Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống
1
/ 23 trang
THÔNG TIN TÀI LIỆU
Thông tin cơ bản
Định dạng
Số trang
23
Dung lượng
480,98 KB
Nội dung
GIÁO ÁN BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI TOÁN CHUYÊN ĐỀ: BẤT ĐẲNG THỨC I Các kiến thức Định nghĩa: Ta gọi hệ thức dạng a > b ( a b; a b; a b ) bất đẳng thức A B A B A B A B Các tính chất a Bắc cầu: a b ac b c b Cộng hai vế bất đẳng thức với số: a b a c b c Hệ 1: a b a c b c c Cộng, trừ vế bất đẳng thức chiều bđt chiều với bđt cho a b ac bd c d ( lưu ý: khơng có tính chất trừ vế với vế ) d Nhân hai vế bddt với số a b; c a.c b.c a b; c a.c b.c Hệ quả: a b a b a b c c (c 0) a b a b (c 0) c c e Trừ vế bđt ngược chiều: a b ac bd c d f Nhân vế hai bất đẳng thức chiều mà hai vế không âm: a b 0; c d ac bd g Nâng lên lũy thừa bậc nguyên dương hai vế bất đẳng thức: - n n - a b a b (n : le) a b a n bn n n - a b a b (n : chan) h Lấy a b 0, n N * n a n b 2 2 Hệ quả: a, b 0, co : a b a b ; a, b a b a b i Lấy nghịch đảo hai vế đổi chiều bđt hai vế dấu - ab00 1 a b a b, ab 1 a b II Các đẳng thức 2 a 0; a a a a a a a b a b ab ab a b a b a b III Các bổ đề hay sử dụng a b 2ab 1 (a, b 0) a b a b 2 ( ab ) ab (a b) 4ab(cosi) a b 2( a, b 0) b a 2 2 (a b )( x y ) (ax by ) (bunhiacopski) IV Các dạng toán Dạng 1: Dùng định nghĩa phép biến đổi tương đương - Để chứng minh: A B ta xét A – B chứng minh A B Bài 1: Cho ba số a, b, c bất kỳ, chứng minh bất đẳng thức sau: a b c ab bc ca (1) Lời giải (1) 2a 2b 2c 2ab 2bc 2ca (a b) (b c ) (c a) 0(dung ) Dấu “ = ” xảy a b c Bài 2: Cho ba số a, b, c bất kỳ, chứng minh rằng: (ab bc ca ) 3abc(a b c)(1) Lời giải (1) a 2b b 2c c a a 2bc ab 2c abc 2( ) (ab bc) (bc ca )2 (ca ba ) Dấu “ = ” xảy ab bc; bc ca; ca ab a b c 2 2 Bài 3: Chứng minh rằng: a b c d e a(b c d e)a, b, c, d , e R Lời giải a b2 c d e a (b c d e) a2 a2 a2 a2 ab b ac c ad d ae e 4 4 a a ( b) ( e) 0(dung ) 2 Bài 4: Cho ba số a, b, c thỏa mãn: a b c b a c a b c.CMR : b c a a c b Lời giải Xét hiệu: a b c b a c 1 (a 2c b2 c) (b a ab ) (c 2b ac ) (a c ab bc b 2c ba ac ) b c a a c b abc abc 1 c (a b)(a b) ab(a b) c (a b) (a b)(b c )(c a ) 0(do : a b c ) abc abc Bài 5: Chứng minh rằng: a b c 1 2( ) bc ac ab a b c với a, b, c > Lời giải Xét hiệu: a b c bc ac ab 