SKKN vận dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau

KINH NGHIỆM HƯỚNG DẪN HỌC SINH VẬN DỤNG TỐT TÍNH CHẤT CỦA DÃY TỈ SỐ BẰNG NHAU ĐỂ GIẢI MỘT SỐ DẠNG TOÁN LỚP A ĐẶT VẤN ĐỀ Bối cảnh đề tài Trong trình dạy học mơn tốn trường THCS đặc biệt lớp 7, học tính chất dãy tỉ số tơi nhận thấy việc áp dụng lí thuyết vào giải số tập nhiều hạn chế: chưa linh hoạt trình giải tập, học sinh sâu nghiên cứu kiến thức học, việc giải tập nhiều lúng túng, vận dụng kiến thức không phù hợp Xuất phát từ thực tế này, tơi tiến hành phân loại tốn theo đặc trưng riêng nó, đưa cách giải chung cho dạng toán nhằm giúp học sinh khắc phục hạn chế Hơn để giúp học sinh chun cần hơn, u thích, say mê mơn học hơn, q trình giảng dạy, tơi thấy cần thiết phải khai thác, phát triển, mở rộng kiến thức Với lượng kiến thức học sinh vào lớp 7, em có tay số kĩ giải toán biến đổi phép toán: cộng, trừ, nhân, chia, nâng lên luỹ thừa Nhưng nhiều khó khăn mà em gặp phải học làm tập đòi hỏi khả phân tích, tư duy, sáng tạo Như vậy, cần thiết phải trang bị tri thức, phương pháp để em khơng cịn cảm thấy lúng túng, ngại khó gặp số tốn phức tạp Thực trạng vấn đề Qua thực tế giảng dạy mơn Tốn 7, đặc biệt hướng dẫn học sinh giải dạng tập dãy tỉ số nhau, tơi nhận thấy học sinh cịn tồn số hạn chế sau: - Chưa vận dụng hợp lí kiến thức học vào dạng tập cụ thể - Thường tỏ lúng túng, ngại suy nghĩ gặp dạng tập mới, đòi hỏi khả tư duy, lập luận logic, tính sáng tạo, tổng hợp kiến thức - Chưa hiểu rõ tính chất, chưa nắm số kiến thức dẫn đến việc nhầm lẫn trình biến đổi, thiếu sót kết luận - Nhiều em chưa xác định toán dạng, chưa tổng quát tốn để tìm cách giải chung cho dạng toán - Khả quan sát toán chưa tốt, chưa linh hoạt vận dụng kiến thức, hướng giải tốn cịn hạn chế Lí chọn đề tài Trước thực trạng trên, trăn trở, tìm hiểu nghiên cứu để tìm biện pháp nhằm khắc phục hạn chế trên, giúp học sinh đạt kết tốt học tập, góp phần nâng cao chất lượng giáo dục 1 Thấy cần thiết đó, với việc áp dụng thành công chuyên đề trước mạnh dạn thực đề tài: “Kinh nghiệm hướng dẫn học sinh vận dụng tốt tính chất dãy tỉ số để giải số dạng Toán lớp 7” Với hệ thống tập xếp từ dễ đến khó, phù hợp với nhiều đối tượng học sinh, nhằm kích thích tính tư duy, suy luận logic, tính sáng tạo em Mỗi dạng tập có phương pháp chung, số ví dụ chọn lọc cách giải hợp lí số tập tương tự, với mong muốn giúp học sinh dễ dàng tìm hiểu tự nghiên cứu sâu dạng tập Tính chất dãy tỉ số mảng kiến thức nhỏ giới thiệu qua tiết lí thuyết chương trình sách giáo khoa Đại số 7, đằng sau chuỗi tập, ứng dụng nhiều việc nghiên cứu nội dung kiến thức sau Việc hệ thống, phân loại dạng tập giúp học sinh tiếp cận kiến thức cách nhẹ nhàng hơn, hứng thú Qua đó, giáo viên dễ dàng phát triển, mở rộng kiến thức, giúp em thấy cần thiết phải tích cực nghiên cứu thấy ứng dụng rộng rãi mảng kiến thức Đề tài giúp cho thân có hội mở rộng nghiên cứu, nâng cao kiến thức, làm quen với việc phân loại kiến thức theo chuyên đề B GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ Cơ sở lí luận Việc giảng dạy tập tốn khơng thể cứng nhắc, đơn điệu, tùy theo tốn ta có cách giải khác Dạy học giải tập tốn có ý nghĩa quan trọng: - Củng cố, đào sâu, hệ thống hoá kiến thức học học sinh, rèn luyện kĩ năng, kĩ xảo - Mang tính chất ứng dụng kiến thức học vào toán cụ thể, vào thực tế vấn đề - Để học sinh tự đánh giá lực nhận thức giúp giáo viên đánh giá mức độ tiếp thu kiến thức, khả học toán em - Gây hứng thú học tập tốn học sinh, từ phát huy phẩm chất trí tuệ, lực cần thiết mà mục tiêu giáo dục THCS đề Tính chất tỉ lệ thức, dãy tỉ số phần kiến thức nhỏ chương trình tốn 7, nhiên khơng mà xem nhẹ nội dung Bởi kiến thức em gặp lại lớp trên, đặc biệt trình chứng minh hình học biến đổi để tìm đoạn thẳng tỉ lệ, biến đổi tỉ số đồng dạng hai tam giác để tính độ dài đoạn thẳng, tìm tỉ số cần chứng minh…Vì vậy, ngồi việc dạy lí thuyết, giáo viên ý khắc sâu kiến thức trọng tâm học Tôi phân