Mở đầuVị trí số nguyên tố trong số học Số học là một môn học cơ bản trong chơng trình phổ thông, nó đợc đa vào từ những năm đầu của cấp THCS nhng hầu nh nó có mặt trong tất cả các kỳ thi
Trang 1Môc lôc
Môc lôc 1
I Më ®Çu 2
1 VÞ trÝ sè nguyªn tè trong sè häc 2
2 Thùc tr¹ng häc to¸n hiÖn nay cña häc sinh 2
II BiÖn ph¸p ® thùc hiÖn· thùc hiÖn 4
III KÕt luËn 15
Trang 2Mở đầu
Vị trí số nguyên tố trong số học
Số học là một môn học cơ bản trong chơng trình phổ thông, nó đợc đa vào từ những năm đầu của cấp THCS nhng hầu nh nó có mặt trong tất cả các kỳ thi học sinh giỏi cấp cơ sở đến cấp quốc gia cũng nh các kỳ thi quốc tế Nếu coi số học là
“bà chúa” của Toán học thì số nguyên tố là vấn đề trọng tâm của số học bởi mọi
số lớn hơn 1 đều phân tích đợc ra thừa số nguyên tố và sự phân tích đó là duy nhất Bởi thể giải toán là vấn đề trọng tâm của ngời dạy cũng nh ngời học, nó là hình thức tốt nhất để rèn luyện các kỹ năng, rèn luyện tính cần cù kiên trì nhẫn nại và cũng rèn luyện trí thông minh sáng tạo Hơn nữa, giải toán cũng là thớc đo năng lực của ngời học toán
Thực trạng học toán hiện nay của học sinh
Hiện nay môn số học là môn mà đa số học sinh sợ nhất Đối với những học sinh lời học đã đành, còn đối với những học sinh “chăm học” mặc dầu “thuộc” lý thuyết nhng vẫn không giải đợc Với các bài tập số nguyên tố cũng không thoát khỏi tình trạng này Thông thờng học sinh chỉ hiểu và giải đợc những bài toán cụ thể mà thầy đã giải chứ cha biết qua đó để học tập cách giải, cách suy nghĩ các bài toán khác, ngay cả những bài toán tơng tự nhiều học sinh khi bắt gặp bài toán
là cứ nháp lia lịa chứ không định hớng đợc mình sẽ giải quyết nh thế nào? Nguyên nhân dẫn đến tình trạng này là:
Học sinh lời học, lời suy nghĩ, cha hiểu đợc bản chất vấn đề.Không tìm ra phơng pháp giải (không biết bắt đầu từ đâu)
Những tồn tại trên không những do học sinh mà do cả ngời thầy Thông thờng ngời thầy chỉ nặng về trình bày lời giải đã tìm ra mà cha chú trọng đến hớng dẫn học sinh tìm ra lời giải
Đối với học sinh lớp 6 thì việc giải một bài toán nói chung và bài toán số nguyên
tố nói riêng lại càng khó khăn hơn bởi các em cha có kinh nghiệm giải toán, cha
có kỹ năng và công cụ giải toán còn hạn chế Với đặc điểm tâm lý học sinh lớp 6 thích hoạt động tìm kiếm, không thích sự áp đặt Các em sẽ nhớ lâu những gì mà bản thân mình đã tìm ra, điều này lại càng vun đắp lòng say mê học toán, thôi thúc các em nghiên cứu khám phá đi đến chân trời vinh quang của toán học Vậy làm thế nào để giúp các em có một phơng pháp học tập tốt, đó là điều mà tôi trăn trở trong quá trình giảng dạy cũng nh bồi dỡng học sinh khá giỏi Toán 6 Tôi xin mạo muội đa ra những suy nghĩ, những việc làm của bản thân chẳng hạn khi dạy cho học sinh giải bài tập về số nguyên tố
Để giải quyết những bài tập về số nguyên tố cho học sinh lớp 6, học sinh cần nắm chắc các lý thuyết sau:
Định nghĩa số nguyên tố, hợp số
Bảng số nguyên tố
Sự phân tích một số ra thừa số nguyên tố
Các tính chất chia hết, dấu hiệu chia hết
Các tính chất chẵn lẻ
Biện pháp đã thực hiện thực hiện
Phơng châm thực hiện là:
Nắm vững kiến thức cơ bản tại lớp, thuộc bài tại lớp
Trang 3Xuất phát từ nhận xét, ví dụ mà đọng đến kiến thức.
