Giáo án bồi dưỡng học sinh giỏi toán 8 chuyên đề chia hết

GIÁO ÁN BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI TOÁN CHUYÊN ĐỀ: CHUYÊN ĐỀ CHIA HẾT A LÝ THUYẾT Định nghĩa: Tính chất: - Nếu a chia hết cho m n, m, n hai số nguyên tố a chia hết cho m.n - Nếu tích a.b chia hết cho c, (b; c) = a chia hết cho c - Với p số nguyên tố Nếu a.b chia hết cho p a chia hết cho p b chia hết cho p - Khi chia n + số nguyên dương liên tiếp cho n hai số dư - Trong n - Nếu ( n≥ 1) ( a;b) = d - Ta có: - Ta có: ( n≥ 1) ln nhận số ngun liên tiếp, ln có số chia hết cho n tồn hai số nguyên x, y cho: ( ) ( ) ax + by = d an − bn = ( a − b) an−1 + − bn−1 => an − bnM( a − b) an + bn = ( a + b) an−1 − + bn−1 => an + bnM( a + b) B với n số tự nhiên lẻ LUYỆN TẬP Dạng 1: SỬ DỤNG TÍCH CÁC SỐ LIÊN TIẾP Phương pháp : Bài 1: Chứng minh với số nguyên dương HD: ( ) n ta có: n3 + 5nM6 n3 + 5n = n3 − n + 6n Ta có: n − nM6 => n( n − 1) ( n + 1) M6 , ta cần chứng minh Do n( n − 1) ( n + 1) tích số nguyên liên tiếp nên chia hết cho Bài 2: Chứng minh : HD : n3 + 11nM6,∀n∈ Z Ta có: Vì ( ) n3 + 11n = n3 − n + 12n = n n2 − + 12n = n( n + 1) ( n − 1) + 12n n( n + 1) ( n − 1) ba số nguyên liên tiếp => n( n + 1) ( n − 1) M6 12nM6 => n + 11nM6 Bài 3: Chứng minh rằng: HD: Ta có: A = n( n + 1)  ( n − 1) + ( n + 2)  = ( n − 1) n( n + 1) + n( n + 1) ( n + 2) M6 Bài 4: Chứng minh rằng: HD: Vì m số lẻ, Đặt Vì m3 + 3m2 − m− 3M48,∀m m= 2k + k ( k + 1) ( k + 2) m= 2k + 1,( k ∈ N ) ( vào A ta : Vì n chẵn, Đặt A = 8( k + 2) ( k + 1) k M n4 − 4n3 − 4n2 + 16nM384,∀n n = 2k,( k ∈ N ) ( A = 16( k − 2) ( k − 1) k( k + 1) AM48 chẵn , Khi ta có: ) A = n − 4n − 4n + 16n = n( n − 4) n2 − ) tích ba số tự nhiên liên tiếp nên Vậy Bài 5: Chứng minh rằng: HD: lẻ A = m3 + 3m2 − m− = ( m+ 3) m2 − = ( m− 1) ( m+ 1) ( m+ 3) Khi ta có : Thay A = n( n + 1) ( 2n + 1) M6,∀n∈ N , Vì , Thay n = 2k ( k − 2) ( k − 1) k( k + 1) vào A ta được: tích số tự nhiên liên tiếp Nên chia hết cho Bài 6: Chứng minh rằng: HD: Ta có: ( B = n5 − 5n3 + 4nM 120,( ∀n∈ N ) ) ( )( ) B = n n4 − 5n2 + = n n2 − n2 − = n( n + 1) ( n − 1) ( n + 2) ( n − 2) M 120 Bài 7: Cho n số nguyên, Chứng minh HD: Ta cần chứng minh AM3 AM8 A = n4 − 14n3 + 71n2 − 154n + 120M24 , ta có : A = n4 − 14n3 + 71n2 − 154n + 120 = n3 ( n − 2) − 12n2 ( n − 2) + 47n( n − 2) − 60( n − 2) A = ( n − 2)  n2 ( n − 3) − 9n( n − 3) + 20( n − 3)  = ( n − 2) ( n − 3)  n( n − 3) − 5( n − 4)  A = ( n − 2) ( n − 3) ( n − 4) ( n − 5) , Vì A tích số tự