HSG toan 8 dang 3 SO CHINH PHUONG

thuvienhoclieu.com DẠNG 3: SỐ CHÍNH PHƯƠNG A.Bài tốn Câu 1: Tìm số tự nhiên có bốn chữ số abcd , biết số phương, số abcd chia hết cho d số nguyên tố Câu 2: Cho a số gồm 2n chữ số , b số gồm n  chữ số , c số gồm n chữ số  n  N * Cmr: a  b  6c  số phương Câu 3: Tìm số ngun dương n để n  4n  29 số phương Câu 4: Tìm số tự nhiên n để n  18 n  41 hai số phương Câu 5: a) Tìm số có hai chữ sơ mà bình phương lập phương tổng chữ số b)Tìm ba số tự nhiên liên tiếp biết cộng ba tích, tích hai ba số 26 c) Tìm bốn số nguyên dương liên tiếp, biết tích chúng 120 Câu 6: Cho số a,b,c,d nguyên dương đôi khác thỏa mãn: 2a  b 2b  c 2c  d 2d  a     a b b c c d da Chứng minh A  abcd số phương Câu 7: Cho an  1 2 3  n Chứng minh an  an1 số phương Câu 8: Chứng minh với số nguyên x,y thì: A   x  y   x  2y   x  3y   x  4y   y4 số phương thuvienhoclieu.com Trang thuvienhoclieu.com Câu 9: Cho hai số phương liên tiếp Chứng minh tổng hai số cộng với tích chúng số phương lẻ Câu 10: Tìm số tự nhiên n để: D  n  n  số phương Câu 11: Tìm tất số phương gồm chữ số biết ta thêm đơn vị vào chữ số hàng nghìn, thêm đơn vị vào chữ số hàng trăm, thêm đơn vị vào chữ số hàng chục, thêm đơn vị vào chữ số hàng đơn vị, ta số phương Câu 12: Chứng minh tổng hai số phương liên tiếp cộng với tích chúng số phương lẻ Câu 13: Tìm tất số nguyên n cho: n  2n  2n  n  số phương Câu 14: Chứng minh: số có dạng n  n  2n  2n với n  N n  khơng phải số phương Câu 15: Tìm số nguyên n để B  n  n  13 số phương? Câu 16: Tìm số tự nhiên n để n  18và n  41là hai số phương Câu 17: Cho an  1 2 3  n Chứng minh an  an1 số phương Câu 18: Cho A  p p số nguyên tố Tìm giá trị p để tổng ước dương A số phương Câu 19: Tìm số tự nhiên n để n  4n  2013là số phương Câu 20: Cho S  1.2.3 2.3.4  3.4.5  k  k  1  k  2 (với k  ¥ *) Chứng minh 4S  1là bình phương số tự nhiên Câu 21: Tìm số tự nhiên n cho số A  n  n  số phương Câu 22: Tìm số tự nhiên n để n  4n  2013 số phương Câu 23: Cho n tổng hai số phương Chứng minh n tổng hai số phương Câu 24: Cho số a, b, c, d nguyên dương đôi khác thỏa mãn: 2a  b 2b  c 2c  d 2d  a     ab bc cd d a Chứng minh A  abcd số phương thuvienhoclieu.com Trang thuvienhoclieu.com Câu 25: Cho an      n Chứng minh an  an 1 số phương Câu 26: Chứng minh với số nguyên x, y thì: A   x  y   x  y   x  3y   x  y   y4 số phương a      n Câu 27: Cho n Chứng minh an  an 1 số phương Câu 28: Cho a, b, c số hữu tỷ thỏa mãn điều kiện ab  bc  ac  Chứng Q   a  1  b  1  c  1 minh biểu thức bình phương số hữu tỷ Câu 29: Chứng minh với số nguyên x biểu thức P số phương P   x+5   x+7   x    x  11 + 16 Câu 30: Tìm số tự nhiên n để n  4n  2013 số phương 2 Câu 31: Cho a b số tự nhiên thỏa mãn 2a  a  3b  b Chứng minh rằng: a  b 3a  3b  số phương Câu 32: Cho số ngun tố Tìm giá