2( ) a b c 2bc 2ca ab (a b c) bc ac ab abc abc abc Bài 6: Chứng minh a b a b a b Lời giải 4 3 3 3 Xét hiệu: a b a b a (a 1) b (b 1) a (a 1) (a 1) (a 1) b (b 1) (b 1) (b 1) ( a 1)(a 1) (b 1)(b3 1) a b ( a 1) (a a 1) (b 1) (b b 1) a b Bài 7: Chứng minh a, b, c 4 ta ln có: a b c abc(a b c) Lời giải a b c abc(a b c) a b c a 2bc b ac c ab (2a 2b 2c 2a 2bc 2b 2ac 2c 2ab) (a 2a 2b b ) 2a 2b (a 2a 2c c ) 2a c (b 2b 2c c ) 2b 2c a 2bc b ac c ab (a b ) (a c ) (b c ) (a 2b b 2c 2ab 2c) (b 2c c a 2abc ) (a 2b c 2a 2a 2bc ) (a b ) (b c ) (c a ) (ab bc ) (bc ca ) (ab ac ) 0a, b, c 2 Dạng 2: Dùng phép biến đổi tương đương - Ta biến đổi bất đẳng thức cần chứng minh tương đường với BĐT BĐT chứng minh - Nếu A B C D , với C < D Bài 1: Cho a, b, c, d, e số thực, CMR: b2 a ab a c a 4b 4c 4ab 4ac 8bc b a b ab a b d a b2 c abc ( ) 3 Lời giải a a 2 b2 ab 4a b 4ab (2a b) 0( dung ) 2 2 2 b a b ab a b 2(a b 1) 2(ab a b) (a b) (a 1) (b 1) a b 2 2 2 c (a 4ab 4b ) 4c (4ac bc) (a 2b) 2(a 2b).2c (2c) (a 2b 2c) d a b2 c2 abc ( ) 3(a b c ) (a b c )2 a b c 2ab 2bc 2ca 3 (a b )2 (b c )2 (c a ) 0(dung ) Bài 2: Cho ba số a, b, c R a Chứng minh rằng: thỏa mãn: abc = abc 1 a b c (a 1)(b 1)(c 1) b Chứng minh tồn ba số a, b, c nhỏ Lời giải a Ta có: (a 1)(b 1)(c 1) abc ab bc ca a b c abc (a b c ) (ab bc ca ) (a b c ) (ab bc ca ) 0(1) abc 1 ab bc ca abc a b c ab bc ca (2) a b c abc Từ (1)(2) ta có điều phải chứng minh b Giả sử tồn ba số a, b, c lớn abc ( mâu thuẫn với giả thiết ) Vậy tồn số nhỏ 10 10 2 8 4 Bài 3: Chứng minh bất đẳng thức sau: (a b )(a b ) (a b )(a b )(1) Lời giải (1) ( a10 b10 )(a b ) (a b8 )( a b ) a12 a10b a 2b10 b12 a12 a 8b a 4b8 b12 (a10b a8b ) (a 2b10 a 4b8 ) a 8b (a b ) a 2b8 (a b ) (a b ) a 2b (a a 2b b ) Bài 4: Chứng minh rằng: 1 a b c 2(a, b, c 0) ab bc ca Lời giải Ta có: ab abc Tương tự: Lại có: 1 a a ab abc ab abc b b c c a b c ; 1(*) b c a b c a c a b c Vậy a b b c c a a ab a ac b ab c cb ; ; a b a bc bc a bc ca a bc Cộng vế với vế ba bất đẳng thức ta được: a b c 2(**) dpcm ab bc ca Bài 5: [ Vào 10, ĐHSP TPHCM năm 2007 – 2008 ] Cho a, b, c > Chứng minh rằng: a 3b b3c c a a b b c c a Lời giải a 3b b c c a a b b c c a a 3b a b b c c a c a b c a 2b (a b) c (b a ) c (a b ) (a b) a 2b c (b ab a ) c (a b) ( a b)(b c)(c a)(ab bc