Giáo viên chỉ gợi ý, đặt vấn đề và kết luận
Cho học sinh quan sát kỹ bảng số nguyên tố và thấy 2 là số nguyên tố bé nhất và cũng là số nguyên tố chẵn duy nhất Và mọi số nguyên tố khác
đều là số lẻ
Chứng minh rằng: 2 là số nguyên tố chẵn duy nhất
Giả sử tồn tại số nguyên tố p ≠ 2 mà p chẵn nên p có dạng p = 2k (k N) ( P
2 và lớn hơn 2) p là hợp số Vậy chỉ có duy nhất p = 2
1.b) Học sinh quan sát bảng số nguyên tố thấy 2 và 3 là cặp số tự nhiên liên tiếp duy nhất đều là số nguyên tố Bộ 3 số lẻ liên tiếp 3, 5, 7 là bộ 3 số nguyên
tố duy nhất.
Chứng minh rằng:
+ 2 và 3 là cặp số tự nhiên liên tiếp duy nhất là nguyên tố + Bộ 3 số lẻ liên tiếp 3, 5, 7 là bộ 3 số nguyên tố duy nhất Chứng minh:
Thật vậy, xét cặp số tự nhiên liên tiếp a, a + 1 (a > 2) trong
2 số a
và a + 1 một số chia hết cho 2 nên là hợp số
Xét bộ 3 số lẻ a, a + 2, a + 4 (a > 3) trong 3 số lẻ liên tiếp có
1 số là bội của 3, bội đó lớn hơn 3 nên là hợp số
Kết luận 1:
+ 2, 3 là cặp số tự nhiên liên tiếp duy nhất là nguyên tố + Bộ 3 số lẻ liên tiếp 3, 5, 7 là bộ 3 số nguyên tố duy nhất.
Nhìn vào bảng số nguyên tố thấy từ 1 đến 10 có 4 số nguyên tố, từ 1 đến
100 có 25 số nguyên tố, từ 1 đến 1000 có 168 số nguyên tố Vậy phải chăng các số nguyên tố đợc sắp xếp một cách tha dần trên trục số.
Ví dụ 1 Hãy tìm 10 số tự nhiên liên tiếp chứa nhiều số nguyên tố nhất (học sinh nhìn vào bảng số nguyên tố sẽ thấy đó là các số tự nhiên từ 2 đến 11)
Gọi 10 số tự nhiên liên tiếp là: a, a + 1, a + 2,… , a + 9 (a > 1) , a + 9 (a > 1)
Với a = 2 ta có các số nguyên tố là 2, 3, 5, 7, 11 (có 5 số nguyên tố)
Với a > 2 ta có dãy 10 số trong đó có 5 số chẵn, 5 số lẻ, 5 số chẵn này đều là hợp
số Trong 5 số lẻ liên tiếp của dãy a, a + 2, … , a + 9 (a > 1)., a + 8 (nếu a lẻ) hoặc a +1, a + 3, a + 5, a + 7, a + 9 (nếu a chẵn)
Giả sử 5 số lẻ là: a, a + 2, a + 4, a + 6, a + 8
Nếu a 3 a + 6 3 nên a + 6 là hợp số
Nếu a = 3k + 1 (k N) thì a + 8 3 nên a + 8 là hợp số
Nếu a = 3k + 2 (k N) thì a + 4 3 nên a + 4 là hợp số
Nh vậy trong dãy 5 số lẻ có nhiều nhất 4 số nguyên tố
Tơng tự giả sử 5 số lẻ là a + 1, a +3, a + 5, a + 7, a + 9
Nếu a 3 a + 3 3 nên a + 3 là hợp số
Nếu a = 3k + 1 (k N) thì a + 5 3 nên a + 5 là hợp số
Nếu a = 3k + 2 (k N) thì a + 7 3 nên a + 7 là hợp số
Vậy trong 5 số lẻ trên có nhiều nhất là 4 số nguyên tố Vậy 10 số tự nhiên liên tiếp chứa nhiều số nguyên tố nhất là 2, 3,… , a + 9 (a > 1) 11
Ví dụ 2 Bài 158 sách Bài tập toán 6-Tập 1
Gọi a = 2.3.4.5… , a + 9 (a > 1) 101, có phải 100 số tự nhiên liên tiếp sau đây đều là hợp số không?
a + 2, a + 3, … , a + 9 (a > 1) , a+ 101
Giải: Ta thấy a > 2; a > 3, … , a + 9 (a > 1)., a > 101
và: a + 2 2 nên a + 2 là hợp số (vì trong a có chứa thừa số 2)
a + 3 3 nên a + 3 là hợp số (vì trong a có chứa thừa số 3)
… , a + 9 (a > 1).… , a + 9 (a > 1).… , a + 9 (a > 1).… , a + 9 (a > 1).… , a + 9 (a > 1).… , a + 9 (a > 1).… , a + 9 (a > 1).… , a + 9 (a > 1).… , a + 9 (a > 1).… , a + 9 (a > 1).… , a + 9 (a > 1).… , a + 9 (a > 1).… , a + 9 (a > 1).… , a + 9 (a > 1).… , a + 9 (a > 1).… , a + 9 (a > 1).… , a + 9 (a > 1).… , a + 9 (a > 1).… , a + 9 (a > 1).… , a + 9 (a > 1).… , a + 9 (a > 1).… , a + 9 (a > 1).… , a + 9 (a > 1)
a + 101 101 nên a + 101 là hợp số (vì trong a có chứa thừa số 101)
Trang 4Vậy a + 2, a + 3, … , a + 9 (a > 1) , a + 101 trong đó a = 2.3.4.5… , a + 9 (a > 1) 101 đều là hợp số.
Ví dụ 3 Có tồn tại 10000 số tự nhiên liên tiếp đều là hợp số không?
Giải: Gọi a = 2.3.4… , a + 9 (a > 1) 10001, khi đó 10000 số tự nhiên liên tiếp là a + 2, a + 3, , a + 10001
… , a + 9 (a > 1)
Rõ ràng a > 2; a > 3, … , a + 9 (a > 1)., a > 10001
và: a + 2 2 nên a + 2 là hợp số (vì trong a có chứa thừa số 2)
a + 3 3 nên a + 3 là hợp số (vì trong a có chứa thừa số 3)
… , a + 9 (a > 1).… , a + 9 (a > 1).… , a + 9 (a > 1).… , a + 9 (a > 1).… , a + 9 (a > 1).… , a + 9 (a > 1).… , a + 9 (a > 1).… , a + 9 (a > 1).… , a + 9 (a > 1).… , a + 9 (a > 1).… , a + 9 (a > 1).… , a + 9 (a > 1).… , a + 9 (a > 1).… , a + 9 (a > 1).… , a + 9 (a > 1).… , a + 9 (a > 1).… , a + 9 (a > 1).… , a + 9 (a > 1).… , a + 9 (a > 1).… , a + 9 (a > 1).… , a + 9 (a > 1).… , a + 9 (a > 1).… , a + 9 (a > 1)
a + 10001 10001 nên a + 10001 là hợp số (vì trong a có chứa thừa số 10001) Vậy a + 2, a + 3, … , a + 9 (a > 1) , a + 10001 trong đó a = 2.3.4.5… , a + 9 (a > 1) 10001 đều là hợp số Qua 3 ví dụ trên cho phép ta kết luận:
+ Tập hợp số nguyên tố đợc sắp xếp tha dần trên trục số
+ Và cho học sinh thừa nhận ngời ta đã chứng minh đợc có vô số số nguyên tố
Nhìn trên bảng số nguyên tố xem các số nguyên tố đợc biểu diễn theo công thức nào?
