Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống
1
/ 16 trang
THÔNG TIN TÀI LIỆU
Thông tin cơ bản
Định dạng
Số trang
16
Dung lượng
527,69 KB
Nội dung
thuvienhoclieu.com DẠNG 3: SỐ CHÍNH PHƯƠNG A.Bài tốn Câu 1: Tìm số tự nhiên có bốn chữ số abcd , biết số phương, số abcd chia hết cho d số nguyên tố Câu 2: Cho a số gồm 2n chữ số , b số gồm n chữ số , c số gồm n chữ số n N * Cmr: a b 6c số phương Câu 3: Tìm số ngun dương n để n 4n 29 số phương Câu 4: Tìm số tự nhiên n để n 18 n 41 hai số phương Câu 5: a) Tìm số có hai chữ sơ mà bình phương lập phương tổng chữ số b)Tìm ba số tự nhiên liên tiếp biết cộng ba tích, tích hai ba số 26 c) Tìm bốn số nguyên dương liên tiếp, biết tích chúng 120 Câu 6: Cho số a,b,c,d nguyên dương đôi khác thỏa mãn: 2a b 2b c 2c d 2d a a b b c c d da Chứng minh A abcd số phương Câu 7: Cho an 1 2 3 n Chứng minh an an1 số phương Câu 8: Chứng minh với số nguyên x,y thì: A x y x 2y x 3y x 4y y4 số phương thuvienhoclieu.com Trang thuvienhoclieu.com Câu 9: Cho hai số phương liên tiếp Chứng minh tổng hai số cộng với tích chúng số phương lẻ Câu 10: Tìm số tự nhiên n để: D n n số phương Câu 11: Tìm tất số phương gồm chữ số biết ta thêm đơn vị vào chữ số hàng nghìn, thêm đơn vị vào chữ số hàng trăm, thêm đơn vị vào chữ số hàng chục, thêm đơn vị vào chữ số hàng đơn vị, ta số phương Câu 12: Chứng minh tổng hai số phương liên tiếp cộng với tích chúng số phương lẻ Câu 13: Tìm tất số nguyên n cho: n 2n 2n n số phương Câu 14: Chứng minh: số có dạng n n 2n 2n với n N n khơng phải số phương Câu 15: Tìm số nguyên n để B n n 13 số phương? Câu 16: Tìm số tự nhiên n để n 18và n 41là hai số phương Câu 17: Cho an 1 2 3 n Chứng minh an an1 số phương Câu 18: Cho A p p số nguyên tố Tìm giá trị p để tổng ước dương A số phương Câu 19: Tìm số tự nhiên n để n 4n 2013là số phương Câu 20: Cho S 1.2.3 2.3.4 3.4.5 k k 1 k 2 (với k ¥ *) Chứng minh 4S 1là bình phương số tự nhiên Câu 21: Tìm số tự nhiên n cho số A n n số phương Câu 22: Tìm số tự nhiên n để n 4n 2013 số phương Câu 23: Cho n tổng hai số phương Chứng minh n tổng hai số phương Câu 24: Cho số a, b, c, d nguyên dương đôi khác thỏa mãn: 2a b 2b c 2c d 2d a ab bc cd d a Chứng minh A abcd số phương thuvienhoclieu.com Trang thuvienhoclieu.com Câu 25: Cho an n Chứng minh an an 1 số phương Câu 26: Chứng minh với số nguyên x, y thì: A x y x y x 3y x y y4 số phương a n Câu 27: Cho n Chứng minh an an 1 số phương Câu 28: Cho a, b, c số hữu tỷ thỏa mãn