ca ) 0(luon.dung ) Bài 6: [ Vào 10 Thanh Hóa, năm 2007 – 2008 ] Chứng minh rằng: a 5(a 1) 11 a2 2a Lời giải a 5(a 1) 11 a 5(a 1) (a 1) 5a a (a 1) (a 1) 9(a 1) a2 2a a2 2a 2(a 1) a(a 1) 2a( a 1) (nhan.voi.2) 0, dau " " a Bài 7: [ HSG – 1994 - 1995 ] Chứng minh với số thực x, y ta có x2 y2 x y 3( )(1) y x y x Lời giải (1) x2 y2 x y x y x y x y x y x y 3( ) ( ) 2( ) ( ) ( 2)( 1) y x y x y x y x y x y x y x ( x y ) ( x xy y ) 2( x y ) ( x xy y ) ( x y ) (2 x xy y ) 0 x2 y2 x2 y x2 y ( x y)2 ( x y ( x y) ) 0(luon.dung x, y ) x y x2 y Bài 8: [ Chuyên An Giang năm 2010 - 2011 ] 2 Cho a 4, b 4.CMR : a b ab 6(a b) Lời giải Do a 4, b a 0; b 2 Đặt x a 4( x 0); y b 4( y 0) (1) ( x 4) ( y 4) ( x 4)( y 4) 6( x y 8) x y xy 6( x y) 0(dung.do : x, y 0) x y a b Bài 9: [ Vào 10 chuyên KHTN, ĐHQGHN, năm 2000 – 2001 ] Cho hai số thực x, y 0, CMR : 4x2 y2 x2 y 3(1) ( x y )2 y x Lời giải (1) 4x2 y2 x2 y x y ( x y )2 x y x y ( x y ) ( x y )2 0 ( x y )2 y2 x2 ( x y )2 x2 y ( x y )2 x2 y2 2 2 4 2 2 (x y ) x y 2 x y x y ( x y )2 2 ( x y ) ( x y ) x y 2 x y ( x y )2 x y ( x y )2 x y (x y ) Bài 10: [ Lớp ] Cho số thực a,b Chứng minh rằng: 2a a2 b2 ab ab (1) ab 2 Lời giải a b 2a ( a b) a b ; ab a b 2(a b) Ta có: a2 b2 ab (a b)2 a b2 a2 b2 ab ab 2 (a b) 1 (1) ( a b)2 2a 2b 2(a b2 ) ab 2 a b a b ab 2a 2b 2( a b ) ab 0(*) ( a b) ( a b) 2 a b ab ( a b ) ; a b 2(a b ) ( a b )2 2( a b ) ( a b) - Ta có: 1 (*) ( a b) (a b) 2( a b ) a b ( a b ) 2 ( a b ) 2(a b ) (a b) 2(a b ) 4ab (a b)2 2(a b ) ab (a b) 0 2(a b ) ab 2(a b) 2( a b ) ab 0ab Dạng 3: Bất đẳng thức dạng nghịch đảo ( Cô si cộng mẫu ) - 1 a b a b - 1 n2 a1 a2 ana, a1 , , an a1 a2 an a1 a2 an Bài 1: Cho a, b, c > CMR: - 1 a b c abc 1 3 a b c a 2b b 2c c 2a Lời giải Áp dụng bất đẳng thức dạng: 1 a b c abc ( tự chứng minh bđt) 1 1 1 ; ; a b b a 2b b c c b 2c c a a c 2a Cộng vế bất đẳng thức ta được: Bài 2: Cho a, b, c > CMR: 4( VT VP a b c ) ab ca bc a b c Lời giải Áp dụng bất đẳng thức dạng: 1 1 1 1 1 1 1 2( ); 3.