HSG toan 8 dang 2 SO NGUYEN TO

thuvienhoclieu.com DẠNG 2: SỐ NGUYÊN TỐ A.Bài toán Câu 1: Chứng minh ∀n ∈ ¥ * Câu 2: Tìm số tự nhiên Câu 3: Cho p p +1 Câu 4: Số tự nhiên Câu 5: Cho a, b, c để: n n3 + n + hợp số A = n3 − n + n − số nguyên tố số nguyên tố lớn Chứng minh A =1+ 32012 p +1 hợp số số nguyên tố hay hợp số ? Giải thích số nguyên khác 0, a≠c cho a + b2 a = b2 + c2 c Chứng minh a + b2 + c2 số nguyên tố n P = n + P Cho Tìm tất số tự nhiên để số nguyên tố Câu 6: a Câu 7: Tìm số nguyên cho Câu 8: Tìm số tự nhiên để n a4 + n + 18 số nguyên tố n − 41 m≠5 hai số phương m = a4 + m≠5 m = a + 4a Chứng minh khơng số nguyên tố Câu 10: Cho số nguyên tố p > Biết có số tự nhiên n cho cách viết thập phân số pn có 20 chữ số Chứng minh 20 chữ số có chữ số giống 1988 + n1987 + số nguyên tố Câu 11: Tìm số nguyên dương n để n Câu 9: Câu 12: Chứng minh: 9n + 12n + ( n ∈ N ) hai số nguyên tố Tìm số nguyên tố p cho 7p + lập phương số tự nhiên Câu 13: Cho Tìm tất số tự nhiên để số nguyên tố n P = n4 + P Câu 14: Số tự nhiên Câu 15: 32012 A = 1+ số nguyên tố hay hợp số ? Giải thích Tìm tất số nguyên dương để số nguyên tố Câu 16: Tìm số tự nhiên để số nguyên tố biết: Câu 17: Tìm số nguyên cho số nguyên tố Câu 18: Cho n số tự nhiên lẻ Chứng minh n3 − n p = n3 − n + n − chia hết cho thuvienhoclieu.com 24 Trang thuvienhoclieu.com Câu 19: Cho A = p4 dương Câu 20: p A số nguyên tố Tìm giá trị p để tổng ước số phương y x Tìm số ngun tố cho x2 − y = B = ( n − ) + 36 n Câu 21: Tìm số tự nhiên để Câu 22: Chứng minh rằng: Nếu a N, a > A = (a2 + a +1)(a2 + a + 2) – 12 hợp số Tìm tất số nguyên dương số nguyên tố Câu 23: Câu 24: Câu 25: Câu 26: Câu 27: Cho P = n + ∈ số nguyên tố n Tìm tất số tự nhiên để số nguyên tố n Tìm số tự nhiên để n Tìm số tự nhiên để p p số nguyên tố biết: p = n3 − n2 + n − số nguyên tố biết: a +4 p = n − n + n −1 a Tìm số nguyên cho số nguyên tố B HƯỚNG DẪN Chứng minh hợp số ∀n ∈ ¥ * n +n+2 Lời giải Ta có: n3 + n + = n3 + + n + = ( n + 1) ( n − n + 1) + ( n + 1) = ( n + 1) ( n − n + ) Do ∀n ∈ N * Câu 28: nên n +1>1 Tìm số tự nhiên n để: n − n + >1 Vậy A = n − n + n −1 n +n+2 hợp số số nguyên tố Lời giải A = n3 − n + n − = ( n + 1) ( n − 1) Để A nguyên tố Câu 29: Cho p p +1 n −1 = ⇔ n = Khi A=5 số nguyên tố lớn Chứng minh thuvienhoclieu.com p +1 hợp số Trang thuvienhoclieu.com Lời giải Do số nguyên tố lớn nên có dạng p p = 3k + 1; p = 3k − + Nếu p = 3k + với k >1 p + = 6k + = ( 2k + 1) Suy p +1 +Nếu Do hợp số (vô lý) p = 3k − 1, k > nên k >1 Câu 30: 4k − > Số tự nhiên nên viết 2012 ⇒ A = + 23 Câu 31: Cho Do A =1+ Lời giải 32012 M p + = 12k − = ( 4k − 1) p +1 32012 hợp số số nguyên tố hay hợp số ? Giải thích 32012 = 3n ( ∈ ¥ ) = 13 + 23n = 13 + ( 2n ) = ( + 2n ) 1 − 2n + ( 2n )  ⇒ A   a , b, c a + b2 + c2 số nguyên khác 0, a≠c cho hợp số a + b2 a = b2 + c2 c Chứng minh số nguyên tố Lời giải Ta có: a + b2 a = ⇔ ( a − c ) ( b − ac ) = ⇒ b = ac 2 b +c c a + b + c = a + ac + c = a + 2ac + c − b = ( a + c ) − b = ( a + c + b ) ( a + c − b ) Mà Ta thấy hợp sau: a + b2 + c2 > a + b2 + c2 số nguyên tố xảy trường 1)a + c − b = 1; a + c + b = a + b + c ⇒ a + b + c = 2a + 2c − ⇒ ( a − 1) + ( c − 1) + b = ⇒ a = c = 1, b = ±1 2 ( ktm) thuvienhoclieu.com Trang thuvienhoclieu.com 2)a + c + b = 1, a + c − b = a + b + c ⇒ a + b + c = 2a + 2c − ⇒ ( a − 1) + ( c − 1) + b = ⇒ a = c = 1, b = ±1 2 (ktm) 3) a + c + b = −1, a + c − b = − ( a + b + c ) ⇒ a + b + c = −2a − 2c − ⇒ ( a + 1) + ( c + 1) + b = ⇒ a = c = −1, b = ±1 2 ( ktm) 4)a + c − b = −1, a + c + b = − ( a + b2 + c ) ⇒ a + b2 + c = −2a − 2c − ⇒ ( a + 1) + ( c + 1) + b = ⇒ a = c = −1, b = ±1 2 Cho Câu 32: P = n + (ktm) Tìm tất số tự nhiên n để P số nguyên tố Lời giải P = n + = n + 4n + − 4n = ( n + ) − ( 2n ) 2 2 = ( n − 2n + ) ( n + 2n + ) = ( n − 1) + 1 ( n − 1) + 1    Vì n ( n + 1) số tự nhiên nên ( n − 1) + ≥ Như muốn P số nguyên tố ta phải có + = ⇔ ( n − 1) = ⇒ n = P=5 Khi Câu 33: số nguyên tố Tìm số nguyên a cho a4 + số nguyên tố Lời giải Ta có: Vì a + = ( a − 2a + ) ( a + a + ) a ∈ ¢ ⇒ a − 2a + ∈ ¢; a + a + ∈ ¢ a + 2a + = ( a + 1) + ≥ 1∀a Có: Vậy Câu 34: a4 + số nguyên tố n Tìm số tự nhiên để Lời giải Để n + 18 n − 41 ⇔ n + 18 = p a − 2a + = ( a − 1) + ≥ 1(∀a)  a + 2a + =  a = 1(tm) ⇔   a − 2a + =  a = −1(tm) n + 18 n − 41 hai số phương hai số phương n − 41 = q ( p, q ∈ ¥ ) ⇒ p − q = ( n + 18 ) − ( n − 41) = 59 ⇔ ( p − q ) ( p + q ) = 59 2 Nhưng 59 số nguyên tố, nên:  p − q =1  p = 30 ⇔   p + q = 59  q = 29 thuvienhoclieu.com Trang thuvienhoclieu.com Từ n + 18 = p = 302 = 900 ⇒ n = 882 Thay vào Vậy với Câu 35: n − 41, n = 882 ta 882 − 41 = 841 = 292 = q n + 18 n − 41 Chứng minh m≠5 hai số phương m = a4 + không số nguyên tố Lời giải m = a + = ( a + a + ) − ( a ) = ( a + + 2a ) ( a + − a ) 2 = ( a + 2a + 1) + 1 ( a − 2a + 1) + 1 = ( a + 1) + 1 ( a − 1) + 1    Vì ( a + 1) ≥ 1∀a, ( a − 1) ≥ 0∀a nên giá trị nhỏ thừa số thứ Giá trị nhỏ thừa số thứ hai Còn trường hợp khác tích Vậy ngồi nên a =  a = −1  m m=5 a = −1 a =1 >1 phân tích thành tích hai thừa số lớn số nguyên tố Câu 36: Cho số nguyên tố p > Biết có số tự nhiên n cho cách viết thập phân số pn có 20 chữ số Chứng minh 20 chữ số có chữ số giống Lời giải Do p số nguyên tố p > nên p không chia hết cho (*) pn có 20 chữ số Các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, gồm 10 chữ số đôi khác Nếu khơng có q nhiều chữ số giống chữ số phải có mặt lần cách viết số pn Như tổng chữ số số pn là: 2(0 + + + M M + + + + + + 9) = 90 nên pn Điều mâu thuẫn (*) Vậy số pn phải có chữ số giống 1988 + n1987 + số nguyên tố Câu 37: Tìm số nguyên dương n để n Lời giải: 1988 1987 + Với n = ta có n + n + = + + = số nguyên tố 1988 1987 + Với n ≥ 2, n ∈ Z ta có n + n + > n + n + n1988 − n = n ( n1986 − 1) = n ( n )  Mặt khác, ta có n n * Chú ý : a − b Ma − b Mà 662 − ( 13 ) 662  M( n3 − 13 )  n3 − 13 = ( n − 1) ( n + n + 1) M( n + n + 1) Suy (n 1988 − n2 ) M( n + n + 1) thuvienhoclieu.com Trang thuvienhoclieu.com Tương tự, n1987 − n = n ( n1986 − 1) M( n + n + 1) ( ) ( ) ( Khi đó, 1988 1987 Suy với n ≥ 2, n ∈ Z n + n + hợp số 1988 1987 Vậy, n = n + n + số nguyên tố n1988 + n1987 + = n1988 − n + n1987 − n + n + n + 1) M( n + n + 1) Câu 38: Chứng minh: 9n + 12n + ( n ∈ N ) hai số nguyên tố Lời giải Chứng minh: 9n + 12n + ( n ∈ N ) hai số nguyên tố d = UCLN ( 9n + 2,12n + 3) d ∈ N * Gọi , ( 9n + ) Md ( 36n + ) Md ⇒ ⇒ ( 36n + ) − ( 36n + ) Md ⇒ 1Md ⇔ d =  ( 12n + 3) Md ( 36n + ) Md Khi đó, 12n + ( n ∈ N ) Vậy, hai số nguyên tố Câu 39: Tìm số nguyên tố p cho 7p + lập phương số tự nhiên Lời giải Tìm số nguyên tố p cho 7p + lập phương số tự nhiên Giả sử p + = m3 ( m ∈ ¥ ) p≥2⇒m≥3 , mà p = m − = ( m − 1) ( m + m + 1) Khi Vì 7, p số nguyên tố, nên từ (*) suy m −1 = (*) m − > 1, m + m + > m2 + m + = a ) m − = ⇔ m = ⇒ p = 73; m = 512 = 7.73 + b) m + m + = ⇔ m + m − = , Giải ta m = m = -3 khơng thỏa mãn điều kiện Vậy có số nguyên tố p = 73 số cần tìm Câu 40: Cho P = n + 4 Tìm tất số tự nhiên Lời giải ( ) n P = n4 + = n4 + 4n2 + 4− 4n2 = n2 + − ( 2n ) ( )( để P m≥3 số nguyên tố ) 2 = n2 − 2n + n2 + 2n + = ( n − 1) + 1 ( n − 1) + 1    thuvienhoclieu.com Trang thuvienhoclieu.com Vì n số tự nhiên nên ( n − 1) P=5 32012 A = 1+ 32012 ⇒ A = 1+ ( ) = ( 1+ ) 1− + ( ) =1 +2 =1 + 3n n n n n ⇒A  hợp số Tìm tất số nguyên dương (1+ n 2017 để Lời giải 1+ n số nguyên tố hay hợp số ? Giải thích 32012 = 