Đang tải... (xem toàn văn)
Tìm chöõ soá haøng ñôn vò Giaûi... Tìm chöõ soá haøng ñôn vò.[r]
(1)SỐ CHÍNH PHƯƠNG
I Số phương: A Một số kiến thức:
Số phương: số bình phương số khác Ví duï:
4 = 22; = 32
A = 4n2 + 4n + = (2n + 1)2 = B2
+ Số phương khơng tận chữ số: 2, 3, 7,
+ Số phương chia hết cho chia hết cho 4, chia hết cho chia hết cho
9, chia
hết cho chia hết cho 25, chia hết cho 23 chia hết cho 24,…
+ Số n
11
= a n
99
= 9a 9a + = n
99
+ = 10n
B Một số toán: Bài 1:
Chứng minh rằng: Một số phương chia cho 3, cho dư Giải
Gọi A = n2 (n N)
a) xét n = 3k (k N) A = 9k2 neân chia heát cho
n = 3k (k N) A = 9k2 6k + 1, chia cho dư
Vậy: số phương chia cho dư b) n = 2k (k N) A = 4k2 chia hết cho
n = 2k +1 (k N) A = 4k2 + 4k + chia cho dö
Vậy: số phương chia cho dư Chú ý: + Số phương chẵn chia hết cho
(2)2 Baøi 2: Số số sau số phương a) M = 19922 + 19932 + 19942
b) N = 19922 + 19932 + 19942 + 19952
c) P = + 9100 + 94100 + 1994100
d) Q = 12 + 22 + + 1002
e) R = 13 + 23 + + 1003
Giải
a) số 19932, 19942 chia cho dư 1, 19922 chia hết cho M chia cho
dư M khơng số phương
b) N = 19922 + 19932 + 19942 + 19952 gồm tổng hai số phương chẵn chia hết
cho 4, hai số phương lẻ nên chia dư suy N không số phương
c) P = + 9100 + 94100 + 1994100 chia dư nên không số phương
d) Q = 12 + 22 + + 1002
Số Q gồm 50 số phương chẵn chia hết cho 4, 50 số phương lẻ, số chia dư nên tổng 50 số lẻ chia dư Q chia dư nên Q khơng số phương
e) R = 13 + 23 + + 1003
Goïi Ak = + + + k =
k(k + 1)
2 , Ak – 1 = + + + k =
k(k - 1)
Ta có: Ak2 – Ak -12 = k3 đó:
13 = A 12
23 = A
22 – A12
n3 = A
n2 = An - 12
(3)13 + 23 + +n3 = A n2 =
2
2
n(n + 1) 100(100 1)
50.101 2
số phương
3 Baøi 3:
CMR: Với n N số sau số phương
a) A = (10n +10n-1 + +.10 +1)(10 n+1 + 5) + 1
A = ( n
11 1
)(10 n+1 + 5) +
1
1
10
.(10 5) 10 n n
Đặt a = 10n+1 A =
a -
9 (a + 5) + =
2
2
a + 4a - + a + 4a + a +
9
b) B = n
111 1
n -
555
6 ( có n số n-1 số 5)
B = n
111 1
n
555 5
+ = n
111 1
10n + 555 5 n + = 111 1 n 10n + 5 111 1n
+
Đặt n
11 1
= a 10n = 9a + neân
B = a(9a + 1) + 5a + = 9a2 + 6a + = (3a + 1)2=
2 n -
33 34
c) C = 2n
11 1
.+ 44 n +
Đặt a = n
11 1
Thì C = n
11 1
n
11 1
+ n
11 1
+ = a 10n + a + a +
= a(9a + 1) + 5a + = 9a2 + 6a + = (3a + 1)2
d) D = n
99
8 n
00 0
1 Đặt n
99 9
= a 10n = a +
D = n
99 9
10n + 2 + 10n + 1 + = a 100 10n + 80 10n +
= 100a(a + 1) + 80(a + 1) + = 100a2 + 180a + 81 = (10a + 9)2 = (99 9 n + 1 )2
