Giáo án bồi dưỡng học sinh giỏi toán 8 chuyên đề giá trị nhỏ nhất của biểu thức

GIÁO ÁN BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI TOÁN CHUYÊN ĐỀ: CHUYÊN ĐỀ TÌM MIN, MAX CỦA BIỂU THỨC A Định nghĩa: A( x; y; z) - Cho biểu thức A( x; y; z) LÝ THUYẾT Khi hảng số M giá trị lớn (GTLN) thỏa mãn hai điều kiện sau: + Với x; y; z mà + Tồn số A ( x; y; z) ( x; y; z) A( x; y; z) - Cho biểu thức A( x; y; z) xác định mà cho A( x; y; z) = M Khi hảng số N giá trị lớn (GTNN) thỏa mãn hai điều kiện sau: + Với x; y; z mà + Tồn số A( x; y; z) ≤ M A( x; y; z) ( x; y; z) xác định mà cho B A( x; y; z) ≥ N A( x; y; z) = N LUYỆN TẬP Dạng 1: ĐA THỨC BẬC ĐƠN GIẢN Phương pháp: - Phân tích thành biểu thức tương đồng để đặt ẩn phụ Sử dụng phương pháp nhóm hợp lý làm xuất nhân tử để đặt ẩn phụ ( a ± b) ,( a + b + c) - Sử dụng đẳng thức Bài 1: Tìm GTNN của: HD: A = x ( x − 3) ( x − ) ( x − ) ( )( ) A = x( x − 7) ( x − 3) ( x − 4) = x2 − 7x x2 − 7x + 12 , Đặt x2 − 7x + = t , đó: A = ( t − 6) ( t + 6) = t − 36 ≥ −36 , Dấu “ = ” Vậy Min A = - 36 x=1 x=6 B = ( x − 1) ( x − 3) ( x − x + ) a: Bài 2: Tìm GTNN củ HD: ( )( ) B = x2 − 4x + x2 − 4x + B = ( t − 1) ( t + 1) = t − 1≥ −1 , Đặt x2 − 4x + = Bài 3: Tìm của: HD: , Dấu “ = “ x = t2 = x2 − 7x + =  x = Khi đó: t2 = x2 − 4x + = t = A = x ( x + 2) ( x + 4) ( x + 6) + ( )( ) A = x( x + 6) ( x + 2) ( x + 4) + = x2 + 6x x2 + 6x + + A = ( t − 4) ( t + 4) + = t − 16 + = t − ≥ −8 , Đặt x2 + 6x + = t Khi đó: , Dấu “ = “ Khi đó:  x = −3+ t2 = x2 + 6x + =   x = −3− Bài 4: Tìm GTNN của: HD: B = ( x + 1) ( x + ) ( x + 3) ( x + ) ( )( ) B = ( x + 1) ( x + 4) ( x + 2) ( x + 3) = x2 + 5x + x2 + 5x + B = ( t − 1) ( t + 1) = t2 − 1≥ −1 , Đặt x2 + 5x + = t t2 = x2 + 5x + = x = , Dấu “ = “ , Khi đó: −5 ± A = ( x + x − 6) ( x2 + x + 2) Bài 5: Tìm GTNN của: HD: Đặt x2 + x − = t Khi đó: Dấu “ = “ xảy khi: Bài 6: Tìm GTNN : HD: A = ( t − 4) ( t + 4) = t2 − 16 ≥ −16 x = t = x2 + x − =   x = −2 C = ( x − 1) ( x + ) ( x + 3) ( x + ) ( )( ) C = ( x − 1) ( x + 6) ( x + 2) ( x + 3) = x2 + 5x − x2 + 5x + , Đặt x2 + 5x = t Khi đó: C = ( t − 6) ( t + 6) = t − 36 ≥ −36 x = t = x2 + 5x =   x = −5 Bài 7: Tìm GTNN của: HD: , Dấu “ = “ D = ( x − 1) ( x + ) ( x + 3) ( x + 1) ( )( ) D = ( 2x − 1) ( x + 3) ( x + 2) ( 2x + 1) = 2x2 + 5x − 2x2 + 5x + , Đặt 2x2 + 5x = t , Khi đó:   25 −25 D = ( t − 3) ( t + 2) = t2 − t − =  t − ÷ − ≥ 4  2 t= , Dấu “ = “ khi: 1 −5± 29 2x2 + 5x = x = 2 Bài 8: Tìm của: HD: C = ( x + 1) ( x + ) ( x + 3) ( x + ) + 2011 C = ( x + 1) ( x + 4) ( x + 2) ( x + 3) + 2011 = ( x2 + 5x + 4) ( x2 + 5x + 6) + 2011 , Đặt x + 5x + = t Khi đó: C = ( t − 1) ( t + 1) + 2011 x2 + 5x + = x = Bài 9: Tìm max của: HD: −5± E = + ( − x ) ( x + ) ( x + 3) ( x + ) ( )( ) E = 5− ( x − 1) ( x + 6) ( x + 2) ( x + 3) = − x2 + 5x − x2 + 5x + + Khi đó: ( ) E = − ( t − 6) ( t + 6) + = − t − 36 + = −t + 41≤ 41 Dấu “ = “ Khi x = t2 = x2 + 5x =   x = −5 Bài 10: Tìm GTNN của: HD: M = ( x − 1) ( x + ) ( x + ) ( x + ) ( )( ) M = ( x − 1) ( x + 6) ( x + 2) ( x = 3) = x2 + 5x − x2 + 5x + Khi đó: , đặt x2 + 5x = t M = ( t − 6) ( t + 6) = t2 − 36 ≥ −36 , Đặt x2 + 5x = t , Dấu “ = ” x = t = x2 + 5x =   x = −5 Bài 11: Tìm của: HD: ( ) D = ( x + 1) x − ( x + ) + 2014 ( )( ) D = ( x + 1) ( x + 2) ( x − 2) ( x + 5) + 2014 = x2 + 3x − 10 x2 + 3x + + 2014 , Đặt x + 3x − = t Khi đó: D = ( t − 6) ( t + 6) + 2014 = t2 + 1978 , Dấu “= “ xảy khi: x = t2 = x2 + 3x − =   x = −4 Bài 12: Tìm GTNN của: HD: C = x − x + 10 x − x + C = ( x − 2.3x x + x ) + ( x − x + ) = ( x − 3x ) + ( x − 3) ≥ Bài 13: Tìm GTNN của: HD: C = x − x + x − 20 x + 22 C = ( x − x3 + x ) + ( x − x + ) + Bài 14: Tìm GTNN của: HD: B = x4 − x2 + 2x + B = ( x − x + 1) + ( x + x + 1) + D = ( x + 8) + ( x + ) Bài 15: Tìm GTNN của: HD: x + = y => D = ( y + 1) + ( y − 1) = y + 12 y + ≥ Đặt: Bài 16: Tìm GTNN : HD: Đặt: 4 A = x2 − x − 3x − + x − = t => t = x − x + => E = t − 4t + A = ( x + 1) − ( x − ) + x − 11 Bài 17: Tìm GTLN của: HD: 2  17  569 569 A = 4x + 4x + 1− 9x + 12x − + x − 11= −5x + 17x − 14 = −5 x + ÷ + ≤ 10  20 20  2 A = ( x + 2) + ( x − 2) Bài 18: Tìm của: 4 HD: ( ) ( ) ( ) A = x2 + 2x + + x2 − 2x + = x4 + 4x2 + 16 + 2x3 + 8x + 4x2 + x4 + 4x2 + 16 ( ) ( ) +2 4x2 − 2x3 − 8x = 2x4 + 24x2 + 32 = x2 + − 40 ≥ −40 Bài 19: Tìm của: HD: ( A = x + y − x + 32 y + 2018 ) ( ) A = x2 − 4x + + 4y2 + 32y + 64 + 1950 = ( x − 2) + 4( y + 4) + 1950 ≥ 1950 Bài 20: Tìm của: HD: 2 A = 3x + y + x − y 2   2  1 2   19 −19 A = 3x + 4x + y − y = 3 x2 + 2.x ÷+  y2 − 2.y ÷ = 3 x + ÷ +  y − ÷ − ≥ 3  2 3   12 12   ( ) ( Bài 21: Tìm của: HD: ( ) B = x + y + xy − 12 x − 18 ) ( ) B = 4x2 − 12x + x2 + 2xy + y2 − 18 = ( 2x − 3) + ( x + y) − 27 ≥ −27 Bài 22: Tìm max của: HD: 2 B = −3 x − 16 y − xy + x + 2   41 − B =  x + 8xy + 16y  +  2x − 5x − 2 = ( x + 4y) + 2 x − ÷ − 4  2 2   41 41 => B = − ( x + 4y) − 2 x − ÷ + ≤ 4 8  Bài 23: Tìm của: HD: A = x + y + xy + x − y + 26 2 A = 4y2 + ( 4xy − 4y) + 3x2 + 2x + 26 =  4y2 + 2.2y.( x − 1) + ( x − 1)  + 3x2 + 2x + 26 − ( x − 1)   ( ) A = ( 2y + x − 1) + 2x2 + 4x + 25 = ( x + 2y − 1) + x2 + 2x + + 23 ≥ 23 Bài 24: Tìm max của: HD: A = − x − y + xy + x + y ( ) − A = x2 + y2 − xy − 2x − 2y = x2 − ( xy + 2x) + y2 − 2y = x2 − x( y + 2) + y2 − 2y   y2 + 4y +    y + y2 + 4y + 4 y +   3y2 A =  x2 − 2x + + y − y − = x − + − 3y − 1÷  ÷   ÷ 4          2x − y − 1   A=  +  y − 4y + − − 4÷ ÷    4 A = ( x − 3) + ( x − 1) Bài 25: Tìm của: HD: A = x2 − 6x + 9+ x2 − 2x + 1= 2x2 − 8x + 10 = 2( x − 2) + ≥ 2 B = ( x + 1) + ( x + ) − ( x + ) Bài 26: Tìm của: HD: ( ) ( ) ( ) B = x2 + 2x + + x2 + 4x + − x2 + 6x + = x2 − 8x − 22 = ( x − 4) − 38 ≥ −38 F = − ( x + 1) − ( x − ) Bài 27: Tìm max của: HD: x − = t => F = − 3( t + 3) − 3( t − 3) Đặt ( ) ( ) 4 ( ) − F = t2 + 6t + + t2 − 6t + − = 6t4 + 324t2 + 484 = t4 + 54t2 + 484 ( ) F = −6 t2 + 27 + 3890 ≤ 3890 G = ( x + 3) + ( x − ) Bài 28: Tìm của: HD: ( ) ( ) x − = t => G = ( t + 5) + ( t − 5) = t2 + 10t + 25 + t2 − 10t + 25 Đặt 4 ( ) ( ) 2 G = 2t4 + 300t2 + 1250 = t4 + 2.75t2 + 5625 − 104 = t2 + 75 − 104 ≥ −104 Bài 29: Tìm của: HD: I = x − x + 11x + 12 x + 20 ( ) I = x4 − 6x3 + 11x2 − 12x + 20 = x2 x2 − 6x + + 2x2 − 12x + 20 ( ) I = x2 ( x − 3) + x2 − 6x + + = x2 ( x − 3) + 2( x − 3) + ≥ 2 Bài 30: Tìm max : HD: 2 N = − x2 − y2 + x − y + ( ) ( ) − N = x2 + 4y2 − 6x + 8y − = x2 − 6x + + 4y2 + 8y + − 16 − N = ( x − 3) + 4( y + 1) − 16 => N = − ( x − 3) − 4( y + 1) + 16 ≤ 16 2 2 Bài 31: Tìm max của: HD: P = −3x − y + x + y − 23 ( ) ( ) − P = 3x2 + 5y2 − 2x − 7y + 23 = 3x2 − 2x + 5y2 − 7y + 23 2   1  1213 − P = 3 x − ÷ + 5 y − ÷ + 3 10  60   => R = −7 x − y − xy + 18 x + Bài 32: Tìm max của: HD:   1  1213 −1213 P = −3 x − ÷ − 5 y − ÷ − ≤ 3 10  60 60   ( ) − R = 7x2 + 4y2 + 8xy − 18x − = 4y2 + 8xy + 4x2 + 3x2 − 18x − = 2( x + y) + 3( x − 3) − 36 2 R = −2( x + y) − 3( x − 3) + 36 ≤ 36 Bài 33: Tìm max của: HD: A = − x − y + xy − x − 12 y − A = 2x2 + 4y2 − 4xy + 8x + 12y − = 2x2 − 4x( y − 2) + 4y2 + 12y − 2 = 2 x2 − 2x( y − 2) + ( y − 2)  + 4y2 + 12y − 5− 2( y − 2)   Bài 34: Tìm max của: HD: B = − x − y − xy + x − B = 5x2 + y2 + 4xy − 2x − = y2 + 2.y.2x + 4x2 + x2 − 2x + 1− = ( y + 2x) + ( x − 1) − ≥ −3 2 B = − ( 2x + y) − ( x − 1) + ≥ Bài 35: Tìm của: HD: C = a + ab + b − x − 3b + 1989 ( b − 3) b − ( b − 3) C = a + a( b − 3) + b − 3b + 1989 = a + 2.a + + b2 − 3b + 1989 − 4 2 2 4C = 4a2 + 4ab + 4b2 − 12a − 12b + 7956 2 =  4a2 + 4a( b − 3) + ( b − 3)  + 4b2 − 12b + 7956 − ( b − 3) = ( 2a + b − 3) + 3b2 − 6b + 7947   Bài 36: Tìm số nguyên m lớn cho BĐT với x: ( x + 1) ( x + ) ( x + 3) ≥ m HD: ( )( ) VT = ( x + 1) ( x + 3) ( x + 2) = x2 + 4x + x2 + 4x + , Đặt x2 + 4x = t , Khi đó: 7 49 49  7 −1 VT = ( t + 3) ( t + 4) = t + 7t + 12 = t + 2.t + + 12 − = t+ − ≥ 4  ÷  4 Bài 37: Tìm GTNN của: HD: A = x2 − 2xy + 2y2 − 4y + A = x2 − 2xy + y2 + y2 − 4y + + = ( x − y) + ( y − 2) + Ta có: Do: ( x − y) ≥ 0,( y − 2) ≥ Bài 38: Tìm của: HD: ( A = ( x − y) + ( y − 2) + 1≥ , Nên B = x + y + xy − x + 2028 ) ( ) B = x2 + 2xy + y2 + x2 − 8x + 16 + 2012 Bài 39: Tìm GTNN biểu thức: HD: A = a − 2a − a + A = a ( a + ) − 2a ( a + ) + ( a + ) + = (a dấu a=1 A = x − xy + y + x − 10 y + 17 Bài 40: Tìm GTNN biểu thức : HD: + ) ( a − 2a + 1) + ≥ A = x2 − 2x( y − 1) + 2y2 − 10y + 17 = x2 − 2x( y − 1) + ( y − 1) + 2y2 − 10y + 17 − ( y − 1) 2 ( ) A =  x − y + 1 + 2y2 − 10y + 17− y2 + 2y − Bài 41: Tìm Min của: HD: x≥ => P = 5x2 − 6x x< => P = 5x2 + 6x − TH1: TH2: P = 5x2 − x −1 −1 Dạng 2: NHĨM ĐƯA VỀ TỔNG BÌNH PHƯƠNG Phương pháp: ( a ± b) ,( a + b + c) - Sử dụng biến dổi đưa đẳng thức Chú ý biến đổi thành nhiều ngoặc điều kiện dấu “ = ” xảy bị ràng buộc nhiều Bài 1: Tìm GTNN của: HD: A = x − xy + y + x − 10 y + 17 2   A = x2 − 2x( y − 1) + 2y2 − 10y + 17 = x − 2x( y − 1) + ( y − 1) +  2y − 10y + 17− ( y − 1)  ( ) = ( x − y + 1) + y2 − 8y + 16 Bài 2: Tìm của: HD: B = x − xy + y − x − y  y + y2 + 4y + 4 y2 B = x2 − x( y + 2) + y2 − 2y =  x2 − 2.x + + y − y − − y−  4   4B = ( x − y − 2) + 4y2 − 8y − y2 − 4y − Bài 3: Tìm của: HD: C = x + xy + y − x − y  y − y2 − 6y + 9 y2 − 6y + C = x2 + x( y − 3) + y2 − 3y =  x2 + 2.x + + y − y −  4   4C = ( x + y − 3) +  4y2 − 12y − y2 + 6y − 9 Bài 4: Tìm của: HD: D = x − xy + y − 12 x + y + 45 ( ) D = x2 − 2x( y + 6) + 6y2 + 2y + 45 = x2 − 2x.