su dung tinh chat cua luy thua de giai phuong trinh va he phuong trinh

Xin nhắc lại số tính chất lũy thừa biết :   x  1   x  1 Tính chất Cho n số nguyên dương 1) Với a, b số thực ta có:   a  b  a n  b2 n   a  b n 1  C a  C a b   C a k n nk    x  1 x  1   x  1       x  1 x         • Với   x  1  x        x 1  x  1  33 33  Lời giải ĐK: x  Khi đó:   x  1  x3  3x  3x  3  1   x  1 x        8; Suy VT 1  33 1     33  x  3x      x  x      (1) x x       x  x3   1  nghiệm x  1; x  1  Thí dụ Giải phương trình: Lời giải Ta có: VT 1    2 Khi VT 1  Vậy phương trình cho có ` x2  x    x4  x3    (1) 9  x  1  x  13   1  15    n n n Thí dụ Giải phương trình:   x  1 x        b   C b k (công thức nhị thức Newton) Sau số thí dụ có vận dụng tính chất   2   Theo tính chất ta có:  a2n Tính chất Với n số nguyên dương a, b số thực ta có: n  2n  8;  x  1  x  1  a2n  a  b b > a  b • Với  x  1 x    4) Cho a số thực dương, b số thực ta có: n   2 Suy VT 1  a  b  a n  b2 n n  x  1  x  13   1  15    3) Với a, b số thực khơng dương ta có: n   x  1 x        2) Với a, b số thực khơng âm ta có: 2n    Theo tính chất ta có: a  b  a 2n1  b2 n1   a  b  a b  • Với  x  1 x      x  1  x  1   1   33 1 2 2   VT 1  1  x   1 x   1 x   1 x   x x     1  nên  x   1  x   x  x x Theo tính chất ta có: Do 1  x  Số 533 (11-2021) 33 1 2   1  x  x  1  x    1  x  x      33 1 Tương tự,  x   1  x    x  nên x x 33 33 1 2   1  x  x  1  x    1  x  x      Từ (2) (3) suy ra: 33 VT(1)  2  x2     x    x2     x  Áp dụng công thức nhị thức Newton có: 21 (2) (3) 1  x  1  x  1  t  Thay x  vào (*) ta được: 321    C21  C212 22   C2120 220  • Với x2  theo tính chất ta có: 2  x2     x   1  x 21 ;   21 1  t  33 2n  C  C t  C t   C t ; 33 2 33 33 33 33 21   C21  C212 x2   C2120 x20  (*) (4)  1 1  2n  x  x   x x   Đặt t  x  ta có t 2n  22n (5) Áp dụng cơng x thức nhị thức Newton có: 33 2 21 21  C21  C21 x  C21 x   C21 x 21 Theo tính chất với n số nguyên dương có: 33 21 Suy ra: P  x   1  x   1  x  1 x   x   x  x x x 2n 2 21 21  C21  C21 x  C21 x   C21 x Tương tự: 33 1 1   VT 1  1  x    1  x   x x    Áp dụng BĐT Cauchy ta có: 21 21  x2     x   1  x 21   21 Suy VT 1  P  x  (2) Do x2  22 nên theo tính chất với số nguyên dương n có x2n  22n Suy ra: 2 2 2 P  x    C21  C21   C2120 220   2C21 x  2C21 33 33  C330  C33 t  C332 t   C33 t 33 33 1  1 33 33  Suy ra: 1  x    1 x    1 t   1 t  x  x    C330  C332 t   C3332t 32  (6)  321 1 420( x2  4)  321 1 ( x2  4)  VP(1) (3) Từ (2) (3) suy VT 1  VP 1 • Với x2  theo tính chất ta có: Từ (5) suy ra: 2  x2     x   1  x 21 ;   Thay t  vào (6) ta được:  x2     x   1  x 21   21 32 32 32 