e) E = n
11 1
n +
22
5 = n
11 1
n +
22
00 + 25 = n
11 1
.10n + 2 + 11 1 n 00 + 25
(4)f) F = 100
44 4
= 100
11 1
số phương 100
11 1
số phương Số 100
11 1
số lẻ nên số phương chia cho phải dư Thật vậy: (2n + 1)2 = 4n2 + 4n + chia dö 1
100
11 1
có hai chữ số tận 11 nên chia cho dư 100
11 1
không số phương neân F = 100
44 4
không số phương Bài 4:
a) Cho số A = 2m
11 11
; B = m +
11 11
; C = m
66 66
CMR: A + B + C + số phương
Ta có: A
2
10
9
m
; B =
1
10
9
m
; C =
10 m Neân: A + B + C + =
2 10 m + 10 m + 10 m
+ =
2
10 10 6(10 1) 72
9
m m m
=
2
10 10.10 6.10 72
9
m m m
=
2
10 16.10 64 10 8
9
m m m
b) CMR: Với x,y Z A = (x+y)(x+2y)(x+3y)(x+4y) + y4 số
phương
A = (x2 + 5xy + 4y2) (x2 + 5xy + 6y2) + y4
= (x2 + 5xy + 4y2) [(x2 + 5xy + 4y2) + 2y2) + y4
= (x2 + 5xy + 4y2)2 + 2(x2 + 5xy + 4y2).y2 + y4 = [(x2 + 5xy + 4y2) + y2)2
= (x2 + 5xy + 5y2)2
Bài 5: Tìm số nguyên dương n để biểu thức sau số phương a) n2 – n + b) n5 – n + 2
Giaûi
a) Với n = n2 – n + = khơng số phương
(5)Với n > n2 – n + khơng số phương Vì
(n – 1)2 = n2 – (2n – 1) < n2 – (n - 2) < n2
b) Ta coù n5 – n chia hết cho Vì
n5 – n = (n2 – 1).n.(n2 + 1)
Với n = 5k n chia hết cho
Với n = 5k n2 – chia hết cho
Với n = 5k n2 + chia hết cho
Nên n5 – n + chia cho dư nên n5 – n + có chữ số tận
neân
n5 – n + không số phương
Vậy : Khơng có giá trị n thỗ mãn toán Bài :
a)Chứng minh : Mọi số lẻ viết dạng hiệu hai số phương
b) Một số phương có chữ số tận chữ số hàng chục chữ số chẵn
Giaûi
Mọi số lẻ có dạng a = 4k + a = 4k +
Với a = 4k + a = 4k2 + 4k + – 4k2 = (2k + 1)2 – (2k)2
Với a = 4k + a = (4k2 + 8k + 4) – (4k2 + 4k + 1) = (2k + 2)2 – (2k + 1)2
b)A số phương có chữ số tận nên A = (10k 3)2 =100k2 60k + = 10.(10k2 6) +
Số chục A 10k2 số chẵn (đpcm)
Baøi 7:
(6)Gọi n2 = (10a + b)2 = 10.(10a2 + 2ab) + b2 nên chữ số hàng đơn vị cần tìm chữ
số tận b2
Theo đề , chữ số hàng chục n2 chữ số lẻ nên chữ số hàng chục b2
phải lẻ
Xét giá trị b từ đến có b2 = 16, b2 = 36 có chữ số hàng chục
chữ số lẻ, chúng tận Vậy : n2 có chữ số hàng đơn vị 6
Bài tập nhà:
Bài 1: Các số sau đây, số số phương a) A = 50
22
4 b) B = 11115556 c) C = n
99
n
00
25 d) D = n
44
n -
88
9 e) M = 2n
11
– n
22
f) N = 12 + 22 + + 562
Bài 2: Tìm số tự nhiên n để biểu thức sau số phương a) n3 – n +
b) n4 – n + 2
Bài 3: Chứng minh
a)Tổng hai số phương lẻ không số phương
b) Một số phương có chữ số tận chữ số hàng chục chữ số lẻ