( y + 6) + ( y + 6) + 6y2 + 2y + 45− y2 + 12y + 36 = ( x − y − 6) + 5y2 − 10y + Bài 5: Tìm của: HD: E = x − xy + y − x − 10 y + 20 E = x2 − x( y − 2) + 3y2 − 10y + 20 = x2 − 2x y − y2 − 4y + y2 − 4y + + + 3y2 − 10y + 20 − 4 ( ) ( ) ( ) 4E = ( x − y + 2) + 12y2 − 40y + 80 − y2 − 4y + = ( x − y + 2) + 11y2 − 36y + 76 2 F = − x + xy − y + x + 10 y − Bài 6: Tìm max của: HD: − F = x2 − 2xy + 4y2 − 2x − 10y + = x2 − 2x( y + 1) + 4y2 − 10y + − F = x2 − 2x( y + 1) + ( y + 1) + 4y2 − 10y + 3− ( y + 1) 2 G = ( x − ay ) + ( x − ay ) + x + 16 y − 8ay + x − y + 10 Bài 7: Tìm của: HD: ( ) G =  ( x − ay) + 6( x − ay) + 9 + x2 + 2x + + 16y2 − 8ay − 8y   G = ( x − ay + 3) + ( x + 1) + 16y2 − 8y( a + 1) + ( a + 1) − ( a + 1) 2 G = ( x − ay + 3) + ( x + 1) + ( 4y − a − 1) − ( a + 1) ≥ − ( a + 1) 2 2 2 H = − x + xy − y − x + y + 11 Bài 8: Tìm max của: HD: − H = x2 − xy + y2 + 2x − 4y − 11 = x2 − x( y − 2) + y2 − 4y − 11 ( y − 2) y − y2 − 4y + − H = x − 2x + + y − 4y − 11− 4 2 ( ) => −4H = ( x − y + 2) + 4y2 − 16y − 44 − y2 − 4y + Bài 9: Tìm của: HD: I = x + xy + y − y + 11 ( ) I = x2 + 4xy + 4y2 + y2 − 6y + 11 Bài 10: Tìm của: HD: K = x + y − xy + 3x + y + 20 2 4K = 4x2 + 4y2 − 4xy + 12x + 12y + 80 =  4x2 − 4x( y − 3) + ( y − 3)  +  4y2 + 12y + 80 − ( y − 3)      4K = ( 2x − y + 3) + 3y2 + 18y + 71 Bài 11: Tìm của: HD: ( M = x − xy + y − y + ) ( ) M = x2 − 2xy + y2 + y2 − 2y + 10 a= Nháp t2 − 5t + => 2at2 − 10at + 7a − t2 + 5t − 2 2t − 10t + , ∆ = 25( 2a − 1) − 4( 2a − 1) ( 7a − 2) có : 17 ∆ = => a = ; a = 22 N= Bài 75: Tìm max của: HD : 22 x − 58 xy + 73 y x − xy + y 22 N= y2 Chia tử mấu cho ta được: x2 x − 58 + 73 y y x x −4 +4 y y , Đặt x 22t − 58t + 73 = t => N = y t2 − 4t + N = 22 + Đặt 30t − 15 ( t − 2) t − = a => N = 22 + 30( a + 2) − 15 a , Đặt = 22 + 30a + 45 30 45 = 22 + + a a2 a = b => N = 22 + 30b + 45b2 a P= Bài 76: Tìm max của: HD : x + xy x2 + y P= y2 Chia tử mẫu cho ta được: x2 x +6 y y x +1 y2 , Đặt x 8t + 6t 6t − = t => P = = 8+ y t +1 t +1 a= Nháp : 6t − => at2 + a − 6t + = t +1 Q= Bài 77: Tìm max của: HD : Q = 1+ , có ∆ ' = − a( a + 8) = => a = 1; a = −9 x − 3x + x2 − x + −x+ ( x − 1) , Đặt x − = t => x = t + Q = 1+ Khi : −t + 1 = 1− + 2 t t t 37 Dặt = a => Q = a2 − a + t R= Bài 78: Tìm max của: HD : Chia tử mẫu cho y2 x + xy + y x − xy + y ta được: x2 + y2 R= x − y2 x +1 y x +1 y , Đặt x t + t+1 2t = t => R = = 1+ y t − t+1 t − t+1 a= Nháp : 2t => at2 − at + a − 2t = t − t+1 ∆ = ( a + 2) − 4a.a = => a = 2; a = 2 , có −2 x x + x2 + Bài 79: Tìm GTLN biểu thức: HD: P( x) = Ta có : x2 x4 + x2 + = 1 = x2 + + ≥ P( x) x M= Bài 80: Tìm GTNN biểu thức: HD: x + x + − ( x + 1) + M= Ta có : Đặt =t x+1 , GTLN đạt giá trị x x + 2x + = 1− x2 + x + ( x ≠ −1) x2 + x + 1 + x + ( x + 1) 2  1 3 M = t − t + 1=  t − ÷ + ≥  2 4 , ta có: 38 B= Bài 81 : Tìm giá trị lớn