( ); 4( ) x y x y a b a b a b a b ca c a a c c a b c b c bc b c Cộng vế ba bất đẳng thức ta được: 4( ) ab ca bc a b c Bài 3: Cho a, b, c > CMR: a b c (1) a 4b 4c b 4c 4a c 4a 4b Lời giải 10 (1) 3a 3b 3c 3a 3b 1 ( 1) ( 1) ( ) a 4b 4c b 4c 4a c 4a 4b a 4b 4c b 4c a 4(a b c)( 1 1 1 )4 (2) a 4b 4c b 4c 4a c 4a 4b a 4b 4c b 4c 4a c 4a 4b a b c 1 Áp dụng bất đẳng thức: x y z x y z Ta được: VT (2) dpcm 9(a b c ) a b c Bài 4: Cho a, b, c > thỏa mãn: a b c Tìm GTLN A a b c 2a 2b 2c Lời giải Cách 1: B 2A 2a 2b 2c 1 1 1 1 3 B 2a 2b 2c 2a 2b 2c 1 1 2a 2b 2c 2( a b c) 2A 3 B A a b c Cách 2: Áp dụng bất đẳng thức: 1 1 1 a a (1 ) x y z x y z a a a a 2a a 2a 9 Tương tự: b b c c ; 2b 9 2c 9 Cộng ba vế bất đẳng thức ta được: A Bài 5: Cho a, b, c > Chứng minh abc 1 a b c 9 ab bc ca a bc a b 2c b c 2a c a 2b Lời giải Áp dụng bất đẳng thức: 1 x y x y 11 VT ab 1 1 1 1 bc ca ab( ) bc ( ) ca.( ) (a c) (b c) ac bc 4 bc ca ab bc ab bc abc ( ) a b bc ac Bài 6: Cho a, b, c > thỏa mãn: a + b + c = Tìm GTNN: A 1 abc a b c Lời giải abc 1 1 ; 2 2 9 abc abc ab bc ca ab bc ca a b c ab bc ca ab bc ca (a b c ) Lại có: 3(ab bc ca ) (a b c) Cộng theo vế ba bất đẳng thức: A 3 21 ab bc ca ab bc ca 9 30 A 30 a b c ab cb ca ab bc ca BÀI TẬP VẬN DỤNG: Bài 1: Cho a, b, c > Chứng minh rằng: 1 4 a b c a b 2c b c 2a c a 2b Lời giải Ta có: 1 4 2 ; (1) ( a c)(b c) a c b c a b 2c a c b c a b Lại có: 1 1 1 4 2 2 2 1 ; ; 2( ) 2( )( ac a c bc b c a b a b a c b c a b a b c a c b c a b a b c Từ (1)(2) ta có điều phải chứng minh Bài 2: Cho a, b, c > Chứng minh rằng: 7 9( ) a b c a 2b b 2c c 2a Lời giải 12 Ta có: 1 1 2 ; abb a b c bcc b c c bcc b c c 1 3 acc c a a caa c a a Cộng vế với vế bất đẳng thức ta đpcm a b c (1) 2a 5b 5c 2b 5c 5a 2c 5a 5b Bài 3: Cho a, b, c > Chứng minh rằng: Lời giải (1) 3.VT 15 1 45 15 3.VT 3.VT (5a 5b 5c)( ) 5( a b c) 4 2a 5b 5c 12( a b c) 12 Dạng 4: Dùng bất đẳng thức phụ - x y xy - ( x y ) xy; ( x y ) 2( x y )(do : ( x y ) 0) - x y xy ( x y ) 2 2 x y xy , x y a b 2 b a - ( x y)( y z )( z x) xyz a b3 Bài 1: Cho hai số a b thỏa mãn: a + b = Chứng minh rằng: Lời giải Ta có: Từ: a b (a b)(a ab b ) a ab b a b a 2ab b 1; (a b) a 2ab b 13 2a 2b a b Lại có: (1) a 2ab b a b 2ab ab Từ (1)(2) ab a b2 (2) 1 1 1 ab a b2 ab ( dpm) a b 4 4 Bài 2: Cho a + b > Chứng minh rằng: a4 b4 Lời giải 2 2 2 Từ a b (a b) a 2ab b 1;(a b) a b 2ab a b2 Có tiếp: 1 (a b ) a b 2a 2b (1) 4 (a b )2 a b 2a 2b 0(2) 2a 2b Bài 3: Chứng minh rằng: 1 a b (dpcm) a b2 c2 c b a b2 c2 a b a c Lời giải 2 Ta có: ( x y ) x y xy ( x y ) Áp dụng: a2 b2 a