loại tốn theo dạng q trình dạy học mình, để giúp em có kĩ tốt, kinh nghiệm quí báu giải tập có liên quan 2 Phương pháp nghiên cứu - Nghiên cứu tài liệu sản phẩm hoạt động sư phạm - Phương pháp nghiên cứu tổng kết kinh nghiệm giáo dục - Phương pháp nêu giải vấn đề - Nghiên cứu hệ thống tập dạng, phát triển tư học sinh Mục đích nghiên cứu - Phát huy tiềm toán học học sinh - Nâng cao chất lượng học tập mơn tốn - Được trau dồi kiến thức, rèn luyện kĩ năng, nâng cao chuyên môn, nghiệp vụ sư phạm - Được chia sẻ, trao đổi với đồng nghiệp môn Phạm vi đối tượng nghiên cứu Phạm vi triển khai: Đề tài áp dụng rộng rãi cho tất giáo viên dạy Toán cấp THCS, học sinh u thích mơn tốn Phạm vi nghiên cứu đề tài: Các vấn đề trình bày đề tài chuyên đề xếp theo dạng tốn, dạng có phương pháp giải số tập áp dụng mà tích lũy q trình giảng dạy nghiên cứu Đối tượng áp dụng: Tất đối tượng học sinh từ trung bình đến học sinh khá, giỏi với hệ thống tập xếp từ dễ đến khó Nội dung thực 5.1 Ôn tập kiến thức 5.1.1 Tỉ lệ thức a) Định nghĩa a c = Tỉ lệ thức đẳng thức hai tỉ số b d Trong đó: a, b, c, d số hạng a, d gọi ngoại tỉ b, c gọi trung tỉ b) Tính chất Tính chất a c = Nếu b d a.d = b.c Tính chất Nếu a.d = b.c a, b, c, d ≠ ta có: a c = b d; a b = c d; d c = b a; d b = c a 5.1.2 Tính chất dãy tỉ số a) Tính chất a c e = = Từ dãy tỉ số b d f ta suy ra: a c e a+c+e a−c+e a+c−e = = = = = b d f b+d + f b−d + f b+d − f (Giả thiết tỉ số có nghĩa) b) Chú ý a b c = = x y z ta nói số a, b, c tỉ lệ với số x, y, z Khi có dãy tỉ số Ta viết a : b : c = x : y : z 5.2 Ôn tập kiến thức liên quan 5.2.1 Lũy thừa thương n x xn =  ÷ yn  y ( x, y ∈ Q; n ∈ N ; y ≠ ) 5.2.2 Một số tính chất a a.m = b b.m ( m ≠ ) a c a c = ⇔ = b d b.n d n ( n ≠ ) n n a c a  c  = ⇒ ÷ = ÷ b d  b   d  ( n∈ N ) Một số ví dụ minh họa 6.1 Dạng 1: Bài tập chứng minh tỉ lệ thức 6.1.1 Phương pháp giải - Vận dụng tính chất phép tốn, tính chất tỉ lệ thức tính chất dãy tỉ số để biến đổi linh hoạt giả thiết toán để điều cần phải chứng minh - Trong q trình biến đổi ln nhìn điều cần phải suy để lựa chọn phương pháp biến đổi phù hợp nhất, xác để điều cần phải suy 6.1.2 Một số ví dụ a c a c = ≠1 = Ví dụ 1: Cho b d Chứng minh rằng: a − b c − d Hướng dẫn Đây toán chứng minh tỉ lệ thức Dạng toán khơng khó, nhiên nhiều học sinh gặp lúng túng việc lựa chọn cách biến đổi Giáo viên hướng dẫn học sinh biến đổi theo số cách sau: 4 a c a b a b a −b a a −b a c = ⇒ = ⇒ = = ⇒ = ⇒ = Cách 1: Có b d c d c d c − d c c − d a − b c − d a c = = k ⇒ a = k b Cách 2: Đặt b d , c = k d Khi đó: a kb kb k = = = a − b kb − b b ( k − 1) k − c kd kd k = = = c − d kd − d d ( k − 1) k − a c = Vậy: a − b c − d a c = ⇒ ad = bc ⇒ ac − ad = ac − bc ⇒ a ( c − d ) = c ( a − b ) Cách 3: Có b d a c ⇒ = a −b c −d Đối với cách 3, thơng thường học sinh khó nhận trình biến đổi Tuy nhiên, giáo viên cần hướng dẫn nhằm giúp học sinh giỏi có thêm hướng biến đổi việc giải toán chứng minh tỉ lệ thức a c 2a − 3b 2c − 3d = = Ví dụ 2: Cho b d Chứng minh rằng: 2a + 3b 2c + 3d Ở dạng này, để áp dụng tính chất dãy tỉ số nhau, học sinh cần phải vận dụng số tính chất để biến đổi trước bước sau: a c a b 2a 3b = ⇒ = ⇒ = Có b d c d 2c 3d Nếu học sinh chưa phát cách làm, giáo viên hướng dẫn sau yêu cầu học sinh áp dụng tính chất dãy tỉ số để suy điều phải chứng minh Hướng dẫn Theo tính chất dãy tỉ số nhau, ta có: 2a 3b 2a − 3b 2a + 3b 2a − 3b 2a + 3b 2a − 3b 2c − 3d = = = ⇒ = ⇒ = 2c 3d 2c − 3d 2c + 3d 2c − 3d 2c + 3d 2a + 3b 2c + 3d 2a − 3b 2c − 3d = Vậy 2a + 3b 2c + 3d Ví dụ 3: Cho b = ac Chứng minh rằng: a2 + b2 a = b2 + c2 c Ở này, học sinh dễ dàng nhận biết b = b.b , từ giáo viên gợi ý cho học sinh áp dụng tính chất tỉ lệ thức dãy tỉ số để suy điều phải chứng minh 5 n n a c a  c  = ⇒ ÷ = ÷ Giáo viên gợi ý thêm b d  b   d  ( n∈ N ) Hướng dẫn Có b = ac ⇒ a b a b2 a b a + b a + ac a ( a + c ) a = ⇒ = 2⇒ = = = = = b c b c b c b + c ac + c c ( a + c ) c a2 + b2 a = 2 Vậy: b + c c Ví dụ 4: Cho