trị để tổng ước dương số phương Câu 33: Tìm số tự nhiên để số phương Câu 34: Cho Chứng minh bình phương số tự nhiên Câu 35: Cho hai số phương liên tiếp Chứng minh tổng hai số cộng với tích chúng số phương lẻ Câu 36: Tìm tất số phương gồm chữ số biết ta thêm đơn vị vào chữ số hàng nghìn, thêm đơn vị vào chữ số hàng trăm, thêm đơn vị vào chữ số hàng chục, thêm đơn vị vào chữ số hàng đơn vị ta số phương Câu 37: Tìm số tự nhiên n cho số A  n  n  số phương thuvienhoclieu.com Trang thuvienhoclieu.com B HƯỚNG DẪN Câu 1: Tìm số tự nhiên có bốn chữ số abcd , biết số phương, số abcd chia hết cho d số nguyên tố Lời giải: Vì abcd số phương d số nguyên tố có chữ số nên d  Đặt abc5  m , m  N Khi m có chữ số tận (1) Mặt khác, 1000  m  9999 suy 32  m  99 ( 2) * Từ (1) (2) suy m   35; 45;55;65;75;85;95 Suy m   1225; 2025;3025; 4225;5625;7225;9025 Ta lại có: m  abc5M9 Do đó, chọn abcd   2025;5625 Câu 38: Cho a số gồm 2n chữ số , b số gồm n  chữ số , c số gồm n chữ số  n  N * Cmr: a  b  6c  số phương Lời giải: Ta có : a  b  6c   n 1 10  10  10n    8 9 2n  102 n   10.10n   6.10 n   72 102 n  16.10n  64  10n       33 36 { n 1so   Vậy, a  b  6c  số phương Câu 39: Tìm số nguyên dương n để n  4n  29 số phương Đặt n   a , 4n  29  b  a, b  N  Lời giải: Ta có: b  4a  25   b  2a   b  2a   25 Mà b  2a  nên b  2a  b  2a  b  2a  nên suy b  2a  b  2a  25 Do đó, a  Vậy, n  35 Câu 40: Tìm số tự nhiên n để n  18 n  41 hai số phương 2 Lời giải: a) Để n  18 n  41 hai số phương  n  18  p n  41  q  p, q  ¥   p  q   n  18    n  41  59   p  q   p  q   59  p  q 1  p  30     p  q  59 q  29 Nhưng 59 số nguyên tố, nên: 2 Từ n  18  p  30  900  n  882 thuvienhoclieu.com Trang thuvienhoclieu.com 2 Thay vào n  41, ta 882  41  841  29  q Vậy với n  882 n  18 n  41 hai số phương Câu 41: a) Tìm số có hai chữ sơ mà bình phương lập phương tổng chữ số b)Tìm ba số tự nhiên liên tiếp biết cộng ba tích, tích hai ba số 26 c) Tìm bốn số nguyên dương liên tiếp, biết tích chúng 120 Lời giải: a) Số cần tìm có dạng ab , với a, b  N ;1  a  9;0  b  Theo đề ta có: ab   a  b    10a  b    a  b   1 3 Hệ thức (1) chứng tỏ ab phải số lập phương  a  b  phải số phương Do 10  ab  99  ab  27 ab  64 +Nếu ab  27  a  b   ( phương ) +Nếu ab  64  a  b  10 ( khơng phương nên loại ) Vậy, số cần tìm ab  27 b) Gọi ba số tự nhiên liên tiếp  x  1 , x,  x  1 ( ĐK : x  1, x  N ) Ta có :  x  1 x  x  x  1   x  1  x  1  26   3x   26  x  ( Vì x  1, x  N ) Vậy, ba số tự nhiên liên tiếp phải tìm 2, 3, c) Gọi bốn số nguyên dương liên tiếp  x  1 , x,  x  1 ,  x   ( ĐK : x  2, x  Z )   x  x  1   x  1  x     120 Ta có :  x  1 x  x  1  x    120    x  x   x  x     120   x  x    x  x    121   x  x  1  112 Vì x  2, x  Z nên x  x   11  x  3  x     x  ( Vì x   ) Vậy, bốn số nguyên dương liên tiếp phải tìm 2, 3, 4, Câu 42: Cho