BỒI DƯỠNG HSG TOÁN 8 CHUYÊN đề PHÂN TÍCH đa THỨC THÀNH NHÂN tử

BỒI DƯỠNG HSG TOÁN 18   CHUYÊN ĐỀ 2: PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ  A PHƯƠNG PHÁP TÁCH HẠNG TỬ Phương pháp: p p ước hệ số tự do, q kà ước q - Đa thức f(x) có nghiệm hữu tỉ có dạng dương hệ số cao - Nếu f(x) có tổng hệ số f(x) có nhân tử là: x – - Nếu f(x) có tổng hệ số hạng tử bậc chẵn tổng hệ số hạng tử bậc lẻ f(x) có nhân tử là: x + - Nếu a nghiệm nguyên f(x) f (1)  0; f (1)   f (1) f (1) ; số nguyên a 1 a 1 Để nhanh chóng loại trừ nghiệm ước hệ số tự Đối với đa thức bậc hai : ax2 + bx + c Cách 1: Tách hạng tử bậc bx - Tính a.c phân tích a.c tích hai thừa số ac = a1c1 = a2c2 = - Chọn hai thừa số có tổng b , chẳng hạn : ac = a1c1 với a1 + c1 = b - Tách bx = a1x + c1x - Dùng phương pháp nhóm số hạng để phân tích tiếp Bài 1: Phân tích đa thức sau thành nhân tử a 3x  x  b 3x  x  d x  x  24 e x  x  c x  11x  Lời giải a) Ta có: 3.4 = 12 = 2.6 , mà + = nên ta được: 3x2  8x   3x2  x  x   3x   x   b) Cách 1: Tách hạng tử thứ 2: 3x2  8x   3x2  x  x   3x  x     x     x  3x   Cách 2: Tách hạng tử thứ nhất: 3x  x    x  x    x   x   3x   c) x2 11x  28   x  4 x   d) x2  5x  24   x  8 x  3 e) x2  5x    x 1 x  4 Cách 2: Tách hạng tử bậc ax2 - Ta thường làm làm xuất đẳng thức: a2  b2   a  b  a  b  Bài 2: Phân tích đa thức sau thành nhân tử : 3x  x  FILE WORD LH ZALO : 0816457443 18/39 BỒI DƯỠNG HSG TOÁN 19   Lời giải Ta có: 3x2  8x    x2  8x  4  x2   x  2   x2   x  23x  2 Cách 3: Tách hạng tử tự c - Ta tách c thành c1 c2 để dùng phương pháp nhóm hạng tử tạo đẳng thức cách c1 nhóm với ax2 cịn c2 nhóm với bx Bài 3: Phân tích đa thức sau thành nhân tử a 3x  x  b) x  x  c) x  12 x  Lời giải a 3x  x  16  12   3x  12    x  16    x   3x   b x2  x    x2  x  1    x  1  22   x  1 x  3 c x  12 x    x  12 x      x   32   x   x  1 Đối với đa thức bậc ba trở lên ( dùng phương pháp nhẩm nghiệm ) n n 1 Cơ sở để phân tích: Xét đa thức Pn ( x)  a n x  an 1 x   a1 x  a0 (an a0  Z , n  1) +) Nếu x = a nghiệm P(x) P(a) = Hệ Quả : Nếu Pn(x) = có nghiệm ngun nghiệm ước a0 +) Định lý Bezut: Nếu Pn(x) = có nghiệm x = a Pn(x) = (x - a) H(x) bậc (n - 1) Bài 4: Phân tích đa thức sau thành nhân tử: x  x 4 Lời giải Ta nhận thấy nghiệm f(x) có x  1, 2  Chỉ có f(2) = nên x = nghiệm f(x) nên f(x) có nhận tử x – Do ta tách f(x) thành nhóm có xuất nhân tử x – 3 2 Cách 1: x  x 4   x  x    x  x    x     x    x  x   3 2 Cách 2: x  x 4  x   x 4   x     x     x    x  x   Bài 5: Phân tích đa thức sau thành nhân tử b x3  x  x  a x3  x  Lời giải a Ta có ước là: 1; 2; 4 Nhận thấy x = -2 nghiệm đa thức đa thức có nhân tử là: x – (-2) = x +  x3  x  x   ( x  2) ( x  x  2) 0 Hoặc:  ( x3  8)  ( x  4)  ( x  2)( x  x  2) b Nhận thấy x = -1 nghiệm đa thức nên có nhân tử là: x + FILE WORD LH ZALO : 0816457443 19/39 BỒI DƯỠNG HSG TOÁN 20   x3  x  x   ( x3  x )  (4 x  x)  (4 x  4)  ( x  1)( x  2) *) Chú ý:  + Nếu f(x) có tổng hệ số f(x) có nhân tử x – + Nếu f(x) có tổng hệ số hạng tử bậc chẵn tổng hệ số hạng tử bậc lẻ f(x) có nhân tử x + Bài 6: Phân tích đa thức sau thành nhân tử b x  x3  x  a x  x  x3  19 x  30 d x3  x  x  10 c e x  x3  x  x  Lời giải a Ta có: + = nên đa thức có nhân tử x + x  x   ( x  1)(6 x  5) b Ta có tổng hệ số tổng chẵn tổng lẻ nên có nhân tử x2 -1 x  x3  x   ( x  1)  ( x3  x)  ( x  1)( x  1)( x  x  1) x  x3  x   ( x  x3 )  ( x  1)  ( x  1)( x  1)( x  x  1) c Ta có x = -3 nghiệm nên có nhân tử x + x3  19 x  30  x3  3x2  3x2  x  10 x  30  ( x  3)( x  3x  10)  ( x  3)( x  2)( x  5) d Ta có: x = -1 nghiệm đa thức nên có nhân tử là: x + x3  x  x  10  x3  x  3x  3x  10 x  10  ( x  1)( x  2)( x  5) e Ta có tổng chẵn tổng lẻ nên có nhân tử: x + 1, sau lại tổng chẵn tổng lẻ x4  5x3  5x  5x   ( x  1)( x  1)( x  3)(2 x  1) Bài 7: Phân tích đa thức thành nhân tử: x3  x  11x  Lời giải Bấm máy ta thấy đa thức có ba nghiệm nguyên -1, -2, -3, nên ta phân tích : x3  6x2  11x    x  1 x  2 x  3 Bài 8: Phân tích đa thức thành nhân tử: a3  4a  29a  24 Lời giải Bấm máy nhận thấy đa thức có ba nghiệm 1,3 -8, nên có chứa nhân tử (a - 1), (a - 3) (a + 8), 3 2 Ta có: a  4a  29a  24   a  a    5a  5a    24a  24  a  a  1  5a  a  1  24  a  1   a  1  a  5a  24  =  a  1 a  3 a  8 Bài 9: Phân tích đa thức thành nhân tử: x3  x  x  Lời giải FILE WORD LH ZALO : 0816457443 20/39 BỒI DƯỠNG HSG TOÁN 21   Nhận xét : Tổng hệ số hạng tử bậc chẵn tổng hệ số hạng tử bậc lẻ nên đa thức có nhân tử là: x +  Như ta có : x  5x  8x    x  x    x2  x    x     x  1 x   3 2 Bài 10: Phân tích đa thức thành nhân tử: 6a  7a  37a  8a  12 Lời giải Nhẩm thấy đa thức có nghiệm x = 2, hay có nhân tử là: x - 4 3 2 Ta có: 6a  7a  37a  8a  12  (6a  12a )  (19 a  38a )   a  2a    6a  12  6a  a    19a  a    a  a     a     a    6a  19a  a   =  a  2 a  3 2a 13a  2 Bài 11: Phân tích đa thức thành nhân tử: x  x3  13x  12 x  Lời giải Thấy tổng hệ số bậc chẵn tổng hệ số bậc lẻ, nên đa thức có nghiệm -1 4 3 2 Ta có: x  x  13x  12 x    x  x    x  x    x  x    x   3 = x  x  1  x  x  1  x  x  1   x  1   x  1  x  x  x   =  x  1  x   2 *) Trường hợp đặc biệt: Đa thức khơng có nghiệm nguyên n n 1 Xét đa thức Pn ( x)  a n x  an 1 x   a1 x  a0 (an a0  Z , n  1) +) Nếu Pn(x) = có nghiệm x  a n q p [(p;q)=1]   q a0 p Bài 12: Phân tích đa thức sau thành nhân tử b x  15 x3  43x  22 x  40 a 3x3  x  17 x  c x  x3  19 x  31x  30 Lời giải a Các ước là: 1; 5 Nhận thấy đa thức nghiệm ngun, ta tìm nghiệm hữu tỷ đa thức x  p U (5) p 1  ta thấy nghiệm đa thức x  nên có nhân tử x  hay 3x -1 3 q q U (3) Vậy: 3x3  x  17 x   3x3  x  x  x  15x   (3x  1)( x  x  5) b Ta thấy đa thức có nhân tử là: x   3x  x4  15x3  43x  22 x  40  (3x  2)(3x3  x  19 x  20) Lại có nhân tử là: 3x +  (3x  2)(3x3  x  19 x  20)  (3x  2)(3x  4)( x  x  5) c x  x3  19 x  31x  30  (2 x  3)(3x  2)( x  x  5) FILE WORD LH ZALO : 0816457443 21/39 BỒI DƯỠNG HSG TOÁN 22   BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài 13: Phân tích đa thức sau thành nhân tử:x5  x  3x3  x  Lời giải Nhận xét: Tổng hệ số nên đa thức có nhân tử là: x – 1, chia đa thức cho x – 4 ta được: x  x  3x  x    x  1  x  x  x  x   Vì  x  x  x  x   khơng có nghiệm ngun khơng có nghiệm hữu tỷ nên khơng phân tích 4 Vậy x  x  3x  x    x  1  x  x  x  x   Bài 14: Phân tích đa thức sau thành nhân tử: x  2017 x  2016 x  2017 Lời giải Cách 1: x  2017 x  2016 x  2017   x  x  1   2016 x  2016 x  2016    x  x  1 x  x  2017  Cách 2: x  2017 x  2016 x  2017   x  x    2017 x  2017 x  2017    x  x  1 x  x  2017  Bài 15: Phân tích đa thức sau thành nhân tử: x  x  2017.2018 Lời giải Ta có: x2  x  2017.2018  x2  2017 x  2018x  2017.2018   x  2017  x  2018 Bài 16: Phân tích đa thức thành nhân tử: x  x3  x  x  Lời giải Nhận thấy đa thức bậc khơng dùng máy tính Và đa thức khơng có hai nghiệm -1 Tuy nhiên đa thức lại có hệ số cân xứng nhau: Nên ta làm sau: 6   1    x  x3  x  x   x  x  x      x2  x2    x     x x  x x     Đặt x  1  t  x   t  x x     Đa thức trở thành : x2 t   6t   x2 t  6t   x2  t  3 2  x   3x    2 Thay t trở lại ta : x  x     x    ( x  3x  1) x x     2 Vậy x  x3  x  x    x  3x  1 Bài 17: Phân tích đa thức thành nhân tử: x3  x  11x  FILE WORD LH ZALO : 0816457443 22/39 BỒI DƯỠNG HSG TOÁN 23   Lời giải Bấm máy ta thấy đa thức có ba nghiệm nguyên  -1, -2, -3, nên ta phân tích : x3  6x2  11x    x  1 x  2 x  3 Bài 18: Phân tích đa thức thành nhân tử:  x  1 x  3 x  5 x    15 Lời giải Với dạng này, ta việc lấy số nhỏ nhân với số lớn nhất, để tạo số hạng 2 giống :  x  1 x   x  3 x    15   x  x   x  x  15   15 2 Đặt x  8x  t   t   t  15  15  t  22t  105  15  t  22t  120   t  10  t  12    x  x  10  x  x  12  =  x  x  10   x   x   Bài 19: Phân tích đa thức thành nhân tử: 3x3  x  17 x  Lời giải Bấm máy tính cho ta có nghiệm x  , nên có nhân tử : (3x - 1) nên ta có : 3x3  x  17 x   3x3  x  x  x  15 x   x  3x  1  x  3x  1   3x  1   x  1  x  x   Bài 20: Phân tích đa thức thành nhân tử: x3  x  x  Lời giải Bấm máy tính cho ta có nghiệm x  , nên có nhân tử : (2x - 1) Nên ta có : x3  x  x   x3  x  x  x  x   x  x  1  x  x  1   x  1   x  1  x  x  3 Bài 21: Phân tích đa thức thành nhân tử: 3x3  14 x  x  Lời giải Bấm máy tính cho ta nghiệm : x  1 nên có nhân tử : (3x + 1) Ta có : 3x3  14 x  x   3x3  x  15 x  x  x  x  3x  1  x  3x  1   3x  1   3x  1  x  x  3 Bài 22: Phân tích đa thức thành nhân tử: x3  x  x  Lời giải Bấm máy tính cho ta nghiệm : x= -1 x= -2 Như ta có : x  x  x    x  1 x   Bài 23: Phân tích đa thức thành nhân tử: x  1997 x  1996 x  1997 FILE WORD LH ZALO : 0816457443 23/39 BỒI DƯỠNG HSG TOÁN 24   Lời giải 2 x  x  1 x  x  1  1996  x  x  1 Ta có:  x  x  1  1996 x  1996 x  1996      x  x  1 x  x  1997  Bài 24: Phân tích thành nhân tử: x  2004x  2003x  2004 Lời giải      x4  2004x2  2004x  x  2004  x4  x  2004 x2  x           x x3   2004 x2  x   x  x  1 x2  x   2004 x2  x      x2  x  x2  x  2004 Bài 25: Phân tích đa thức thành nhân tử: x  x  2001.2002 Lời giải 2 2 Ta có: x  x  2001 2001  1  x  x  2001  2001   x  2001    x  2001  x  2011 x  2011   x  2011   x  2011 x  2012 Bài 26: Phân tích đa thức thành nhân tử: 6a  7a  37a  8a  12 Lời giải Nhẩm thấy đa thức có nghiệm x = 2, hay có nhân tử x - 4 3 2 Ta có : 6a  7a  37a  8a  12  (6a  12a )  (19 a  38a )   a  2a    6a  12  6a  a    19a  a    a  a     a     a    6a  19a  a   =  a  2 a  3 2a 13a  2 Bài 27: Phân tích đa thức thành nhân tử: x  x3  13x  12 x  Lời giải Thấy tổng hệ số bậc chẵn tổng hệ số bậc lẻ, nên đa thức có nghiệm -1 4 3 2 Ta có : x  x  13x  12 x    x  x    x  x    x  x    x   3 = x  x  1  x  x  1  x  x  1   x  1   x  1  x  x  x   =  x  1  x   2 Đối với đa thức nhiều biến Tương tự phân tích đa thức dạng: ax  bx  c Bài 28: Phân tích đa thức sau thành nhân tử a x2  5xy  y b x  5xy  y c a  2ab  b  2a  2b  d x2 ( y  z )  y ( z  x)  z ( x  y) FILE WORD LH ZALO : 0816457443 24/39 BỒI DƯỠNG HSG TOÁN 25   Lời giải  y)(2 x  y) a x2  5xy  y  (2 x  xy)  ( xy  y )  ( x b x2  5xy  y  x  xy  3xy  y  ( x  y)(2 x  y) c a  2ab  b2  2a  2b   (a  b)2  2(a  b)   (a  b  1)2 d Ta có: x ( y  z )  y ( z  x)  z ( x  y)  z ( x  y)  x y  x z  y z  y x  z ( x  y)  xy( x  y)  z ( x  y )  ( x  y )( y  z )( z  x) B PHƯƠNG PHÁP NHÓM HẠNG TỬ – Kết hợp hạng tử thích hợp thành nhóm – Áp dụng liên tiếp phương pháp đặt nhân tử chung dùng đẳng thức Bài 1: Phân tích thành nhân tử A  a(b2  c )  b(c  a )  c(a  b2 )  2abc Lời giải: A  a(b2  c2 )  b(c  a )  c(a  b2 )  2abc  a(a  2ab  b2 )  (ab2  a 2b)  (ac  bc )  c(a  b)2  ab(a  b)  c (a  b)  (a  b)(b  c)(c  a) Bài 2: Phân tích thành nhân tử: A  a(b2  c )  b(c  a )  c(a  b2 )  3abc Lời giải: A  (ab2  a 2b  abc)  (ac2  a2c  abc)  (bc2  b2c  abc)  (a  b  c)(ab  bc  ca) Bài 3: Phân tích thành nhân tử: A  abc  (ab  bc  ca )  a  b  c  Lời giải A  (abc  bc)  (ab  b)  (ac  c)  (a  1)  (a  1)(b  1)(c  1) Bài 4: Phân tích thành nhân tử: A  8abc  4(ab  bc  ca)  2(a  b  c)  Lời giải A  (8ab  4bc)  (4ab  2b)  (4ac  2c)  (2a  1)  (2a  1)(2b  1)(2c  1) Bài 5: Phân tích thành nhân tử: A  a(b3  c3 )  b(c3  a3 )  c(a3  b3 )  abc(a  b  c) Lời giải Ta có: A  (a  b2  c )(ab  bc  ca) C PHƯƠNG PHÁP DÙNG HẰNG ĐẲNG THỨC Cần nắm cách biến đổi đẳng thức sau: 2 1)  a  b   a  b  2ab   a  b   4ab 2 2 2)  a  b   a  b  2ab   a  b   4ab 2 2 3) a  b   a  b   2ab   a  b   2ab 2 FILE WORD LH ZALO : 0816457443 25/39 BỒI DƯỠNG HSG TOÁN 26     5) a  b   a  b   a  ab  b    a  b  6,  a  b    a  b    a  b  4) a3  b3   a  b  a  ab  b2   a  b   3ab  a  b  3 2 2  3ab a  b  7)  a  b    a  b   4ab 2 4 8) a  b   a  b  a  b   a  b   2ab 2 2 9) a  b4   a  b   2ab    ab      3 2 10) a  b  c  3abc   a  b  c  a  b  c  ab  bc  ca    2 2 2 11) a  a b  b  a  ab  b a  ab  b    2 12) a  a   a  a  a  a  13) (a  b  c)2  a  b2  c  2ab  2bc  2ca Bài 1: Phân tích thành nhân tử b x2  y  10 x  y  16 a  27a 3b6 d (a  b  c)3  a3  b3  c3 c a  b3  c3  3abc Lời giải a  27a3b6  23  (3ab2 )3  (2  3ab2 )(4  6ab2  9a2b4 ) b x  y  10 x  y  16  ( x  5)2  ( y  3)2  ( x  y  8)( x  y  2) c Ta có:  a3  3a 2b  3ab2  b3  3a 2b  3ab2  c3  3abc  (a  b)3  c3  3ab(a  b  c)  (a  b  c)  a  b   (a  b)c  c    3ab  a  b  c    a  b  c   a  b   (a  b)c  c  3ab   (a  b  c)(a  b  c  ab  bc  ca)   d   a  b   c   a3  b3  c3  (a  b)3  3(a  b)2 c  3(a  b)c  c3  (a  b3 )  c3 =  a  b   a  2ab  b  3ac  3bc  3c  a  ab  b    ab  ac  bc  c    a  b  b  c  c  a  Bài 2: Phân tích thành nhân tử a x3  y3  3xy  b x  y  12 xy  x  y  c 2(a 2b2  b2c  c a )  (a  b4  c ) Lời giải a Ta có: x3  y3  3xy( x  y)  3xy( x  y)  3xy   ( x  y)3   3xy( x  y  1)  ( x  y  1)( x  xy  y  x  y  1) b Ta có: x  y  12 xy  x  y   (2 x)2  (3 y)2  2.2 x.3 y  2(2 x  y)    (2 x  y)  22  (2 x  y  1)(2 x  y  3) FILE WORD LH ZALO : 0816457443 26/39 BỒI DƯỠNG HSG TỐN 27   c Ta có: 4b2c2  (a4  b4  c4  2b2c2  2a2b2  2c2 a2 )  (2bc)2  (b2  c2  a2 )2  (b  c  a)(b  c  a)(a  b  c)(a  b  c)  2 2 2 Bài 3: Cho biểu thức: A  b  c  a  4b c   a) Phân tích A thành nhân tử b) Chứng minh rằng: Nếu a, b, c độ dài cạnh tam giác A< Lời giải  a) Ta có: A  b2  c2  a2     4b2c2  b2  c2  a2     2bc 2   b2  c2  a2  2bc b2  c2  a2  2bc   b  c  a b  c  a b  c  a b  c  a b) Vì a, b, c độ dài ba cạnh tam giác nên: b  c  a  0, b  c  a  0, b  c  a  0, b  c  a   A  Bài 4: Phân tích đa thức thành nhân tử: x  2010 x  2009 x  2010 Lời giải x  x   2009 x  2009 x  2009   x  x  1 x  x  1  2009  x  x  1   x  x  1 x  x  2010  BÀI TẬP VỀ NHÀ Bài 1: Phân tích đa thức sau thành nhân tử ( Sử dụng tách hạng tử ) b x3  x  x  a x3  x  d x  30 x  31x  30 c x3  x  x  16 e x  2010 x  2009 x  2010 Lời giải a x3  x   ( x  1)( x  2)( x  3) b x3  5x  8x   ( x  1)( x  2)2 c x3  x  x  16  ( x  1)( x  2)( x  8) d x  30 x  31x  30  ( x  5)( x  6)( x  x  1) e x4  2010 x2  2009 x  2010  ( x4  x)  2010 x  2010 x  2010  ( x2  x  1)( x  x  2010) Bài 2: Phân tích thành nhân tử: A  abc  2(ab  bc  ca)  4(a  b  c)  Lời giải A  abc  2(ab  bc  