Giáo án bồi dưỡng học sinh giỏi toán 8 chuyên đề tính giá trị biểu thức

GIÁO ÁN BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI TOÁN CHUYÊN ĐỀ: CHUYÊN ĐỀ : TÍNH GIÁ TRỊ BIỂU THỨC A LÝ THUYẾT Chia sẻ cá nhân : - Chuyên đề tính giá trị biểu thức chuyên đề hay địi hỏi người học phải có nhìn nhận nhanh mối qua hệ biểu thức điều kiện đầu - Có nhiều phương pháp tùy đối tượng bài, Xong chương trình lớp 8, Tài Liệu Tốn xin phép vài phương pháp hay giặp sau : + Biến đổi biểu thức cho có chứa nhân tố điều kiện để khử + Nếu biểu thức có nhiều mẫu, ta phân tích mẫu thành nhân tử quy đồng + Nếu biểu thức cần tính cịn thiếu so với giả thiết, ta nhân thêm chia xuống cho phù hợp +Đối với tốn có lũy thừa cao, thường giá trị ẩn nằm phạm vi 4a + b = 5ab Bài 1: Cho : HD : −1;0;1 giá trị biến 2a > b > , Tính giá trị : ab 4a − b 2 4a + b = 5ab ⇔ 4a − 4ab − ab + b = ⇔ ( 4a − b ) ( a − b ) = Từ : TH 1: a − b = ⇔ 4a = b ( mâu thẫn 2a > b) a − b = ⇔ a = b => A = TH 2: 3a + 3b = 10ab Bài 2: Cho HD: Từ: A= a2 = 2 4a − a b>a>0 A= , Tính a −b a+b 3a + 3b = 10ab ⇔ 3a − 9ab − ab + 3b = ⇔ ( a − 3b ) ( 3a − b ) = TH 1: a − 3b = ⇔ a = 3b ( mâu thuẫn b > a > 0) 3a − b = ⇔ 3a = b => A = TH 2: x + y = 20 xy ( y < 3x < ) Bài 3: Cho HD: Từ: A= , Tính 3x − y 3x + y x + y = 20 xy ⇔ ( x − y ) ( x − y ) = x = y => A = TH1: TH2: 9x = y Bài 4: Cho HD: 3x − x = 3x + x (Mâu thuẫn 2y < 3x < 0) x − y = xy, ( y ≠ 0, x + y ≠ ) Từ a − 3a −1 = a + 3a A= ,Tính x− y x+ y x − y = xy ⇔ x − xy − y = ⇔ ( x − y ) ( x + y ) = x − y = ⇔ x = y => A = TH1: TH2: x+ y =0 2y − y = 2y + y ( mâu thuẫn x + y # ) Bài 5: Cho HD: Từ: x> y>0 x + y = xy A= , Tính x+ y x− y x + y = xy ⇔ x − xy + y = ⇔ ( x − y ) ( x − y ) = 2y + y =3 2y − y x = y => A = TH1: 2x = y TH2: Bài 6: Cho HD: 3x − y = 3z Từ gt ta có: Bài 7: Cho HD: xy = −1 P= Ta có: Bài 8: Cho HD: (Mâu thuẫn vì: x > y > 0) 2x + y = 7z A= , Tính x − xy x2 + y2 , x, y ≠ 3 x − y = z x = 2z z − 12 z −8 =>  => A = =  z + z 13 2 x + y = z  y = 3z P= , Tính 1 + y − xy x − xy −( x − y) 1 −x + y + = = =1 y ( y − x ) x ( x − y ) xy ( x − y ) −1( x − y ) 3y − x = A= , Tính giá trị y − x = => x = y − => A = Ta có: P= x 2x − 3y + y−2 x−6 y − ( y − 6) − y + = + = 12 y−2 3y − − x y z − + − xy + x + yz − y + xz + z − Bài 9: Tính biểu thức : với x.y.z =1 mẫu khác HD : Bài 10: Cho x, y, z khác x- y- z =0, Tính giá trị của: z  x  y  B =  − ÷ − ÷ + ÷ x  y  z  HD : A= Bài 11:Tình giá trị biểu thức: HD : y > x > 0, Bài 12: Cho HD : x2 + y2 10 = xy P= Bài 13: Cho biểu thức: a+b a −b với b> a> 2a + 2b2 = 5ab M= , tính giá trị biểu thức: 2a − 5− a  1 + , a ≠ ± ÷ 3a − 3a +  3 x− y x+ y , Tính giá trị P biết: 10a2 + 5a = HD: Ta có: P= ( 2a − 1) ( 3a + 1) + ( 5− a) ( 3a − 1) ( 3a − a) ( 3a + 1) Mặt khác P= = 6a2 + 2a − 3a − 1+ 15a − 5− 3a2 + a ( 3a) 10a2 + 5a = => 9a2 = − a2 − 5a + − 12 = 3a2 + 15a − 9a2 − Thay vào P ta : 3a2 + 15a − = −3 − a2 − 5a + A= Bài 14: Cho abc=2015, Tính 2015a b c + + ab + 2015a + 2015 bc + b + 2015 ac + c + HD : A= = a 2bc b c + + ab + a bc + abc bc + b + abc ac + c + a 2bc b c ac + c + + + = =1 ab ( + ac + c ) b ( c + + ac ) ac + c + ac + c + B= Bài 15: Cho abc=2, Tính HD : a b 2c + + ab + a + bc + b + ac + 2c + B= a b abc a b abc + + = + + =1 ab + a + abc bc + b + ac + abc + abc a ( b + + bc ) bc + b + ac ( + bc + b ) A= Bài 16: Cho abc=1, Tính HD : A= a b c + + ab + a + bc + b + ac + c + a 2bc b c a 2bc b c + + = + + =1 ab + a bc + abc bc + b + abc ac + c + ab ( + ac + c ) b ( c + + ac ) ac + c + B= Bài 17: Cho abc= - 2012, Tính HD : B= a b 2012c + − ab + a − 2012 bc + b + ac − 2012c − 2012 a b abc a b abc + + = + + =1 ab + a + abc bc + b + ac + abc + abc a ( b + + bc ) bc + b + ac ( + bc + b ) Bài 18: Chứng minh xyz=1 HD : VT = 1 + + =1 + x + xy + y + yz + z + zx xyz xyz xyz xyz + + = + + = = VP xyz + x yz + xy xyz + y + yz + z + zx xy ( z + xz + 1) y ( xz + + z ) + z + zx Bài 19: Cho xyz=2010, CMR: HD : VT = 2010 x y z + + =1 xy + 2010 x + 2010 yz + y + 2010 xz + z + x yz y z + + =1 xy + x yz + xyz yz + y + xyz xz + z + Bài 20 : Tính giá trị biểu thức sau biết : P= abc = 2016 2bc − 2016 2b 4032 − 3ac − + 3c − 2bc + 2016 3− 2b + ab 3ac − 4032 + 2016a P= Bài 21: Tính GTBT HD : x + 2xy + y + 2yz + z + 2zx + + + x + xy + xz + y + yz + yx + z + zx + zy + biết xyz = P= yz( x + 2xy + 1) yz( x + xy + xz + 1) + xz( y + 2yz + 1) xz( y + yz + xy + 1) + xy( z + 2zx + 1) xy( z + zx + xy + 1) = ( 1+ y) + y( 1+ z) + 1+ z + z( 1+ x) + 1+ x + x( 1+ y) ( 1+ y) ( 1+ z) ( 1+ z) ( 1+ x) ( 1+ x) ( 1+ y) = y 1 z x + + + + + + 1+ y 1+ z 1+ x 1+ x 1+ z 1+ y 1+ x = y + 1+ z 1+ x + + =3 y + 1+ z x + Bài 22: Cho HD : a 10 = b , Tính 16a − 40ab A= 8a − 24ab 100 10 50 16 b − 40 b a 10 10 = => a = b => A = = =5 100 10 10 b 3 .b − 24 .b 9 a+b+c = a + b3 + c = 3abc Bài 23: Cho a, b, c khác đôi , CMR: HD : a + b = −c ⇔ ( a + b ) = −c ⇔ a + b3 + 3ab ( a + b ) = −c3 ⇔ a + b3 + c = 3abc Ta có : a + b3 + c3 = 3abc a+b+c = Bài 24: Cho a, b, c khác đôi , CMR: HD : a + b + c = ( a + b + c ) ( a + b + c − ab − bc − ac ) + 3abc Ta có : a + b3 + c3 = 3abc => ( a + b + c ) ( a + b + c − ab − bc − ca ) = Vì 2 a + b + c − ab − bc − ca = ⇔ ( a − b ) + ( b − c ) + ( c − a ) = Mà ( Mâu thuẫn a≠b≠c ) Nên a+b+c = Bài 25: Cho HD : a + b + c = 3abc, ( a, b, c ≠ ) , Tính  a   b  c  P = 1 + ÷1 + ÷1 + ÷  b   c  a  Ta có : a + b + c = ( a + b + c ) ( a + b + c − ab − bc − ca ) + 3abc a + b3 + c = 3abc Nên a + b + c = => P = TH1 : TH2 : , Mà a + b b + c a + c −c −a −b = = −1 b c a b c a a + b + c − ab − bc − ca = => a = b = c => P = ( + 1) ( + 1) ( + 1) = Bài 26: Cho a,b,c khác đôi a+b b+c c+a = = c a b , Tính  a   b  c  B = 1 + ÷1 + ÷1 + ÷  b   c  a  HD : Từ gt a + b b + c c + a 2( a + b + c) = = = c a b a+b+c a + b + c = => B = TH1 : Nếu a + b b + c a + c −c −a −b = = −1 b c a b c a a + b + c ≠ => gt = => B = TH2 : a b + b c + c a = 3a b c 3 Bài 27: Cho HD : Đặt 3 3 2 , Tính a + b b + c a + c 2c 2a 2b = =8 b c a b c a  a   b  c  A = 1 + ÷1 + ÷1 + ÷  b   c  a  ab = x a +b b+c c +a y + z x + z