b a b2 c2 b a2 c2 b ; ; 2 2 b c b c c c a a b a c a b c 2VT 2( ) VT VP (dpcm) c a b 2 2 Bài 4: Cho a, b, c, d, > abcd = CMR: a b c d a(b c) b(c d ) d (c a ) 10 Lời giải 2 2 2 2 Ta có: a b 2ab; c d 2cd a b c d 2(ab cd ) 14 Từ : Có: Vậy abcd ab 1 1 1 ; ac ; ad ; bc ; bd ; cd ; ad cd bd bc ad ac ab bc 2(ad bc) 2(ab ab 1 ) 2.2 : ( ) ab 2 ab ab ab a b2 c d Lại có: 1 ab ac bc bd cd ad (ad bc ) (ac bd ) (bc ad ) (ab ) (ac ) (bc ) VT 10 14 ab 43 14 ac 43 14 bc 43 2 Bài 5: Cho x, y , z CMR: 2 2 ( x y )( y z )( z x) xyz (1) Lời giải (1) ( x y ) ( y z )2 ( z x)2 64 x y z Lại có: ( x y ) xy;( y z ) yz;( z x)2 xz ( x y ) ( y z ) ( z x)2 64 x y z dpcm x y z Bài 6: Cho a, b, c 0; abc CMR: (a 1)(b 1)(c 1) Lời giải Ta có: (a 1) 4a;(b 1) 4b;(c 1) 4c (a 1)(b 1)(c 1) (8abc) (a 1)(b 1)(c 1) 8abc Bài 7: Cho a, b, c, d 0; abcd CMR: a b c d ab cd Lời giải 2 2 Có: a b c d ab cd 2ab 2cd ab cd 3(ab cd ) Lại có: 3(ab cd ) 3(ab Bài 8: Cho ) 3.2 6(dpcm) ab x y z 1 15 a CMR: x2 y2 z b xy yz zx Lời giải a Ta có: ( x y ) 0x, y x y xy; y z yz; x z xz x y z 2( xy yz zx) 3x y z x y z 2( xy yz xz ) ( x y z ) x y z ( x y z)2 1 x yz 3 b Theo chứng minh trên: x y z 2( xy yz zx ) x y z xy yz zx ( x y ) 3( xy yz zx ) 3( xy yz zx ) xy yz zx Bài 9: Cho 1 xyz 3 a, b, c thỏa mãn: a b c Chứng minh rằng: a b 2c 4(1 a)(1 b)(1 c) Lời giải 2 Ta có: ( x y) xy xy ( x y) Áp dụng ta được: a, b, c c 4(1 a)(1 b) (1 a b) (1 c) VP (1 c) (1 c) (1 c )(1 c) c Mà: a b a b c VP a b 2c c Bài 10: Cho a, b, c thỏa mãn: abc Chứng minh rằng: 1 3 3 1 a b 1 b c 1 c a 1 Lời giải x y xy ( x y ) ( x y )( x y ) 0x, y Áp dụng ta có: a b3 ab(a b) abc ab(a b c ) 1 abc c a b ab( a b c ) ab(a b c) a b c 16 Tương tự: a b ; 3 b c 1 a b c c a 1 a b c Cộng vế bất đẳng thức ta điều phải chứng minh Bài 11: Cho a, b, c Chứng minh rằng: 1 2 a b c abc Lời giải Chứng minh: 1 x, y 0; xy (2 x y )(1 xy) 2(1 x )(1 y ) xy xy ( x y ) x y x y 2 x y xy ( x y) ( xy 1) 0( : xy 1) Áp dụng: 1 2 1 1 ; ; 2 2 2 a b ab abc b c abc c a abc Cộng vế bất đẳng thức thức ta điều phải chứng minh Bài 12: Cho x, y, z 0; x y z Tìm GTNN: A x ( y z ) y ( z x) z ( x y ) yz zx xy Lời giải A x2 y x2 z y z y x z x z y 3 Ta có: a b (a b)aba, b 2 Thật (a b)(a ab b ) (a b)ab (a b)(a b) 0a, b 2 2 3 Hoặc: a b ab aba, b (a b)(a ab