điều kiện ab bc ac Chứng Q a 1 b 1 c 1 minh biểu thức bình phương số hữu tỷ Câu 29: Chứng minh với số nguyên x biểu thức P số phương P x+5 x+7 x x 11 + 16 Câu 30: Tìm số tự nhiên n để n 4n 2013 số phương 2 Câu 31: Cho a b số tự nhiên thỏa mãn 2a a 3b b Chứng minh rằng: a b 3a 3b số phương Câu 32: Cho số ngun tố Tìm giá trị để tổng ước dương số phương Câu 33: Tìm số tự nhiên để số phương Câu 34: Cho Chứng minh bình phương số tự nhiên Câu 35: Cho hai số phương liên tiếp Chứng minh tổng hai số cộng với tích chúng số phương lẻ Câu 36: Tìm tất số phương gồm chữ số biết ta thêm đơn vị vào chữ số hàng nghìn, thêm đơn vị vào chữ số hàng trăm, thêm đơn vị vào chữ số hàng chục, thêm đơn vị vào chữ số hàng đơn vị ta số phương Câu 37: Tìm số tự nhiên n cho số A n n số phương thuvienhoclieu.com Trang thuvienhoclieu.com B HƯỚNG DẪN Câu 1: Tìm số tự nhiên có bốn chữ số abcd , biết số phương, số abcd chia hết cho d số nguyên tố Lời giải: Vì abcd số phương d số nguyên tố có chữ số nên d Đặt abc5 m , m N Khi m có chữ số tận (1) Mặt khác, 1000 m 9999 suy 32 m 99 ( 2) * Từ (1) (2) suy m 35; 45;55;65;75;85;95 Suy m 1225; 2025;3025; 4225;5625;7225;9025 Ta lại có: m abc5M9 Do đó, chọn abcd 2025;5625 Câu 38: Cho a số gồm 2n chữ số , b số gồm n chữ số , c số gồm n chữ số n N * Cmr: a b 6c số phương Lời giải: Ta có : a b 6c n 1 10 10 10n 8 9 2n 102 n 10.10n 6.10 n 72 102 n 16.10n 64 10n 33 36 { n 1so Vậy, a b 6c số phương Câu 39: Tìm số nguyên dương n để n 4n 29 số phương Đặt n a , 4n 29 b a, b N Lời giải: Ta có: b 4a 25 b 2a b 2a 25 Mà b 2a nên b 2a b 2a b 2a nên suy b 2a b 2a 25 Do đó, a Vậy, n 35 Câu 40: Tìm số tự nhiên n để n 18 n 41 hai số phương 2 Lời giải: a) Để n 18 n 41 hai số phương n 18 p n 41 q p, q ¥ p q n 18 n 41 59 p q p q 59 p q 1 p 30 p q 59 q 29 Nhưng 59 số nguyên tố, nên: 2 Từ n 18 p 30 900 n 882 thuvienhoclieu.com Trang thuvienhoclieu.com 2 Thay vào n 41, ta 882 41 841 29 q Vậy với n 882 n 18 n 41 hai số phương Câu 41: a) Tìm số có hai chữ sơ mà bình phương lập phương tổng chữ số b)Tìm ba số tự nhiên liên tiếp biết cộng ba tích, tích hai ba số 26 c) Tìm bốn số nguyên dương liên tiếp, biết tích chúng 120 Lời giải: a) Số cần tìm có dạng ab , với a, b N ;1 a 9;0 b Theo đề ta có: ab a b 10a b a b 1 3 Hệ thức (1) chứng tỏ ab phải số lập phương a b phải số phương Do 10 ab 99 ab 27 ab 64 +Nếu ab 27 a b ( phương ) +Nếu ab 64 a b 10 ( khơng phương nên loại ) Vậy, số cần tìm ab 27 b) Gọi ba số tự nhiên liên tiếp