ca)  4(a  b  c)   (a  2)(b  2)(c  2) Bài 3: Phân tích thành nhân tử: A  x3  x y  x  x  xy  y Lời giải A  x3  x y  x  x  xy  y  ( x  y)( x  x  1) FILE WORD LH ZALO : 0816457443 27/39 BỒI DƯỠNG HSG TOÁN 42   =  x  y  y  z   x  y   x  y    y  z   y  z  2 3 2 =  x  y  y  z   x  xy  x y  y  y  yz  y z  z   =  x  y  y  z  x3  z  y  x  z   y  x  z   =  x  y  y  z   x  z   x  xz  z   y  x  z   y  x  z  x  z  2 =  x  y  y  z  x  z   x  xz  z  y  xy  yz  Bài 10: Phân tích đa thức thành nhân tử:  a  b  c  ab  bc  ca   abc Lời giải Ta có: a 2b  abc  a 2c  ab  b 2c  abc  abc  bc  ac  abc =  a b  ab 2  abc    b 2c  bc  abc   a 2c  ca = ab  a  b  c   bc  a  b  c   ac  a  c  = b  a  b  c  a  c   ac  a  c  =  a  c   ab  b  bc  ac    a  c  b  c  a  b  Bài 11: Phân tích đa thức thành nhân tử:  a  b  c    a  b  c    b  c  a    c  a  b  3 3 Lời giải 3 3 Ta có:  a  b  c    a  b  c    b  c  a    c  a  b   x  a  b  c   y  b  c  a  x  y  z  a  b  c z  c  a  b    =  x  y  z   x3  y3  z  x3  y3  z   x  y  y  z  z  x   x3  y  z 3 =  x  y  y  z  z  x   3.2a.2b.2c  24abc 2 Bài 12: Phân tích đa thức thành nhân tử: a  b  c   b  c  a   c  a  b  Lời giải 2 Ta có: a  b  c   b    b  c    a  b    c  a  b  2 2 = a  b  c   b  b  c   b  a  b   c  a  b  =  b  c  a  b  a  b    a  b b  c b  c  =  b  c  a  b  a  b  b  c    a  b b  c  a  c  3 3 3 Bài 13: Phân tích đa thức thành nhân tử: x  y  z   y  z  x   z  x  y  Lời giải 3 3 3 3 Ta có: xy  xz  yz  x y  x z  y z = x  z  y   y  x  z   z  y  x  3 3 3 = x  z  y   y    z  y    y  x    z  y  x  = x  z  y   y  z  y   y  y  x   z  y  x  3 3 2 2 =  z  y   x  y    y  x   z  y  =  z  y  x  y   x  xy  y    y  x  z  y   z  yz  y  FILE WORD LH ZALO : 0816457443 42/39 BỒI DƯỠNG HSG TOÁN 43   2 2 =  z  y  x  y   x  xy  y  z  yz  y  2 =  z  y  x  y   x  z  xy  yz    z  y  x  y x  z  x  y  z   Bài 14: Phân tích đa thức thành nhân tử: x2  y  z   x  y  z    xy  yz  zx  2 Lời giải Ta có:  x  y  z   x  y  z    xy  yz  zx     xy  yz  zx  Đặt: x2  y  z  a, xy  yz  zx  b đa thức: a  a  2b   b2  a  2ab  b2   a  b    x  y  z  xy  yz  zx  2 Bài 15: Phân tích đa thức thành nhân tử:  x4  y  z    x2  y  z    x2  y  z   x  y  z    x  y  z  2 Lời giải Đặt: x  y  z  a, x  y  z  b, x  y  z  c , Khi ta có: 2a  b2  2bc  c  2a  2b2  b2  2bc  c   a  b2    b  c  , 2 2 2 2 Lại có : a  b  2  x y  y z  z x  b  c  2  xy  yz  zx  ,   Thay vào ta : 4 x2 y  y z  z x2   xy  yz  zx   8xyz  x  y  z  2 2 Bài 16: Phân tích đa thức thành nhân tử: c  a  b   b  a  c   a b  c  Lời giải 2 Ta có : c  a  b   b  a  b    b  c    a  b  c  = c2  a  b   b2  a  b   b2 b  c   a b  c  =  a  b  b  c b  c   b  c b  a b  a  =  a  b b  c b  c  a  b    a  b b  c  c  a  3 Bài 17: Phân tích đa thức thành nhân tử:  x  y  z   y  z  x   z  x  y Lời giải 3 Ta có : z  x  y   x    x  y    z  x    y  z  x  3 3 3 3 = z  x  y  x  x  y  y  z  x  x  z  x =  x  y   z  x    z  x   y  x  2 2 =  x  y  z  x   z  zx  x    z  x  y  x   y  xy  x  2 2 =  x  y  z  x   z  zx  x  y  xy  x    x  y  z  x  z  y  z  y  x  Bài 18: Phân tích đa thức thành nhân tử: ab  a  b   bc  b  c   ac  c  a  Lời giải Ta có : ab  a  b   bc  a  b    c  a    ac  c  a  = ab  a  b   bc  a  b   bc  c  a   ac  c  a  FILE WORD LH ZALO : 0816457443 43/39 BỒI DƯỠNG HSG TOÁN 44   = b  a  b  a  c   c  c  a b  a    a  b b  c  a  c  3 Bài 19: Phân tích đa thức thành nhân tử:  x y   x 1  y   y 1  x  Lời giải 3 3 Ta có :  x  y   x  x  y   1  x    y 1  x  =  x  y   x  x  y   x 1  x   y 1  x  2 3 =  x  y  1  x   1  x   x  y  =  x  y 1  x  1  x  x   1  x  x  y   x  xy  y  2 =  x  y 1  x  1  x  x  x  xy  y    x  y 1  x 1  y  x  y  1 2 2 2 Bài 20: Phân tích đa thức thành nhân tử: 4a b  2a  b   b c  c  b   4c a  2a  c  Lời giải 2 2 2 Ta có : 4a b  2a  b   b c  2a  c    2a  b    4c a  2a  c  2 2 2 2 = 4a b  2a  b   b c  2a  c   b c  2a  b   4c a  2a  c  2 2 2 = b  a  b   a  c   c  a  c   b  4a  2 = b  2a  b  2a  c  2a  c   c  2a  c  2a  b  2a  b  2 2 =  2a  c  2a  b   2ab  b c  2ac  bc  =  2a  c  2a  b  b  c  2ab  2ac  bc  3 Bài 21: Phân tích đa thức thành nhân tử: x  y  z   y  z  x   z  x  y  Lời giải 3 Ta có : z  x  y   x    x  y    z  x    y  z  x  3 3 = z  x  y  x  x  y  y  z  x  x  z  x 3 3 =  x  y z  x    z  x y  x  2 2 =  x  y  z  x   z  zx  x    z  x  y  x   y  xy  x  2 2 =  x  y  z  x   z  zx  x  y  xy  x    x  y  z  x  z  y  z  y  x  Bài 22: Phân tích đa thức thành nhân tử: bc  a  d  b  c   ac  b  d  a  c   ab  c  d  a  b  Lời giải Ta có : bc  ab  ac  bd  dc   ac  ab  bc  ad  dc   ab  ac  bc  ad  bd  = bc  ab  ac  bd  dc   ac  ab  ac  bd  dc    ac  bc  ad  bd    ab  ac  bc  ad  