x + y  3 = bc = y => x + y + z = xyz => x + y + z = => A = b c a bc ac ab ac = z  = − ab −bc − ac = −1 bc ac ab Hoặc : x = y = z => a = b = c => A = Bài 28: Cho a, b, c số thỏa mãn: a +b−c b+c −a c + a −b = = c a b Tính  a   b  c  A = 1 + ÷1 + ÷1 + ÷  b   c  a  HD : gt=> T a +b −c b +c −a c + a −b a +b +c = = = c a b a +b+c a + b + c = => A = TH1 : TH2 : a+b b+c a +c = −1 a c a a + b + c ≠ => gt = => a + b = 2c, b + c = 2a, c + a = 2b => A = Bài 29: Cho x, y hai số thỏa mãn: HD : Cộng theo vế gt=> ax + by = c  bx + cy = a cx + ay = b  , CMR : a + b3 + c = 3abc ( a + b + c ) x + ( a + b + c ) y = a + b + c => ( a + b + c ) ( x + y − 1) = TH1: TH2: Bài 30: Cho HD: Từ gt a + b + c = => a + b3 + c = 3abc x + y = => a = b = c > a + b3 + c3 = 3abc a + b3 + c = 3abc , Tính giá trị a + b2 + c ( a + b + c) 3a => a = b = c => N = = 9a x + y + z = 3xyz Bài 31: Cho HD: a+b+c ≠ N= A= , Rút gọn xyz ( x + y) ( y + z ) ( z + x) TH 1: x + y + z = => A = Từ gt=> TH : x = y = z => A = xyz = −1 − xyz x3 = x.2 x.2 x A = ( a + b − 2c ) + ( b + c − 2a ) + ( c + a − 2b ) Bài 32: Rút gọn : HD: 3 a + b − 2c = x, b + c − 2a = y, c + a − 2b = z Đặt: A = ( x + y + z ) ( x + y + z − xy − yz − zx ) = ( a + b − 2c + b + c − 2a + c + a − 2b ) ( x + y + z + ) = Bài 33: Cho a, b, c khác đôi A= 1 + + =0 a b c , Rút gọn: 1 + + a + 2bc b + 2ac c + 2ab HD: Ta có: 1 + + = ⇔ ab + bc + ca = => a + 2bc = a + bc − ab − ca = ( a − b ) ( a − c ) a b c Tương tự: b + 2ac = ( b − a ) ( b − c ) , c + 2ba = ( c − a ) ( c − b ) A= Khi đó: + + ( a − b) ( a − c) ( b − a) ( b − c ) ( c − a ) ( c − b) Bài 34: Cho a, b, c đôi khác P= 1 1 + + =0 a b c = c−b+a −c +b−a =0 ( a − b) ( b − c) ( c − a) , Tính 1 + + a − 2bc b + 2ac c + 2ab HD : Bài 35: Cho a,b,c khác đôi B= 1 + + =0 a b c , Rút gọn: bc ac ab + + a + 2bc b + 2ac c + 2ab HD: Theo 26 => B= ab ( c − b ) + ac ( a − c ) + ab ( b − a ) bc ac ab + + = ( a − b) ( a − c ) ( b − a) ( b − c ) ( c − a ) ( c − b) ( a − b) ( b − c) ( c − a) Phân tích tử => B Bài 36: Cho a,b,c khác đôi C= 1 + + =0 a b c ,Rút gọn: a2 b2 c2 + + a + 2bc b + 2ac c + 2ab HD: Theo 26 => C = a ( c − b ) + b2 ( a − c ) + c ( b − a ) a2 b2 c2 + + = ( a − b) ( a − c) ( b − c) ( b − a) ( c − a) ( c − b) ( a − b) ( b − c) ( c − a) Phân tích tử =>C ≠ Bài 37: Cho a,b,c 0, HD: Từ gt = 1 + + =0 a b c A= , Tính bc ac ab + + a b2 c 1 1 1 + + = => + + = a b c a b c abc A= abc abc abc  1 1 + + = abc  + + ÷ = abc =3 a b c abc a b c  Khi đó: Bài 38 A= : Cho x,y,z đôi khác 1 + + =0 x y z , Tính yz xz xy + + x + yz y + xz z + xy HD: ≠ Bài 39: Cho a+b+c=0 a,b,c 0, Rút gọn A= ab bc ac + 2 + 2 2 a +b −c b +c −a c + a − b2 HD: 10 Cộng theo vế gt tacó => 2a + 2b + 2c = 2ax + 2by + 2cz ⇔ a + b + c = ax + by + cz = ax + 2a = a ( x + ) a = x+2 a+b+c b = y+2 a+b+c , Tương tự: c = z+2 a+b+c , a +b −c b +c − a c + a −b + + =1 2ab 2bc 2ac 2 2 2 2 Bài 129: Cho số tổng hai số HD: (a Từ gt ta có: (a 2 , CMR ba số a,b,c có + b − c ) c + ( b + c − a ) a + ( c + a − b ) b = 2abc + b − c + 