x 1 , x, x 1 ( ĐK : x 1, x N ) Ta có : x 1 x x x 1 x 1 x 1 26 3x 26 x ( Vì x 1, x N ) Vậy, ba số tự nhiên liên tiếp phải tìm 2, 3, c) Gọi bốn số nguyên dương liên tiếp x 1 , x, x 1 , x ( ĐK : x 2, x Z ) x x 1 x 1 x 120 Ta có : x 1 x x 1 x 120 x x x x 120 x x x x 121 x x 1 112 Vì x 2, x Z nên x x 11 x 3 x x ( Vì x ) Vậy, bốn số nguyên dương liên tiếp phải tìm 2, 3, 4, Câu 42: Cho số a,b,c,d nguyên dương đôi khác thỏa mãn: 2a b 2b c 2c d 2d a a b b c c d da Chứng minh A abcd số phương Lời giải: 2a b 2b c 2c d 2d a 6 a b b c c d da a b c d 1 1 1 1 6 a b b c c d da a b c d 2 a b b c c d d a 1 a b c d 1 0 a b b c c d d a thuvienhoclieu.com Trang thuvienhoclieu.com b b d d 0 a b b c c d da b c a d a c 0 a b b c c d d a b c d d a d a b b c 0 abc acd bd b d b d ac bd b d ac bd 0 0 ac bd ac bd Vậy A abcd ac số phương Câu 43: Cho an 1 2 3 n Chứng minh an an1 số phương Lời giải: Ta có: an1 1 2 3 n n an an1 2 1 3 n n n n 1 n n2 2n n 1 số phương Câu 44: Chứng minh với số nguyên x,y thì: A x y x 2y x 3y x 4y y4 số phương Lời giải: A x y x 2y x 3y x 4y y4 Ta có: x2 5xy 4y2 x2 5xy 6y2 y4 Đặt x2 5xy 5y2 t t ¢ A t y2 t y2 y4 t2 y4 y4 t2 x2 5xy 5y2 Vì x,y,z ¢ nên x ¢ ,5xy ¢ ,5y ¢ x 5xy 5y ¢(dfcm) Vậy A số phương Câu 45: Cho hai số phương liên tiếp Chứng minh tổng hai số cộng với tích chúng số phương lẻ 2 2 Lời giải Gọi hai số a a 1 Theo đề ta có: 2 a a 1 a a 1 a 2a 3a 2a 2 a 2a a a a a a a a a = a 1 số phương lẻ a a số lẻ a a a a 1 số chẵn thuvienhoclieu.com Trang thuvienhoclieu.com Câu 46: Tìm số tự nhiên n để: D n n số phương Lời giải D n n n n 1 n n 1 n 1 n 1 n n 1 n 1 n 5 n n 1 n 1 n n 5n n 1 n 1 (tích số tự nhiên liên tiếp) Mà n n 1 n 1 n n M Vậy D chia dư Và 5n n 1 n 1 M Do D có tận nên D khơng phải số phương Vậy khơng có giá trị n để D số phương Câu 47: Tìm tất số phương gồm chữ số biết ta thêm đơn vị vào chữ số hàng nghìn, thêm đơn vị vào chữ số hàng trăm, thêm đơn vị vào chữ số hàng chục, thêm đơn vị vào chữ số hàng đơn vị, ta số phương Lời giải Gọi abcd số phải tìm , a, b, c, d ¥ ,0 a, b, c, d 9; a abcd k k , m ¥ ;31 k m 100 a 1 b 3 c d 3 m Ta có: abcd k abcd 1353 m 2 Do đó: m k 1353 m k m k 123.11 41.33 k m 200 m k 123 m k 41 m k 11 m k 33 m 67 k 56 m 37 k Kết luận đúng: abcd 3136 Câu 48: Chứng minh tổng hai số phương liên tiếp cộng với tích chúng số phương lẻ Lời giải Gọi hai số phương liên tiếp k2 (k+1)2 Ta có: k2 + (k+1)2 + k2.