3 = 4.1 – 1
5 = 4.1 + 1
7 = 4.2 – 1
11 = 4.3 – 1
… , a + 9 (a > 1)
Phải chăng mọi số nguyên tố lớn hơn 2 đều viết đợc dới dạng 4k 1 ( k ± 1 ( k N*) b) Cũng tơng tự nhìn bảng số nguyên tố ta thấy:
5 = 3.2 – 1
7 = 3.2 + 1
11 = 3.4 – 1
13 = 3.4 + 1
… , a + 9 (a > 1)
Vậy phải chăng mọi số nguyên tố lớn hơn 3 đều viết đợc dới dạng 3k 1 (k ± 1 ( k
N*)
c) Cũng tơng tự nhìn bảng số nguyên tố ta thấy:
5 = 6.1 – 1
7 = 6.1 + 1
11 = 6.2 – 1
13 = 6.2 + 1
… , a + 9 (a > 1)
Vậy phải chăng mọi số nguyên tố lớn hơn hoặc bằng 5 đều viết đợc dới dạng 6k
1 (k
± 1 ( k N*)
Với những nhận xét nh trên học sinh sẽ tự tin hơn trong quá trình giải toán cũng
nh chứng minh
Ví dụ 4 1) Chứng minh rằng mọi số nguyên tố lớn hơn 2 đều viết đợc dới dạng 4k 1 (k ± 1 ( k N*)
2) Chứng minh rằng mọi số nguyên tố lớn hơn 3 đều viết đợc dới dạng 3k 1 (k± 1 ( k
N*)
3) Chứng minh rằng mọi số nguyên tố lớn hơn hoặc bằng 5 đều viết đợc dới dạng 6k 1 (k ± 1 ( k N*)
Chứng minh:
Khi chia số tự nhiên a lớn hơn 2 cho 4 thì đợc các số d lần lợt
là 0, 1, 2, 3
Khi a = 4m thì a là hợp số
Khi a = 4k + 1
Khi a = 4p + 2 thì a 2 nên a là hợp số
Khi a = 4q + 3 = 4q + 4 – 1 = 4(q + 1) – 1 có dạng 4k – 1 trong đó k = q + 1 Kết luận: Mọi số nguyên tố lớn hơn 2 đều có dạng 4k 1.± 1 ( k
Các trờng 2); 3) chứng minh hoàn toán tơng tự
Trang 5Ví dụ 5 Chứng minh rằng mọi số nguyên tố p > 3 thì p2 : 3 d 1.
Giải: Theo kết luận 2) mọi số nguyên tố lớn hơn 3 đều có dạng 3k 1 (k ± 1 ( k N*) nên p2 = (3k 1)± 1 ( k 2 = 9k2 6k + 1 = 3k(3k 2) + 1 rõ ràng p± 1 ( k ± 1 ( k 2 : 3 d 1
Kết luận 2:
Mọi số nguyên tố lớn hơn 2 đều viết đợc dới dạng 4k 1 ± 1 (k N * ).
Mọi số nguyên tố lớn hơn 3 đều viết đợc dới dạng 3k 1 ± 1 (k N * ).
Mọi số nguyên tố lớn hơn hoặc bằng 5 đều viết đợc dới dạng 6k 1 (k ± 1 N * ).
Mọi số nguyên tố lớn hơn 3 thì bình phơng của nó chia cho
3 d 1.
Điều ngợc lại của các mệnh đề trên không đúng
Nhờ những nhận xét trên mà ta có những kết luận về số nguyên tố điều này giúp các em nắm đợc sâu hơn về bản chất số nguyên tố từ đó các em có thể hình thành
đợc phơng pháp giải bài toán về số nguyên tố
Sau đây là một số bài toán đã đợc áp dụng từ cách làm trên
Bài toán 1 Số 2003 có thể viết đợc dới dạng tổng 2 số nguyên tố không?
Giải: Rõ ràng là không bởi 2003 là số lẻ 2003 = một số chẵn + một số lẻ Số
chẵn đó là 2 nên 2003 = 2 + 2001 mà 2001 3 nên là hợp số
Bài toán 2 Tìm 2 số tự nhiên a, b sao cho a.b = a + b đều là số nguyên tố.
Giải: Để a.b là nguyên tố a = 1 (hoặc b = 1), số còn lại phải là số nguyên tố.