số a,b,c,d nguyên dương đôi khác thỏa mãn: 2a  b 2b  c 2c  d 2d  a     a b b c c d da Chứng minh A  abcd số phương Lời giải: 2a  b 2b  c 2c  d 2d  a    6 a b b c c d da a b c d  1  1  1  1 6 a b b c c d da a b c d     2 a b b c c d d  a  1 a b c d   1  0 a b b c c d d  a thuvienhoclieu.com Trang thuvienhoclieu.com b b d d     0 a b b c c d da b  c  a d  a  c   0  a  b  b  c  c  d   d  a  b c  d   d  a  d  a  b  b  c 0  abc  acd  bd  b d   b  d   ac  bd    b  d   ac  bd   0 0  ac  bd   ac  bd Vậy A  abcd   ac số phương Câu 43: Cho an  1 2 3  n Chứng minh an  an1 số phương Lời giải: Ta có: an1  1 2 3  n  n  an  an1  2 1  3  n  n   n  n  1  n   n2  2n    n  1 số phương Câu 44: Chứng minh với số nguyên x,y thì: A   x  y   x  2y   x  3y   x  4y   y4 số phương Lời giải: A   x  y   x  2y   x  3y   x  4y   y4 Ta có:     x2  5xy  4y2 x2  5xy  6y2  y4 Đặt  x2  5xy  5y2  t  t  ¢     A  t  y2 t  y2  y4  t2  y4  y4  t2  x2  5xy  5y2  Vì x,y,z  ¢ nên x  ¢ ,5xy  ¢ ,5y  ¢  x  5xy  5y  ¢(dfcm) Vậy A số phương Câu 45: Cho hai số phương liên tiếp Chứng minh tổng hai số cộng với tích chúng số phương lẻ 2 2 Lời giải Gọi hai số a  a  1 Theo đề ta có: 2 a   a  1  a  a  1  a  2a  3a  2a  2   a  2a  a    a  a     a  a    a  a   a =  a  1 số phương lẻ  a  a  số lẻ a  a  a  a  1 số chẵn thuvienhoclieu.com Trang thuvienhoclieu.com Câu 46: Tìm số tự nhiên n để: D  n  n  số phương Lời giải D  n  n   n  n  1   n  n  1  n  1  n  1   n  n  1  n  1  n    5   n  n  1  n  1  n    n    5n  n  1  n  1  (tích số tự nhiên liên tiếp) Mà n  n  1  n  1  n    n   M Vậy D chia dư Và 5n  n  1  n  1 M Do D có tận nên D khơng phải số phương Vậy khơng có giá trị n để D số phương Câu 47: Tìm tất số phương gồm chữ số biết ta thêm đơn vị vào chữ số hàng nghìn, thêm đơn vị vào chữ số hàng trăm, thêm đơn vị vào chữ số hàng chục, thêm đơn vị vào chữ số hàng đơn vị, ta số phương Lời giải Gọi abcd số phải tìm , a, b, c, d  ¥ ,0  a, b, c, d  9; a  abcd  k  k , m  ¥ ;31  k  m  100   a  1  b  3  c    d  3  m Ta có:  abcd  k  abcd  1353  m 2 Do đó: m  k  1353   m  k   m  k   123.11  41.33  k  m  200  m  k  123 m  k  41   m  k  11 m  k  33  m  67  k  56   m  37   k  Kết luận đúng: abcd  3136 Câu 48: Chứng minh tổng hai số phương liên tiếp cộng với tích chúng số phương lẻ Lời giải Gọi hai số phương liên tiếp k2 (k+1)2 Ta có: k2 + (k+1)2 + k2.(k+1)2 = k4 +2k3+ 3k2 + 2k +1 = (k2 + k +1)2 = [k(k + 1) +1]2 số phương (1) Vì k(k + 1) tích hai số tự nhiên liên tiếp nên k(k + 1) chẵn  k(k + 1) +1 lẻ  [k(k + 1) +1]2 lẻ (2) thuvienhoclieu.com Trang thuvienhoclieu.com Từ (1) (2) suy đpcm Câu 49: Tìm tất số nguyên n cho: n  2n  2n  n  số phương Lời giải ( y ¥) Giả sử n  2n  2n  n   y y   n2  n   n2  n  Ta có:  y   n2  n   y  n2  n  y  n2  n  (Vi y ¥)  y  n2  n   y   n  n  1 y   n2  n   n2  n  