số khác x1 , x , x3 , x , x5 , x6 thỏa mãn điều kiện: x22 = x1.x3 ; x32 = x2 x4 ; x42 = x3 x5 ; x52 = x4 x6 x1  x1 + x + x3 + x + x5   = x6  x + x3 + x + x5 + x6  Chứng tỏ rằng: Đây dạng tốn khó, học sinh cần phải có kĩ quan sát, phân tích để tìm hướng giải Giáo viên hướng dẫn để học sinh phân tích tốn theo bước Hướng dẫn Từ đẳng thức, giáo viên yêu cầu học sinh suy tỉ lệ thức: x22 = x1.x3 ⇒ x1 x2 = x2 x3 x32 = x2 x4 ⇒ x2 x3 = x3 x4 x42 = x3 x5 ⇒ x3 x4 = x4 x5 x52 = x4 x6 ⇒ x4 x5 = x5 x6 Đến học sinh dễ dàng áp dụng tính chất dãy tỉ số để suy được: x1 x2 x3 x4 x5 x1 + x2 + x3 + x4 + x5 = = = = = x2 x3 x4 x5 x6 x2 + x3 + x4 + x5 + x6 Do đó: x1 x1 + x2 + x3 + x4 + x5 = x2 x2 + x3 + x4 + x5 + x6 x2 x1 + x2 + x3 + x4 + x5 = x3 x2 + x3 + x4 + x5 + x6 x3 x1 + x2 + x3 + x4 + x5 = x4 x2 + x3 + x4 + x5 + x6 6 x4 x1 + x2 + x3 + x4 + x5 = x5 x2 + x3 + x4 + x5 + x6 x5 x1 + x2 + x3 + x4 + x5 = x6 x2 + x3 + x4 + x5 + x6 x1 x2 x3 x4 x5  x1 + x2 + x3 + x4 + x5  = ÷ x2 x3 x4 x5 x6  x2 + x3 + x4 + x5 + x6  Giáo viên gợi ý để học sinh suy x1  x1 + x + x3 + x + x5   = x  x + x3 + x + x5 + x6  Từ suy Qua ví dụ trên, tơi nhận thấy với dạng tập này, học sinh cần phải biết sử dụng linh hoạt kiến thức để tạo dãy tỉ số hợp lí, kết hợp với kiện cho để đến điều phải chứng minh Có nhiều cách để chứng minh tỉ lệ thức, song giáo viên cần lựa chọn cách phù hợp với khả nhận thức đối tượng học sinh giúp em dễ hiểu, dễ trình bày 6.1.3 Bài tập tự luyện a c 5a + 3b 5a − 3b = = Bài 1: Cho b d Chứng minh rằng: 5c + 3d 5c − 3d a+b c+a = Bài 2: Chứng minh rằng: a = bc a − b c − a a + b ab a c = = 2 Bài 3: Cho b d Chứng minh rằng: c + d cd a + 3ab 7c + 3cd a c = = 2 2 Bài 4: Cho b d với a, b, c, d > Chứng minh rằng: 11a − 8b 11c − 8d 2bd = c ( b + d ) a + c = 2b Bài 5: Chứng minh rằng: Nếu a +b +c a a b c = = = 3 Bài 6: Cho b c d Chứng minh rằng: b + c + d d a1 , a2 , a3 , a4 a22 = a1.a3 Bài 7: Cho bốn số khác là: thỏa mãn a13 + a23 + a33 a1 = 3 Chứng minnh rằng: a2 + a3 + a4 a4 a3 = a2 a4 k +m * Bài 8: Cho k , m, n ∈ N Chứng minh rằng: Nếu k = m.n k − m = n+k n−k 6.2 Dạng 2: Tìm số chưa biết dãy tỉ số 6.2.1 Phương pháp giải - Chủ yếu áp dụng tính chất dãy tỉ số (tùy vào điều kiện cho toán) - Trong nhiều trường hợp, cần áp dụng tính chất tỉ lệ thức để biến đổi điều kiện cho sau áp dụng tính chất dãy tỉ số cách dễ dàng 7 - Trong trình biến đổi cần lưu ý đến dấu số cần tìm, trường hợp có số mũ chẵn tích hai số để tránh tìm đáp án khơng thỏa u cầu toán Cũng cần lưu ý đến trường hợp xảy để tránh bỏ sót giá trị cần tìm 6.2.2 Một số ví dụ Ví dụ 1: Tìm hai số x, y biết: a) x = y x − y = Giáo viên đặt câu hỏi nhằm hướng dẫn học sinh: đề có dãy tỉ số hay chưa? làm để có 5x ; y ? Sau trả lời câu hỏi trên, học sinh dễ dàng vận dụng tính chất tỉ lệ thức để biến đổi điều kiện đầu dãy tỉ số áp dụng tính chất để tìm đáp án 7x = y ⇔ x y 5x y = = = 10 14 Có: Áp dụng tính chất dãy tỉ số ta có: Do đó: 5x y 5x − y = = = = −2 10 14 10 − 14 −4 x = −2 ⇔ x = −2.2 = −4 y = −2 ⇔ y = −2.7 = −14 Vậy: x = −4 , y = −14 b) x : = y : xy = 48 Đây dạng tốn tìm hai số biết tích tỉ số chúng Giáo viên hướng dẫn cho học sinh phương pháp chung để giải toán dạng Cụ thể này, giáo viên hướng dẫn sau: x y = Có x : = y : hay x y = = k ⇒ x = 3k Đặt , y = 4k 2 Vì xy = 48 nên 3k 4k = 48 ⇒ 12k = 48 ⇒ k = ⇒ k = ±2 Với k = ⇒ x = 3.2 = , y = 4.2 = Với k = −2 ⇒ x = ( −2 ) = −6 , y = ( −2 ) = −8 Vậy: x = , y = x = −6 , y = −8 Ở dạng tập này, giáo viên cần lưu ý với học sinh số trường hợp kết luận chưa đủ giá trị cần tìm x y = 2 c) x − y = 36 Để áp dụng tính chất dãy tỉ số cần làm xuất x , y Muốn giáo viên cần gợi ý học sinh vận dụng tính chất: 8 n n a c a  c  = ⇒ ÷ = ÷ Nếu b d  b   d  ( n∈ N ) Hướng dẫn 2 x y x y = ⇒ = 2 Có 25 16 x − y = 36 Áp dụng tính chất dãy tỉ số ta có: Do đó: x y x − y 36 = = = =4 25 16 25 − 16 x2 = ⇔ x = 25.4 = 100 ⇒ x = ±10 25 y2 = ⇔ y = 16.4 = 64 ⇒ y = ±8 16 Vậy: x = 10 , y = x = −10 , y = −8 Lưu ý: Trong