32 2C330  C332 t   C33 t   C330  C332 22   C33  32 32 333    C330  C332 22   C33  Do đó:  C330  C332 t   C3332t 32   333  (7) Từ (4),(6) (7) suy VT 1  VP 1  1  x    2n Đẳng thức xảy    x  1 1 2n  x    x  Vậy phương trình cho có nghiệm x  1 Thí dụ Giải phương trình: (2 x2  x  7)21  ( x2  x  3)21  x2  321  (1) Lời giải Ta có: Số 533 (11-2021) 21 Suy VT 1  P  x  (4) Do  x2  22 nên theo tính chất với số nguyên dương n có x2n  22n Suy ra: 2 20 20 2 2 P  x    C21  C21   C21   2C21 x  2C21  321   420( x2  4)  321   ( x2  4)  VP(1) (5) Từ (4) (5) suy VT 1 < VP 1 • Với x  2 VT 1  VP 1 Vậy PT(1) có nghiệm x  2 Thí dụ Giải phương trình :    x2  44 44 44  x    x      544 (1) 2 Lời giải ĐK:  x2   x2    x  Từ (2), (3), (4), (6) suy VT 1  VP 1 Đẳng Suy ra: x   x   Ta có thức xảy  x  2 Vậy PT(1) có  x     x     x     x  3 Lại có:  x2       x   x  Như   x  3   x2   x  Theo tính chất có:    x 1 VT 1    x     x  44 44    x  Suy 44 44 (2) Áp dụng công thức nhị thức Newton có: 3  x  2 44 44  344 C44  343 C44 x  342 C44 x   C44 x 44 3  x  2 44 44  344 C44  343 C44 x  342 C44 x   C44 x 44 Suy ra:   x     x  44 44 Thay x  vào (3) ta được:    C  C x   C x 44 44 42 2 44 44 44 44 nguyên dương n có x2n  22n Suy ra:  C  C x   C x 44 44 42 2 44 44 44 44    x 44   x         1  544  (4)      45   5x2  x2  12 xy  y   56  x12  y12  (*) • Xét x2  12 xy  y  ta có: x2  12 xy  y  y  y  0; 5x2  4x2  12 xy  y  5x2  Theo tính chất ta có: 2  x2  12 xy  y    5x2   56 x12 (2) 6  x2  12 xy  y  y  y ; Theo tính chất ta có:  x  x 22      1  2 2 44  4x  12 xy  y  y    y   56 y12 (3)  5x  x2  12 xy  y    5x2   56 x12 (4) 6 6 Từ (3) (4) suy VT *  VP * (5) 44   x 44  44  x     1       544     2    5x2  x2  12 xy  y  5x2 44  x    x  245     1        2   Từ (4) (5) suy ra: • Xét x2  12 xy  y  ta có: 44  12 xy  y  y    y   56 y12 (1) Từ (1) (2) suy VT *  VP * 45  x Vì  x  nên     Suy ra: 2 45  56  x12  y12  44    x2  12 xy  y  y   5x 2 44 44 44 44 44 44  344 C44  342 C44   C44   2C44 x  2C44 44   x  y      3x  y    4x 2 42 42 44 44   344 C44  342 C44   C44   2C44 x 44     Do  x   nên theo tính chất với số   x  y 12   3x  y 12  56  x12  y12    33  x   x x   1  1  x  3xy  y   3x x   Lời giải Phương trình thứ hệ PT tương đương với 2 44 44   344 C44  342 C44 x   C44 x  (3) 44 nghiệm x  2 Thí dụ Giải hệ phương trình: • Xét x2  12 xy  y  thấy thỏa mãn PT(*) (6) Ta có: x2  12 xy  y   y  3xy  x   y  Số 533 (11-2021) 3 x Thay y  3xy  x2  vào PT thứ hai hệ PT    1 33  x   x x  cho ta được:   3x   3x x     x0 x   x   x   2 x   2 x   4x   x2 1 x x2 1  3x2   3x x2 1  32 (*) VT *   x  1  x x   2    x   3x