nhiên liên tiếp => AM3 M Ngoài số nguyên liên tiếp có hai số chẵn liên tiếp, số M số M Vậy A Bài 8: Chứng minh rằng: HD: Ta có: n4 + 6n3 + 11n2 + 6nM24 A = n4 + 6n3 + 11n2 + 6n = n( n + 1) ( n + 2) ( n + 3) nên tích số nguyên liên tiếp AM3 Và A tích số ngun liên tiếp, nên có số chẵn, số chia hết cho số chia hết cho 4, Nên Bài 2: CMR: HD : AM8 n − n3 − n + 2n chia hết cho 24 với n ∈Z n − 2n − n + 2n = n  n ( n − ) − ( n − )  = n ( n − 1) ( n + 1) ( n − ) Ta có: tích số tự nhiên liên tiếp nên có số chia hết cho số chia hết chia hết cho chia hết cho Bài 9: Chứng minh rằng: HD: Ta có: a a2 a3 + + số nguyên với a nguyên a a2 a3 a( a + 1) ( a + 2) + + = 6 Vì a( a + 1) ( a + 2) tích số M nguyên liên tiếp => Bài 10: Chứng minh rằng: HD: n5 − nM30,∀n ( ) A = n5 − n = ( n − 1) n( n + 1) n2 + Ta có: chia hết cho , tích số nguyên liên tiếp nên Mặt khác: ( ) A = n5 − n = ( n − 1) n( n + 1) n2 − + = ( n − 2) ( n − 1) n( n + 1) ( n + 2) + 5( n − 1) n( n + 1) Thấy ( n − 2) ( n − 1) n( n + 1) ( n + 2) Bài 11: Chứng minh rằng: HD: Vì n số chẵn, Đặt AM5 tích số nguyên liên tiếp nên n3 + 1964nM48,∀ n n = 2k,( k ∈ N ) chẵn Khi ta có : n + 1964n = 8( k − 1) k ( k + 1) + 3888k Vì ( k − 1) k( k + 1) tích ba số nguyên liên tiếp nên chia hết cho ( ) n4 + 7+ 2n3 M64,∀n Bài 12: Chứng minh rằng: HD: Vì n lẻ, Đặt Thay n = 2k + 1,( k ∈ N ) n = 2k + ( ) lẻ ( ) ( ) A = n4 + 7+ 2n2 = n2 + , Khi ta có: ( ) A = 16 k2 + k + vào ta được: 2 , k2 + k + = k( k + 1) + 2M2 , Vì > k2 + k + M4 => AM64 Bài 13: Chứng minh rằng: HD: Vì n lẻ, Đặt: Thay n = 2k + 1,( k ∈ N ) n = 2k + vào ta được: Bài 14: Chứng minh rằng: HD: Ta có: n4 + 6n2 − 7M64,∀n A = ( n + 1) ( n + 3) lẻ ( )( ) A = n4 + 6n2 − = n2 − n2 + , Khi đó: ( ) A = 16k ( k + 1) k + k + A = n2 + 4n + 3M8,∀n , lẻ , Vì n số lẻ, Đặt n = 2k + 1,( k ∈ N ) => A = ( 2k + 2) ( 2k + 4) M8 Bài 15: Chứng minh rằng: tổng lập phương ba số nguyên liên tiếp chia hết cho HD: Gọi số nguyên liên tiếp là: Gọi n − 1; n; n + 1,( ∀n∈ Z) ( ) A = ( n − 1) + n3 + ( n + 1) = 3n3 − 3n + 18n + 9n2 + = 3( n − 1) n( n + 1) + n2 + − 18n 3 ( n − 1) n( n + 1) M3 => 3( n− 1) n( n + 1) M9 Thấy: Vậy AM9 Bài 16: Cho a, b, c số nguyên Chứng minh : a3 + b3 + c3M6 a + b + cM6 HD : ( ) ( ) ( ) A = a3 + b3 + c3 − a − b − c = a3 − a + b3 − b + c3 − c Xét Mà a3 − a = a( a − 1) ( a + 1) a( a − 1) ( a + 1) M6 M Như A => a3 + b3 + c3M6 a + b + cM6 Bài 17: Chứng minh rằng: HD: Vì n lẻ, Đặt tích số nguyên liên tiếp nên n12 − n8 − n4 + 1M512,∀n n = 