trường hợp này, x y dấu nhằm giúp học sinh có kết luận xác giá trị cần tìm Ví dụ 2: Tìm ba số x, y, z biết: x= y z = x − y + z = 36 a) Ở dạng này, giáo viên gợi ý cho học sinh làm xuất 4x , 3y , 2z Khi đó, tốn trở nên đơn giản nhiều Hướng dẫn x= y z 4x y 2z = = = = 6 Có Áp dụng tính chất dãy tỉ số ta có: x y z x − y + z 36 = = = = =9 6 4−6+ x=9 Do đó: y = ⇔ y = 2.9 = 18 z = ⇔ z = 3.9 = 27 Vậy x = , y = 18 , z = 27 x y y z = = b) ; x + y − z = 69 Bài có đến hai dãy tỉ số Giáo viên cần hướng dẫn để học sinh đưa dãy tỉ số nhau, từ học sinh tự áp dụng tính chất để tìm đáp án Hướng dẫn 9 x y x y = ⇔ = Có 20 24 y z y z = ⇔ = 24 21 x y z = = Do đó: 20 24 21 Áp dụng tính chất dãy tỉ số ta có: x y z x+ y−z 69 = = = = =3 20 24 21 20 + 24 − 21 23 Vậy: x = 20.3 = 60 , y = 24.3 = 72 , z = 21.3 = 63 c) x = y ; y = z 3x + z = y + 30 Giáo viên chia nhỏ tốn để nhiều học sinh thực Chẳng hạn: học sinh vận dụng tính chất tỉ lệ thức để đưa dãy tỉ số nhau;1 học sinh biến đổi dãy tỉ số làm xuất 3x , y , 5z ; học sinh biến đổi kiện 3x + z = y + 30 ⇔ 3x − y + 5z = 30 ; học sinh áp dụng tính chất dãy tỉ số để tìm kết rút kết luận Hướng dẫn x y x y 2x = 3y ⇔ = ⇔ = 21 14 ; Có y z y z 5y = 7z ⇔ = ⇔ = 14 10 x + z = y + 30 ⇔ x − y + z = 30 x y z 3x y z = = = = = Do đó: 21 14 10 63 98 50 Áp dụng tính chất dãy tỉ số ta có: 3x y z 3x − y + z 30 = = = = =2 63 98 50 63 − 98 + 50 15 Vậy: x = 21.2 = 42 , y = 14.2 = 28 , z = 10.2 = 20 x −1 y − z − = = x − y + z = 14 d) Làm xuất 2y , 3z thực ví dụ trên, nhiên trường hợp học sinh cần nắm vững tính chất phân phối phép nhân phép cộng để thực phép nhân số với tổng (một hiệu) Hướng dẫn x − ( y − ) ( z − 3) x −1 y − z − = = = = hay 12 Có Áp dụng tính chất dãy tỉ số ta có: x − ( y − ) ( z − 3) ( x − 1) − ( y − ) + ( z − 3) ( x − y + 3z ) − 14 − = = = = = =1 12 − + 12 8 Vậy: x = 2.1 + = , y = 3.1 + = , z = 4.1 + = 10 10 1024 210 = 10 = 45 ⇒ x = ±1 ⇒ y = ±2 ⇒ x 20 = Giáo viên cần gợi ý cho học sinh nhận xét hai số x , y dấu trái dấu để có kết luận đầy đủ giá trị cần tìm Vậy x = , y = x = −1 , y = −2 x = −1 , y = x = , y = −2 2x + y − 2x + y −1 = = 6x c) Đề cho dãy tỉ số mà khơng có thêm mối quan hệ hai số x y dạng gặp Học sinh thấy trở ngại điều vị trí x dãy tỉ số Giáo viên gợi ý để học sinh nhận xét mối quan hệ x + , y − x + y − , tốn gần giải Hướng dẫn Áp dụng tính chất dãy tỉ số ta có: x + y − 2 x + y − ( x + 1) + ( y − ) x + y − = = = = 6x 5+7 12 2x + y −1 2x + y −1 = ⇒ x = 12 ⇔ x = 6x 12 Khi đó: 2x + 3y − = Thay x = vào đẳng thức ta được: 2.2 + y − 3y − = ⇔ = ⇔ 3y − = ⇔ y = 7 Vậy x = , y = Dạng tập kiến thức khơng q khó cần đến khả quan sát kĩ biến đổi, không cẩn thận dễ dẫn đến nhầm lẫn, thiếu sót Cũng cần đến linh hoạt đưa toán dạng quen thuộc biết cách giải 6.2.3 Bài tập tự luyện Bài 1: Tìm số a, b, c, d biết: a b c = = a) a − 2b + 3c = 35 a= b= c a − b = 15 c) Bài 2: Tìm x, y, z biết: a b b c = = b) ; a + b − c = 69 18 a= b= c −a + b + c = −120 d) 11 = = a) x + y − z + xyz = 12 x y z = = = x+ y+z y + z + x + z + x + y − b) 12 12 x x = = 2 y ; z x + y + z = 217 c) x + 16 y − 25 z + = = 16 25 x − = d) Bài 3: Tìm x , biết: x−3 72 − x = = a) x + b) x − 18 Bài 4: Tìm a, b, c biết: a) b) c) d) x −1 x − = c) x + x + a −1 b − c − = = a + 2b − c = 12a − 15b 20c − 12a 15b − 20c = = 11 a + b + c = 48 2a 3b 4c = = a + b + c = 49 5a = 8b = 20c a − b − c = 6.3 Dạng 3: Bài tốn có lời văn 6.3.1 Phương pháp giải - Dùng dãy tỉ số để chuyển lời văn toán thành biểu thức đại số để tính tốn Áp dụng tính chất dãy tỉ số tìm đáp án - Khi gọi kí hiệu liệu chưa biết tốn cần đặt điều kiện đơn vị (nếu có) kí hiệu Khi tìm kết cần đối chiếu với điều kiện xem có thỏa mãn khơng để có kết luận xác 6.3.2 Một số ví dụ Ví dụ 1: Một cửa hàng có ba vải dài tổng cộng 126m Sau bán vải thứ nhất, vải thứ hai vải thứ ba số vải cịn lại ba vải Hãy tính chiều dài vải lúc ban đầu Giáo viên đặt câu hỏi gợi mở để học sinh tìm lời giải Sau u cầu học sinh gọi kí hiệu liệu cần tìm