bd  =  ab  ac  bd  dc bc  ac    ac  bc  ad  bd  ac  ab  =  a  d  b  c  c b  a    c  d  a  b  a  c  b  FILE WORD LH ZALO : 0816457443 44/39 BỒI DƯỠNG HSG TOÁN 45   =  b  c  b  a  ac  dc  ca  ad   b  c b  a  c  a  d 3 Bài 23: Phân tích đa thức thành nhân tử:  a x  y   a  y  x   x  y  a Lời giải 3 3 3 Ta có : y  a  x   x  a  x    x  y    a  x  y  = y  a  x   x  a  x   x  x  y   a  x  y  3 2 3 =  a  x   y  x    x  y   x  a  =  x  a  x  y   x  xy  y    x  y  x  a   x  xa  a  2 2 =  x  a  x  y   x  xy  y  x  xa  a  =  x  a  x  y  y  a  y  a  x  2 2 2 Bài 24: Phân tích thành nhân tử: x y  xy  xz  yz  x z  y z  2xyz Lời giải   2 Ta có:  xy  x  y  z  x  y  z x  y   x  y xy  z  xz  yz   x  y y  z z  x  F PHƯƠNG PHÁP HỆ SỐ BẤT ĐỊNH - Chú ý: Hai đa thức hệ số lũy thừa tương ứng hai đa thức - Phương pháp dùng cho đa thức khơng có nghiệm ngun khơng có nghiệm hữu tỷ Bài 1: Phân tích đa thức sau thành nhân tử a f ( x)  x  x3  12 x  14 x  b Q( x)  x  3x3  x  x  c P( x)  x  x3  17 x  20 x  14 d R( x)  x  x3  5x  x  e H ( x, y)  12 x  5x  12 y  12 y  10 xy  f T ( x, y)  x  xy  y  x  13 y  Lời giải a Ta nhận thấy đa thức khơng có nghiệm ngun khơng có nghiệm hữu tỷ Giả sử f ( x)  ( x2  ax+b)(x  cx  d )  x  (a  c) x3  (ac  b  d ) x  (ad  bc) x  bd  a  c  6 ac  b  d  14  Đồng hệ số ta được:  ad  bc  14 bd   b  1; 3  a  c  6   c  4; a  2(tm)  f ( x)  ( x  x  3)( x  x  1) +) b   ac  a  3c  14  b Cách 1: Ta nhận thấy đa thức có nhân tử x + Q( x)  x  3x3  x  x   ( x  1)(2 x3  ax  bx  c)  x  (a  2) x3  (a  b) x  (b  c) x  c FILE WORD LH ZALO : 0816457443 45/39 BỒI DƯỠNG HSG TOÁN 46   a   3 a  b  7 a  5    b  2  Q( x)  ( x  1)( x  2)(2 x  x  4)  b  c  c   c  Cách 2: Giả sử Q( x)  (2 x +ax+b)(x  cx  d )  x  (2c  a) x3  (2d  ac  b) x  (ad  bc) x  bd 2c  a  3 b  2 2d  ac  b  7    d  4  Q( x)  (2 x  x  4)( x  1)( x  2) Đồng hệ số:  ad  bc   a  c  1 bd  2b  n  7 2c  p  bn  17  c  d  (2 x2  x  1)2 cn  bp   20  cp  14  c  2; p  7(tm)  b  2; n  3 e Giả sử H ( x, y )   ax  by  c  dx  ey  f   adx   af  cd  x  bey  (ce  bf ) y  cf  (bd  ac) xy ad  12 af  cd    H ( x; y )  (3x  y  1)(4 x  y  3) be  12 ce  bf  12  cf  3  c  1; f  3  a  3; d  4; b  2; e  f T ( x, y)   x  by  c  x  ny  p   n  2, b  3, c  1, p  Bài 2: Phân tích đa thức thành nhân tử:  x  y  xy   x y  y z  z x 2 Lời giải x  y  xy   x y  y z  z x  x  y  x y  x y  xy  x3 y  x y  y z  z x 2 4 2 2 2 = x  y  x y  xy  x  y   z  x  y  2 2 2 =  x  y   xy  x  y   z  x  y  2 =  x  y  x  y  xy  z    x  y   x  y   z  =  x  y   x  y  z  x  y  z  2 2 Bài 3: Phân tích đa thức thành nhân tử: 81x  z  y   z  y Lời giải 2 2 2 2 Ta có: 81x  z  y   z  y  81x  z  y    z  y  2 2 =  z  y  81x  1   z  y  z  y   x  1 x  1 FILE WORD LH ZALO : 0816457443 46/39 BỒI DƯỠNG HSG TOÁN 47   =  z  y  z  y  3x  1 3x  1  x  1 x4  x2 y  y  y6 Bài 4: Phân tích đa thức thành nhân tử: x6   Lời giải Ta có: x6  x  x y  y  y = x  y  x  x y  y  x y   x3    y    x  y   x y 2 2 3 3 2 2 =  x  y  x  y    x  y  xy  x  y  xy  2 2 2 2 =  x  y   x  xy  y   x  y   x  xy  y    x  y  xy  x  y  xy  2 2 2 =  x  y  xy  x  y  xy  x  y  1 Bài 5: Phân tích đa thức thành nhân tử: x  x  63 Lời giải 2 Ta có: x  x  63   x  ax  b  x  cx  d  2 Đồng hệ số ta có: x  x  63   x  x   x  x   Bài 6: Phân tích đa thức thành nhân tử:  x  1   x  x  1 Lời giải Ta có:  x  1   x  x  1   x  1   x  x  1  1 4   2 2 2 =  x  1  x  x  1  x  x  1  =  x  1  x  1  x   x  x    2 2 = x  x   x  1  1 =  x  x   x  x  1 BÀI TẬP VỀ NHÀ Bài 1: Phân tích đa thức sau thành nhân tử a x  x  b x  x  c x n  x n  15 Lời giải a Ta có: x7  x5   x7  x6  x5  x6   x ( x  x  1)  ( x3  1)( x3  1)  x5 ( x  x  1)  ( x  1)( x  x  1)( x3  1)  ( x  x  1)  x5  ( x  1)( x3  1)  b x7  x   ( x7  x)  ( x  x  1)  ( x  x  1)( x5  x  x  x  1) c x n  8x n  15  a  8a  15( x n  a)  (a  3)(a  5)  ( x n  3)( x n  5) Bài 2: Phân tích đa thức sau thành nhân tử a ( x  y  z )( x  y  z )2  3( xy  yz  zx)2 b ( x  y)3  ( y  z )3  ( z  x)3 FILE WORD LH ZALO : 0816457443 47/39 BỒI DƯỠNG HSG TOÁN 48   c ( x3  y3 )3  ( y3  z )3  ( z  x3 )3 d (a  b)3  (b  c)3  (c  a)3  8(a  b  c)3  e (a  b  c)3  (a  b  c)3  (b  c  a)3  (c  a  b)3 Lời giải a Ta có ( x  y  z )2  x  y  z  2( xy  yz  zx)  x2  y  z  a  A  a(a  2b).3b2  a  2ab  3b2  (a  b)(a  3b) Đặt   xy  yz  zx  b  A  ( x  y  z  xy  yz  zx)[(x  y  z  3( xy  yz  zx)] b Ta biết: Nếu a  b  c   a  b3  c3  3abc x  y  a  3 Đặt  y  z  b  a  b  c   B  a  b  c  B  3abc  3( x  y )( y  z )( z  x) z  x  c  c Tương tự câu b  x3  y  a  3 3 3 3 3  y  z  b  a  b  c   B  a  b  c  B  3abc  3( x  y )( y  z )( z  x )  x3  z  c  a  b  x  3 d Đặt b  c  y  