(k+1)2 = k4 +2k3+ 3k2 + 2k +1 = (k2 + k +1)2 = [k(k + 1) +1]2 số phương (1) Vì k(k + 1) tích hai số tự nhiên liên tiếp nên k(k + 1) chẵn k(k + 1) +1 lẻ [k(k + 1) +1]2 lẻ (2) thuvienhoclieu.com Trang thuvienhoclieu.com Từ (1) (2) suy đpcm Câu 49: Tìm tất số nguyên n cho: n 2n 2n n số phương Lời giải ( y ¥) Giả sử n 2n 2n n y y n2 n n2 n Ta có: y n2 n y n2 n y n2 n (Vi y ¥) y n2 n y n n 1 y n2 n n2 n Thay n2 n n n 3 3 n Thử trực tiếp n 2; n 3 thỏa mãn Vậy số nguyên n cần tìm n 2; 3 Câu 50: Chứng minh: số có dạng n n 2n 2n với n N n khơng phải số phương Lời giải ) Chứng minh: số có dạng n n 2n 2n với n N n số phương Ta có n n 2n3 2n n n n 2n n n n 1 n 1 n 1 n n 1 n3 n n n 1 n3 1 n 1 n n 1 n 2n n 2n n n 1 n Với n N n n 2n n 1 n 1 2 2 Suy n 1 n 2n n với n N n n 2n khơng phải 2 số phương Vậy, số có dạng n n 2n 2n với n N n số phương Câu 51: Tìm số nguyên n để B n n 13 số phương? Lời giải B 4B Ta có số phương số phương Đặt B k , k N thuvienhoclieu.com Trang Khi đó, thuvienhoclieu.com B 4n 4n 52 k 2n k 2n k 51 2 2n k n k Vì nên ta có trường hợp: 2n k 2n k 2n k 51 2n k 17 , , , 2n k 51 2n k 17 2n k 1 2n k 3 Giải ta được: n 12, n 3, n 13, n Vậy, n 12 n 3 n 13 n B n n 13 số phương Câu 52: Tìm số tự nhiên n để n 18và n 41là hai số phương Lời giải n 18 Để n 41 hai số phương n 18 p2 n 41 q2 p,q ¥ p2 q2 n 18 n 41 59 p q p q 59 p q p 30 Nhưng 59 số nguyên tố, nên: p q 59 q 29 2 Từ n 18 p 30 900 n 882 Thay vào n 41, ta 882 41 841 29 q Vậy với n 882 n 18và n 41là hai số phương Câu 53: 2 Cho an 1 2 3 n Chứng minh an an1 số phương Lời giải Ta có: an1 1 2 3 n n an an1 2 1 2 3 n n 1 n 1 n n 1 n n2 2n số phương Câu 54: Cho A p p số ngun tố Tìm giá trị p để tổng ước dương A số phương Lời giải Các ước dương A 1;p;p ;p ;p Tổng ước 1 p p2 p3 p4 n2 n ¥ 4p 4p2 4p3 4p4 4n2 Ta có: 4p4 4p3 p2 4n2 4p4 p2 4p3 8p2 4p 2p2 p 2n 2p2 p 2n 2p2 p 2 2 Do : thuvienhoclieu.com Trang thuvienhoclieu.com 4p 4p 4p 4p 4p 4p 5p2 2p 4 p 1(ktm) p2 2p p2 3(tm) p Vậy Câu 55: Tìm số tự nhiên n để n 4n 2013là số phương Lời giải Giả sử n 4n 2013 m m ¥ 2 n 2 2009 m m n 2 Suy m n 2 m n 2 2009 2 2 2009 Mặt khác 2009 2009.1 287.7 49.41 m n m n nên có trường hợp sau: m n 2009 m 1005 TH1: m n n 1002 m n 287 m 147 TH 2: m n n 138 m n 49 m 45 TH3: m n 41 n Vậy số cần tìm 1002;138;2 Câu 56: Cho S 1.2.3 2.3.4 3.4.5 k k 1 k 2 (với k ¥ *) Chứng minh 4S 1là bình phương số tự nhiên Lời giải Ta có: k k 1 k 2 1 k k 1 k 2 k k 1 k 2 k 3 k 1 4 1 k k 1 k 2 k 3 k k 1 k 2 k 1 4 4S 1.2.3.4 0.1.2.3 2.3.4.5 1.2.3.4 k k 1 k 2 k 3 k k 1 k 2 k 1 k k 