biểu thức: HD: B= 3( x + 1) x + x + x+1 = Ta có: x2 + 1> => B = Do 3( x + 1) x ( x + 1) + x + ≤3 x +1 2012 + x x , Đặt x − x + 2012 P= x2 Bài 84: Cho biểu thức HD : 2011 + x x = x +1 , Đặt , với x ≠ 4x + x2 + 4x + => a.x2 + a − 4x − = x +1 M= M = 1− ( x + 1) ( x + 1) = t => P = 1− 2t + 2012t2 x Bài 83: Tìm giá trị lớn HD : Nháp : 3( x + 1) , Dấu x=0 P= a= x + x2 + x + Bài 82: Tìm GTNN biểu thức : HD : P = 1− = 3( x + 1) x − x + 2011 x2 , có ∆ ' = − a( a − 3) = => a = −1; a = , với x>0, Tìm x để M có GTNN = t => M = 2011t2 − 2t + x 39 Dạng 4: TÌM MIN, MAX CĨ ĐIỀU KIỆN Phương pháp : - Dồn biến từ điều kiền thay vào biểu thức Biến đổi biểu thức thành thành phần có chứa điều kiện để thay Sử dụng thêm số bất đẳng thức phụ : + a + b ≥ ab a + b ≥ 2ab + a+ + ≥2 a ( Dấu = a = b) ( Dấu = a = 1) A = 3x + y Bài 1: Tìm của: HD: Từ ( Dấu = a = b, với a, b không âm) biết : 3x + y = 3x + y = => y = − x => A = 3x + ( − x ) A = xy Bài 2: Tìm của: HD: biết 3x + y = = 12 x − x + y = − x => A = x ( − x ) = −3 x + x A = a − b3 − ab Bài 3: Tìm của: biết: a – b =1 HD: a = b + => A = ( b + 1) − b − ( b + 1) b 2b + 2b + = B = a.b Bài 4: Tìm max của: HD: a= Từ gt ta có: 12 − 5b biết: 3a + 5b = 12 , thay vào C = x + y + xy  12 − 5b  −5 12 B = b b + b ÷=   3 Bài 5: Tìm của: HD: Từ gt=> y = 1− x Bài 6: Tìm của: HD: Từ gt=> x + y =1 C = x3 + ( − x ) + xy = x − x + thay vào C ta được: D = x2 + y x = 1− y biết: biết: x + 2y =1 D = ( 1− y ) + y2 thay vào 40 Bài 7: Tìm của: HD: y= Từ gt=> E = 2x2 + y 4x − biết: 4x − 3y = thay vào E Bài 8: Cho a, b>0 a+b=4, tìm GTLN HD:  1 a+ b P = 1−  + ÷+ = 1− + = 1− + = 1− ab ab ab ab ab  a b  ab Ta có: a, b > => a + b = ≥ ab => ab ≤ Do Khi đó: 3 3 ≥ => 1− ≤ 1− = ab ab 4 Bài 9: Tìm của: HD: Cách 1: = => ab ≤ , Dấu = xày a + b = a = b =  a = b  1  1 F = 1 + ÷ + 1 + ÷  a  b Ta có:  1  1 P =  1− ÷ 1− ÷  a   b , biết: a+b=1 a,b >0 2 b  a  a+b  a+b  1 + ÷ + 1 + ÷ = 2+ ÷ +2+ ÷ a   b   a  b  ≥ + 4.2 + = 18 = 2 a b a b  +  + ÷+  + ÷ b a b a  Cách 2:  1  1  1  1   a + b   a2 + b2  F =  1+ + ÷+  1+ + ÷ = + 2 + ÷+  + ÷ = + 2 ÷+  2 ÷  a a   b b   a b  a b   ab   a b  Ta có: F = 2+ a2 + b2 + ab a2b2 a + b = => a + b = 1− 2ab Mà (1) F = 2+ thay vào (1) ta được: a + b = 1≥ ab => ab ≤ Lại có: => 1− 2ab + 2 = 2+ 2 ab a b ab 1 => ab ≤ => a2b2 ≤ 16 16 ≥ => F = + 2 ≥ + 16 = 18 ab ab 2 Dấu = a + b = 1 a = b =  a = b 41 2x2 + Bài 10: Cho x,y thỏa mãn: HD: Từ gt ta có : => y2 + =4 x2 , Tìm max của: A= x.y  y2    =  x + − ÷+  x + − xy ÷+ xy + x     xy + ≤ => xy ≤ Bài 11: Cho hai số thực a,b ≠ S = ab + 2017 2a + 0, thỏa mãn: => 1  y  =  x − ÷ +  x − ÷ + xy + x  2  b2 + =4 a2 , Tìm min, max của: HD: Từ gt ta có : => ab + ≤ => ab + 2017 ≤ 2019 => S ≤ 2019 Mặt khác : =>  b2 1  b     =  a + − ÷+  a + − ab ÷+ ab + =  a − ÷ +  a − ÷ + ab + a a  2       b2 1  b     =  a + − ÷+  a + + ab ÷− ab + =  a − ÷ +  a − ÷ − ab + a a  2      −ab + ≤ => ab ≥ −2 => ab + 2017 ≥ 2015 => S ≥ 2015 y2 x + 2+ =8 x Bài 12: Cho hai số x,y khác thỏa mãn: A = xy + 2024 , Tìm min, max của: HD: = x2 + Từ gt ta có : =>  y2 16 y  16   y + => 16 = x + + = x + − + x + + xy ÷− xy +  ÷  2 x x  x    4  y  =  x − ÷ +  x + ÷ − xy + => − xy + ≤ 16 => xy ≥ −8 => A = xy + 2024 ≥ 2016 x  2  Mặt khác : =>  16   y2 4  y   16 =  x + − ÷+  x + − xy ÷+ xy + =  x − ÷ +  x − ÷ + xy − x x  2      xy − ≤ 16 => xy ≤ => S = xy + 2024 ≤ 2032 Bài 13: Cho x,y max HD: ∈ 8x2 + y + R khác biết: =4 x2 , Tìm x,y để B = x y đạt đạt 42 = 8x2 + y + Ta có : 1   =  x + − ÷+ ( x + y − xy ) + xy + 2 4x 4x   4=    x − ÷ + ( x − y ) + xy + => xy + ≤ => B = xy ≤ 2x    −1  =  x − ÷ + ( x + y ) − xy + => −4 xy + ≤ => B = xy ≥ 2x   Mặt khác : Bài 14: Cho x,y >0 thỏa mãn: x+y =1, Tìm của: HD: ( )( ) A = x + y y + x + 25 xy A = 16( xy ) + 12 x + 12 y + xy + 25 xy = x y + 12 ( x + y ) + 34 xy Ta có : x + y = ( x + y ) ( x − xy + y ) = ( x + y ) − 3xy = − 3xy Vì x+y =1 nên A = x y + 12 ( − xy ) + 34 xy 2 ( )( A = 6t − 2t + 12 , Đặt xy=t : Bài 15: Cho x, y số thực thỏa mãn: , thay vào A x+ y = Tìm biểu thức: ) C = x + 4y y + 4x + 8xy 2 HD: ( )( ) ( ) C = x2 + 4y y2 + 4x + 8xy = x2y2 + 4x3 + 4y3 + 16xy + 8xy = x2y2 + x3 + y3 + 24xy Ta có : x + y = => x3 + y3 = ( x + y) − 3xy( x + y) = 1− 3xy Do ( Thay vào C ta : ) C = x y + 4( 1− 3xy) + 24xy = x y + 12xy + = x y + 2xy.6 + 36 − 32 = ( xy + 6) − 32 ≥ −32 2 2 MinC = −32 , Dấu = xảy 2 x+ y = x = =>    xy = −6  y = −2  x = −2  y = A = x2 + y2 Bài 16: Cho x,y hai số thực thỏa mãn: x+ 2y =3 tìm của: HD: A = ( − y ) + y = y − 12 y + x = 3− 2y Từ gt ta có : thay vào Bài 17: Cho x,y hai số thực thỏa mãn: A=x +y x + y − xy = , Tìm max của: HD: x + y − xy = => x + y − xy = => ( x − y ) + x + y = Ta có : => x2 + y ≤ hay A≤8 43 = x + y − xy => x + y = + xy => x + y = + ( x + y ) ≥ mặt khác : x2 + y ≥ => A≥ hay Bài 18: Cho x,y thỏa mãn: x+ y =2, Tìm của: HD: Từ gt ta có : y = 2− x A = x3 + y + xy A = x3 + ( − x ) + x ( − x ) thay vào A ta : 44 Bài 19: Cho số thực x,y thỏa mãn: ( ) ( A = x + y +3 x + y 3 2 x+ y+4=0 ) + 10 xy , Tìm max của: HD: Ta có : x + y = −4 x3 + y = ( x + y ) − xy ( x + y ) = −64 + 12 xy , nên x + y = ( x + y ) − xy = 16 − xy 2 ∈ Bài 20: Cho x, y, z HD: Từ giả thiết=> thay vào R, thỏa mãn: z = − 2x − y , A = ( −64 + 12 xy ) + ( 16 − xy ) + 10 xy 2x + y + z = , Tìm max của: A = xy + yz + zx thay vào A ta : A = xy + y ( − x − y ) + x ( − x − y ) = −2 x − y − xy + x + y Bài 21: Cho x,y,z HD: Từ gt => ∈ R thỏa mãn: z = 6− x− y Bài 22: Cho x,y ∈ S = x+ y +3 x+ y+ z = thay vào R thỏa mãn: Tìm max của: A = xy + yz + 3zx A = xy + y ( − x − y ) + 3x ( − x − y ) x + xy + ( x + y ) + y + 10 = , Tìm max của: HD: Từ gt ta có : x + xy + x + y + y + 10 = (2 y + 7)  y +  ( y + 7) x + 2x  + y + y + 10 − =0 ÷+ 4   => => 2 − ≤ x + y + ≤ => −5 ≤ x + y ≤ −2 2 => => −2 ≤ x + y + ≤ n + np + p = − Bài 23: Cho số thực m,n,p thỏa mãn: 7  x+ y+ ÷ + y − =0 2  3m 2 , Tìm min, max của: A= m+n+ p HD: Từ gt ta có : => => 2n + 2np + p = − 3m => 3m + 2n + p + 2np = (m + n + p + 2mn + 2np + 2mp) + ( 2m + n + p − 2mn − 2mp ) = ( m + n + p) + ( m − p) + ( m − n) ≤ 2 => − ≤ m+n+ p ≤ 45 Bài 24: Cho x,y,z số thực thỏa mãn: x2 + y + z2 = P = x + y + 2z , Tìm min, max của: HD: P = ( x + y + z ) = x + y + z + xy + yz + xz Ta có : , nên ta nhân vào gt : 18 = x + y + z = ( x + y + z + xy + yz + zx ) + ( x + y + z − xy − yz − zx ) 2 2 2 18 = ( x + y + z ) + ( x − y ) + ( x − z ) + ( y − z ) 2 2 => ( x + y + 2z ) ≤ 18 − 18 ≤ x + y + z ≤ 18 2m + 2n + p + 3mn + mp + 2np = Bài 25: Cho số thực m, n, p thỏa mãn: Tìm max của: B = m+n+ p , HD: Từ gt ta có : => 4m + 4n2 + p + 6mn + 2mp + 4np = 3 ( m + n + p + 2mn + 2mp + 2np ) + ( m + n + p − 4mp − 2np ) = 3( m + n + p ) + ( p − m) + ( n − p ) = => Bài 26: Cho x,y,z thỏa mãn: HD: Từ gt=> z = 3− x − y x+ y+z =3 thay vào ( m + n + p ) ≤ => −1 ≤ m + n + p ≤ => , Tìm max của: A = xy + y ( − x − y ) + x ( − x − y ) Bài 27: Cho x,y,z thỏa mãn: x+y+z =3, Tìm max của: HD: Từ gt ta có : => = x − y − xy + 3x + y B = − xy + yz + zx B = − xy + y ( − x − y ) + x ( − x − y ) −4 x − y − 16 xy + y + 12 x =>B= z = 3− x − y A = xy + yz + zx Bài 28: Cho số thực x,y,z thỏa mãn: 2x + 3y − z = A = − xy + yz + zx HD: Từ gt=> z = 2x + 3y − thay vào A = − xy + y ( x + y − ) + x ( x + y − ) Bài 29: Cho số thực x,y,z thỏa mãn: B = 12 xy − yz − zx , Tìm max 2x + y − z = , Tìm max của: HD: 46 Từ gt ta có : z = 2x + 3y − thay vào B = 12 xy − y ( x + y − ) − x ( x + y − ) A = ( x + y ) − 15 xy + x + y = −2 Bài 30: Cho hai số thực x,y thỏa mãn: , tìm của: HD: x + y = ( x + y ) − 3xy ( x + y ) = −8 + xy Từ x + y= -2, ta có : thay vào A = ( −8 + xy ) − 15 xy + = −3 xy − y= - - x thay vào Bài 31: Cho hai số thực x,y thỏa mãn: B = x + y − x − y + x y + xy ( x + y HD: 3 2 2 x + y = −2 ) + 13xy A = −3x ( −2 − x ) − , Tìm B = x + y − x − y + x y + xy ( x + y ) + 13 xy Từ x+y= - 2, ta có: 2 x + y = ( x + y ) − xy  − x y = ( − xy ) − x y   x + y = xy − x + y = − xy , , Thay vào b ta : − ( xy − ) + x y + xy ( − xy ) + 13 xy B = ( − xy ) − x y B = − xy + 24 y = −2 − x => B = x + x 2 , thay Bài 32: Cho hai số thực x,y thỏa mãn: A = x + y − 8( x + y 3 2 x+ y =5 ) + xy + , Tìm max của: HD: Vì x+ y =5 nên x + y = 125 − 15 xy A = 125 − 15 xy − ( 25 − xy ) + xy + Bài 33: Cho hai số x,y thỏa mãn: x+y =5, Tìm max của: HD: ( ) x + y = 25 − xy ( thay vào ) B = x + y − x + y − 20 x + y − x y + xy B = x + y − ( x3 + y ) − 20 ( x + y ) − x y + xy x + y = ( 25 − xy ) − x y x3 + y = 125 − 15xy Vì x+y=5 nên , , 2 2 B = ( 25 − xy ) − x y − ( 125 − 15 xy ) − 20 ( 25 − xy ) − x y + xy Bài 34: Cho hai số x,y thỏa mãn: HD: x + y − = xy ( − xy ) x + y = 25 − xy , Tìm max của: P = xy 47 Từ gt=> x + y − 3xy + x y = => 2 ( x4 − x2 y + y ) + x2 y − xy = => ( x − y ) +  xy − 34 ÷ = 121 16 =>  121   xy − ÷ ≤ 4 16  48 Bài 35: Cho số thực x,y thỏa mãn: của: HD: x + y + 12 xy − x − y − 15 = A = 2x + 3y + Từ gt=> ( 2x ) + ( y ) + 2.2 x.3 y − 2.2 x − 2.3 y + + x = 16 max của: HD: => ( x + y) ( x + y) (x 2 + x = 16 P = x+ y Từ gt ta có: => ( x + y + 1) x + y + z + xy − xz + yz = Bài 36: Cho số thực x,y,z thỏa mãn: => , Tìm max , Tìm + y + xy ) + ( x + y + z + xy − xz + yz ) = + ( x + y + z + xy + yz + zx ) + ( z − xz + x ) = ≤ => − ≤ x + y ≤ Bài 37: Cho số x, y, z thỏa mãn: HD: Từ gt ta có: y = − 3x − z => 3x + y + z = Tìm max của: y = + x + z − x + 12 xz − z p = x2 + y2 + z : P = 10 x + z + 12 xz − x − z + 2 Bài 38: Cho số x, y, z thỏa mãn: x+y+z=1, Tìm max của: HD: A = xy + yz + zx A = xy + y ( − x − y ) + x ( − x − y ) z = 1− x − y Từ gt => thay vào ∈ Bài 39: Cho x, y R, thỏa mãn: x+2y=1, Tìm max của: P = x.y HD: Từ gt=> x = 1− y Bài 40: Cho x,y HD: Từ gt=> ≥ thay vào 0, x+y=1, Tìm min, max của: y = 1− x thay vào Bài 41: Tìm max của: HD: Từ gt => => (x P = y ( 1− 2y ) A = x2 + ( − x ) P = x+ y+z A = x2 + y2 y + z + yz = − , biết: x 2 y + z + yz = − x => x + y + z + yz = + y + z + xy + yz + zx ) + ( x + y + z − xy − zx ) = 49 => ( x + y + z) Bài 42: Cho HD: + ( x − y ) + ( x − z ) = => ( x + y + z ) ≤ 2 2 x + y + xy − 10 x − 14 y + 18 = , Tìm min, max của: S = x+ y x + x ( y − ) + ( y − ) + y − 14 y + 18 − y + 10 y − 25 = Từ gt=> ( x + y − 5) + ( y − y + 1) = => ( x + y − ) ≤ −3 ≤ x + y − ≤ => => Bài 43: Cho a,b,c không âm thỏa mãn: 3a+2c=51 c+5b=21, Tìm max A=a+b+c HD: Cộng theo vế giả thiết ta : b ≥ => a + b + c ≤ Do 3a + 3c + 5b = 72 => ( a + b + c ) = 72 − 2b ≤ 72 72 = 24 Bài 44: Cho a,b,c số khơng âm thỏa mãn: 2a+b=6-3c 3a+4b=3c+4, Tìm E = 2a + 3b − 4c HD: Cộng theo vế ta : Khi đó: Bài 45: Cho  c ≤ a = − c  a + b = =>  =>  b = 3c − c ≥  E = ( − 3c ) + ( 3c − ) − 4c = − c x, y , z ≥ 0, x + y = 2014,3x + z = 3031 A= x+ y+ z HD: Cộng theo vế gt ta có: Bài 46: Cho HD: Ta có: x + y + z = 5045 − y ≤ 5045 ,Tìm max của: a ≥  b ≥ , Tìm GTLN biểu thức : ( x + y + z ) ≤ 5045 => x + y + z ≤ 1009 a+b = 3 y≥0 nên A = ab ( a + b ) a + b = => a + b = − 2ab => A = ab ( − 2ab ) = −2a 2b + 4ab 50 A = − ( a 2b − 2ab + 1) + ≤ Bài 47: Cho x,y thỏa mãn: HD: , Max ( 11x + y + 2015 ) ( x − y + 3) = 11x + y + 2015 = Từ gt ta có : A=2 11x + y + 2015 = => y = TH1: Ta có : TH2: ta có: x − y + = => y = x + , Tìm của: P = xy − x + 2016 x− y+3= 11x + 2015 thay vào P thay vào P x+ y+z =3 Bài 48: Cho số x,y,z thỏa mãn : , Tìm GTLN : HD: B = xy + z ( x + y ) = xy + 3 − ( x + y )  ( x + y ) Ta có : B = xy + yz + zx xy + ( x + y ) − ( x + y ) = − x − y − xy + x + y = Bài 49: Cho HD : Ta có : x + xy + y = = y −  −3  − x + ÷ + ( y − 1) + ≤   , Tìm Min max biểu thức : P = x − xy + y P x − xy + y = x + xy + y 51 ... có: 38 B= Bài 81 : Tìm giá trị lớn biểu thức: HD: B= 3( x + 1) x + x + x+1 = Ta có: x2 + 1> => B = Do 3( x + 1) x ( x + 1) + x + ≤3 x +1 2012 + x x , Đặt x − x + 2012 P= x2 Bài 84 : Cho biểu thức. .. Bài 79: Tìm GTLN biểu thức: HD: P( x) = Ta có : x2 x4 + x2 + = 1 = x2 + + ≥ P( x) x M= Bài 80 : Tìm GTNN biểu thức: HD: x + x + − ( x + 1) + M= Ta có : Đặt =t x+1 , GTLN đạt giá trị x x + 2x + =... Bài 21: Tìm max của: HD : a= Nháp : Có ) ( ) 8x + x2 + 8x + => 4a.x2 + a = 8x + => 4a.x2 − 8x + a − = 4x2 + ∆ '' = 16 − 4a( a − 3) => a = 4; a = −1 − ( 4x − 1)  8x +  −16x2 + 8x − P= − 4÷+ =