Chú ý với học sinh đơn vị điều kiện kí hiệu Hướng dẫn Gọi số mét vải ba vải a(m), b(m), c(m) (a, b, c > 0) Giáo viên yêu cầu học sinh xác định số mét vải lại vải sau bán dùng dãy tỉ số để diễn đạt lại toán a Số mét vải lại vải thứ là: (m) b Số mét vải lại vải thứ hai là: (m) 13 13 c Số mét vải lại vải thứ ba là: (m) 1 a= b= c a + b + c = 126 Theo đề ta có: Áp dụng tính chất dãy tỉ số ta có: Do : a b c a + b + c 126 = = = = = 14 2+3+ a = 14 ⇔ a = 2.14 = 28 b = 14 ⇔ b = 3.14 = 42 c = 14 ⇔ c = 4.14 = 56 Lưu ý với học sinh đối chiếu lại điều kiện kí hiệu gọi để có kết luận xác Vậy chiều dài vải lúc ban đầu là: 28m, 42m, 56m Ví dụ 2: Có ba tủ đựng tất 2250 sách Nếu chuyển 100 từ tủ thứ sang tủ thứ ba số sách tủ thứ nhất, thứ hai, thứ ba tỉ lệ với 16; 15; 14 Hỏi trước chuyển tủ có sách? Bài gây khó khăn cho học sinh chỗ: số lượng sách tủ trước sau chuyển Giáo viên chia nhỏ tốn nhằm kích thích nhiều đối tượng học sinh suy nghĩ Hướng dẫn Gọi số sách lúc đầu tủ thứ nhất, thứ hai, thứ ba là: a(quyển), b(quyển), c(quyển) ( a, b, c ∈ N a, b, c < 2250 ) Giáo viên đặt câu hỏi: Sau chuyển, số sách tủ thay đổi nào? Số sách tủ sau chuyển là: Tủ thứ nhất: a − 100 (quyển) Tủ thứ hai: b (quyển) Tủ thứ ba: c + 100 (quyển) * a − 100 b c + 100 = = 15 14 a + b + c = 2250 Theo đề ta có: 16 Đến giáo viên cho học sinh tự tìm cách giải để tìm liệu chưa biết rút kết luận Áp dụng tính chất dãy tỉ số ta có: Do : 14 a − 100 b c + 100 a − 100 + b + c − 100 2250 = = = = = 50 16 15 14 16 + 15 + 14 45 a − 100 = 50 ⇔ a − 100 = 16.50 ⇔ a = 16.50 + 100 = 900 16 14 b = 50 ⇔ b = 15.50 = 750 15 c + 100 = 50 ⇔ c + 100 = 14.50 ⇔ c = 14.50 − 100 = 600 14 Các số a = 900 , b = 750 , c = 600 thỏa mãn điều kiện đầu Vậy trước chuyển số sách tủ thứ nhất, thứ hai, thứ ba : 900 quyển, 750 quyển, 600 a Ví dụ 3: Tìm giá trị phân số b biết cộng thêm vào tử mẫu phân số với số khác giá trị phân số khơng đổi Giáo viên gợi ý cho học sinh gọi số cộng thêm vào kí hiệu tỉ số để diễn đạt lại toán Sau áp dụng tính chất dãy tỉ số a để tìm giá trị phân số b Hướng dẫn x ≠ ) a Giả sử cộng thêm vào tử mẫu phân số b với số x ( a a+x = Theo đề ta có: b b + x Áp dụng tính chất dãy tỉ số ta có: a a+ x a+ x−a x = = = =1 b b+ x b+ x −b x Đây dạng tốn khó học sinh, với học sinh giỏi, khó việc dùng dãy tỉ số để diễn đạt lại lời văn tốn Giáo viên cần phải kiên trì hướng dẫn bước, từ việc phân tích ban đầu để tìm yếu tố cho, yếu tố cần tìm mối quan hệ chúng, đến cách gọi kí hiệu kèm thêm đơn vị điều kiện kí hiệu, đặc biệt kết luận phải xác với yêu cầu đề 6.3.3 Bài tập tự luyện Bài 1: Số học sinh ba khối 6, 7, tỉ lệ với 10, 9, Tính số học sinh khối, biết số học sinh khối số học sinh khối 50 học sinh Bài 2: Học sinh lớp 7A chia thành ba tổ tỉ lệ với 2, 3, Tìm số học sinh tổ, biết lớp 7A có 45 học sinh Bài 3: Một trường có ba lớp Biết số học sinh lớp 6A số học sinh lớp 6B số học sinh của lớp 6C Lớp 6C có số học sinh tổng số học sinh hai lớp 57 học Tính số học sinh lớp 15 15 Bài 4: Ba đất hình chữ nhật có diện tích Chiều rộng thứ nhất, thứ hai, thứ ba 22,5m; 20m; 18m Chiều dài thứ chiều dài thứ hai 5m Hãy tính chu vi đất Bài 5: Ba cơng nhân phải sản xuất số sản phẩm Công nhân thứ nhất, thứ hai, thứ ba hồn thành cơng việc với thời gian giờ, giờ, 30 phút Hỏi công nhân sản xuất sản phẩm? Biết giờ, công nhân thứ hai sản xuất nhiều công nhân thứ sản phẩm 6.4 Dạng 4: Tính giá trị biểu thức 6.4.1 Phương pháp giải - Chủ yếu áp dụng tính chất tỉ lệ thức, tính chất dãy tỉ số để biến đổi biểu thức tìm giá trị biểu thức - Ở dạng tốn địi hỏi cần có khả quan sát, dự đốn kết quả, từ tìm hướng biến đổi phù hợp 6.4.2 Một số ví dụ x y z = = Ví dụ 1: Cho x, y, z thỏa mãn: ( x, y , z ≠ ) x− y+z Tính: P = x + y − z Thoạt nhìn, học sinh thấy lúng túng cách cho biểu thức P mà tốn khơng có đủ điều kiện để tìm giá trị x, y, z Giáo viên gợi ý chút để học sinh tìm giá trị P Hướng dẫn x y z = = =k Đặt ( k ≠ ) suy x = 2k , y = 5k , z = 7k x− y+z 2k − 