Thay  n2  n     n    n  3   3  n  Thử trực tiếp n  2; n  3 thỏa mãn Vậy số nguyên n cần tìm n   2; 3 Câu 50: Chứng minh: số có dạng n  n  2n  2n với n  N n  khơng phải số phương Lời giải ) Chứng minh: số có dạng n  n  2n  2n với n  N n  số phương Ta có n  n  2n3  2n  n  n  n  2n    n  n  n  1  n  1   n  1   n  n  1  n3  n     n  n  1  n3  1   n  1   n  n  1 n  2n   n  2n   n   n  1  n Với n  N n  n  2n    n  1    n  1 2 2 Suy  n  1  n  2n   n với n  N n  n  2n  khơng phải 2 số phương Vậy, số có dạng n  n  2n  2n với n  N n  số phương Câu 51: Tìm số nguyên n để B  n  n  13 số phương? Lời giải B 4B Ta có số phương số phương Đặt B  k , k  N thuvienhoclieu.com Trang Khi đó, thuvienhoclieu.com B  4n  4n  52  k   2n   k   2n   k   51 2 2n   k    n   k  Vì  nên ta có trường hợp:  2n   k   2n   k  2n   k  51 2n   k  17 ,  , ,  2n   k  51 2n   k  17 2n   k  1 2n   k  3 Giải ta được: n  12, n  3, n  13, n  Vậy, n  12 n  3 n  13 n  B  n  n  13 số phương Câu 52: Tìm số tự nhiên n để n  18và n  41là hai số phương Lời giải n  18 Để n  41 hai số phương  n  18  p2 n  41  q2  p,q  ¥   p2  q2   n  18   n  41  59   p  q  p  q  59 p  q  p  30   Nhưng 59 số nguyên tố, nên: p  q  59 q  29 2 Từ n  18  p  30  900  n  882 Thay vào n  41, ta 882  41  841  29  q Vậy với n  882 n  18và n  41là hai số phương Câu 53: 2 Cho an  1 2 3  n Chứng minh an  an1 số phương Lời giải Ta có: an1  1 2 3  n  n  an  an1  2 1 2 3  n   n  1   n  1 n  n  1  n   n2  2n  số phương Câu 54: Cho A  p p số ngun tố Tìm giá trị p để tổng ước dương A số phương Lời giải Các ước dương A 1;p;p ;p ;p Tổng ước 1 p  p2  p3  p4  n2  n  ¥    4p  4p2  4p3  4p4  4n2 Ta có: 4p4  4p3  p2  4n2  4p4  p2   4p3  8p2  4p        2p2  p   2n  2p2  p    2n  2p2  p  2 2 Do : thuvienhoclieu.com Trang thuvienhoclieu.com 4p  4p  4p  4p   4p  4p  5p2  2p  4  p  1(ktm)  p2  2p      p2  3(tm) p Vậy Câu 55: Tìm số tự nhiên n để n  4n  2013là số phương Lời giải Giả sử n  4n  2013  m  m  ¥  2 n  2  2009  m  m   n  2 Suy    m  n  2  m  n  2  2009 2 2  2009 Mặt khác 2009  2009.1 287.7  49.41 m  n   m  n  nên có trường hợp sau: m  n   2009 m  1005 TH1:   m  n    n  1002  m  n   287 m  147 TH 2:   m  n   n  138 m  n   49 m  45 TH3:   m  n   41  n  Vậy số cần tìm 1002;138;2 Câu 56: Cho S  1.2.3 2.3.4  3.4.5  k  k  1  k  2 (với k  ¥ *) Chứng minh 4S  1là bình phương số tự nhiên Lời giải Ta có: k  k  1  k  2  1 k  k  1  k  2  k  k  1  k  2  k  3   k  1  4 1 k  k  1  k  2  k  3  k  k  1  k  2  k  1 4  4S  1.2.3.4  0.1.2.3 2.3.4.5  1.2.3.4   k  k  1  k  2  k  3   k  k  1  k  2  k  1  k  k  1  k  2  k  3  4S   k  k  1  k  2  k  3  Mặt khác: k  k  1  k  2  k  3  1 k  k  3  k  1  k  2        k2  3k k2  3k   1 k2  3k  Mà k  ¥ * nên k  3k  1 ¥ * nên suy đpcm Câu 57: Tìm số tự nhiên n cho số A  n  n  số phương Lời giải