Với a = 1 thì b là nguyên tố
vì: a + b là nguyên tố mà a = 1 nên 1 + b là nguyên tố
Nếu 1 + b chẵn 1 + b = 2 b = 1 (loại vì b là nguyên tố)
Nếu 1 + b lẻ b chẵn nên b = 2
Vậy cặp số tự nhiên duy nhất đó là 1 và 2
Bài toán 3 Tìm tất cả các số nguyên tố x, y, z sao cho: xy + 1 = z cũng là số nguyên tố
Giải: Vì x, y là nguyên tố nên x ≥ 2, y ≥ 2 xy ≥ 4 và xy + 1 ≥ 5 mà xy + 1 = z nên z ≥ 5 z lẻ (z là nguyên tố) nên xy chẵn x chẵn x = 2 (vì x là nguyên tố)
Nếu y chẵn (y nguyên tố) nên y = 2
Nếu y lẻ, y có dạng y = 2k + 1 (k N*) khi đó z = x2k + 1 + 1
= 2.(22)k + 1 (do x = 2)
Ta thấy 22 : 3 d 1 (22)k : 3 d 1 nên 2.(22)k : 3 d 2 nên z = 2.(22)k + 1 3 vô lý vì
z là nguyên tố lớn hơn hoặc bằng 5
Vậy chỉ có x = 2, y = 2 thoả mãn đề bài
Thử lại: 22 + 1 = 5
Bài toán 4 Tìm số nguyên tố x, y sao cho x2 – 2y2 = 1
Giải: Từ x2 – 2y2 = 1 x2 = 1 + 2y2 do 1 + 2y2 lẻ nên x2 lẻ x lẻ, x có dạng x
= 2m + 1 (m N*) Khi đó bài toán đã cho trở thành (2m + 1)2 = 1 + 2y2 hay 4m2
+ 4m + 1 = 1 + 2y2 hay y2 = 2m2 + 2m = 2m(m+1) Do m, m + 1 là 2 số nguyên liên tiếp nên 2m(m + 1) chẵn, y2 chẵn y chẵn y = 2 (vì y là nguyên tố)
Với y = 2 thì x2 = 1 + 2.22 = 9 x = 3
Vậy với x =3, y = 2 thì x2 – 2y2 = 1 và x, y là nguyên tố
Bài toán 5 Tìm số nguyên tố biết chúng bằng tổng 2 số nguyên tố và bằng hiệu
2 số nguyên tố
Giải: Gọi số nguyên tố cần tìm là p Ta có:
Trang 6p = p1 + p2 = p3 – p4 (p1, p2, p3, p4 là số nguyên tố).
Giả sử p1 > p2 do p1, p2, p3, p4 là số nguyên tố nên p1 + p2 , p3 – p4 là số lẻ p2 =
2, p4 = 2 do đó p = p1 + 2 = p3 – 2 p3 = p + 2 và p1 = p – 2
Bài toán trở thành: Tìm số nguyên tố p sao cho p, p – 2, p + 2 là số nguyên tố Với p = 3 thì p – 2 = 1 không phải là số nguyên tố
Với p = 5 thì p – 2 = 3, p + 2 = 7 thoả mãn yêu cầu bài toán
Với p > 5, p có dạng 6k 1.± 1 ( k
Với p = 6k + 1 thì p + 2 = 6k + 3 3 nên là hợp số
Với p = 6k – 1 thì p – 2 = 6k – 3 3 nên là hợp số
Thử lại: 5 = 3 + 2 = 7 – 2
Nên chỉ duy nhất p = 5 thoả mãn
Bài toán 6 Tìm số nguyên tố p để 4p + 1 là bình phơng của một số tự nhiên Giải: Đặt x2 = 4p + 1 (x N)
Do 4p + 1 lẻ nên x2 lẻ nên x có dạng x = 2k + 1 (k N) Khi đó:
(2k + 1)2 = 4p + 1 hay 4k2 + 4k + 1 = 4p + 1 p = k2 + k = k(k + 1) Vì k, k + 1
là 2 số nguyên liên tiếp nên có một số chẵn Vậy p phải là số nguyên tố chẵn nên chỉ có duy nhất p = 2
Thử lại: 4.2 + 1 = 9 = 32
Bài toán 7 Tìm số nguyên tố p sao cho: 3p2 + 1 và 24p2 + 1 đều là số nguyên tố
Giải:
Nếu p = 2 3p2 + 1 = 3.22 + 1 = 13 là số nguyên tố
24p2 + 1 = 24.22 + 1 = 97 là số nguyên tố
Nếu p > 2 nên p lẻ 3p2 lẻ nên 3p2 + 1 chẵn và lớn hơn 2 nên 3p2 + 1 là hợp số Vậy chỉ có p = 2
Bài toán 8 (Sử dụng kết luận 2)
Tìm tất cả các số nguyên tố p sao cho: p + 10, p + 14 đều là nguyên tố
Giải: Bằng cách mò mẫn cho p = 2, 3, 5,… , a + 9 (a > 1) sau đó loại các giá trị không thoả mãn của p
Với p = 2 thì p + 10 và p + 14 đều là hợp số
Với p = 3 thì p + 10 = 13 và p + 14 = 17 đều là số nguyên tố
Với p > 3, p có dạng p = 3k 1.± 1 ( k
+ Khi p = 3k + 1 thì p + 14 = 3k + 15 3 và lớn hơn 3 nên p là hợp số
+ Khi p = 3k – 1 thì p + 10 = 3k + 9 3 và lớn hơn 3 nên p là hợp số
Vậy chỉ có duy nhất p = 3
2) Tìm số nguyên tố p sao cho:
p + 2, p + 8, 4p2 + 1 đều là số nguyên tố
p2 + 1 đều là số nguyên tố
2p + 1, 4p + 1 đều là số nguyên tố
2p – 1, 4p – 1 đều là số nguyên tố
Giải: Các bài toán trên có cùng cách giải nh bài toán 8.1 và đều sử dụng kết luận 2)
Bài toán 9 (Sử dụng phép chi hết và phép chia có d).