5k + k 4k = = = Khi đó: P = x + y − z 2k + 10k − 7k 5k Giáo viên hướng dẫn học sinh áp dụng tính chất dãy tỉ số để tìm giá trị P sau: x y z x− y+z x−y+z = = = = ⇒ x − y + z = 2x Có − + x y z x + 2y − z x + 2y − z 5x = = = = ⇒ x + 2y − z = + 10 − x − y + z 2x 4x = = = x + y − z 5x 5x Khi đó: P = a b c = = Ví dụ 2: Tính giá trị biểu thức Q, biết rằng: Q = b + c c + a a + b Với này, học sinh dễ dàng tìm đáp áp cách áp dụng tính chất dãy tỉ số sau: 16 16 ( a + b + c) = a b c = = = Q = b + c c + a a + b 2(a + b + c) Kết trường hợp a + b + c ≠ Giáo viên đặt câu hỏi: Nếu a + b + c = sao? Sau hướng dẫn học sinh cách giải toán theo cách hoàn chỉnh Hướng dẫn ( a + b + c) a b c = = = Có Q = b + c c + a a + b 2(a + b + c ) ( a + b + c) = a b c = = = Nếu a + b + c ≠ Q = b + c c + a a + b 2(a + b + c) a b c c = = = = −1 Nếu a + b + c = a + b = −c Khi đó: Q = b + c c + a a + b −c Vây: Nếu a + b + c ≠ Q = Nếu a + b + c = Q = −1 x + y y + z z +t t + x + + + z + t t + x x + y y+z Ví dụ 3: Cho biểu thức: M = Tính giá trị biểu thức M biết: x y z t = = = y+ z+t z+t + x t + x+ y x+ y+ z Đây dạng tốn khó Học sinh quen với cách tính dãy tỉ số nhau, mà biểu thức M khơng phải dạng Giáo viên hướng dẫn để giúp cho học sinh khá, giỏi có thêm kiến thức tính giá trị biểu thức Hướng dẫn x y z t = = = Có: y + z + t z + t + x t + x + y x + y + z x y z t ⇒ +1 = +1 = +1 = +1 y+ z+t z+t + x t + x+ y x+ y+ z x + y + z +t x + y + z +t x + y + z +t x + y + z +t = = = z +t + x t+ x+ y x+ y+z hay y + z + t Nếu x + y + z + t ≠ y + z + t = z + t + x = t + x + y = x + y + z ⇔ x = y = z = t x+ y y+ z z+t t+ x + + + = 1+ 1+1+ = Khi đó: M = z + t t + x x + y y + z Nếu x + y + z + t = x + y = −( z + t ) y + z = −( x + t ) x+ y y + z z +t t + x + + + = (−1) + (−1) + (−1) + ( −1) = −4 Khi đó: M = z + t t + x x + y y + z Vậy: 17 17 M = x + y + z + t ≠ M = −4 x + y + z + t = Các dạng tập tính giá trị biểu thức gây nhiều khó khăn cho học sinh suy luận logic tính phức tạp Song với nhiệt tình, kiên trì hướng dẫn giáo viên, học sinh có cảm giác người khám phá điều thú vị, cảm xúc người chiến thắng Điều góp phần kích thích học sinh, tạo hứng thú cho em đường chinh phục toán 6.4.3 Bài tập tự luyện Bài 1: Cho A= x + y − 3z x − y + 3z Tính A biết x, y, z tỉ lệ với 5, 4, a+b+c b+c+d c+d +a d +a+b = = = d a b c Bài 2: Cho tỉ số nhau: Tìm giá trị tỉ số a +b b+c c +d d +a + + + Bài 3: Tính giá trị biểu thức: N = c + d d + a a + b b + c 2a + b + c + d a + 2b + c + d a + b + 2c + d a + b + c + 2d = = = a b c d Biết rằng: Bài 4: Giá trị biểu thức Bài 5: Cho P= A= 6x2 + y2 x y = ; x, y ≠ 2 15 x − y với Tính A 8x + y + 5z x − y − z với x : y : z = : : Tính giá trị biểu thức P 6.5 Dạng 5: Bài tập hình học Chủ yếu áp dụng tính chất dãy tỉ số để giải số tập hình học khơng cần hình vẽ, tập tính chu vi, diện tích số hình phẳng đơn giản học Tiểu học 6.5.1 Phương pháp giải - Dùng phương pháp đại số chuyển tốn dạng biến đổi, áp dụng tính chất đẳng thức, dãy tỉ số - Áp dụng cơng thức tính chu vi, diện tích tam giác, hình vng, hình chữ nhật, từ biến đổi dựa tính chất tỉ lệ thức để đưa dãy tỉ số - Một số tốn cần kết hợp định lí tổng ba góc tam giác, định lí Py- ta- go 6.5.2 Một số ví dụ Ví dụ 1: Một khu vườn hình chữ nhật có diện tích 300m 2, có hai cạnh tỉ lệ với Tính chiều dài chiều rộng khu vườn 18 18 Để giải này, học sinh cần nhớ lại cơng thức tính diện tích hình chữ nhật học Tiểu học Gọi kí hiệu cho kiện cần tìm dùng dãy tỉ số để diễn đạt lại toán ví dụ sau áp dụng tính chất dãy tỉ số tìm kết Hướng dẫn Gọi chiều dài chiều rộng khu vườn x (m) y (m) ( x > y > ) x y = Theo đề ta có: x y = 300 Giáo viên cần lưu ý tương ứng x y với để tránh sai x y = lầm dẫn đến có tỉ lệ thức Đến học sinh dễ dàng áp dụng tính chất dãy tỉ số để tìm đáp án: x = 20 m y = 15 m x y = = k ⇒ x = 4k Đặt , y = 3k Vì x y = 300 nên 4k 3k = 300 ⇔ k = 25 ⇒ k = ±5 mà x > y > , đó: x = 4.5 = 20 y = 3.5 = 15 Vậy chiều dài chiều rộng khu vườn là: 20m 