x   x    x2     x2   x  2     x2   x   x   x  2  x2   x2  x   x, suy Ta có: Mặt khác: 3x   3x x   x  • Xét  x   x   x   2x   2  x   x x   2x   2 2 Theo tính chất ta có:  x2         x2   x  x   x  2  26  Suy VT *  32  VP * x2   x  • Xét x2             12  221  1  x2  1  x   x   1  x   x   288  244 44  3x 4  1   3x  1 44 x6  21x  35x   x  x2  x     x2  x  5  152  3x2  x  5   x2  x  3  478 7     8 x  x   x   x x   337  6 Số 533 (11-2021) 10  3x2  x  2   x2  x  1  x20  223  23  11 x   x  2   19 x   x  2   2  ;  x 1  x 21  3x2  x  5   x2  x  3  14 x6  366 x2   x      2  x   x   x    220 1  x  Theo tính chất ta có:  x2      x   x   x2   x  13  9    x3  1   3x  1  39   x 1    x   x   2 x2   x  3  15  ;      Một số tính chất khác xin trình bày số 5 x   x  2   2  ;  3  15 Vậy hệ PT có nghiệm (x; y) y Giải phương trình : x2   x  x2    x0 3  Với x   suy ra:  1 x   3 x    BÀI TẬP x2   x   x2   x  thấy thỏa mãn (*) Ta có: • Xét 1 Suy VT *  32  VP * 12  23   24 x  18 x   x   12 x   3x x  10 x    x2  44  3  x   44 x2  544   13    x2  22    x   x 22  322 22 14  x5  x3  12    x    3 756 x9 (Kỳ sau đăng tiếp) Số 533 (11-2021) (Tiếp theo kỳ trước) Tính chất 3.Với n số nguyên dương a, b ab số thực ta có: a n  b n      Đẳng thức xảy a  b 2n Chứng minh Ta có:  a  b   0, suy ra: a2  b2  2ab  2a2  2b2   a  b  ab  a  b  2  (1)   Vậy BĐT với n  2   Xét n  Ta có: f  x   x  a  b  x n f   x   nxn 1  n  a  b2  x  n 1 f   x    x n 1   a  b2  x  2  x ;  + + + + f ( x)  a  b2  2    n Áp dụng (2) với x  a ta được:  a  b2  a  b  2    Từ (1) (3) suy ra: Chứng minh 1)  Khi b   a  b   a2n  b2n Xét b  2n ta có:  a  b 2n 2n 2n a  a  a n  b n    1     b  b 2n 2n a  a    1      (1) b  b a Đặt  x (1) trở thành f  x   với b 2n n n a b  Suy ra: x n   a  b2  x     (2)   2n  a 2n1  b2n1  a  b  f  x    x  1  x2n  2n n 1 a  b  n 1 a  b2 f ( x)  a  b 2) ;  1)  a  b   a2n  b2n  a  b  2n n a  b2  x  a b  x  x  Do a2  b2  nên a2  b2  x   x Từ xét n chẵn hay lẻ ta có bảng biến thiên sau: n   a  b 2   2 2n     ab a 2n  b2n     2           a  b2 a2    Đẳng thức xảy    a  b a  b   a  b        Tính chất 4.Với n số nguyên dương a,b số thực ta có: n (3) Ta có: f '  x   2n  x  1 Do x 1  x nên n 1  2nx2n1  x  1 n 1  x2n1 Suy f   x   0, x  Do f(x) đồng biến  Vì x  nghiệm phương trình a f  x   Với x    a  b Vậy  a  b   a2n  b2n a = b = 2n Số 534 (12-2021) Dễ thấya = b =  a  b  2)  Khi b   a  b  n 1 2n  a n  b2 n  a 2n1  b2n1 VT    Xét b  ta có:  a  b n1 n1 a   a2 n1  b2 n1   1 b  n 1 a   b n1 1 n 1  42  x  2  x   x Từ (3) (4) suy ra: Từ (2) (5) suy VT 1  VP 1 Đẳng thức f   x    2n  1 x  1   2n  1 x2n 