b ) ab(a b) a b ab(a b) Áp dụng: x y x3 y y2 z2 z x2 x yx, y 0; y z; x z y x xy z y x z Cộng vế ba bất đẳng thức ta được: A 2( x y z A x y z 17 Bài 13: Cho x, y, z 0; x y z Tìm GTNN: 2 Lời giải A2 x2 y y z x2 z 2 z2 x y Áp dụng: mà: a b 2ab x2 y2 y2 z y2 z x A 2 x y z A 3 Tương tự ta có: 18 A xy yz xz z x y DẠNG 5: PHƯƠNG PHÁP PHẢN CHỨNG - Muốn chứng minh bất đẳng thức - Sau chứng minh A < B sai Bài 1: Cho a b2 A B đúng, ta giả sử A B A B sai, tức A < B là CMR: a b Lời giải 2 Giả sử a b , bình phương hai vế ta được: (a b) a 2ab b 4(1) 2 2 Mặt khác ta lại có: a b 2ab 2(a b ) (a b) 2 Mà 2(a b ) 4(do, gt ) (a b) Điều mâu thuẫn với (1) nên a b Bài 2: Với số thực a, b, c chứng tỏ: a2 b c b ( a c ) c ( a b) Lời giải Giả sử: a2 a2 a2 b c b(a c) c(a b) b c ab bc ac bc b c ab ac 2bc 4 19 a ( b c) 0(vo.ly ) Vậy điều giả sử sai Bài 3: Cho: a2 b c b ( a c ) c (a b) a b3 2.CMR : a b Giả sử a b ( a b)3 a3 b3 3ab( a b) 3ab(a b) ab( a b) ab(a b) a b3 (a b)(a ab b ) ab(a b) (a b)(a b)2 (voly ) Bài 4: Cho số thực a, b, c (0; 2).CMR : có ba bất đẳng thức sau sai a (2 b) 1; b(2 c) 1; c(2 a ) Lời giải Giả sử ba bất đẳng thức đúng, nhân chúng với theo vế, ta được: a (2 b).b(2 c).c(2 a) a(2 a).b(2 b).c(2 c) Mặt khác, Tương tự: Do đó: a (0; 2) nên a a a.(2 a) (a 1) b.(2 b) 1;0 c(2 c) a(2 a).b(2 b).c(2 c) ( mâu thuẫn ) Vậy ta có đpcm Bài 5: [ Chuyên Thái Bình: năm 2007 – 2008 ] Cho số thực a, b, c thỏa mãn: a b ab bc ca 0.CMR : a b c Lời giải 2 Giả sử a b c , đó: a b 2(ab bc ca) a b a b c 2(ab bc ca ) 2(a b ab bc ca ) (a b c ) 2 2 Kết hợp với gỉa thiết: 2(a b ab bc ca ) (a b c) (a b c) ( mâu thuẫn ) Bài 6: [ Chuyên Lam Sơn Thanh Hóa: năm 2007 – 2008 ] 20 Cho số thực a, b, c thỏa mãn: a b c 0; ab bc ca 0; abc Chứng minh ba số a, b, c dương Lời giải Giả sử ba số a, b, c có số khơng dương Khơng tính tổng qt, ta giả sử: a Mà lại có: abc a a Lại có: a b c b c a (b c) Từ giả thiết thứ hai: ab + bc + ca > 0, ta có: a(b c) bc bc Vì abc < ( mâu thuẫn ) Đpcm Bài 7: Cho ba số a, b, c đôi khác CMR: Tồn số 9ab, 9bc, 9ca nhỏ ( a b c) Lời giải Giả sử: 9ab (a b c) ;9bc (a b c )2 ;9ca ( a b c ) 3(a b c ) 9(ab bc ca ) (a b c ) 3(ab bc ca ) a b c ab bc ca (a b) (b c)2 (c a) 0(1) 2 Theo đầu bài: a, b, c đôi khác nên: (a b) (b c) (c a) 0(2) Từ (1)(2) ta