3n ( ∈ ¥ ) 32012 M3 + n 2018 ) số nguyên tố A = + n 2017 + n 2018 n Với n > 1, Với + 1≥ số nguyên tố ta phải có số nguyên tố Lời giải nên viết n =1 P Câu 41: Số tự nhiên Đặt: Như muốn + = ⇔ ( n − 1) = ⇒ n = Khi Câu 42: ( n + 1) 2017 A=3 số nguyên tố ta có: + n 2018 = ( n 2018 − n ) + ( n 2017 − n ) + ( n + n + 1) = n ( n 2016 − 1) + n ( n2016 − 1) + ( n2 + n + 1) = ( n 2016 − 1) ( n + n ) + ( n + n + 1) Ta lại có: n 2016 − = ( n3 ) ⇒ ( n 2016 − 1) M( n + n + 1) Vậy n =1 672 Suy Lời giải Biến đổi Nếu n = 0;1 n=2 AM( n + n + 1) , mà < n2 + n + < A nên A hợp số số nguyên dương thỏa mãn điều kiện Câu 43: Tìm số tự nhiên Nếu 671 670 − = ( n3 − 1) ( n3 ) + ( n ) + + n3 + 1 M( n3 − 1)   n để p số nguyên tố biết: p = n3 − n + n − p = ( n + 1) ( n − 1) không thỏa mãn đề Câu thỏa mãn đề Câu p = ( 22 + 1) ( − 1) = thuvienhoclieu.com Trang thuvienhoclieu.com n>3 Nếu không thỏa mãn đề Câu p có từ ước trở lên 1; n − > n +1 > n −1 > n=2 Vậy Câu 44: p = n3 − n + n − số nguyên tố a Tìm số nguyên cho a4 + số nguyên tố Lời giải Ta có: a + = ( a − 2a + ) ( a + 2a + ) Vì a ∈ ¢ ⇒ a − 2a + ∈ ¢; a + a + ∈ ¢ a + 2a + = ( a + 1) + ≥ 1∀a Có: Vậy a4 + số nguyên tố Câu 45: Cho n a − 2a + = ( a − 1) + ≥ 1(∀a)  a + 2a + =  a = 1(tm) ⇔  a − a + =  a = −1(tm)  số tự nhiên lẻ Chứng minh n3 − n chia hết cho 24 Lời giải Ta có: Vì n3 − n = n ( n − 1) ( n + 1) n − 1; n; n + Do (n ba số tự nhiên liên tiếp nên có ba số chia hết cho − n) M (2) Vì hai số nguyên tố nên kết hợp với (n − n ) M24 Câu 46: ( 1) ; ( ) ( dpcm ) A = p4 Cho p số nguyên tố Tìm giá trị p để tổng ước A dương số phương Lời giải Các ước dương Tổng ước A 1; p; p ; p3 ; p + p + p + p + p = n2 ( n ∈ ¥ ) ⇒ + p + p + p + p = 4n Ta có: p + p + p < 4n < p + p + + p + p + p ⇒ ( p + p ) < ( 2n ) < ( p + p + ) ⇒ ( 2n ) = ( p + p + 1) 2 2 Do : thuvienhoclieu.com suy Trang thuvienhoclieu.com p + p3 + p + p + = p4 + p3 + p2 + p +  p = −1(ktm) ⇔ p2 − p − = ⇔   p2 = 3(tm) Vậy p=3 Câu 47: x Tìm số nguyên tố y cho x2 − y = Lời giải Ta có: x − y = ⇔ y = x − 1M2 ⇒ ( x − 1) ( x + 1) M2 Xét trường hợp : Khi ta có y M4 ⇒ y M2 ⇒ y = Xét trường hợp Khi ta có: Câu 48: Ta có: x + 1M2 ⇒ x + = 2k ( k ∈ ¥ ) ⇒ x = 2k − (do y nguyên tố) Từ suy x=3 x − 1M2 ⇒ x + = 2t ( t ∈ ¥ ) ⇒ x = 2t + y M4 ⇒ y M2 ⇒ y = (do y nguyên tố) suy x=3 B = ( n − ) + 36 = n − 16n + 64 + 36 = n + 20n + 100 − 36n = ( n + 10 ) − ( 6n ) 2 = ( n − 6n + 10 ) ( n + 6n + 10 ) Với n∈¥ < n − 6n + 10 ≤ n + 6n + 10 Nên để B