15m µ µ µ Ví dụ 2: Cho tam giác ABC có A Bµ tỉ lệ với 15, C = 4A Tính số đo góc tam giác ABC Giáo viên yêu cầu học sinh dùng dãy tỉ số để diễn đạt lại toán Gợi ý để học sinh nhớ lại định lí tổng ba góc tam giác tốn trở nên đơn giản nhiều Hướng dẫn µ µ µ µ µ µ A B µ = 4A µ ⇔A=C⇒A= C = C 12 Theo đề ta có: 15 µ µ µ A B C = = µ µ µ Hay 15 12 A + B + C = 180 (định lí tổng ba góc tam giác) Áp dụng tính chất dãy tỉ số ta có: Do đó: 19 µ µ µ µ +B µ +C µ 1800 A B C A = = = = = 60 15 12 + 15 + 12 30 µ A µ = 3.60 = 180 = 60 ⇔ A µ B µ = 15.60 = 900 = 60 ⇔ B 15 µ C µ = 12.60 = 720 = 60 ⇔ C 12 19 0 µ µ µ Vậy số đo góc tam giác ABC là: A = 18 , B = 90 , C = 72 AB = Ví dụ 3: Cho tam giác ABC vuông A, biết AC BC = 15cm Tính chu vi tam giác ABC Giáo viên cho học sinh nhắc lại công thức tính chu vi tam giác để học sinh thấy cần phải tìm độ dài cạnh AB, AC Sau đó, giáo viên gợi ý để học sinh thấy cần phải áp dụng định lí Py- ta- go tính chất dãy tỉ số Hướng dẫn Giáo viên yêu cầu học sinh phát biểu lại định lí Py- ta- go, viết hệ 2 thức AB + AC = BC , sau biến đổi giả thiết để áp dụng tính chất dãy tỉ số AB AB AC AB AC = ⇒ = ⇒ = AC 4 16 Áp dụng tính chất dãy tỉ số định lí Py- ta- go, ta có: AB AC AB + AC BC 152 = = = = =9 16 + 16 25 25 Đến giáo viên yêu cầu học sinh tự tìm độ dài cạnh cịn lại tính chu vi tam giác ABC AB = ⇒ AB = 9.9 = 81 ⇒ AB = 9cm AC = ⇒ AC = 16.9 = 144 ⇒ AC = 12cm 16 Vậy chu vi tam giác ABC là: AB + AC + BC = + 12 + 15 = 36(cm) AB + AC = Ví dụ 4: Cho tam giác ABC vuông A, biết BC = 28,9cm AB + 10 AC Tính độ dài đường cao AH tam giác ABC Đây dạng tốn khó, để giải học sinh cần phải có kĩ biến đổi thật tốt, tổng hợp nhiều kiến thức học, biết phân tích tìm mối liên hệ cạnh tam giác Hướng dẫn Giáo viên yêu cầu học sinh nhắc lại cơng thức tính diện tích tam giác, giúp học sinh nhận mối liên hệ cạnh “ AB AC = AH BC ” tam giác vng ABC Qua đó, học sinh thấy muốn tính độ dài đường cao AH, cần phải tính độ dài cạnh AB, AC 20 20 1 AB AC S ABC = BC AH = AB AC ⇒ AB AC = AH BC ⇒ AH = 2 BC Ta có: AB + AC = Giáo viên gợi ý cho học sinh biến đổi giả thiết AB + 10 AC , sau áp dụng tính chất dãy tỉ số định lí Py- ta- go để tìm độ dài 2 cạnh AB AC với AB + AC = BC AB + AC = ⇒ ( AB + AC ) = ( AB + 10 AC ) AB + 10 AC ⇒ 10 AB + AC = AB + 20 AC ⇒ AB = 15 AC ⇒ AB AC = 15 ⇒ AB AC = 225 64 Áp dụng tính chất dãy tỉ số định lí Py- ta- go, ta có: AB AC AB + AC BC 28,9 = = = = = 2,89 225 64 225 + 64 289 289 AB = 2,89 ⇒ AB = 225.2,89 = 65, 25 ⇒ AB = 25,5cm 225 AC = 2,89 ⇒ AC = 64.2,89 = 184,96 ⇒ AC = 13.6cm 64 AB AC 25,5.13, AH = = = 12cm BC 28,9 Vậy Đối với tốn hình học có vận dụng tính chất dãy tỉ số thường gây nhiều khó khăn cho học sinh, để giải địi hỏi học sinh cần phải có khả quan sát tốt, có kĩ biến đổi, đồng thời cần phải tổng hợp nhiều nội dung kiến thức học Song, giáo viên cần phải kiên trì, hướng dẫn cho học sinh làm quen trước , sau cho tập tương tự để học sinh tự rèn luyện 6.5.3 Bài tập tự luyện Bài 1: Tìm diện tích hình chữ nhật, biết tỉ số hai cạnh chu vi 90m Bài 2: Tìm ba cạnh tam giác Biết chu vi tam giác 30cm ba cạnh tỉ lệ với 3, 5, Bài 3: Cho hình chữ nhật có tỉ số hai cạnh chu vi 286 Tính diện tích hình chữ nhật 21 21 Bài 4: Cho tam giác ABC có góc ngồi A, B, C tỉ lệ với 3; 4; Số đo góc A, B, C tỉ lệ với số ? Bài 5: Độ dài cạnh tam giác tỉ lệ với 2; 3; Biết độ dài ba đường cao tương ứng có ước chung lớn Tìm độ dài chiều cao tương ứng tam giác Bài 6: Cho tam giác ABC vng A, độ dài hai cạnh góc vuông tỉ lệ với 12 Biết chu vi tam giác ABC 180cm Tính diện tích tam giác ABC C KẾT QUẢ Sau áp dụng chuyên đề này, nhận thấy hạn chế học sinh giải tập dãy tỉ số khắc phục đáng kể Cụ thể như: - Số học sinh nhận dạng giải tập tốt tăng lên nhiều - Hạn chế học sinh bị điểm yếu giải tập phần - Chất lượng học sinh tăng lên đáng kể 22 22 - Việc phân loại dạng đưa phương pháp giải với tập để học sinh tự giải giúp em khắc phục tình trạng lúng túng giải tập có liên quan - Học