Một số nguyên tố p khi chia cho 30 thì có số d là r Tìm r với
r không phải là nguyên tố
Giải: p có dạng p = 30k + r (k N*); 0 < r < 30 (r N)
= 2.3.5k + r
Do p là nguyên tố nên r không chia hết cho 2, cho 3, cho 5
Do r không phải là số nguyên tố nên ta loại các giá trị là bội của 2, của 3, của 5
và loại tiếp các số nguyên tố nhỏ hơn 30 Ta tìm đợc r = 1
Trang 72) Chứng minh rằng khi chia một số nguyên tố bất kỳ cho 30 thì đợc số d bằng 1 hoặc là số nguyên tố Kết quả thay đổi thế nào khi chia p cho 60
Giải: p có dạng p = 30k + r (k N*); 0 < r < 30 (r N)
= 2.3.5k + r
Do p là nguyên tố nên r không chia hết cho 2, cho 3, cho 5 Loại các bội của 2, 3,
5 nhỏ hơn 30 thì còn lại r = 1 hoặc r là các số nguyên tố nhỏ hơn 30
Khi chia p cho 60 thì bài toán không còn đúng nữa
Ví dụ: 109 = 60.1 + 49 (49 là hợp số)
Bài toán 10 Chứng minh rằng mọi số nguyên tố lớn hơn 3 thì bình phơng của nó
chia 12 d 1
Giải: Vì P > 3, p có dạng p = 6k 1 (theo kết luận 2))± 1 ( k
nên p2 = (6k 1)± 1 ( k 2
= 36k2 12k + 1 = 12k(3k 1) + 1, rõ ràng chia cho 12 d± 1 ( k ± 1 ( k 1
Bài toán 11 Chứng minh rằng: nếu a; a + n; a + 2n đều là số nguyên tố lớn hơn 3
thì n chia hết cho 6
Chứng minh: vì a; a + n; a + 2n là số nguyên tố lớn hơn 3 nên là các số lẻ.