Giả sử A số phương, suy tồn số k  ¥ cho :   n2  n   k2  n2  n   4k2   2k    2n  1  23   2k  2n  1  2k  2n  1  23 2 thuvienhoclieu.com (*) Trang 10 thuvienhoclieu.com Do k,n ¥ nên dễ thấy 2k  n  1và 2k  2n  1là số nguyên Ngoài 23  2k  2n  1 1;2k  2n  1 2k  2n  Suy 1 2k  2n  1 2k  2n  Căn lập luận 23 số nguyên tố nên từ (*) suy 2k  2n  1  4n   22  n   2k  2n  1 23 Với n  5thì A  36  số phương Vậy n  5là số tự nhiên cần tìm Câu 58: Tìm số tự nhiên n để n  4n  2013 số phương Lời giải Giả sử n  4n  2013  m  m  ¥  2 2 Suy  n    2009  m  m   n    2009 2   m  n    m  n    2009 Mặt khác 2009  2009.1  287.7  49.41 m  n   m  n  nên có trường hợp sau: m  n   2009 m  1005 TH 1:   m  n   n  1002  m  n   287  m  147 TH :   m  n    n  138 m  n   49  m  45 TH :   m  n   41 n  Vậy số cần tìm 1002;138; 2 Câu 59: Cho n tổng hai số phương CMR : n tổng hai số phương Đặt N  a  b với a, b  ¥ Lời giải N  a  2a 2b  b  4a 2b   a  b    2ab  2 Khi tổng hai số phương Câu 60: Cho số a, b, c, d nguyên dương đôi khác thỏa mãn: 2a  b 2b  c 2c  d 2d  a     ab bc cd d a Chứng minh A  abcd số phương Lời giải 2a  b 2b  c 2c  d 2d  a a)    6 ab bc cd d a a b c d  1 1 1 1 6 ab bc cd d a a b c d     2 ab bc cd d a thuvienhoclieu.com Trang 11 thuvienhoclieu.com a b c d  1  0 ab bc cd d a b b d d     0 ab bc cd d a b c  a d  a  c   0  a  b  b  c  c  d   d  a   1  b c  d   d  a  d  a  b  b  c   abc  acd  bd  b2 d    b  d   ac  bd     b  d   ac  bd    ac  bd   ac  bd A  abcd  ac   Vậy số phương Câu 61: Cho an      n Chứng minh an  an1 số phương Lời giải Ta có: an1      n  n  an  an1       n   n   n  n  1  n   n  2n    n  1 số phương Câu 62: Chứng minh với số nguyên x, y thì: A   x  y  x  y   x  3y  x  y   y4 số phương Lời giải Ta có: A   x  y   x  y   x  y   x  y   y   x  xy  y   x  xy  y   y 2 Đặt x  xy  y  t  t  ¢  A   t  y   t  y   y  t  y  y  t   x  5xy  y  2 2 Vì x, y , z ¢ nên x  ¢ ,5 xy  ¢,5 y  ¢  x  xy  y ¢ ( dfcm) Vậy A số phương Câu 63: Cho an      n Chứng minh an  an1 số phương Lời giải Ta có: an1      n  n  thuvienhoclieu.com Trang 12 thuvienhoclieu.com an  an1       n   n  n  n  1   n   n  2n  2   n  1 số phương Câu 64: Cho a, b, c số hữu tỷ thỏa mãn điều kiện ab  bc  ac  Chứng Q   a  1  b  1  c  1 minh biểu thức bình phương số hữu tỷ Lời giải Vì ab  ac  bc  nên a   a  ab  bc  ca   a  b   a  c  c2    b  c  c  a  Tương tự: b    a  b   b  c  2 Q   a  1  b  1  c  1   a  b   b  c   c  a    dfcm Do đó: Câu 65: Chứng minh với số nguyên x biểu thức P số P   x+5   x+7   x    x  11 + 16 phương Lời giải Ta có: P   x+5  x+7   x    x  11 + 16  P  ( x  5)( x  11)( x  7)( x  9) + 16  P  ( x  16 x  55)( x  16 x  63)+ 16  P  ( x  16 x  55)  8( x  16 x  55)+ 16  P  ( x  16 x  55)  2( x  16 x  55).4+  P  ( x  16 x  59) Vơi x số nguyên P số CP Câu 66: Tìm số tự nhiên n để