2k + 1,( k ∈ N ) ( lẻ , Khi đó: )( ) ( )( ) ( ) A = n12 − n8 − n4 + = n4 − n8 − =  n2 − n2 +  n4 +   Thay n = 2k + vào A ta được: Bài 18: Tìm số tự nhiên n cho: HD: Ta có: A = ( n + 5) ( n + 6) = n2 + 11n + 30 = 12n + n2 − n + 30 12nM6n Từ (1) ) ( n + 1) ( n + 5) ( n + 6) M6n  n( n − 1) M3  n2 − nM6 n − n + 30M6n   30M6n 30Mn Vì ( A = 64 k ( k + 1)  2k2 + 2k + cần chứng minh => n = 3k (1) (2) n = 3k + 1,( k ∈ N ) => n∈ { 1;2;3;5;6;10;15;30} => n∈ { 1;3;10;30} Từ (2) thỏa mãn Bài 20: Chứng minh 1900 số tự nhiên liên tiếp có số có tổng chữ số chia hết cho 27 HD: Giả sử 1900 số tự nhiên liên tiếp là: Trong 1000 số tự nhiên liên tiếp: hết cho 1000, giả sử n0 , Khi n0 n, n + 1, n + 2, , n + 1989 n, n + 1, n + 2, , n + 999 (1) phải có số chia có tận chữ số Giả sử tổng chữ số n0 Có tổng chữ số là: s 27 số n0,n0 + 9,n0 + 19, , n0 + 899 s, s + 1, s + 2, , s + 26 , có số chia hết cho 27 Bài 3: Cho a, b bình phương hai số nguyên lẻ liên tiếp, CMR: ab − a − b + ta có: HD : chia hết cho 48 ab − a − b + = ( a − 1) ( b − 1) , Vì a,b bình phương hai số nguyên lẻ liên tiếp nên: 2 a = ( 2n + 1) ; b = ( 2n + 3) ∈Z với n 2 ab − a − b + = (a − 1)(b − 1) = ( 2n + 1) − 1 ( 2n + 3) − 1 = 16n ( n + 1) ( n + )    Nên Nên chia hết cho 16 chia hết chia hết cho 48 Dạng 2: XÉT TẬP HỢP SỐ DƯ TRONG PHÉP CHIA Bài 1: Chứng minh với số tự nhiên HD : Ta có : n 7n+ Với ta có : A = n( 2n + 7) ( 7n + 7) M6 AM2 số chẵn với số tự nhiên n nên Lấy n chia cho ta : Với n n = 3k + r ( k ∈ N ,0 ≤ r ≤ 2) r = => n = 3k => AM3 r = => n = 3k + = 2n + = 6k + 9M3 => AM3 r = => n = 3k + => 7n + = 21k + 15M3 => AM3 Với Bài 2: Cho số nguyên a không chia hết cho 3, Chứng minh : A = 4a2 + 3a + 5M6 HD : Vì a khơng chia hết cho nên a có dạng : ( ( ) a = 6m− => A = 4( 6m− 1) + 3( 6m− 1) + = 24m2 − 5m+ M6 Với ) a = 6m+ => A = 4( 6m+ 1) + 3( 6m+ 1) + = 24m2 + 11m+ M6 Với a = 6m± 1,( m∈ Z) Bài 3: Tìm tất số nguyên dương n cho: HD: n2 + 9n − 2M 11 ( ) n2 + 9n − 2M 11 n2 − 2n − 2M 11 n2 − 2n − M 11 4n2 − 8n + 1M 11 Ta có: ( 2n − 1) ( 2n − 3) M 11 Khi đó: 2n− 1M 11 , 2n− 3M 11 => n = 11m+ Bài 4: Chứng minh có vơ số tự nhiên n cho 13 HD: Đặt n = 11m+ 7,( m∈ N ) 4n2 + 1M5 chia hết cho n = 65k + r,( k ∈ N,0 ≤ r ≤ 64) Chọn r cho 4r + = 65 r = ±4 , Vậy với số n = 65k ± thỏa mãn n/M3 Bài 5: Chứng minh HD: Vì A = 32n + 3n + 1M 13,∀ n∈ N / => n = 3k + r,( k ∈ N,1≤ r ≤ 2) nM 3k+ r ) Khi đó: Thấy: 2k ) ( ) − = 33 − M = 26M M 13 r ( ) 33k − = 33 − N = 26N M 13 13 r = => 32r + 3n + = 34 + 