Nếu n lẻ a + n chẵn nên a + n 2 và lớn hơn 2 nên a + n là hợp số, trái với giả thiết a + n là số nguyên tố lớn hơn 3 nên n phải là số chẵn
Đặt n = 2k
+ Nếu k 3 thì n = 2k 6
+ Nếu k = 3t + 1thì a + n = a + 6t + 2
a + 2n = a + 12t + 4 Với a : 3 d 1 thì a = 3q + 1, khi đó a + 6t + 2 = 3q + 6t + 3 3 và lớn hơn 3 nên
là hợp số
Với a : 3 d 2 thì a + 2n = a + 12t + 4 3 và lớn hơn 3 nên là hợp số
+ Nếu k = 3t + 2 thì 3 số đã cho là: a, a + 6t + 4, a + 12t + 8
Với a : 3 d 1 thì a + 12t + 8 3 và lớn hơn 3 nên là hợp số
Với a : 3 d 2 thì a + 6t + 4 3 và lớn hơn 3 nên là hợp số
Vậy để 3 số a; a + n; a + 2n đồng thời là 3 số nguyên tố thì n 6
Điều ngợc lại không đúng: Nếu a là số nguyên tố lớn hơn 3 và n 6 thì:
a, a + n, a + 2n không phải là số nguyên tố Chẳng hạn với a = 13, n = 6 thì
13 + 2.6 = 25 là hợp số
Bài toán 12 Cho p là số nguyên tố lớn hơn 3 thì p2 + 98 là số nguyên tố hay hợp số
Giải: Do p là số nguyên tố lớn hơn 3 nên p2 : 3 d 1 hay p2 = 3k + 1 (k N*) nên
p2 + 98 = 3k + 1 + 98 = 3k + 99 3 và lớn hơn 3 nên là hợp số
Bài toán 13 Tìm 3 số nguyên tố liên tiếp sao cho tổng các bình phơng của chúng
cũng là số nguyên tố
Giải: Gọi 3 số nguyên tố liên tiếp đó là p, q, r Theo bài toán 12 thì mọi số
nguyên tố lớn hơn 3 thì bình phơng của chúng chia cho 3 d 1 Vì thế:
p2 : 3 d 1; q2 : 3 d 1; r2 : 3 d 1 nên p2 + q2 + r2
3 và lớn hơn 3 nên là hợp số Vậy chỉ có p = 2 hoặc p = 3
+ Với p = 2 thì q và r là các số lẻ nên q2, r2 cũng là số lẻ nên q2 + r-2 là số chẵn (p chẵn) Vậy p2 + q2 + r2 2 và lớn hơn 2 nên là hợp số
Vậy chỉ còn p = 3 q = 5, r = 7
Thử lại: 32 + 52 + 72 = 9 + 25 + 49 = 83 là số nguyên tố
Bài toán 14 Chứng minh rằng nếu p và p + 10 là số nguyên tố thì p + 32 là hợp
số
Chứng minh: Vì p, p + 10 là số nguyên tố nên p là số lẻ (Vì nếu p chẵn thì p = 2
khi đó p + 10 = 12 là hợp số)
Trang 8Với p = 3 thì p và p + 10 đều là số nguyên tố còn p + 32 = 35 là hợp số.
Với p > 3, p có dạng: p =3k 1.± 1 ( k
+ Với p = 3k + 1 thì p + 32 = 3k + 1 +32 = 3k + 33 3 và lớn hơn 3 nên là hợp số
+ Với p = 3k – 1 thì p + 10 = 3k + 9 3 và lớn hơn 3 nên là hợp số, trái với giả thiết p + 10 là số nguyên tố
Vậy nếu p, p + 10 là số nguyên tố thì p + 32 là hợp số
Bài toán 15 (Các bài toán sau có cùng cách giải với bài toán 14).
Chứng minh rằng:
p và 2p + 1 là số nguyên tố thì 4p + 1 là hợp số
p và 8p – 1 là số nguyên tố thì 8p + 1 là hợp số
p là số nguyên tố lớn hơn 3, p + 8 cũng là số nguyên tố thì p +
10 là hợp số
Trang 9Kết luận
Qua quá trình giảng dạy thực hiện đúng chơng trình, đúng nội dung phơng pháp
đa số học sinh nắm vững kiến thức cơ bản và có khả năng vận dụng thành thạo từ chỗ tìm ra phơng pháp giải, công cụ giải không những học sinh giải nhanh, chính xác mà còn đa ra đợc những lời giải độc đáo, thông minh, sáng tạo đặc biệt có nhiều em đã có phơng pháp học tập nghiên cứu rất khoa học và đã thể hiện những
t duy sáng tạo lời giải của những bài toán khó
Trên đây là những suy nghĩ, những việc làm của tôi đã thực hiện trong quá trình giảng dạy theo tinh thần SGK Toán 6 mới Đây chỉ là những việc làm cần thiết, những bớc đi chập chững trong nghề dạy học và tôi nhận thấy mình cần phải học hỏi nhiều ở đồng nghiệp, phải bồi dỡng thờng xuyên, bồi dỡng chuyên môn nghiệp vụ, tích luỹ kiến thức Hy vọng đợc sự đóng góp, nâng đỡ, dìu dắt của
đồng nghiệp để tôi ngày càng hoàn thiện mình trong nghề dạy học
Hơng Sơn, tháng 3năm 2003