2ab ) c + ( b + c − a − 2bc ) a + ( c + a − b − 2ac ) b = ( a + b + c) ( a + b − c) c + ( b − c + a) ( b − c − a) a + ( c − a + b) ( c − a − b) b = ( a + b − c) ( a + c − b) ( b + c − a ) = c = a+b a+c =b hoặc: b+c = a bc ( y − z ) + ca ( z − x ) + ab ( x − y ) A= ax + by + cz 2 ax + by + cz = 2 Bài 130: Cho , Rút gọn HD: ( ax + by + cz ) = ⇔ a x + b2 y + c z = −2 ( abxy + bcyz + acxz ) Từ Xét mẫu số: bc ( y − yz + z ) + ac ( x − xz + z ) + ab ( x − xy + y ) = bcy + bcz + acx + acz + abx + aby + ( a x + b y + c z ) = c ( ax + by + cz ) + b ( ax + by + cz ) + a ( ax + by + cz ) = ( a + b + c ) ( ax + by + cz ) A= Khi đó: Bài 131: Cho ( a + b + c ) ( ax + by + cz ) ax + by + cz x+ y+z =0 B= , Rút gọn: = a+b+c x2 + y + z ( y − z) + ( z − x) + ( x − y ) 2 37 HD: Ta có: ( x + y + z) = x + y + z + ( xy + yz + zx ) = ⇔ x + y + z = −2 ( xy + yz + zx ) Khi đó: Mẫu = ( x + y + z ) − ( xy + yz + zx ) = ( x + y + z ) + x + y + z = ( x + y + z ) B= Vậy ≠ Bài 132: Cho số thực a,b,c,x,y,z thỏa mãn: a,b,c x4 + y + z x4 y z = + + a + b4 + c a b4 c , Tính P = x + y + z1945 + 2017 HD: Từ gt=> nên  x4 x4   y4 y4   z4 z4  − + − + + =0  4 4 ÷  4 4 ÷  4 4 ÷ a + b + c a a + b + c b a + b + c c       x = y = z = => P = 2017 Bài 133: Cho a,b,c ba số thực a 2015 + b 2015 + c 2015 = ≠ thỏa mãn: 1 1 + + = a b c a+b+c , CMR: a 2015 +b 2015 + c 2015 HD: Từ gt ta có: 1 b+c b+c 1 1 − +  + ÷= ⇔ + =0 a a +b+c b c  a ( a + b + c) bc b + c = => b = −c => TH1: a 2015 + b 2015 + −1 = 2015 2015 2015 b a + b − b 2015 1 + = ⇔ bc + a + ab + ac = ⇔ ( a + b ) ( a + c ) = a + ab + ac bc TH2: => giống TH1: Bài 134: Cho a,b,c thỏa mãn: a3 b3 c3 + + = 1006 a + ab + b b + bc + c c + ca + a , 38 a + b3 b3 + c c3 + a3 + + a + ab + b b + bc + c c + ca + a M= Tính giá trị biểu thức: HD : M = 2( a + b + c) Bài 135: Cho x,y,z thỏa mãn: , CMR : HD: x ≠ y, xyz ≠ 0, x ( y − xz ) ( − yz ) = y ( x − yz ) ( − xz ) 1 + + = x+ y+z x y z (x Từ GT ta có: − yz ) y ( − xz ) = x ( − yz ) ( y − xz ) 2 x y − x yz − y z + xy z = xy − x z − x yz 2 2 x y − x yz − y z + xy z − xy + x z + xy z − x yz = 2 2 2 xy ( x − y ) − xyz ( yz + y − xz − x ) + z ( x − y ) = ( x − y )  xy − xyz ( x + y + z ) + xz + yz  = xy + xz + yz − xyz ( x + y + z ) = Do x # y nên Bài 136: Cho ba số dương a,b,c thỏa mãn : 1 a + b + c = , a + b + c + ab + bc + ca = P= hay xy + xz + yz = xyz ( x + y + z ) , Tính giá trị biểu thức: a b c + + b+c c +a a +b (b x= Bài 137: Cho + c2 − a2 ) 2bc ( a − ( b − c) ) ;y= ( ( b + c) − a ) 2 2 , Tính giá trị biểu thức M = x + y + xy HD: 39 ( b + c) x= M= − a2 2bc Ta có: Khi M = y( x + 1) + x = ( b + c + a) ( b + c − a) − − a= 2bc y= ( a − b + c) ( a + b − c) ( b + c − a) ( b + c + a) ( a − b + c) ( a + b − c) ( b + c + a) ( b + c − a) + ( b + c + a) ( b + c − a) − 2bc 2bc ( b + c − a) ( b + c + a) ( a − b + c) ( a + b − c) + ( a + b + c) ( b + c − a) − 1= 4bc − 1= 2bc Bài 138: Cho biết HD : 2bc x =− x + x +1 Từ gt ta có : 2bc , Tính độ dài biểu thức : x −2 x + x + −3 −3 −5 = => = => x + + = => x + = x + x +1 x x x 2 x4 + x2 + 1 1 25 21  = x2 + + =  x + ÷ −1 = −1 = x x x 4  Nên x2 x4 + x2 + Vậy x2 = x + x + 21 x1 = 2, x2 = (Hoặc ta giải phương trình đầu x − yz y − xz = x ( − yz ) y ( − xz ) Bài 139: CMR: xy+xz+yz=xyz(x+y+z) HD: Từ GT ta có: (x 2 thay vào) với x # y, xyz # 0, yz#1, xz#1, − yz ) y ( − xz ) = x ( − yz ) ( y − xz ) 2 x y − x yz − y z + xy z = xy − x z − x yz 2 2 2 2 x y − x yz − y z + xy z − xy + x z + xy z − x yz = xy ( x − y ) − xyz ( yz + y − xz − x ) + z ( x − y ) = ( x − y )  xy − xyz ( x + y + z ) + xz + yz  = Do x # y nên xy + xz + yz − xyz ( x + y + z ) = hay xy + xz + yz = xyz ( x + y + z ) 40 A= Bài 140: Cho x>y>0, so sánh HD: A= A= ( x − y) ( x + y) ( x + y) , Mà x− y x+ y B= x2 − y2 x2 + y2 x + y + xy > x + y , x − y > nên x2 − y2 x2 − y2 < xy + x + y x + y Vậy A = + xyz xyz xyz yz xz xy ( p + m) − ( n + p) = ( m + n) − ( p + m) = ( n + p ) − ( m + n) = xy − xz yz − xy xz − yz A= Bài 142: Tính giá trị biểu thức: a, = ĐPCM x − y − z + yz x + y − z : x + xz − y − yz x + y + z 2 với x =1 , y = , z = 3 3 HD: A= ( x + y − z) ( x − y + z) : x + y − z = x − y + z ( x − y) ( x + y + z) x + y + z x − y Rút gọn biểu thức Bài 143: Cho số a,b thỏa mãn hệ thức: a − 3a + 5a − 2011 = 0, b3 − 3b + 5b + 2005 = , Tính a+b HD: Từ điều kiện ta có: ( a − 1) + ( a − 1) − 2008 = ( b − 1) + ( b − 1) + 2008 = 41 Cộng theo vế ta được: ( a − 1) => 2 + ( b − 1) + ( a + b − ) = => ( a + b − ) ( a − 1) − ( a − 1) ( b − 1) + ( b − 1)  + ( a + b − ) =   ( a + b − ) ( a − 1) ( a − 1) = 2 − ( a − 1) ( b − 1) + ( b − 1) +  =  − ( a − 1) ( b − 1) + ( b − 1) + 2 1 2 ( a − b ) + ( a − 1) + ( b − 1) + > 2 nên a+b - 2=0=> a+b=2 Bài 144: Cho số x, y thỏa mãn đẳng thức: Tính giá trị biểu thức: HD: Từ , Vì 5x2 + 5y2 + 8xy + 2x − 2y + = ( ) M = a3 + b3 + 3ab a2 + b2 + 6a2b2 ( a + b) 5a2 + 5b2 + 8ab + 2a − 2b + = ( ) ( ) 4a2 + 8ab + 4b2 + a2 + 2a + + b2 − 2b + =  a = −1 2 4( a + b) + ( a + 1) + ( b − 1) = =>  b = Thay vào biểu thức M ta được: Bài 145: Cho x, y, z khác HD: Vì x − y− z = x− z = y  x − y − z = =>  y − x = − z z + y = x  , Tính z  x  y  B =  − ÷ − ÷ + ÷ x  y  z  B= , thay vào B ta được: y −z x = −1 x y z a +b −c b +c −a c + a −b − − =0 ab bc ca Bài 146: Cho số a,b,c khác thỏa mãn: CMR: ba số a,b,c có số tổng hai số HD: Quy đồng ta được: , c( a + b − c) − a( b + c − a) − b( c + a − b) = 42 ( ) ca + bc − c2 − ab − ac + a2 − bc − ab + b2 = a2 + b2 − c2 − 2ab = a = b + c ( a − b) − c2 = ( a − b − c) ( a − b + c) =  b = a + c Bài 147: Cho HD: Ta có: 1 + + =k a b c a+b+c=abc, Tính k để  1 1  1 1  + + ÷+ 2 ab + bc + ac ÷ = k a b c    , Để 1 + + =k a b c 1 + + =k a2 b2 c2 ta có:  k = −1  a+ b+ c  k + 2 = k2 k2 − k − =  ÷  abc  k = Q= Bài 147: khác x y 2z + + xy + x + yz + y + xz + z + với xyz=2 mẫu thức Bài 148: Tính tổng: x2 y2 z2 A= 2 + + y + z − x2 z + x2 − y x2 + y − z a, xyz=1 mẫu thức Bài 149: n4 + a, CMR: P= , x y z − + − xy + x + yz − y + xz + z − với  1  1 =  ( n − 1) n +   n( n + 1) +   2  2 b, Áp dụng