1 k 2 k 3 4S k k 1 k 2 k 3 Mặt khác: k k 1 k 2 k 3 1 k k 3 k 1 k 2 k2 3k k2 3k 1 k2 3k Mà k ¥ * nên k 3k 1 ¥ * nên suy đpcm Câu 57: Tìm số tự nhiên n cho số A n n số phương Lời giải Giả sử A số phương, suy tồn số k ¥ cho : n2 n k2 n2 n 4k2 2k 2n 1 23 2k 2n 1 2k 2n 1 23 2 thuvienhoclieu.com (*) Trang 10 thuvienhoclieu.com Do k,n ¥ nên dễ thấy 2k n 1và 2k 2n 1là số nguyên Ngoài 23 2k 2n 1 1;2k 2n 1 2k 2n Suy 1 2k 2n 1 2k 2n Căn lập luận 23 số nguyên tố nên từ (*) suy 2k 2n 1 4n 22 n 2k 2n 1 23 Với n 5thì A 36 số phương Vậy n 5là số tự nhiên cần tìm Câu 58: Tìm số tự nhiên n để n 4n 2013 số phương Lời giải Giả sử n 4n 2013 m m ¥ 2 2 Suy n 2009 m m n 2009 2 m n m n 2009 Mặt khác 2009 2009.1 287.7 49.41 m n m n nên có trường hợp sau: m n 2009 m 1005 TH 1: m n n 1002 m n 287 m 147 TH : m n n 138 m n 49 m 45 TH : m n 41 n Vậy số cần tìm 1002;138; 2 Câu 59: Cho n tổng hai số phương CMR : n tổng hai số phương Đặt N a b với a, b ¥ Lời giải N a 2a 2b b 4a 2b a b 2ab 2 Khi tổng hai số phương Câu 60: Cho số a, b, c, d nguyên dương đôi khác thỏa mãn: 2a b 2b c 2c d 2d a ab bc cd d a Chứng minh A abcd số phương Lời giải 2a b 2b c 2c d 2d a a) 6 ab bc cd d a a b c d 1 1 1 1 6 ab bc cd d a a b c d 2 ab bc cd d a thuvienhoclieu.com Trang 11 thuvienhoclieu.com a b c d 1 0 ab bc cd d a b b d d 0 ab bc cd d a b c a d a c 0 a b b c c d d a 1 b c d d a d a b b c abc acd bd b2 d b d ac bd b d ac bd ac bd ac bd A abcd ac Vậy số phương Câu 61: Cho an n Chứng minh an an1 số phương Lời giải Ta có: an1 n n an an1 n n n n 1 n n 2n n 1 số phương Câu 62: Chứng minh với số nguyên x, y thì: A x y x y x 3y x y y4 số phương Lời giải Ta có: A x y x y x y x y y x xy y x xy y y 2 Đặt x xy y t t ¢ A t y t y y t y y t x 5xy y 2 2 Vì x, y , z ¢ nên x ¢ ,5 xy ¢,5 y ¢ x xy y ¢ ( dfcm) Vậy A số phương Câu 63: Cho an n Chứng minh an an1 số phương Lời giải Ta có: an1 n n thuvienhoclieu.com Trang 12 thuvienhoclieu.com an an1 n n n n 1 n n 2n 2 n 1 số phương Câu 64: Cho a, b, c số hữu tỷ thỏa mãn điều kiện ab bc ac Chứng Q a 1 b 1 c 1 minh biểu thức bình phương số hữu tỷ Lời giải Vì ab ac bc nên a a ab bc ca a b a c c2 b c c a Tương tự: b a b b c 2 Q a 1 b 1 c 1 a b b c c a dfcm Do đó: Câu 65: Chứng minh với số nguyên x biểu thức P số P x+5 x+7 x x 11 + 16 phương Lời giải Ta có: P x+5 x+7 x x 11 + 16 P ( x 5)( x 11)( x 7)( x 9) + 16 P ( x 16 x 55)( x 16 x 63)+ 16 P ( x 16 x 55) 8( x 16 x 55)+ 16 P ( x 16 x 55) 2( x 16 x 55).4+ P ( x 16 x 59) Vơi