x  y  z  2(a  b  c)  ( x  y  z )  8(a  b  c) ; c  a  z  D  x  y  z  ( x  y  z )3 Ta có: ( x  y  z )3  x3  y  z  3( x  y)( y  z )( z  x)  D  3( x  y )( y  z )( z  x)  3 m  a  b  c  e Đặt n  b  c  a thì: p  c  a b  a  b  c  m  n  p  E  (m  n  p)3  m3  n3  p3  3(m  n)(n  p)( p  m)  E  3.2b.2c.2a  24abc Bài 3: Cho x, y, z thuộc Z Chứng minh rằng: S   x  y  x  y  x  y  x  y   y số phương Lời giải Ta có: S  ( x  y)( x  y)( x  y)( x  y)  y  ( x  5xy  y )( x  5xy  y )  y St  t (t  y )  y  (t  y )  ( x  xy  y ) (dpcm) Bài 4: Phân tích đa thức sau thành nhân tử a x  x3  3x  x  b x  15 x3  35 x  30 x  FILE WORD LH ZALO : 0816457443 48/39 BỒI DƯỠNG HSG TOÁN 49   c x3  3x ( x  x  1)  ( x  x  1)3 d x  x3  x  x  Lờigiải a Ta có: x4  8x3  3x2  8x   4( x  1)  8x( x  1)  3x  4( x  1)2  x( x  1)  x  y  xy  x  y  xy  10 xy  5x  (2 y  x)(2 y  5x)  (2 x  x  2)(2 x  5x  2)  (2 x  x  2)( x  2)(2 x  1) b Ta có: x4  15x3  35x  30 x   2( x  4)  15x( x  2)  35x  2( x  x)2  15( x  2)  27 x  y  15 y  27 x  ( y  3x)(2 y  x)  ( x  3x  2)(2 x  x  4)  ( x  1)( x  2)( x  4)(2 x  1) c Ta có: x3  3x2 ( x  x  1)  ( x  x  1)3  x3  3x y  y3  x ( x  y)  y( x  y)( x  y)  ( x  y)(2 x  y  xy)  ( x  y)( x  y)(2 x  y)  ( x  y)2 (2 x  y) d Ta có: x  x3  x  x   ( x  2)(2 x  1)(2 x  3x  2) Bài 5: Phân tích đa thức sau thành nhân tử a A( x)  x  19 x3  2002 x  9779 x  11670 b B( x)  3x6  10 x5  34 x  47 x3  52 x  8x  40 Lời giải a Ta nhận thấy đa thức có hai nhân tử x - x - A( x)  ( x  2)( x  3)(ax  bx  c)  a  2; c  1945; b  9  A( x)  ( x  2)( x  3)(2 x  x  1945) b Nhận thấy đa thức có nhân tử là: x – 3x + B( x)  ( x  1)(3x  2)( x  3x3  11x  14 x  20)  ( x  1)(3x  2)( x  2x  4)( x  x  5) Bài 6: Phân tích đa thức sau thành nhân tử a A  ab(a  b)  bc(b  c)  ca(c  a) b B  (a  b)3  (b  c)3  (c  a)3 c C  a(b  c)3  b(c  a)3  c(a  b)3 d D  (a  b)5  (b  c)5  (c  a)5 Lời giải Đặt x  a  b; y  b  c  x  y  a  c a A  abx  bcy  ca ( x  y )  ax(b  c)  cy (a  b)  axy  cxy  xy (a  c)  (a  b)(b  c)(c  a ) b B  x3  y3  ( x  y)3  x3  y  x3  3xy( x  y)  y  3xy( x  y)  3(a  b)(b  c)(c  a) c Ta có: C  ay  b( x  y )3  cx3  ay  b  x3  y  3xy ( x  y )   cx  y (a  b)  x (b  c)  3bxy ( x  y )  xy  x3 y  3bxy ( x  y )  xy ( y  x )  3bxy ( x  y )  xy ( x  y )( y  x  3b)  xy ( x  y )(b  c  a  b  3b)   xy ( x  y )(a  b  c)  (a  b)(b  c)(c  a)(a  b  c) d Ta có: ( x  y)5  ( x  y)( x  y)4  ( x  y)( x  xy  y )  ( x  y)( x  x y  y  x3 y  xy  x y ) FILE WORD LH ZALO : 0816457443 49/39 BỒI DƯỠNG HSG TOÁN 50    ( x  y)( x  y )  ( x  y)(4 x3 y  x y  xy )  x5  y  xy( x3  y )  xy ( x  y )(4 x  xy  y )  x5  y5  xy( x  y)(5x  5xy  y )  x5  y  5xy( x  y )( x  xy  y )   D  x5  y  ( x  y )5  x5  y   x5  y  xy ( x  y )( x  xy  y )   5 xy ( x  y )( x  xy  y )  5(a  b)(b  c)(c  a ) (a  b)  (a  b)(b  c )  (b  c )   5(a  b)(b  c )(c  a )(a  b  c  ab  bc  ca ) Bài 7: Phân tích đa thức sau thành nhân tử b B  a3 (b2  c )  b3 (c  a )  c3 (a  b2 ) a A  a(b3  c3 )  b(c3  a3 )  c(a3  b3 ) Lời giải a Đặt x  a3  b3 ; y  b3  c3  x  y  a3  c3  A  ay  b( x  y )  cx  y (a  b)  x(b  c)  (b3  c3 )(a  b)  (a3  b3 )(b  c)  (b  c)(a  b)(b2  bc  c  a  ab  b )  (b  c)(a  b)(bc  ab  c  a )  (b  c)(a  b)(c  a)(a  b  c) b Đặt x  a  b2 ; y  b2  c  x  y  a  c B  a y  b3 ( x  y )  c x  y (a  b3 )  x(b3  c )  (b  c )(a  b3 )  (a  b )(b3  c )  (b  c)(a  b) (b  c)(a  ab  b )  (a  b)(b  bc  c )   b(a  ab  b  b  bc  c )  (a 2c  abc  b 2c  ab  abc  ac )  b(a  c)(a  b  c)   ac(a  c)  b (a  c)   (a  c)(ab  b  bc  ac  b )  (a  c)(ab  bc  ca )  B  (a  b)(b  c)(a  c)(ab  bc  ca ) Bài 8: Phân tích đa thức sau thành nhân tử a A  (a  b  c)3  a b3  c3 b B  x( x  y)3  y( y  x)3 c C  x  ( x  y)4  y d D  a b4  c  2(a 2b2  b2c  c a ) Lời giải a Đặt m  a  b  c suy ra: A  m a  (b3  c3 )  (m  a)(m  ma  a )  (b  c)(b  bc  c )  (b  c)(m2  ma  a  b  bc  a )  (b  c) (m  b )  (a  c )  (ma  bc )   (b  c)  (m  b)(m  b)  (a  c)(a  c)  (a  b)(a  c)   (b  c)(a  c)(m  b  a  c  a  b)  3(b  c)(c  a)(a  b) b Đặt m  x  y B  x(m  y )3  y (m  x)3  x  m3  3my (m  y )  y   y m  3mx (m  x )  x   m3 ( x  y )  xy ( x  y )  3mxy (m  x  m  y )  ( x  y )(m3  xy ( x  y )  3mxy )  m( x  y )(m  xy )  m( x  y ) ( x  y )  xy   m( x  y )3  ( x  y )( x  y )3 c Đặt m  x  y C  (m  y) m4  y  m4  4m3 y  6m2 y  4my  y  m4  y  2(m4  2m2 y  y )  4my (m2  y )  2m2 y 2  2(m2  y  my)2  ( x  y)2  y  ( x  y) y   2( x  xy  y )2 d Đặt m  a  b  c FILE WORD LH ZALO : 0816457443 50/39 BỒI DƯỠNG HSG TOÁN 51   D  (a  b  c )  4(a 2b  b 2c  c a )  m  b (a  c )  c a   m  b (m  b )  c a   (m  2b )  (2ca)  (m  2b  2ca)(m  2b 2ca)  (a  b  c  2b  2ca)(a  b  c  2b  2ca )  (a  c)  b  (a  c)  b   (a  c  b)(a  c  b)(a  c  b )(a  b  c) Bài 9: Phân tích đa thức sau thành nhân tử a A  a(b  c  a)2  b(c  a  b)2  c(a  b  c)2  (b  c  a)(c  a  b)(a  b  c) b B  (a  b  c)3  (a  b  c)3  (b  c  a)3  (c  a  b)3 c C  ab(a  b)  b(b  c)  ca(c  a)  a3  b3  c3  2abc Lời giải a Đặt m  x  y  z; a  b  c  x; b  c  a  y; c  a  b  z  2a  y  z; 2b  z  x; 2c  x  y A  ( y  z ) x  ( x  z ) y  ( y  x) z  xyz  xy ( x  y )  yz ( y  z )  zx( z  x)  xyz  xy (m  z )  yz (m  x)  zx(m  y )  xyz  m( xy  yz  zx)  xyz  ( x  y )( y  z )( z  x)  8abc  A  4abc b Đặt a  b  c  z; b  c  a  x; c  a  b  y  x  y  z  a  b  c B  ( x  y  z )3  x3  y  z  3( x  y)( y  z )( z  x)  3.2c.2a.2b  24abc c Đặt a  b  c  z; b  c  a  x; c  a  b  y  2a  y  z; 2b  x  z; 2c  x  y Ta có: 4C  4a (b  c  a)  4b2 (c  a  b)  4c (a  b  c)  8abc  ( y  z )2 x  ( z  x)2 y  ( x  y)2 z  ( x  y)( y  z )( z  x)  xy ( x  y )  yz ( y  z )  zx( z  x)  ( x  y )( y  z )( z  x)  xyz  xy ( x  y )  yz ( x  y )  zx( x  y )  z ( x  y )  ( x  y )( y  z )( z  x)  xyz  ( x  y )( xy  yz  zx  z )  ( x  y )( y  z )( z  x)  xyz  ( x  y )( y  z )( z  x)  ( x  y )( y  z )( z  x)  xyz  xyz  C  xyz  (b  c  a)(c  a  b)(a  b  c) CÁC ỨNG DỤNG CỦA PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ A Ứng dụng 1: Dùng để rút gọn biểu thức Bài 1: Cho a + b + c = , Rút gọn A  a3  b3  c(a  b2 )  abc Lời giải Ta có: A  a3  b3  c(a  b2 )  abc  a3  b3  a 2c  b 2c  abc  (a3  a 2c)  (b3  b2c)  abc  a (a  c)  b (b  c)  abc a  c  b Vì a  b  c     A  a (b)  b (a)  abc  ab(a  b  c)  b  c  a B Ứng dụng 2: Dùng để chứng minh Bài 2: Cho a  b2  1; c2  d  1, ac  bd  Chứng minh rằng: ab  cd  FILE WORD LH ZALO : 0816457443 51/39 BỒI DƯỠNG HSG TỐN 52   Lời giải Ta có:  ab  cd  ab.1  cd  ab(c  d )  cd (a  b2 )  abc  abd  a 2cd  b2cd  (abc  a 2cd )  (abd  b2cd )  ac(bc  ad )  bd (ad  bc)  (ad  bc)(ac  bd )  0(ac  bd  0) Bài 3: Chứng minh tích bốn số tự nhiên liên tiếp cộng thêm số phương Lời giải Gọi số tự nhiên liên tiếp là: n ; n + ; n + ; n + ( n thuộc N* ) Theo ta có: n(n  1)(n  2)(n  3)   (n2  3n)(n2  3n  2)   (k  1)(k  1)   k  (n2  3n  1)2 (dpcm) Bài 4: Chứng minh số A  (n  1)4  n4  chia hết cho SCP khác với n nguyên dương Lời giải Ta có: A  [(n+1)2 ]2  n4   (n2  2n  1)2  n2  (n4  n2  1)  (n2  3n  1)(n2  n  1)  (n4  n2  1)  (n2  3n  1)(n2  n  1)  (n2  n  1)(n2  n  1)  (n2  n  1)(2n2  2n  1)  2(n2  n  1)2 (dpcm) Bài 5: Chứng minh với số nguyên x, ta có: (x+1)(x+3)(x+5)(x+7)+15 (x+6) Lời giải Dùng phương pháp đặt ẩn phụ ta được: (x+1)(x+3)(x+5)(x+7)+15 (x+6)=(x  8x  10)( x  2)( x  6) Bài 6: Chứng minh với số nguyên n, biểu thức: A  n n n3 số nguyên   3 Lời giải Ta có: A  n n2 n3 n3  3n  2n n(n  1)(n  2)     n  Z 3 6 MỘT SỐ BÀI TỐN TỔNG HỢP PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ Bài 1: Phân tích đa thức sau thành nhân tử a a 2b2 (a  b)  c 2b2 (c  b)  a 2c (c  a) c ab(b  a)  bc(b  c)  ac(c  a) b 2bc(b  2c)  2ac(c  2a)  2ab(a  2b)  7abc d 3bc(3b  c)  3ac(3c  a)  3ab(3a  b)  28abc e* a(b2  c )  b(c  a )  c(a  b2 )  2abc  a3  b3  c3 Lời giải a Ta nhận thấy b = c A = Vậy đa thức có nhân tử b – c a 2b2 (a  b)  c 2b2 (c  b)  a 2c (c  a)  a 2b2 (a  c  c  b)  c 2b (c  b)  a 2c (c  a) FILE WORD LH ZALO : 0816457443 52/39 BỒI DƯỠNG HSG TOÁN 53    a 2b2 (a  c)  a 2b2 (c  b)  c 2b2 (c  b)  a 2c (c  a)  (c  b)b2 (a  c)(a  c)  a (a  c)(b  c ) 2 2  (a  c)(c  b) b (a  c)  a (b  c)    a  c  c  b  (ab  a b  b c  a c )  (a  b)(c  b)(a  c)(a  b)(ab  bc  ca ) b Nhận thấy c = 2a B = Vậy đa thức có nhân tử c – 2a 2bc(b  2c)  2ac(c  2a)  2ab( a  2b)  abc  2ac  c  2a   2b 2c  4bc  2a 2b  4ab  abc  2ac  c  2a   2b  c  2a   4bc  c  2a   8abc  2a 2b  7abc  2ac  c  2a   2b  c  2a   4bc  c  2a   8abc  2a 2b  7abc  2ac  c  2a   2b  c  2a   4bc  c  2a   ab  c  2a    c  2a   2ac  2b  4bc  ab    c  2a   2a  a  2b   b  a  2b    c  2a  a  2b  b  2c  c Nhận thấy a = b nên có nhân tử a – b ab(b  a)  bc(b  c)  ac(c  a)  ab(b  a)  b 2c  bc  ac  a 2c  ab(b  a)  c(b  a )  c (b  a)  (b  a)(ab  cb  ca  c )  (b  a)(a  c)(b  c) d Dự đốn c = 3b, đa thức có nhân tử 3b – c 3bc(3b  c)  3ac(3c  a)  3ab(3a  b)  28abc  3bc  3b  c   9ac  3a 2c  9a 2b  3ab  28abc  3bc  3b  c   9ac  3b  c   27abc  3a  3b  c   3ab  28abc  3bc  3b  c   9ac  3b  c   3a  3b  c   abc  3b  c    3b  c   3bc  9ac  3a  ab    3b  c  3a  b  3c  a  e Ta không nhẩm nghiệm đa thức a(b2  c )  b(c  a )  c(a  b2 )  2abc  a3  b3  c3  a(b  c  2bc  a )  b(c  a  b )  c(a  b  c )  a (b  c)  a  +b(c2  a  2ac  b )  c(a  b  c  2ab)  a (b  c)2  a  +b  c  a   b2  +c  a  b   c      2  a  b  c  a  b  c  a  +b  c  a  b  c  a  b   c  