32 + = 91M 13 => AM Bài 6: Tìm tất số tự nhiên n để HD: Lấy n chia cho ta có: Với ( 13 r = => + + = + 3+ 1M 13 => AM 2r Với ) + 33k+r + = 32r 36k − + 3r 33k − + 32r + 3r + ( ) 36k − = 33 Với ( A= 3( 2n − 1M7 n = 3k + r,( k ∈ N,0 ≤ r ≤ 2) r = => n = 3k => 2n − = 23k − = 8k − = ( 8− 1) M = 7M M7 ( ) r = => n = 3k + => 2n − = 28k+1 − = 2.23k − = 23k − + Với k− 1M7 => − , n Mà chia dư ( ) r = => n = 3k + => 2n − = 23k+ − = 23k − + Với Mà 23k − 1M7 => 2n − Vậy với chia dư n = 3k,( k ∈ N ) Bài 7: Chứng minh rằng: HD: 2n − 1M7 ( )( n = 5q + r,( q,r ∈ Z,0 ≤ r ≤ 4) Lấy n chia cho ta được: Với Với Với ) A = n n2 + n2 + M5,( ∀n∈ Z) r = => nM5 => AM5 r = 1,4 => n2 + 4M5 => AM5 r = 2,3 => n2 + 1M5 => AM5 Bài 8: Cho HD: A = a1 + a2 + + an B = a15 + a25 + + an5 , Chứng minh rằng: A − BM30 ( ) ( B − A = a15 − a1 + + an5 − an Ta có: Xét ( ) ( ) a15 − a1 = a1 a14 − = a1 ( a1 + 1) ( a1 − 1) a12 + M30 Bài 9: Chứng minh HD: Vì ) ( n;6) = n2 − 1M24,∀n∈ Z ( n;6) = 1=> n = 6k + r,( k,r ∈ N,r = ±1) Với r = ±1 => n2 − 1M24 Bài 10: Tìm số tự nhiên n để: HD: Xét 22n + 2n + 1M7 n = 3k + r,( k,r ∈ N,0 ≤ r ≤ 2) ( ) ( ) 22n + 2n + = 22r 26k − + 2r 23k − + 22n + 2n + Ta có: Xét TH cụ thể ta được: 22n + 2n + 1M7 Bài 11: Cho hai số tự nhiên m, n thỏa mãn: 24m4 + = n2 , Chứng minh rằng: mnM5 HD: Ta có: Nếu Nếu ( ) ( ) 24m4 + = n2 = 25m4 − m4 − = 25m4 − ( m− 1) ( m+ 1) m2 + mM5 => mnM5 => ĐPCM / => ( m;5) = mM ( => ( ) ( ) m5 − m= m m4 − = m( m− 1) ( m+ 1) m2 + ) = m( m− 1) ( m+ 1) m − + = ( m− 2) ( m− 1) m( m+ 1) ( m+ 2) + 5m( m− 1) ( m+ 1) M5 Nên m4 − 1M5 => n2M5 => nM5 => mnM5 , ĐPCM Bài 12: Tìm tất số nguyên x cho : HD : ( ) ( x3 − 8x2 + 2xMx2 + ) x3 − 8x2 + 2x = x x2 + − x2 + + x + 8Mx2 + => x + 8Mx2 + Ta có : Nếu x + = => x = −8 thỏa mãn x ≠ => x + ≥ x + 1=> x∈ { ± 1; ±2} => x∈ { 0;2} Nếu Bài 13: Cho hai số tự nhiên a, b, Chứng minh rằng: HD: Ta có: 5a2 + 15ab − b2 M49 3a + bM7 5a2 + 15ab − b2 M49 => 5a2 + 15ab − b2 M7 => 9a2 + 6ab + b2 M7 => ( 3a + b) M7 => 3a + bM7 Mặt khác: 3a + bM7 => 3a + b = 7k ( k ∈ Z) => b = 7k − 3a => 5a2 + 15ab − b2 ( ) = 5a2 + 15a( 7k − 3a) − ( 7k − 3a) = 49 3ak − a2 M49 10 Bài 15: Cho a, b số nguyên dương cho A= Tính giá trị biểu thức: a2 + b2 chia hết cho tích a.b a +b ab 2 HD: Gọi  a = da1 d = ( a; b) =>  ,( a1; b1 ) =  b = db1 Vì Vì , ta có: a + b Mab => a + b Mab => a + b Ma1 1 2 2 ( a ;b ) = 1=> a Mb 1 ( d a +b A= 2 d2a1b1 a2 + b2 = d2 ( a1 + b1) b1 => a Mb1 và ab = d2ab 1 b Ma1 b1Ma1 => a1 = b1 = ) = 2.d a 