF = ADM = 90 ⇒ ΔADM = ΔBAF · BAH ) (ABCD hình vng) (g.c.g) => DM=AF, mà AF = AE (gt) Nên AE = DM Lại có AE // DM ( AB // DC ) Suy tứ giác AEMD hình bình hành Mặt khác · DAE = 900 (gt) 23 AH cắt Vậy tứ giác AEMD hình chữ nhật Ta có ΔABH : ΔFAH AB BH => = AF AH (2.0 điểm) (g.g) BC BH = AE AH hay · · HAB = HBC Lại có ⇒ ΔCBH : ΔEAH ⇒ BC = 2AE (cùng phụ · ABH ) (c.g.c) S  BC  ⇒ ΔCBH =  ÷ SΔEAH  AE  ( AB=BC, AE=AF) , mà ⇒ SΔCBH =4 SΔEAH (gt)  BC  ⇒ ÷ =4  AE  nên BC2 = (2AE)2 E trung điểm AB, F trung điểm AD Do đó: BD = 2EF hay AC = 2EF (đpcm) Do AD // CN (gt) Áp dụng hệ định lý ta lét, ta có: AD AM AD CN = ⇒ = ⇒ CN MN AM MN Lại có: MC // AB ( gt) Áp dụng hệ định lý ta lét, ta có: (2.0 điểm) ⇒ MN MC AB MC = ⇒ = AN AB AN MN 2 hay AD MC = AN MN 2 CN + CM MN  AD   AD   CN   CM  = =1  ÷ + ÷ = ÷ + ÷ = MN MN ⇒  AM   AN   MN   MN  (Pytago) 2  AD   AD  1 + =  ÷ + ÷ = => 2 AM AN    ⇒  AM AN AD (đpcm) Bài 5: [ Yên Phong – 20/03/2018 ] Cho hình vng ABCD, tia đối tia CD lấy điểm M ( CM < CD), vẽ hình vng CMNP ( P nằm B C), DP cắt BM H, MP cắt BD K a Chứng minh rằng: DH ⊥ BM 24 Q= b Tính PC PH KP + + BC DH MK c Chứng minh rằng: MP.MK + DK BD = MD Bài 6: [ Yên Phong – 2015 - 2016 ] Cho tam giác ABC vuông A, đường cao AH Gọi E, F theo thứ tự hình chiếu H AC AB Cho D điểm BC Gọi M, N theo thứ tự hình chiếu D AB AC Chứng minh AC = CH BC; a b c AC HC = AB HB CE AC = BF AB DB.DC = MA.MB + NA.NC Bài 7: [ Chương Mỹ, 2018 - 2019 ] · BAC = 900 Cho ∆ABC có , AB < AC, đường cao AH Gọi M, N hình chiếu H cạnh AB AC a Chứng minh rằng: MN = AH b Chứng minh rằng: AM.AB = AN.AC = AH2 c Gọi K giao điểm NM BC Chứng minh rằng: KB.KC = KH2; d Gọi O trung điểm BC, I giao điểm MN AH Chứng minh OI vng góc với AK e Giả sử AH 40 = AO 41 Tính tỉ số AB AC 25 HM ⊥ AB M (vì M hình chiếu H AB) ·AMH = 900  a) 2đ HN ⊥ AC N (N hình chiếu H AC) ·ANH = 900  ·AMH = ·ANH = MAN · = 900 Xét tứ giác AMHN có  AMHN hình chữ nhật  AH = MN (t/c hình chữ nhật) Ta có AMHN hình chữ nhật (CMT) ·AHM = ·ANM  Mà ·AHM = ·ABH (t/c hình chữ nhật) (cùng phụ với góc HAB) ·ANM = ·ABH ·ANM = ·ABC hay b) Xét ∆ANM ∆ABC có ·ANM = ABC · 2đ Góc A chung,  ∆ANM đồng dạng với ∆ABC (góc – góc)  AN AM = AB AC  AM.AB = AN.AC Chứng minh được: AM.AB = AH2 c) Chứng minh ∆KHM đồng dạng với ∆KNH (góc K chung, góc KHM = góc KNH 1đ góc HAB)  26 KH KM = => KH = KM KN KN KH (1) Chứng minh ∆KMB đồng dạng với ∆KCN (góc K chung, góc KMB góc C góc AMN)  KM.KN = KB.KC (2) Từ (1) (2) => KH2 = KB.KC ∆ABC vuông A, trung tuyến AO  AO = OB = OC (t/c trung tuyến ∆ vuông)   Mà d) 1đ ∆OAC cân O => · OCA = ·AMN · · OAC = OCA (T/c ∆ cân) (∆ANM đồng dạng với ∆ABC) · OAC = ·AMN  Mà ·ANM + ·AMN = 900 · OAC + ·ANM = 900  => OA ⊥ MN hay OA ⊥ KN Xét ∆KAO Có AH ⊥ KO, KN ⊥ OA mà AH cắt KN I => I trực tâm ∆KAO => OI ⊥ AK AH 40 AH AO = ⇒ = =t AO 41 40 41 AH = 40t, AO = 41t Xét ∆HAO vng H ta có: OA2 = OH2 + AH2 (đli Pitago) 2 2 2  OH = OA – AH = (41t) – (40t) = 81t e)  OH = 9t 1đ Mà OA = OB = OC (t/c trung tuyến ∆ vuông ABC)  OC = 41t => HC = 41t + 9t = 50t Chứng minh: ∆HAC đồng dạng với ∆ABC (g.g)  HA HC AB HA 40t = ⇒ = = = AB AC AC HC 50t  Bài 8: [ Vĩnh Lộc, 2016 - 2017 ] 27 Cho tam giác ABC phân giác AD Trên nửa phẳng không chứa A bờ BC, vẽ tia Cx cho · BCX = · BAC Cx cắt AD E ; I trung điểm DE Chứng minh : ΔABD ΔCED b AE2 > AB.AC d Trung trực BC qua E a đồng dạng với c 4AB.AC = 4AI2 – DE2 Lời giải a) Xét ∆ ABD ∆ CED có: 1· · · BAD = BCE (= BAC ) ·ADB = CDE · b) Xét ∆ (đối đỉnh)=> ABD ∆ ∆ ABD : ∆ CED (g -g) AEC có: 1· · · BAD = EAC (= BAC ) 28 ·ABD = ·AEC => => ∆ ∆ ( ABD = ∆ : ABD AB AE = AD AC ∆ CED) AEC (g-g) => AB.AC = AD.AE < AE2 (AD < AE) Vậy AE2 > AB.AC c) Ta có: 4AI2 - DE2 = 4AI2 - 4DI2 = 4(AI - DI)(AI +DI) = 4AD(AI + IE) = 4AD.AE Mà AD.AE = AB.AC (câu b) => 4AB.AC = 4AI2 - DE2 d) Chứng minh trung trực BC qua E +) ∆ ABE · · BAD = DAC ∆ +) : ∆ ; BDE; · BDE = ·ADC ADC AB AD = AE AC ∆ ( AD.AE = AB.AC) => ∆ ABE : ∆ ADC (c.g.c) => ·AEB = ·ACB ADC (đối đỉnh) · BED = ·ACD => ∆ BDE : ∆ ADC (g-g) => · · · DBE = DAC = BCE => ∆ BEC cân E => Trung trực BC qua E Bài 9: [ Cẩm Thủy, 2013 - 2014 ] Cho hình vng ABCD có AC cắt BD O M điểm thuộc cạnh BC (M khác B, C).Tia AM cắt đường thẳng CD N Trên cạnh AB lấy điểm E cho BE = CM a Chứng minh : ∆OEM vuông cân 29 b Chứng minh : ME // BN c Từ C kẻ CH ⊥ ∈ BN ( H BN) Chứng minh ba điểm O, M, H thẳng hàng Lời giải Xét ∆OEB ∆OMC Vì ABCD hình vng nên ta có OB = OC a đ Và µ =C µ = 450 B 1 BE = CM ( gt ) Suy ∆OEB = ∆OMC ( c g.c) ⇒ OE = OM Lại có µ =O ¶ O ¶ +O ¶ = · O BOC = 900 ả +O =Ã O EOM = 900 tứ giác ABCD hình vng kết hợp với OE = OM Từ (gt) tứ giác ABCD hình vng b + AB // CD ⇒ AB // CN ⇒ AM BM = ⇒ MN MC 30 ⇒ ∆OEM vuông cân O AB = CD AB // CD ( Theo ĐL Ta- lét) (*) 2đ Mà BE = CM (gt) AB = CD Ta có : AM AE = MN EB ⇒ ⇒ AE = BM thay vào (*) ME // BN ( theo ĐL đảo đl Ta-lét) Gọi H’ giao điểm OM BN · · 'E ⇒ OME = OH Từ ME // BN Mà · OME = 450 ( cặp góc so le trong) ∆OEM vuông cân O · ' B = 450 = C µ ⇒ MH c ⇒ 1đ ⇒ ⇒ ∆OMC : OM MH ' = OB MC ∆OMB Vậy : ∆BMH’ (g.g) ,kết hợp · · OMB = CMH ' ∆CMH’ (c.g.c) ( hai góc đối đỉnh) · · ' C = 450 ⇒ OBM = MH · ' C = BH · ' M + MH · ' C = 900 ⇒ CH ' ⊥ BN BH Mà CH ⊥ BN ( H ∈ BN) ⇒ ≡ H H’ hay điểm O, M, H thẳng hàng ( đpcm) Bài 10: [ Duy Tiên, 2012 - 2013 ] Cho hình vng ABCD cạnh a, điểm E thuộc cạnh BC, điểm F thuộc cạnh AD cho CE=AF Các đường thẳng AE, BF cắt đường thẳng CD theo thứ tự M, N a) Chứng minh rằng: CM.DN = a2 b) Gọi K giao điểm NA MB Chứng minh rằng: 31 · MKN = 900 c) Các điểm E F có vị trí MN có độ dài nhỏ nhất? Lời giải a) Vì ABCD hình vng AB / /CD ⇒ AB / /CN, AB / / ND  ⇒ EC AF AD = BC mà AF = EC ⇒ FD = BE ⇒ BE = FD ⇒ CM CE = (2) AB BE ⇒ AB AF = (3) DN FD Vì AB//CM Vì AB//DN ⇒ Từ (1)(2)(3) CM AB = ⇒ CM.DN = AB2 = a AB DN ⇒ b) Theo câu a, ta có: Do Mà (1) CM AB CM AD = ⇒ = ( AD = BC = AB) AB DN BC DN · · ∆CMB : ∆DAN (c.g.c) ⇒ CMB = DAN (4) · · DAN + AND = 900 (Vì ∆DADN vng tai D) Từ (4)(5) (5) · · ⇒ CMB + AND = 900 · MKN = 900 Do c) Áp dụng BĐT cơsi ta có DN + CM ≥ DN.CM = a = 2a (Vì a > 0) 32 DN + CM + CD ≥ 3a (Vì CD = a ) hay MN ≥ 3a Dấu "=" xảy DN = CM = a Khi CE AF CM a = = = =1 BE FD AB a CE = BE   AF = FD hay Vậy E F trung điểm BC AD MN có độ dài nhỏ 3a Bài 11: [ Gia Viễn, 2014 - 2015 ] Câu (6,5 điểm) Cho hình vuông ABCD, tia đối tia CD lấy điểm M (CM < CD), vẽ hình vng CMNP (P nằm B C), DP cắt BM H, MP cắt BD K a) Chứng minh: DH vng góc với BM b) Tính Q = PC PH KP + + BC DH MK c) Chứng minh: MP MK + DK BD = DM2 Lời giải A B K H P D N C M (2,25 điểm) Chứng minh: DH vng góc với BM - HS CM : CD = BC, PC = CM, DCB = BCM = 900 - CM: ∆ DPC = ∆ BMC (cgc) - Chứng minh BHP = 900 a) 33 b) (2,0 điểm) Tính Q = - CM : MP ⊥ BD - DM PC PC S = = ∆PDM BC DM BC S ∆BDM Tương tự : ⇒Q= PC PH KP + + BC DH MK ; 1 DB.KP DB.KP PH S PH S = = ∆PBM = = ∆PBD DH DB.MK S ∆BDM DH DB.MK S ∆BDM 2 S∆PDM + S∆PBM + S∆PBD =1 S ∆BDM c) (2,0 điểm) Chứng minh: MP MK + DK BD = DM2 - CM: ∆ MCP ∼ ∆MKD (g.g) ⇒ MP MK = MC MD (1) - CM: ∆DBC ∼ ∆DKM (g.g) ⇒ DK BD = DC DM (2) - Từ (1) (2) ⇒ MP MK + DK BD = DM (MC + DC) ⇒ MP MK + DK BD = DM2 34 ... = FC (dpcm) EC CF C CÁC TRƯỜNG HỢP ĐỒNG DẠNG CỦA TAM GIÁC Trường hợp đồng dạng thứ nhất: Nếu ba cạnh tam giác tỉ lệ với ba cạnh tam giác hai tam giác đồng dạng AB BC CA = = ⇒ ∆ABC : ∆A '' B ''... Aˆ = 900 ) → BC = 5k → chuvi∆ABC = 12k = 24 → k = → AB = 6; AC = 8; BC = 10 CÁC BÀI TOÁN TRONG ĐỀ THI LIÊN QUAN ĐẾN TAM GIÁC ĐỒNG DẠNG Bài 1: Cho tam giác ABC vuông A ( AC > AB), đường cao AH (... ∆A '' B '' C ''(cgc ) A '' B '' B ''C '' A A'' B C C'' B'' Trường hợp đồng dạng thứ ba: Nếu hai góc tam giác hai góc tam giác hai tam giác đồng dạng Aˆ = Aˆ ''; Bˆ = Bˆ '' ⇒ ∆ABC : ∆A '' B '' C ''( g − g ) A