số nguyên tố trước hết Hay ( n − 3) n − 6n + 10 = =0⇔n=3 Thử lại , với n=3 B = ( 32 − ) + 36 = 37 n=3 37 số nguyên tố nên giá tị cần tìm Câu 49: Đặt a + a + = x (1) A = x(x + 1) – 12 = x2 + x – 12= x2 – 3x + 4x – 12 = (x2 – 3x) + (4x – 12) = x(x - 3) + 4(x - 3) = (x - 3)(x + 4) Thay (1) vào biểu thức A, ta có A = (a2 + a - 2)(a2 + a + 5) = (a2 + 2a – a - 2)(a2 + a + 5) = (a - )( a + 2)(a2 + a + 5) AMa − 1; AMa + 2; AMa + a + Ta thấy Vậy A hợp số thuvienhoclieu.com Trang thuvienhoclieu.com Câu 50: Lời giải Đặt: Với số nguyên tố Với ta có: Ta lại có: Suy nên A hợp số Vậy n =1 số nguyên dương thỏa mãn điều kiện Cho Câu 51: P = n + n Tìm tất số tự nhiên để P số nguyên tố Lời giải P = n + = n + 4n + − 4n = ( n + ) − ( 2n ) 2 = ( n − 2n + ) ( n + 2n + ) = ( n − 1) + 1 ( n + 1) + 1     Vì n số tự nhiên nên ( n − 1) +1 = Khi Câu 52: hay P=5 Tìm số tự nhiên để Biến đổi Nếu Nếu n=2 Như muốn P số ngun tố phải có p số ngun tố biết: p = n3 − n2 + n − p = ( n + 1) ( n − 1) không thỏa mãn đề thỏa mãn đề n>3 +1 ≥ = ⇒ n =1 n n = 0;1 số nguyên tố Lời giải Nếu ( n − 1) ( n + 1) p = ( 22 + 1) ( − 1) = khơng thỏa mãn đề p có từ ước trở lên 1; n − > n +1 > n −1 > Vậy n=2 Câu 53: p = n3 − n + n − n Tìm số tự nhiên để Lời giải 1) Biến đổi Nếu n = 0;1 số nguyên tố p số nguyên tố biết: p = n3 − n2 + n − p = ( n + 1) ( n − 1) không thỏa mãn đề thuvienhoclieu.com Trang 10 thuvienhoclieu.com n=2 Nếu thỏa mãn đề n>3 Nếu p = ( 22 + 1) ( − 1) = không thỏa mãn đề p có từ ước trở lên 1; n − > n +1 > n −1 > n=2 Vậy Câu 54: p = n3 − n + n − số nguyên tố a Tìm số nguyên cho a4 + số nguyên tố Lời giải Ta có: Vì a + = ( a − 2a + ) ( a + a + ) a ∈ ¢ ⇒ a − 2a + ∈ ¢; a + a + ∈ ¢ a + 2a + = ( a + 1) + ≥ 1∀a Có: Vậy a4 + số nguyên tố a − 2a + = ( a − 1) + ≥ 1(∀a )  a + 2a + =  a = 1(tm) ⇔  a − a + =  a = −1(tm)  thuvienhoclieu.com Trang 11 ... p + q = 59  q = 29 thuvienhoclieu.com Trang thuvienhoclieu.com Từ n + 18 = p = 3 02 = 900 ⇒ n = 88 2 Thay vào Vậy với Câu 35: n − 41, n = 88 2 ta 88 2 − 41 = 84 1 = 29 2 = q n + 18 n − 41 Chứng minh... hợp số ? Giải thích 320 12 = 3n ( ∈ ¥ ) = 13 + 23 n = 13 + ( 2n ) = ( + 2n ) 1 − 2n + ( 2n )  ⇒ A   a , b, c a + b2 + c2 số nguyên khác 0, a≠c cho hợp số a + b2 a = b2 + c2 c Chứng minh số... 1 988 − n2 ) M( n + n + 1) thuvienhoclieu.com Trang thuvienhoclieu.com Tương tự, n1 987 − n = n ( n1 986 − 1) M( n + n + 1) ( ) ( ) ( Khi đó, 1 988 1 987 Suy với n ≥ 2, n ∈ Z n + n + hợp số 1 988 1 987