2 2 da =2 Vậy Bài 16: Cho m, n hai số nguyên tố Hãy tìm ước số chung lớn hai số A = m+ n B = m2 + n2 HD : Gọi d = UCLN ( A; B) 2mn = A − BMd , Vì ( m; n) = => A, B tính chẵn lẻ : 2mn + 2n = 2nAMd => 2n Md 2 Nếu A, B chẵn m, n lẻ d chẵn, Từ (1) => ( 1) => n Md Nếu A, B lẻ d lẻ, Từ Vì ( m; n) = 1=> d = Bài 17: Cho số tự nhiên n> , tương tự : 2Md => d = (1) m2 Md , Chứng minh rằng: 2n = 10a + b,( < b < 10) abM6 HD: Ta có: 2n = 10a + b => bM2 => abM2 Mặt khác : Đặt Nếu 2n = 10a + b => 2n , ta cần chứng minh abM3 có chữ số tận b n = 4k + r,( k,r ∈ N,0 ≤ r ≤ 3) => 2n = 16k.2r r = => 2n = 16k có tận => b = => abM6 11 ( ) 1≤ r ≤ => 2n − 2x = 2r 16k − M 10 => 2n Nếu ( tận ) 2r => b = 2r => 10a = − = 16 − M3 => aM3 => abM6 n x r k n≥ Bài 18: Cho số tự nhiên , Chứng minh rằng: S = + + + + n M( 1+ + 3+ + n) 5 HD: Đặt: 2A = 2( 1+ + 3+ + n) = n( n + 1) Mặt khác, với n lẻ ta có: ( Nên ) ( ) 2S = 15 + n5 +  25 + ( n − 1)  + n5 + Mn +   ( => 2S =  15 + ( n − 1)  Mà an + bnMa + b,(a,b∈ N * ) ) + ( + ( n− 2) ) + + ( ( n− 1) + 1)  + 2n Mn 5 5 ( n;n + 1) = 1=> 2SMn( n + 1) = 2A => SMA Bài 19: Cho HD: Ta có: p 1 = 1− + − + ,( p,q ∈ Z) q 1319 Chứng minh pM 1979 1 p  1   =  1+ + + − 2 + + + ÷ q  1319  1318÷ 2  1   1  1 =  1+ + + −  1+ + + + + + ÷ ÷ = 1319 659     660 1319 =>  2.p  1   1   1979.A = + + + + +  + ÷ ÷ ÷= B q  660 1319  661 1318  1319 660  Mà ( a1, a2, a3, an ∈ { 1; −1} , n∈ N* Chứng minh rằng: Đặt 2p.B 1979.A / 1979 => pM BM 1979 Bài 20: Cho HD: => q = ) , thỏa mãn: a1a2 + a2a3 + a3a4 + + ana1 = , nM4 x1 = a1a2, x2 = a2a3, , xn = ana1 => x1, x2, x3 ∈ { 1; −1} , Hơn x1 + x2 + + xn = 12 Thì số -1 Giả sử có m số m số -1 (m∈ N* ) x1x2x3 xn = ( −1) => n = 2m x1x2x3 xn = ( a1a2 an ) = m và Từ ta m số chẵn => n chia hết cho Bài 21: Tìm hai số nguyên dương a, b cho: HD: Ta có: Vì ( a + b) ( /7 ab( a + b) M − a7 − b7 = 7ab( a + b) a2 + ab + b2 ) ( a + b) − a7 − b7M77 / => a2 + ab + b2M73 ab( a + b) M Chọn b = => a2 + a + 1= 73 => a 13 Dạng 3: CHỨNG MINH PHẢN CHỨNG Bài 1: Chứng minh : HD: / 49,∀n∈ N S = n2 + 3n − 38M Giả sử tồn số tự nhiên n để Khi đó: S = n2 + 3n − 38M49 S = n2 + 3n − 38 − 7( n − 6) = n2 − 4n + , SM49 => SM7 => ( n − 2) M7 => n − 2M7 => n = 7t + 2 Mà ( ) , thay vào S ta được: S = 49 t + t − 28 => S/M49 trái với giả sử, Vậy S không chia hết cho 49 với số tự nhiên n Bài 2: Chứng minh: HD: Giả sử: Từ (1) / 15,∀n∈ Z n2 + n + 2M n2 + n + 2M 15 => n2 + n + 2M3 => n( n + 1) + 2M3 (1)  n = 3k + / =>  => nM ,k ∈ Z  n = 3k − => n2 − = ( n − 1) ( n + 1) M3 Lại có: /3 n2 + n + = n2 − 1+ n + 3M mâu thuẫn với giả thiết, Vậy / 15 n2 + n + 2M / 121,∀n∈ N n + 3n + 5M Bài 3: Chứng minh rằng: HD: Giả sử: n2 + 3n + 5M 121 => n2 + 3n + 5M 11 => 4n2 + 12n + 20M 11 => 4n2 + 12n + + 11M 11 => ( 2n + 3) + 11M 11 Nhưng A = n2 + 3n + 5M 11 A= A/M121 11 / 121 M n +4 n+ Bài 4: Xét phân số Hỏi có phân số tự nhiên n khoảng từ đến 2002 cho phân số A chưa tối giản HD: ( ) d = n2 + 4; n + => d > Giả sử A chưa tối giản Đặt 14 ( n + 5) − ( n Ta có: Ngược lại: ) + Md => 10n + 21Md => 10( n + 5) − 29Md => 29Md => d = 29 ( ) ( ) n + 5M29 => n + = 29k, k∈ N* => n2 + = 29 29m2 − 5k + M29 => A Nếu tối giản Do đó, ta cần tìm n cho ( ) n + = 29k, k ∈ N * => ≤ n ≤ 2002 1≤ m≤ 69 Vậy có tất 69 giá trị m n có 69 giá trị để A chưa tối giản Bài 5: Chứng minh rằng: HD: / 343,∀n∈ N 9n3 + 9n2 + 3n − 16M Bài 6: Có tồn số tự nhiên n cho HD: Giả sử tông số tự nhiên n để n2 + n + 2M49 không n2 + n + 2M49 => 4n2 + 4n + 8M49 => ( 2n + 1) + 7M49 => ( 2n + 1) M7 2 => 2n + 1M7 => ( 2n + 1) + 7M49 Vì số nguyên tố n + n + 1M9,∀n∈ N Bài 7: Chứng minh rằng: HD: Giả sử tồn số tự nhiên n cho Vì số nguyên tố nên Nếu Nếu ( n+ 2) M3 ( n + 2) M3 => ( n + 2) ( n− 1) + 3M3 ( n − 1) M3 => ( n + 2) ( n − 1) M3 từ => 7M49 ( vơ lý) * n2 + n + 1M9 => ( n + 2) ( n − 1) + 3M9 ( n− 1) M3 không chia hết cho không chia hết cho 4n − 4n + 18M289,∀n∈ N Bài 8: Chứng minh rằng: HD: Giả sử tồn số tự nhiên n để 4n2 − 4n + 18M289 => ( 2n − 1) + 17M 172 => ( 2n − 1) M 17 Vì 17 số nguyên tố nên ( 2n − 1) ( 2n − 1) M17 => ( 2n − 1) M289 Khi đó: / 289 + 17M 15 Bài 9: Tìm tất cặp số nguyên dương HD: ( a;b) ( ( a + b ) M( a b − 1) cho: ) ( ) a + b2 Ma2b − => ∃k ∈ N * : a + b2 = k a2b − a + k = b ka2 − b Gỉả sử Đặt m= ka2 − b,( m∈ Z) => a + k = mb a, b, k ∈ N * => m∈ N * , Do ( m− 1) ( b − 1) = mb − m− b + = a + k − ka + = ( a + 1) ( k − ka + 1) mb , ∈ N => ( m− 1) ( b − 1) ≥ => ≥ k ( a − 1) * Vì TH1 : k( a − 1) = => a = ( m− 1) ( b − 1) = ( a + 1) ( k − ka + 1) Ta được: k, a∈ N* => a − ≥ ta có :  m− =  m=   ( m− 1) ( b − 1) = => b − 1= b = TH2: thức ta được: ( m− 1) ( b − 1) = ( a + 1) ( k − ka + 1) m= , thay vào đẳng thức ta : k ( a − 1) = => k = a − 1= => k = Nếu , Do , ta có: từ Vậy cặp số ta được: a= , Thay k = 1, a = vào đẳng ( m− 1) ( b − 1) = => m= b = a + k = mb => b = ( a;b) = ( 1;2) ,( 1;3) ,( 2;1) ,( 2;3) 16 Dạng 4: SỬ DỤNG TÍNH CHẤT: Bài 1: Chứng minh HD: Ta có: , ta cần chứng minh ) ( A = 2005 − 1897n − 168n − 60n Ta có : n Áp dụng tính chất : Khi : an − bn M( a − b) , 2005n − 1897nM( 2005− 1897) ( Bài 2: Cho HD: n∈ N ( a− b ≠ với n tự nhiên và ) ( AM 12, AM 167 ) 168n − 60nM( 168− 60) A = 2005n − 168n − 1897n − 60n Tương tự : LẺ A = 2005n + 60n − 1897n − 168n M2004,∀n∈ N 2004 = 12.167 ( An + Bn M( A + B) ,∀n ) ) ( Khi M => Vậy A 12 AM 167 ) A = 5n 5n + − 6n 3n + 2n M91 , CMR : Ta cần chứng minh AM7 AM 13 ( ) ( A = 25n + 5n − 18n − 12n = 25n − 18n − 12n − 5n Ta có : Áp dụng tính chất : ) an − bn M( a − b) => AM7 ( ) ( ) A = 25n − 12n − 18n − 5n => AM 13 Tương tự : Bài 3: Cho HD: n∈ N , Chứng minh rằng: 62n + 19n − 2n+1M 17 ( ) ( A = 62n + 19n − 2n+1 = 36n + 19n − 2.2n = 36n − 2n + 19n − 2n Ta có: Vì 36n − 2nM( 36 − = 34) ) 19n − 2nM 17 + 33 + 53 + 73M23 Bài 4: Chứng minh rằng: HD : ( ) ( ) A = 13 + 33 + 53 + 73 = 13 + 73 + 33 + 53 = 8N + 8M M Ta có: Bài 5: Chứng minh rằng: HD: 28n.56n − 1980n − 441n + 1M 1979,∀n∈ N 17 ( ) ( A = 28n.56n − 1980n − 441+ = 46n − 441n − 1980n − 1n Ta có: Vì 46n − 441n = 4000000n − 441n M 3999559 6n ( ) ( ) = ( − ) M = ( + ) ( − ) M = 35.19M M35 n 36n − 26n = 36 − 26 Ta có: n 6 Bài 7: CMR với số tự nhiên n ta có : HD : Ta có: Vì ( 64 1980n − 1n M 1979 − M35,∀n∈ N 6n Bài 6: Chứng minh rằng: HD: ) 5n + + 26.5n + 82 n +1 M59 − ) M( 64 − ) n = 3 5n + + 26.5n + 82n +1 M59 51.5n + 8.64n = ( 59 − ) 5n + 8.64n = 59.5n + ( 64n − 5n ) Bài 8: Chứng minh rằng: HD: nên ta có đpcm 92n + 14M 15 ( ) 92n + 14 = 92n − 1+ 15 = 81n − + 15 = 80n + 15M5 Ta có: Bài 9: Chứng minh rằng: HD: Tách 232 = 17.19 ( A = 20n + 16n − 3n − 1M232,∀n∈ N ) ( ) A = 20 − 3n + 16n − Khi đó: Lại có: Khi đó: n 20n − 3n = ( 20 − 3) M = 17M M 17 AM 17 ( ) ( A = 20n − + 16n − 3n Mặt khác: 20 − = ( 20 − 1) P = 19.P M 19 ) n Mà , 16n − = ( 16 + 1) N = 17N M 17 , 16n − 3n = ( 16 + 3) Q = 19.QM 19 => AM 19 nn − n2 + n − 1M( n − 1) ,∀n > Bài 10: Chứng minh rằng: HD: 18 n = => nn − n2 + n − 1= 1M( n − 1) = Với Với ( ) n > => A = nn − n2 + n − 1= nn − n2 + ( n − 1) ( ) ( ) = n2 nn−2 − + ( n − 1) = n2 ( n − 1) nn−3 + nn−4 + + + ( n − 1) ( ) ( ) ( ) = ( n − 1) nn−1 + nn− + + n2 + = ( n − 1)  nn−1 − + + n2 − + ( n − 1)    = ( n − 1) M M( n − 1) 2 Bài 11: Chứng minh rằng: HD: 32n+1 + 22n+ M7,∀n∈ N 32n+1 + 22n+2 = 3.32n + 2.2n = 3.9n + 4.2n = 3.