x số nguyên P số CP Câu 66: Tìm số tự nhiên n để n 4n 2013 số phương b) Giả sử n 4n 2013 m , m ¥ Suy n Lời giải 2 2009 m m n 2009 m n m n 2009 Mặt khác 2009 2009.1 287.7 49.41 m n m n nên có trường hợp sau xảy ra: m n 2009 m 1005 n 1002 TH1: m n m n 287 m 147 n 138 TH2: m n m n 49 m 45 TH3: m n 41 n Vậy số cần tìm là: 1002; 138; thuvienhoclieu.com Trang 13 2 Câu 67: Từ 2a a 3b b có thuvienhoclieu.com a b 3a 3b 1 a 2 a b 2a 2b 1 b Cũng có : Suy a b 2a 2b 1 3a 3b 1 ab Chứng minh d Gọi 3a 3b số phương a b số phương (đpcm) Câu 68: Tìm số tự nhiên để số phương 2a 2b 1,3a 3b d Lời giải Các ước dương Tổng ước Ta có: Do : Vậy Câu 69: Tìm số tự nhiên để số phương Lời giải Giả sử Suy Mặt khác 2009= 2009.1=287.7 = 49.41 nên có trường hợp sau: Vậy số cần tìm 1002; 138; Câu 70: Cho Chứng minh bình phương số tự nhiên Lời giải Ta có: Mặt khác: Mà nên suy đpcm Câu 71: Cho hai số phương liên tiếp Chứng minh tổng hai số cộng với tích chúng số phương lẻ Lời giải 2 a a Gọi hại số Theo ta có: thuvienhoclieu.com Trang 14 thuvienhoclieu.com a a 1 a a 1 a 2a3 3a 2a 2 a 2a a a a a a a 1 a a 1 số phương lẻ a a số lẻ Câu 72: a a a a 1 số chẵn nên Tìm tất số phương gồm chữ số biết ta thêm đơn vị vào chữ số hàng nghìn, thêm đơn vị vào chữ số hàng trăm, thêm đơn vị vào chữ số hàng chục, thêm đơn vị vào chữ số hàng đơn vị ta số phương Lời giải Gọi abcd số phải tìm a, b, c, d ¥ , a, b, c, d 9, a abcd k abcd k k , m ¥ ,31 k m 100 a 1 b 3 c d 3 m abcd 1353 m Ta có: 2 Do đó: m k 1353 m k m k 123.11 41.33 k m 200 m k 123 m 67 (TM ) m k 11 m 57 m k 41 m 37 ( KTM ) m k 33 k Vậy số cần tìm abcd 3136 Câu 73: Tìm số tự nhiên n cho số A n n số phương Lời giải Giả sử A số phương, suy tồn số k ¥ cho : n n k n n 4k 2k 2n 1 23 2k 2n 1 2k 2n 1 23 (*) Do k , n ¥ nên dễ thấy 2k n 2k 2n số nguyên Ngoài 23 2k 2n 1;2k 2n 2k 2n Suy 2k 2n 2k 2n Căn lập luận 23 số nguyên tố nên từ (*) suy 2k 2n 4n 22 n k n 23 2 Với n A 36 số phương Vậy n số tự nhiên cần tìm thuvienhoclieu.com Trang 15 thuvienhoclieu.com thuvienhoclieu.com Trang 16 ... ;31 k m 100 a 1 b 3? ?? c d 3? ?? m Ta có: abcd k abcd 135 3 m 2 Do đó: m k 135 3 m k m k 1 23. 11 41 .33 k m 200 m k 1 23. .. 88 2 Thay vào n 41, ta 88 2 41 84 1 29 q Vậy với n 88 2 n 18và n 41là hai số phương Câu 53: 2 Cho an 1 2 3? ?? n Chứng minh an an1 số phương Lời giải Ta có: an1 1 2 3? ??... ¥ ,31 k m 100 a 1 b 3? ?? c d 3? ?? m abcd 135 3 m Ta có: 2 Do đó: m k 135 3 m k m k 1 23. 11 41 .33 k m 200 m k 1 23 m