n  4n  2013 số phương b) Giả sử n  4n  2013  m ,  m  ¥  Suy  n   Lời giải 2  2009  m  m   n    2009   m  n    m  n    2009 Mặt khác 2009  2009.1  287.7  49.41 m  n   m  n  nên có trường hợp sau xảy ra:  m  n   2009  m  1005    n  1002 TH1: m  n   m  n   287 m  147   n  138 TH2: m  n    m  n   49 m  45   TH3: m  n   41 n  Vậy số cần tìm là: 1002; 138; thuvienhoclieu.com Trang 13 2 Câu 67: Từ 2a  a  3b  b có thuvienhoclieu.com  a  b   3a  3b  1  a 2 a  b   2a  2b  1  b Cũng có :  Suy  a  b   2a  2b  1  3a  3b  1   ab   Chứng minh d  Gọi   3a  3b  số phương  a  b số phương (đpcm) Câu 68: Tìm số tự nhiên để số phương 2a  2b  1,3a  3b   d Lời giải Các ước dương Tổng ước Ta có: Do : Vậy Câu 69: Tìm số tự nhiên để số phương Lời giải Giả sử Suy Mặt khác 2009= 2009.1=287.7 = 49.41 nên có trường hợp sau: Vậy số cần tìm 1002; 138; Câu 70: Cho Chứng minh bình phương số tự nhiên Lời giải Ta có: Mặt khác: Mà nên suy đpcm Câu 71: Cho hai số phương liên tiếp Chứng minh tổng hai số cộng với tích chúng số phương lẻ Lời giải 2 a    a Gọi hại số Theo ta có: thuvienhoclieu.com Trang 14 thuvienhoclieu.com a   a  1  a  a  1  a  2a3  3a  2a  2   a  2a  a    a  a     a  a    a  1    a  a  1 số phương lẻ a  a  số lẻ Câu 72: a  a  a  a  1 số chẵn nên Tìm tất số phương gồm chữ số biết ta thêm đơn vị vào chữ số hàng nghìn, thêm đơn vị vào chữ số hàng trăm, thêm đơn vị vào chữ số hàng chục, thêm đơn vị vào chữ số hàng đơn vị ta số phương Lời giải Gọi abcd số phải tìm a, b, c, d  ¥ ,  a, b, c, d  9, a   abcd  k abcd  k k , m  ¥ ,31  k  m  100    a  1  b  3  c    d  3  m  abcd  1353  m   Ta có: 2 Do đó: m  k  1353   m  k   m  k   123.11  41.33  k  m  200    m  k  123  m  67 (TM )   m  k  11 m  57       m  k  41  m  37   ( KTM )   m  k  33  k  Vậy số cần tìm abcd  3136 Câu 73: Tìm số tự nhiên n cho số A  n  n  số phương Lời giải Giả sử A số phương, suy tồn số k  ¥ cho : n  n   k  n  n   4k     2k    2n  1  23   2k  2n  1  2k  2n  1  23 (*) Do k , n  ¥ nên dễ thấy 2k  n  2k  2n  số nguyên Ngoài 23  2k  2n   1;2k  2n   2k  2n  Suy  2k  2n   2k  2n  Căn lập luận 23 số nguyên tố nên từ (*) suy  2k  2n    4n   22  n   k  n   23  2 Với n  A  36  số phương Vậy n  số tự nhiên cần tìm thuvienhoclieu.com Trang 15 thuvienhoclieu.com thuvienhoclieu.com Trang 16 ... ;31  k  m  100   a  1  b  3? ??  c    d  3? ??  m Ta có:  abcd  k  abcd  135 3  m 2 Do đó: m  k  135 3   m  k   m  k   1 23. 11  41 .33  k  m  200  m  k  1 23. ..  88 2 Thay vào n  41, ta 88 2  41  84 1  29  q Vậy với n  88 2 n  18và n  41là hai số phương Câu 53: 2 Cho an  1 2 3? ??  n Chứng minh an  an1 số phương Lời giải Ta có: an1  1 2 3? ??...  ¥ ,31  k  m  100    a  1  b  3? ??  c    d  3? ??  m  abcd  135 3  m   Ta có: 2 Do đó: m  k  135 3   m  k   m  k   1 23. 11  41 .33  k  m  200    m  k  1 23  m