a  b  c  a  b  c   =(a  b  c)  a  b  c  a  c  a  b   c  a  b  c     a  b  c  a  c  a  b   bc  ab  b  ac  bc  c    a  b  c   a  a  c  b   b  a  c  b   c  a  c  b     a  b  c  a  c  b b  c  a  Bài 2: [ HSG – BG – 30/03/2013 ] A  2a3  7a 2b  7ab2  2b3  2(a3  b3 )  7ab(a  b)  (a  b)(2a  b)(a  2b) Bài 3: [ HSG – Long Biên – Hà Nội – 2015 ] a Phân tích: x3 ( x  7)2  36 x b Dựa vào kết chứng minh: A  n3 (n2  7)2  36n 210n  N Lời giải FILE WORD LH ZALO : 0816457443 53/39 BỒI DƯỠNG HSG TOÁN 54   a x3 ( x  7)2  36 x  x( x3  x  6)( x3  x  6)  x( x  1)( x  2)( x  3)( x  1)( x  2)( x  3) b A tích số tự nhiên liên tiếp  A 2,3,5,7  A 210  Bài 4: [ Bắc Giang 2013 ] b ( x  y )( y  z )( z  x)  xyz a x  2013x  2012 x  2013 Lời giải a x4  2013x2  2012 x  2013  ( x  x)  2013( x  x  1)  ( x  x  1)( x  x  2013) b  ( xy  xz  y  yz )( x  z )  xyz  ( xyz  x y  x z )  ( xyz  xz  yz )  ( xyz  xy  zy )  x( xy  yz  zx)  z ( xy  yz  zx)  y ( xy  yz  zx)  ( x  y  z )( xy  yz  zx) Bài 5: [ Bắc Giang – 2014 ] b x  xy  y  x  y  a x( x  2)( x  x  2)  c x3  13x  x  Lời giải a x( x  2)( x  x  2)   ( x  x)[(x  x)  2]   ( x  x  1)2  ( x  1)4 b x  xy  y  x  y   ( x  y)2  4( x  y)    ( x  y  2)2   ( x  y  5)( x  y  1) c x3  13x  x   x3  x  x  x  3x   x ( x  1)  x( x  1)  3( x  1)  ( x  1)(6 x  x  3)  ( x  1)(3x  1)(2 x  3) CÔNG THỨC KHAI TRIỂN NHỊ THỨC NEWTON A Công thức (a  b) n  Cn a n  Cn1a n 1b  Cn a n 2b   Cn n 1ab n 1  Cn nb n Trong đó: Cn k  n! (k  0,1, n  k  0, n); n !  1.2.3 n k !(n  k )! +) Quy ước: 0!=1 +) Cn  n! n! n! n! n!   1; Cn n   1; Cn1   n; Cn n1  n 0!(n  0)! n! n!(n  n)! 1!(n  1)! (n  1)!(n  n  1)! +) Bảng tam giác Pascal n=2 n=3 3 n=4 n=5 10 10 n=6 15 20 15 n = B Bài tập áp dụng Bài 1: Phân tích thành nhân tử: A  (a  b)5  a5  b5 FILE WORD LH ZALO : 0816457443 54/39 BỒI DƯỠNG HSG TOÁN 55   Lời giải A  a5  5a 4b  10a3b2  10a 2b3  5ab4  b5  a5  b5  5a 4b  10a3b2  10a 2b3  5ab4  5ab(a3  2a 2b  2ab  b3 )  5ab[(a3  3a 2b  3ab2  b3 )  (a 2b  ab2 )]=5ab[(a+b)3  ab(a  b)] =5ab(a+b)[(a+b)2  ab]  5ab(a  b)(a  ab  b2 ) Bài 2: Cho a  b  c  Chứng minh rằng: a5  b5  c5  5abc(ab  bc  ca) Lời giải Từ: a  b  c   c  (a  b) VP  a5  b5  (a  b)5  5ab(a  b)[(a+b)2  ab]  5ab(c)[(a+b)c-ab]  5abc(ab  bc  ca)  VP(dpcm) Bài 3: Cho a  b  c  Chứng minh rằng: a  b  c a  b3  c a  b5  c  Lời giải Ta có: 5abc(ab  bc  ca)  abc(ab  bc  ca) a  b3  c3 3abc   abc 3 VP  (1); Lại có: (a  b  c)2   a  b  c  2(ab  bc  ca)  a  b2  c  (ab  bc  ca ) VT  abc(ab  bc  ca)(2).(1)(2)  VT  VP Bài 4: CMR : (a  b)2  (b  c)2  (c  a) (a  b)3  (b  c)3  (c  a)3 (a  b)5  (b  c)5  (c  a)5  Lời giải Ta có: (a  b)  (b  c)  (c  a)  Đặt x  a  b; y  b  c; z  c  a  x  y  z  Ta cần chứng minh: x  y  z x3  y  z x5  y  z  Bài 5: Cho a,b số nguyên CMR số sau số phương A  (a  b)4  a  b4 Lời giải A  a  4a3b  6a 2b2  4ab3  b4  a  b  a  b  3a 2b  2ab(a  b )  (a  b )2  (ab)2  2ab(a  b )  (a  b2  ab)2 (dpcm) Bài 6: Giải phương trình: ( x  2)6  ( x  2)6  x6  128(*) Lời giải FILE WORD LH ZALO : 0816457443 55/39 BỒI DƯỠNG HSG TOÁN 56   Ta có: ( x  2)6  x6  x5  15x 22  20 x3.23  15 x 24  x.25  26  x6  12 x5  60 x  160 x3  240 x  192 x  64  ( x  2)6  [x+(-2)]6  x6  12 x5  60 x  160 x3  240 x  192 x  64 VT  x6  120 x  480 x 128  (*)  120 x  480 x   x  Bài 7: Cho a, b, c số nguyên, CMR: (a  b)7  a7  b7 Lời giải (a  b)7  a  7a 6b  21a5b5  35a 4b3  35a3b4  21a 2b5  7ab6  b7  (a  b)7  a  b7  7(a 6b  3a5b2  5a 4b3  5a3b4  3a 2b5  ab6 ) (dpcm) Bài 8: Chứng minh rằng: A  16n  15n  225 n  N Lời giải +) n   160  15.0   225  152 +) n   A  225  152 +) n   A  225 225  152 ) n   16n  (15  1) n  Cn 1n  Cn1.1n 1 Cnn  15n  (1  15n  BS (225)  (16 n  15n  1)  BS (225) 225n Bài 9: Chứng minh rằng: A  (n2  1)2  (n  1)n n3 n  N * Lời giải +) n = ; n = thỏa mãn +) n   (n  1) n  (1  n ) n  Cn0 1n  Cn1 n  Cn2 n   Cnn n n   n3  BS (n3 ) (1) Lại có: (1  n) n  Cn02  Cn12 n  Cn22 n  C n2 n2   n3   n(n  1)  3   n3  n3    BS (n )   BS (n )   n (n  1) n  BS (n3 )  2 Từ (1), (2) ta có điều phải chứng minh FILE WORD LH ZALO : 0816457443 56/39 ... 15: Phân tích đa thức sau thành nhân tử: x  x  2017.20 18 Lời giải Ta có: x2  x  2017.20 18  x2  2017 x  2018x  2017.20 18   x  2017  x  20 18? ?? Bài 16: Phân tích đa thức thành nhân tử: ... ta phân tích : x3  6x2  11x    x  1 x  2 x  3 Bài 8: Phân tích đa thức thành nhân tử: a3  4a  29a  24 Lời giải Bấm máy nhận thấy đa thức có ba nghiệm 1,3 -8, nên có chứa nhân tử. .. b  - Đôi thêm, bớt hạng tử để làm xuất nhân tử chung Thêm, bớt hạng tử làm xuất đẳng thức: a2 – b2 Bài 1: Phân tích đa thức sau thành nhân tử a a  b x4  81 y c x8  98 x  d 216  125x3 e x6