thấy mâu thuẫn nên đpcm Bài 8: [ Chuyên HCM năm 2006 – 200 ] 3 2 Cho hai số dương x, y thỏa mãn: x y x y.CMR : x y Lời giải Do x, y dương x, y 0; x y 2 3 Giả sử: x y 1; gt x y x y 21 x3 y ( x y )( x y ) x3 y x3 x y yx y xy yx y y ( xy x y ) 0(*) y x( y x) y 0(vo.ly ) 14 20 43 x y yx0 2 Do (*) xảy x y 1(dpcm) Bài 9: Cho cặp số (x; y) thỏa mãn điều kiện sau: 1 x y 1(1) CMR : x 2; y 1 x y xy 1(2) Lời giải Ta chứng minh: x Giả sử x , 2 x +) x 2, (1) y x 1 xy 2 +) x 2, (1) y 1 x xy 2 Do x xy 2 Mà x y x y xy 1 ( mâu thuẫn với 2) x Ta chứng minh y ( tương tự chứng minh x ) Bài 10: [ Olympic Toán Ireland năm 1997 ] 2 Cho a, b, c 0; a b c abc.CMR : a b c abc Lời giải +) Nếu ba số bất đẳng thức chứng minh Ta xét: a, b, c > 2 2 2 Giả sử ngược lại: a b c abc abc a b c a a bc Tương tự ta có: b ac; c ab a b c ab bc ca (1) 22 2 2 2 Lại có: a b c ab bc ca abc a b c ab bc ca abc ab bc ca (2) Từ (1)(2) abc a b c ( mâu thuẫn với giả thiết ) nên điều giả sử sai Bài 11: Cho a, b, c số thực dương thỏa mãn a b c abc Chứng minh có hai số bất đẳng thức sau đúng: 6 6; 6; a b c b c a c a b Lời giải Ta có: Đặt a b c abc 1 1(do : abc 0) bc ca ab 1 x; y; z x, y, z 0; xy yz xz a b c Ta phải chứng minh có hai ba bất đẳng thức sau đúng: x y z 6; y 3z x 6; x 3z y Giả sử có bất đẳng thức sau sai, chẳng hạn: x y z 6;2 y 3z x Cộng vế hai bất đẳng thức: x y z 12 Từ giả thiết: xy yz zx x( y z ) yz x yz yz , do.do :12 y z 12( y z ) 8(1 yz ) (5 y z )( y z yz yz y yz z 12 y 12 z y y(3 z 2) z 12 z y y ( y z 2) 4( y 1) 0(vo.ly) dpcm Bài 12: Cho bốn số a, b, c, d thỏa mãn điều kiện: ac 2(b d ) Chứng minh có 2 bđt sau sai: a 4b; c 4d Lời giải Giả sử hai bđt a c 4(b d )(1) 2 Theo giả thiết: ac 2(b d ) 2ac 4(b d )(2) a c 2ac (a c) 0(voly ) 23 ... 2 8 4 Bài 3: Chứng minh bất đẳng thức sau: (a b )(a b ) (a b )(a b )(1) Lời giải (1) ( a10 b10 )(a b ) (a b8 )( a b ) a12 a10b a 2b10 b12 a12 a 8b a 4b8... minh có hai ba bất đẳng thức sau đúng: x y z 6; y 3z x 6; x 3z y Giả sử có bất đẳng thức sau sai, chẳng hạn: x y z 6;2 y 3z x Cộng vế hai bất đẳng thức: x y z... (bunhiacopski) IV Các dạng toán Dạng 1: Dùng định nghĩa phép biến đổi tương đương - Để chứng minh: A B ta xét A – B chứng minh A B Bài 1: Cho ba số a, b, c bất kỳ, chứng minh bất đẳng thức sau: a b