sinh nắm vững phương pháp nên kĩ làm tập tốt - Học sinh hứng thú tiếp thu kiến thức, tích cực học tập, vận dụng ý tưởng đề tài nên kết thu đáng khích lệ D BÀI HỌC KINH NGHIỆM Đối với học sinh Để đạt kết cao học tập, học sinh cần có phương pháp học tập phù hợp, ln ý đến kĩ tính tốn, nên tích cực suy nghĩ trước vấn đề Tích cực giải nhiều dạng tập, không ngừng học tập, nghiên cứu, phát nhiều cách giải khác (nếu được) toán để khắc sâu kiến thức cần nhớ qua Đối với giáo viên Kiến thức dãy tỉ số nội dung chương trình Đại số lớp Việc áp dụng tốt tính chất dãy tỉ số vào giải toán yêu cầu cần thiết khơng để nâng cao trình độ học tốn mà cịn có tác dụng tốt việc rèn luyện tư duy, khả suy nghĩ, tính cẩn thận, óc quan sát có phương pháp tìm lời giải thích hợp cho tốn Trong q trình thực cần phải tìm hiểu để nắm trình độ chung lớp, từ chọn lọc tốn phù hợp với học sinh trình độ kiến thức lẫn trình độ phát triển tư để nâng dần khả giải nhiều tốn, trình bày lời giải hay tìm nhiều lời giải cho tốn Mỗi đối tượng học sinh có nhiều cách tiếp nhận thơng tin khác nhau, để khắc sâu kiến thức cho học sinh, hạn chế sai lầm em giải tốn giáo viên nên kết hợp tốt phương pháp để chuyển tải kiến thức đến đối tượng học sinh Trong tiết dạy giáo viên cần tạo khơng khí vui vẻ, thoải mái giúp em tiếp thu kiến thức cách tự nhiên khơng gị bó Tích cực đổi phương pháp dạy học theo hướng phát huy tính tích cực chủ động sáng tạo học sinh E KẾT LUẬN Qua trình giảng dạy, tơi thấy giáo viên có đầu tư nghiên cứu dạy kĩ hiệu đạt cao Tâm huyết với nghề yếu tố tạo nên thành công dạy Trước tập đòi hỏi khả tư duy, tổng hợp kiến thức, học sinh thường tỏ lúng túng, khơng kiên trì suy nghĩ Lúc thời điểm để giáo viên xuất với vai trò định hướng, dẫn dắt em bước qua khó khăn, gợi mở để em làm 23 23 mà cịn làm tốt hay kiến thức mà bài, kiến thức khác có liên quan không liên quan liên hệ logic Đó cách tư duy, kể việc nắm vững kiến thức bản, biết khai thác mở rộng kiến thức, đặc biệt biết cách vận dụng cách hiệu Trong đề tài có phần kiến thức bản, phương pháp giải cụ thể cho dạng tốn Có nhiều tập gây hứng thú cho học sinh tìm hiểu tự giải Có hướng gợi mở cho giáo viên tự xây dựng đề dựa phương pháp giải Qua đây, tơi tự thấy thân cần cố gắng nhiều để đáp ứng yêu cầu ngày cao ngành để góp phần sức lực nhỏ bé vào nghiệp trồng người đất nước Mặc dù có nhiều cố gắng phân chia kiến thức trình bày chuyên đề q trình thực hạn chế số dạng tập, mong nhận lời động viên, ý kiến đóng góp q báu từ q thầy để chun đề hồn thiện nội dung hình thức, mang lại hiệu cao triển khai đến học sinh Kế Sách, ngày 10 tháng năm 2015 Người viết Nguyễn Văn Bế Nhận xét, đánh giá, xếp loại Hiệu trưởng Nhận xét, đánh giá, xếp loại PGD&ĐT 24 24 Mục lục A Đặt vấn đề Bối cảnh đề tài Thực trạng vấn đề Lí chọn đề tài B Giải vấn đề 25 Trang Trang Trang Trang Trang 25 Cơ sở lí luận Phương pháp nghiên cứu Mục đích nghiên cứu Phạm vi đối tượng áp dụng Nội dung thực 5.1 Ôn tập kiến thức 5.2 Ôn tập kiến thức liên quan Một số ví dụ minh họa 6.1 Dạng 1: Bài tập chứng minh tỉ lệ thức 6.2 Dạng 2: Tìm số chưa biết dãy tỉ số 6.3 Dạng 3: Bài tốn có lời văn 6.4 Dạng 4: Tính giá trị biểu thức 6.5 Dạng 5: Bài tập hình học C Kết D Bài học kinh nghiệm E Kết luận 26 Trang Trang Trang Trang Trang Trang Trang Trang Trang Trang Trang 14 Trang 16 Trang 19 Trang 23 Trang 23 Trang 24 26 ... học sinh dễ dàng vận dụng tính chất tỉ lệ thức để biến đổi điều kiện đầu dãy tỉ số áp dụng tính chất để tìm đáp án 7x = y ⇔ x y 5x y = = = 10 14 Có: Áp dụng tính chất dãy tỉ số ta có: Do đó:... 6.2 Dạng 2: Tìm số chưa biết dãy tỉ số 6.2.1 Phương pháp giải - Chủ yếu áp dụng tính chất dãy tỉ số (tùy vào điều kiện cho toán) - Trong nhiều trường hợp, cần áp dụng tính chất tỉ lệ thức để biến... chứng minh tỉ lệ thức a c 2a − 3b 2c − 3d = = Ví dụ 2: Cho b d Chứng minh rằng: 2a + 3b 2c + 3d Ở dạng này, để áp dụng tính chất dãy tỉ số nhau, học sinh cần phải vận dụng số tính chất để biến