( 7+ 2) + 4.2n = 7.M + 7.2n M7 n Ta có: ( ) mn m4 − n4 M30,∀m, n∈ N Bài 12: Chứng minh rằng: HD: ( ) ( )( ) ( )( ) mn m4 − n4 = mn m2 − m2 + − mn n2 − n2 + M30 Ta có: Bài 13: Chứng minh rằng: HD: Đặt A = 3n + 63M72, n∈ N, n ≥ ( n số chẵn ) ( ) n = 2k,( k ∈ N ) => 3n + 63 = 32k + 63 = 32k − + 64 = 9k − + 64M Mặt khác: n ≥ => 3n M9 Bài 14: Tìm giá trị n để: HD: Ta có: hay AM8 63M9 => AM9 A = 20n + 16n − 3n − 1M323 323 = 17.19 Bài 15: Tìm số tự nhiên n để HD: A = 32n+3 + 24n+1M25 A = 32n+3 + 24n+1 = 32n.27+ 24n.2 = 32n.25+ 32n.2 + 24n.2 ( = 32n.25+ 9n + 16n Ta có: Bài 16: Cho a, b hai số phương lẻ liên tiếp, Chứng minh rằng: ) a( a − 1) ( b − 1) M 192 HD: a = ( 2k − 1) ,b = ( 2k + 1) ,( k ∈ N ) Đặt , Khi ta có: 19 ( a − 1) ( b − 1) = 16k( k + 1) ( k − 1) M64 M Bài 17: Cho ba số nguyên dương a, b, c thỏa mãn: rằng: HD : a2 = b2 + c2 , Chứng minh abcM60 Ta có : 60=3.4.5, đặt M = abc Nếu a, b, c không chia hết cho => a ≠ b + c 2 => b + c chia hết cho dư , Do có số chia hết cho Vậy Nếu a, b, c không chia hết cho => a2,b2,c2 => a2,b2,c2 => a ≠ b + c chia dư hoặc MM3 chia dư , Do có số M chia hết cho => M Nếu a, b, c số lẻ => b2,c2 => b + c ≡ ( mod4) => a ≠ b + c 2 2 chia dư Do hai số a, b phải số chẵn Giả sử b số chẵn: M + Nếu c số chẵn =>M + Nếu c số lẻ, mà a2 = b2 + c2 => a số lẻ => b2 = ( a − c) ( a + b)  b  a + c   a − c  b =>  ÷ =  => ÷ ÷  2     Vậy M = abcM3.4.5 Bài 18: Chứng minh rằng: HD : Ta có: Thấy ĐPCM chẵn => bM4 => M M4 36n2 + 60n + 24M24 = 36n2 + 60n + 24 = 12n( 3n + 5) + 24 n;3n+ , không đồng thời chẵn lẻ > n( 3n + 5) M2 => 20 21 Dạng 5: PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP Bài 1: Chứng minh HD: Với A = 16n − 15n − 1M225,∀n∈ N* n = => A = 0M225 Giả sử n= k ≥ A = 16k − 15k − 1M225 Ta cần chứng minh với Thật vậy: n= k+1 16k+1 − 15( k + 1) − 1M225 ( ) 16k+1 − 15( k + 1) − = 16.16k − 15k − 16 = 16k − 15k − + 15.16k − 15 = 16k − 15k − 1+ 15.15.M = A + 225.M M225 3n+ Bài 2: Chứng minh rằng: HD: Bài 3: Chứng minh rằng: HD: Vậy A = 16n − 15n − 1M225,∀n∈ N* − 26n − 27M29,∀n ≥ 42n+ − 1M 15,∀n∈ N * 22 ... không chia hết cho => a ≠ b + c 2 => b + c chia hết cho dư , Do có số chia hết cho Vậy Nếu a, b, c không chia hết cho => a2,b2,c2 => a2,b2,c2 => a ≠ b + c chia dư hoặc MM3 chia dư , Do có số M chia. .. ( n − 1) + 3M9 ( n− 1) M3 không chia hết cho không chia hết cho 4n − 4n + 18M 289 ,∀n∈ N Bài 8: Chứng minh rằng: HD: Giả sử tồn số tự nhiên n để 4n2 − 4n + 18M 289 => ( 2n − 1) + 17M 172 => ( 2n... = n ( n − 1) ( n + 1) ( n − ) Ta có: tích số tự nhiên liên tiếp nên có số chia hết cho số chia hết chia hết cho chia hết cho Bài 9: Chứng minh rằng: HD: Ta có: a a2 a3 + + số nguyên với a nguyên