2n f   x    x 1  12  x   x   x  x      48  216 (5)      x2n1  Ta có: 2n 2  x 12  x2   x   x  x   x   x    2 Theo tính chất có: n 1 a  a    1     (2) b   b a Đặt  x (2) trở thành f  x   với b f  x    x  1 Ta có 12  x2   x (4) Thật vậy, 2  x  nên x    x  xảy  x  2 Vậy PT cho có 1  x  x 1   x  x   2n nghiệm x  2 Thí dụ 2.Giải hệ phương trình: Ta có bảng xét dấu: khoảng đơn điệu nên x  0; x  1 tất   x  y  114   y  x  114   (1) 28  x  y  1   22  22  23 (2)  x      y  y    x   Lời giải nghiệm f  x   ĐK:   x  f ( x) + + Từ bảng xét dấu f   x  suy hàm số f(x) có Với x  x  1 suy a  a  b  Vậy  a  b  n 1  a 2n1  b2n1 Suy a = b = a + b =  Dễ thấy a = b = a + b =  a  b n 1 a n 1 b n 1 Sau số thí dụ có vận dụng tính chất Thí dụ 1.Giải phương trình:  12  x2   x     x  x   217 (1)  12  x   x   x  x   có: VT 1    (2)     Mặt khác  2 x  2 x     x  4, suy ra:  x   x  (3) 2 tương đương với  y  1   y  x  1   x  y  1 (3) 14 14 28 Áp dụng tính chất ta có: 14  x2  y   y  x   VT  3        x2  y  x  y  1 14 (4) Mặt khác  x  y   0, suy x2  y   x  y  2 Do đó: x2  y  x  y    x  y   2x  y    x  y  1 Theo tính chất suy ra: Lời giải.ĐK: 2  x  Áp dụng tính chất ta  4x x  y 1  PT(1)  x  Số 534 (12-2021)  2x  y  x  y  1  14  x  y  1    x  y  1 14 28 (5) Từ (4),(5) suy VT  3  VP  3 Đẳng thức xảy  x  y Thay x  y vào (2) được: Giả sử (3) (4) có nghiệm chung, ta có: 22 22   23  x      x  x  4  x    x3  3x  m (*)  x  6x  m 22 22     x       x  x    223 (6) x   Áp dụng tính chất ta có: 22   4   x  x 4 x  x 4  x  x VT 6     2          22 (7) Áp dụng BĐT Cauchy ta có: x 4  x  2 x 4 x x x x x x 0 Suy ra: x3  3x  x3  x2  x2  3x    x   Thay x  vào (*) ta m  11 Thay x  vào (*) ta m   Xét y  x  3x Ta có: y  3x  3; y   x  1 Ta có bảng biến thiên  x  y’ Theo tính chất suy ra: + •Xét y  x3  x2 , ta có: Thí dụ 3.Cho phương trình  3x  m     x3  x  m    x  3x  (1) y  3x2  12 x; y   x  0; x  Ta có bảng biến thiên: x  y’ + S   p; q  \ r tính P   p  q  r Lời giải Đặt a  x3  3x  m, b   x3  6x2  m Suy x2  3x  a  b Phương trình (1) trở thành a7  b7   a  b  (2) Theo tính chất (2) a = b = a + b = Do  x3  3x  m (3)   x  3x  m   x  x  m (4)  (1)    x  x  m    x    x  3x   x   0  0 Tìm tập hợp S gồm tất số thực m để phương trình (1)có nghiệm phân biệt Biết 2 Từ bảng biến thiên suy PT(3) có nghiệm phân  11   m   2;2  \  ;0 biệt khác    x   x  2 x + + +  Suy PT(6) có nghiệm x  2 Vậy hệ PT cho có nghiệm (x;y)  2;2   2; 2  y VT  6  2.222  223  VP   x  22 22   4  x   x x   x   222 (8)               Từ (7) (8) suy ra: Đẳng thức xảy  x  1 + + + y  32 Từ BBT suy PT(4) có nghiệm phân biệt khác  11  m   32;0  \    8 PT(1) có nghiệm phân biệt  PT(3) ,đồng thời PT(3) PT(4) nghiệm chung  11  m   2;0  \    8 11  11 Vậy S   2;0  \   P    PT(4) có nghiệm phân biệt khác Số 534 (12-2021)  4x Thí dụ 4.Cho phương trình x  3x  m    x   2m  1 x  m2  a)    2m   x  m  m  (1) Tìm m để PT(1) có nghiệm phân biệt Lời giải.PT(1) tương đương với  x  3x  m    x   2m  1 x  m     2m   x  m  m  (2) 10    x  1   x  3x   4x     20 211  x  1 b)  x   10 c) 8x 6 128  x6   3x       6  x  1   x  3 10  2x ; b   x2   2m  1 x  m2 Đặt a  x2  3x  m Suy  2m  2 x  m  m2  a  b Phương trình (2) trở thành: a  b   a  b  8 (3) Theo tính chất (3)  a  b =  x  3x  m  (4) Do     2   x   2m  1 x  m  (5) Giả sử (4) (5) có nghiệm chung ta có  x  3x  m   (*)  2   x   2m  1 x  m  Cộng theovế hai PT (*) ta được:  2m  2 x  m  m2    m  1 x  m    m  x  m m m2 thay vào (*) ta được:  m0 m = m  Thử lại với m= 1, m  0, m  (4) (5) có nghiệm chung PT(4) có nghiệm phân biệt   4m   m  PT(5) có nghiệm phân biệt  4m   m Vậy PT(1) có nghiệm phân biệt  PT(4) PT(5) có nghiệm phân biệt chúng  9 khơng có nghiệm chung  m    ;  \ 0;1;2  4 BÀI TẬP 1.Giải phương trình: Với x  Số 534 (12-2021)   8x2     x  x2  d) x   x    1 20  10  12  x2   x  x  2 2.Giải hệ phương trình:  x2  y   a)  80 80 8  x  y  15  x  y    x3  y    x  y    82   b)  x2  y  2   x  y  x 2        x  x  y  5 3     x  y  1  33  x  x   c)  28 28   xy    2y    13     2  x 1  y 1  1 17     x2  y  d)  x  y   2x2  y  2x y     17  x  y       1 3.Tìm m để phương trình x  mx  2  2 x2  x  2m   x2  m  4 x  2m  2 8 có nghiệm phân biệt 4.Tìm m để phương trình  x  4x  m   x  3m  1 x  m     3m  3 x  m  m  có số nghiệm nhiều 2 2 5.Tìm m để phương trình x  x  m    x  3x  m    x  x  có nghiệm phân biệt 7 6.Cho phương trình x  3x  m    3x     x  x  m   7 a) Giải phương trình với m  b) Tìm m để phương trình có nghiệm phân biệt 7.Cho phương trình x  x  m     x  3x  m    x  x  7 a) Giải phương trình với m   b) Tìm m để phương trình có nghiệm phân biệt 8.Cho phương trình x  x  m    x  3x  m    x  3x  9 a) Giải phương trình với m  b) Tìm m để phương trình có nghiệm phân biệt Số 534 (12-2021) ... ta có: 21 21  x2     x   1  x 21   21 Suy VT 1  P  x  (2) Do x2  22 nên theo tính chất với số nguyên dương n có x2n  22n Suy ra: 2 2 2 P  x    C21  C21   C2120 220... x2  321  (1) Lời giải Ta có: Số 533 (11-2021) 21 Suy VT 1  P  x  (4) Do  x2  22 nên theo tính chất với số nguyên dương n có x2n  22n Suy ra: 2 20 20 2 2 P  x    C21  C21   C21... suy VT 1  VP 1 Đẳng Suy ra: x   x   Ta có thức xảy  x  2 Vậy PT(1) có  x     x     x     x  3 Lại có:  x2       x   x  Như   x  3   x2   x  Theo