câu a, thu gọn: HD:         + ÷ + ÷ + ÷  13 + ÷      A=   1  1  1  1  + ÷ + ÷ + ÷  14 + ÷         1 1 1  1 n + = n4 + n2 + − n2 =  n2 + ÷ − n2 =  n( n − 1) +   n( n + 1) +  4 2 2  2   a) Ta có: 43 b) Áp dụng:  1  1  1  1  1  1  0.1+ ÷ 1.2 + ÷ 2.3+ ÷ 3.4 + ÷  12.13+ ÷ 13.14 + ÷       = A=  = 421  1  1  1  1  1  1  1.2 + ÷ 2.3+ ÷ 3.4 + ÷ 4.5+ ÷  13.14 + ÷ 14.15+ ÷ 14.15+         Bài 150: Chứng minh với ba số a, b, c đơi khác : a3 b3 c3 + + = a+ b+ c ( a − b) ( a − c) ( b − c) ( b − a) ( c − a) ( c − b) HD: Ta có: VT = a3 ( c − b) + b3 ( a − c) + c3 ( b − a) ( a − b) ( b − c) ( c − a) = ( a − b) ( b− c) ( c − a) a3 ( c − b) − b3 ( b − a) − b3 ( c − b) + c3 ( b − a) ( a − b) ( b − c) ( c − a) ( c − b) ( a − b) ( a = = a3 ( c − b) + b3  − ( b − a) − ( c − b)  + c3 ( b − a) ) ( c − b) ( a − b ) + ( b − a) ( c = ( a − b) ( b − c) ( c − a) ( + ab + b2 + ( b − a) ( c − b) c2 + bc + b2 ( a − b) ( b − c) ( c − a) 3 − b3 ) ) = ( a − b) ( b − c) ( c − a) ( a + b + c) ( a − b) ( b − c) ( c − a) = a+ b+ c Bài 151: Chứng minh : Nếu dương a= b= c= d HD: Từ: ( a4 + b4 + c4 + d4 = 4abcd ) ( a,b,c,d số ) ( ) a4 + b4 + c4 + d4 = 4abcd => a4 + b4 − 2a2b2 + c4 + d4 − 2c2d2 + a2b2 + c2d2 − 2abcd =  a2 = b2 2  a2 − b2 + c2 − d2 + 2( ab − cd) = => c2 = d2 a = b = c = d  ab = cd  ( ) ( ) 44 x1 + Bài 153: Chứng minh : x1 = x2 = x3 = = xn : 1 1 = x2 + = x3 + = = xn + x2 x3 x4 x1 , x1.x2.x3 xn = HD: x1 − x2 = Từ giả thiết ta có: 1 x2 − x3 − = x3 x2 x2.x3 x2 − x3 = Tương tự : ta được: (x −x )(x 2 − x3 ) ( xn − x1) = x3 − x4 x3.x4 , xn − x1 = ,…, x1 − x2 x1.x2 ,, Xét tích theo vế ( x − x ) ( x − x ) ( x − x ) ( x − x ) ( x x ) ( x x ) ( x x ) ( x x ) 3 2 n n 1 1 2   ( x1 − x2 ) ( x2 − x3 ) ( xn − x1) ( x1 − x2 ) 1− =0 x x x x x x x x ( ) ( ) ( ) ( )  2 n 1   ( x1 − x2 ) ( x2 − x3 ) ( xn − x1) ( x1 − x2 ) =  x1 = x2 = x3 = = xn   ( x1.x2.x3 xn ) =  x1.x2.x3 xn =  Bài 154: Chứng minh a, b, c số thực thỏa mãn: a + b + c = abc HD: , 1 + + =2 a b c 1 + + =2 a2 b2 c2 Từ:  1 1  1 1  a+ b+ c  1  a + b + c ÷ = + + + 2 ab + bc + ca ÷ = A + 2 abc ÷ = => A = a b c       Bài 155: Cho HD: Vì a + b + c = 2p , CMR: 2bc + b2 + c2 − a2 = 4p( p − a) a + b + c = 2p b + c = 2p − a ( b + c) = ( 2p − a) b2 + c2 + 2bc = 4p2 − 4ap + a2 2 45 2bc + b2 + c2 − a2 = 4p( p − a) Bài 156: Cho HD: x + y = a, x2 + y2 = b, x3 + y3 = c , CMR: a3 − 3ab + 2c = x + y = a => ( x + y) = a2 => x2 + y2 + 2xy = a2 => b + 2xy = a2 => xy = Vì ( x + y) Và Bài 157: Cho HD: Ta có: a2 − b  a2 − b  3 = x3 + y3 + 3xy( x + y) = a3 c + 3 ÷.a = a a − 3ab + 2c =   a + b + c = 0,a2 + b2 + c2 = ( a + b + c) => ab + bc + ca = , Tính giá trị của: M = a4 + b4 + c4 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2bc + 2ca = => 2( ab + bc + ca) = −1 −1 , Bình phương tiếp được: a2b2 + b2c2 + c2a2 + 2abc( a + b + c) = 1 => a2b2 + b2c2 + c2a2 = 4 Mà (a +b +c ) 2 2 ( ) 1 = => a4 + b4 + c4 + a2b2 + b2c2 + c2a2 = => M + = 1=> M = Bài 158: Cho a, b, c đôi khác thỏa mãn: ( a + b + c) = a2 + b2 + c2 , CMR: a2 b2 c2 + + =1 a2 + 2bc b2 + 2ac c2 + 2ab HD: Từ GT ta có: Nên ab + bc + ca = a2 + 2bc = a2 + bc + bc = a2 + bc − ab − ca = ( a − b) ( a − c) Tương tự ta có:  b + 2ac = ( b − a) ( b − c)   c + 2ab = ( c − a) ( c − b) , Thay vào ta được: 46 a2 ( c − b) + b2 ( a − c) + c2 ( b − a) a2 b2 c2 VT = + + = ( a − b) ( a − c) ( b − c) ( b − a) ( c − a) ( c − b) ( a − b) ( b − c) ( c − a) Phân tích tử thành: Bài 159: Cho HD: Xét 1 + + =0 a b c ( a − b) ( b − c) ( c − a) M= , Tính giá trị của: b+ c c + a a+ b + + a b c  b+ c   c + a   a+ b  a+ b+ c a+ b+ c a+ b+ c M + 3=  + 1÷+  + 1÷+  + 1÷ = + + a b c  a   b   c   1 1 M + = ( a + b + c)  + + ÷ = => M = −3  a b c Bài 160: Cho HD: Xét a b c + + =1 b+ c c + a a+ b , CMR: a2 b2 c2 + + =0 b+ c c + a a + b ( a + b + c)  b +a c + c +b a + a +c b ÷ = ( a + b + c) ,   với a+ b+ c ≠  a2 b2 c2  ab ac ab bc ac bc = + + + + + + + = a+ b+ c ÷+  b+ c c + a a+ b c + a a+ b b+ c a + b b+ c c + a  c( a + b) a( b + c) b( c + a)  A+  + +  = a + b + c => A = b+ c c + a   a + b A= Bài 161: Cho HD: a.x + b.y + c.z = , Rút gọn: a.x2 + b.y2 + c.z2 bc( y − z) + ac( x − z) + ab( x − y) 2 = bc( y − z) + ac( x − z) ( x − y) + ( y − z)  + ab( x − y) ( x − y) Mẫu thức = bc( y − z) + ac ( x − z) ( x − y) + ac ( x − z) ( y − z) + ab( x − y) 2 = c( y − z)  b( y − z) + a( x − z)  + a( x − y)  c ( x − z) + b( x − y)  = c( y − z) ( by − bz + ax − az) + a( x − y) ( cx − cz + bx − by) 47 = c( y − z) ( by − bz + ax − az) + a( x − y) ( cx − cz + bx − by) Mà  ax + by = −cz ax + by + cz = =>   ax = −by − cz (1) Thay vào (1) ta được: (1) = c( y − z) ( − az − bz − cz) + a( x − y) ( ax + bx + cx) = −cz( y − z) ( a + b + c) + ax( x − y) ( a + b + c) = ( a + b + c)  ax2 − axy − cyz + cz2  ( ) = ( a + b + c) ax2 + cz2 − axy − cyz Mà ax + by + cz = => axy + by2 + cyz = => − axy − cyz = by2 được: ( (2) = ( a + b + c) ax2 + by2 + cz2 Bài 162: Chứng minh nếu: ( x + 1) + ( y + 1) + ( z + 1) (2) 3 thay vào (2) ta ) x + y + z = −3 thì: = 3( x + 1) ( y + 1) ( z + 1) HD: Vì x + y + z = −3 => ( x + 1) + ( y + 1) + ( z + 1) = => a + b + c = => a3 + b3 + c3 = 3abc ( x + 1) + ( y + 1) + ( z + 1) 3 Bài 163: Cho HD: Xét , Đặt  x + 1= a   y + 1= b  z + 1= c  hay = 3( x + 1) ( y + 1) ( z + 1) a b c a + b + c = 0, x + y + z = 0, + + = x y z ( x + y + z) ( ax + by + cz) = => ( ax , CMR: a.x2 + by2 + cz2 = ) + by2 + cz2 + ( bxy + cxz + axy + cyz + axz + byz) = A + xy( a + b) + yz( b + c) + xz( a + c) = => A − cxy − ayz − bxz = A − ( ayz + bxz + cxy) = (1) 48 Mà a b c + + = => ayz + bxz + cxy = x y z Bài 164: Cho HD: Xét => + a b c + + =0 b− c c − a a− b A= Thay vào (1) ta a , CMR: ( b − c) + b ( c − a) + c ( a − b) =0  1  a b c   b − c + c − a + a − b ÷ b − c + c − a + a − b ÷ =    a ( b − c) a + b c + + + b2 ( b − c) ( c − a) ( b − c) ( a − b) ( c − a) ( b − c) ( c − a) + b + c ( a − b) ( b − c) ( a − b) ( c − a) ( a − b) => A + a 2 + c ( c − a) ( a − b) =0 b( a − b) + c( c − a) + a( a − b) + c( b − c) + a( c − a) + b( b − c) ( a − b) ( b − c) ( c − a) =0 => A + = => A = Bài 165: Cho HD: Từ: x = x + x+ , Hãy tính giá trị biểu thức: x −2 x2 + x + −3 = => = x x2 + x + x+ , hay −3 −5 + 1= => x + = x x 2  x4 + x2 + 1 21 => = x + + 1=  x + ÷ − = x x x  , x2 = x + x + 21 Bài 166: Cho số a, b, c thỏa mãn hệ thức sau: Tính a+b HD: Từ điều kiện ta có: Và ( b − 1) ( a − 1) + 2( a − 1) − 2008 = + 2( b − 1) + 2008 = x2 x4 + x2 +  a − 3a + 5a − 2011 =   b − 3b + 5b + 2005 = , (1) (2) 49 Cộng theo vế ta : ( a − 1) + ( b − 1) + ( a + b − 2) = ( a + b − 2) ( a − 1) − ( a − 1) ( b − 1) + ( b − 1) 2 2  + 2( a + b − 2) =  2 ( a + b − 2)  ( a − 1) − ( a − 1) ( b − 1) + ( b − 1) + 2 =   Vì 2 1 2 = a − b + a − + b − + 2> ( ) ( ) ( ) a − − a − b − + b − + ( ) ( )( ) ( ) 2 Nên a + b − = a + b = Bài 167: Chứng minh nếu: thì: x2 − yz y2 − xz = ,( x ≠ y) , xyz ≠ 0, yz ≠ 1, xz ≠ x( 1− yz) y( 1− xz) , xy + xz + yz = xyz( x + y + z) HD: Từ GT ( ) ( ) => x2 − yz y( 1− xz) = x( 1− yz) y2 − xz x2y − x3yz − y2z + xy2z2 = xy2 − x2z − xy3z + x2yz2 x2y − x3yz − y2z + xy2z2 − xy2 + x2z + xy3z − x2yz2 = ( ) ( ) xy( x − y) + xyz yz + y2 − xz − x2 + z x2 − y2 = xy( x − y) − xyz( x − y) ( x + y + z) + z( x − y) ( x + y) = ( x − y)  xy − xyz( x + y + z) + xz + yz = Do x − y ≠ => xy + xz + yz − xyz( x + y + z) = Hay xy + xz + yz = xyz( x + y + z) x( m+ n) = y( n + p) = z( p + m) Bài 168: Cho khác 0, CMR : , x, y, z số khác m− n n− p p− m = = x( y − z) y( z − x) z( x − y) HD : 50 Vì => = = xyz ≠ x( m+ n) xyz = x( m+ n) = y( n + p) = z( p + m) y( n + p) xyz = z( p + m) xyz , hay m+ n n + p p + m = = yz xz xy ( p + m) − ( n + p) = ( m+ n) − ( p + m) = ( n + p) − ( m+ n) xy − xz yz − xy xz − yz m− n n= p p− m = = x( y − z) y( z − x) z( x − y) A= Bài 169: Rút gọn: HD: Ta có: xy + 2x + yz + 2y + zx + 2z + + + xy + x + y + yz + y + z + zx + z + x + xy + 2x + ( xy + x + y + 1) + ( x − y) x− y x y = = 1+ = 1+ − xy + x + y + xy + x + y + x + y+ ( x + 1) ( y+ 1) yz + 2y + y z = 1+ − yz + y + z + y+ z + , Cộng theo vế ta A=3 (x +y +z ) Bài 170: Chứng minh rằng: HD: Ta có: zx + 2z + z x = 1+ − zx + z + x + z+ x+ 2 ( = x4 + y4 + z4 x + y + z = => x = − ( y + z) => x2 =  − ( y + z)  ( ) , biết rằng: x+y+z=0 x2 = y2 + z2 + 2xz x2 − y2 − z2 = 2xz x2 − y2 − z2 ) = ( 2xz) 2 x4 + y4 + z4 − 2x2y2 − 2x2z2 + 2y2z2 = 4x2z2 x4 + y4 + z4 = 2x2y2 + 2x2z2 + 2y2z2 x4 + y4 + z4 + x4 + y4 + z4 = x4 + y4 + z4 + 2x2y2 + 2x2z2 + 2y2z2 ( ) ( x4 + y4 + z4 = x2 + y2 + z2 ) 51 ... yz = xyz ( x + y + z ) , Tính giá trị biểu thức: a b c + + b+c c +a a +b (b x= Bài 137: Cho + c2 − a2 ) 2bc ( a − ( b − c) ) ;y= ( ( b + c) − a ) 2 2 , Tính giá trị biểu thức M = x + y + xy HD:... : biểu thức : T= x3 + y3 + z3 = 3xyz , Tính giá trị x10 + y10 + z10 ( x + y + z) 10 HD : Bài 73: Cho ax + by + cz = 0, a + b + c = 2016 bc( y − z) + ac( z − x) + ab( x − y) A= , Tính giá trị biểu. .. y- z =0, Tính giá trị của: z  x  y  B =  − ÷ − ÷ + ÷ x  y  z  HD : A= Bài 11:Tình giá trị biểu thức: HD : y > x > 0, Bài 12: Cho HD : x2 + y2 10 = xy P= Bài 13: Cho biểu thức: a+b