SKKN hướng dẫn HS lớp 7 giải bài toán về tính chất của dãy tỉ số bằng nhau

Sáng kiến kinh nghiệm Năm học 2019 – 2020 BÁO CÁO SÁNG KIẾN I THÔNG TIN CHUNG VỀ SÁNG KIẾN Tên sáng kiến: “Hướng dẫn học sinh lớp giải tập áp dụng tính chất dãy tỉ số nhau” Lĩnh vực áp dụng sáng kiến: Giáo dục 3.Tác giả: Nguyễn Thị Mai; Giới tính: Nữ Ngày, tháng , năm sinh: 19/06/1996 Trình độ chun mơn: Đại học sư phạm Tốn Chức vụ, đơn vị cơng tác: Giáo viên - Trường THCS Lê Danh Phương Điện thoại: 0975389452 Email: nguyenmai96dhsptn@gmail.com Tỷ lệ áp dụng sáng kiến: 100% Đơn vị áp dụng sáng kiến: Tên đơn vị: Trường THCS Lê Danh Phương – Thị trấn Hưng Hà - Thái Bình Địa chỉ: Khu Nhân Cầu - Thị trấn Hưng Hà - Thái BìnhThị trấn Hưng Hà tỉnh Thái Bình Thời gian áp dụng sáng kiến lần đầu: Năm học 2018 - 2019 Sáng kiến kinh nghiệm Năm học 2019 – 2020 II BÁO CÁO MÔ TẢ SÁNG KIẾN Tên sáng kiến: “Hướng dẫn học sinh lớp giải tập áp dụng tính chất dãy tỉ số nhau” Lĩnh vực áp dụng sáng kiến: Giảng dạy chuyên đề bồi giỏi mơn Tốn Mơ tả chất sáng kiến: 3.1 Tình trạng giải pháp biết: 3.1.1 Hiện trạng trước áp dụng giải pháp Trong q trình cơng tác, làm nhiệm vụ giảng dạy đồng thời bồi dưỡng học sinh giỏi mơn tốn 7, với việc tham khảo ý kiến đồng nghiệp tơi nhận thấy :  Chương trình SGK: Chưa xây dựng hoàn chỉnh nội dung phương pháp giải tốn tính chất dãy tỉ số mang tính chất giới thiệu chưa sâu Trong giải tốn tính chất dãy tỉ số dạng toán đa dạng phong phú  Thực trạng học sinh:  Về hứng thú học dạng tốn tính chất dãy tỉ số nhau: Học sinh làm quen từ sớm với dạng toán hiệu học tập em chưa cao học sinh chưa nắm hết phương pháp, kỹ giải số dạng tốn tính chất dãy tỉ số  Về kỹ giải dạng tốn tính chất dãy tỉ số nhau: - Học sinh tiếp thu máy móc, chưa linh hoạt, làm theo khn mẫu chưa tự suy nghĩ để tự tìm cách giải - Học sinh chưa rèn luyện giải nhiều dạng nên khả nhận dạng tập vận dụng phương pháp giải cho dạng tập chưa có Dẫn đến học sinh lúng túng gặp tốn khó cần suy luận dạng Ngồi học sinh muốn tìm hiểu thêm cịn lúng túng việc tìm tài liệu nghiên cứu tài liệu tản mạn, rải rác nhiều thời gian Xuất phát từ tình hình thực tế với kinh nghiệm q trình giảng dạy, tơi làm sáng kiến “Hướng dẫn học sinh lớp giải tập áp dụng tính chất Sáng kiến kinh nghiệm Năm học 2019 – 2020 dãy tỉ số nhau” với mong muốn học sinh phát sử dụng kiến thức cách, có phương pháp giải đắn phát triển tư duy, sáng tạo Trong năm học gần triển khai dạng tập tiết luyện tập, đặc biệt công tác bồi dưỡng học sinh giỏi kết thu khả quan Qua kiểm tra khảo sát lớp 7A7 năm gần sau: Kết kiểm tra đợt 1( chưa áp dụng sáng kiến ): Năm học 2017 – 2018 Lớp Sĩ số Điểm giỏi Điểm Điểm TB SL % SL % SL % 7A7 34 14,7 18 52,94 10 29,41 Kết kiểm tra đợt 2( áp dụng sáng kiến ): Năm 2018 – 2019 Điểm yếu SL % 2,95 Lớp Sĩ số Điểm yếu SL % 0 biết phân tích Điểm giỏi Điểm Điểm TB SL % SL % SL % 7A7 34 10 29,41% 21 61,76 03 8,83 Kết kiểm tra lớp 7A7 ngày cao học sinh đề có phương pháp giải tập thích hợp 3.2 Nội dung giải pháp đề nghị cơng nhận sáng kiến: 3.2.1 Mục đích giải pháp Tơi nghiên cứu đề tài với mục đích là:  Để đáp ứng nhu cầu tìm hiểu, học tập giáo viên học sinh Với mục đích hệ thống, xây dựng cô đọng phương pháp giải, hướng phát triển toán, vận dụng kết toán vào giải số toán khác, nhằm đưa tài liệu cho học sinh, giáo viên tìm hiểu tham khảo thêm; giúp cho việc bồi dưỡng học sinh giỏi giáo viên tốt Tôi mong muốn công tác bồi dưỡng học sinh giỏi toán đồng nghiệp trao đổi, xây dựng để sáng kiến hoàn thiện hơn, khai thác có hiệu tác dụng đề tài  Giúp em hiểu rõ chuyên đề tính chất dãy tỉ số phương pháp giải dạng tập chuyên đề - Tôi mong muốn phát triển tư logic, rèn kỹ giải tốn cho học sinh, rèn tính linh hoạt, sáng tạo, khả liên tưởng tạo hứng thú học tập tốt môn - Làm cho học sinh u thích mơn Tốn hơn, mong muốn tìm hiểu nghiên cứu thú vị phong phú mơn Tốn - Phát triển tốn nhằm nâng cao lực, tư tự học học sinh Sáng kiến kinh nghiệm Năm học 2019 – 2020  Việc nghiên cứu đề tài cho hội để tự học, rút cho kinh nghiệm, hiểu biết từ nâng cao khả chuyên môn, nghiệp vụ thân 3.2.2 Nội dung giải pháp 3.2.2.1 Tính sáng kiến  Phương pháp phù hợp với mức độ tiếp thu học sinh giỏi Học sinh kỹ vận dụng kiến thức, kích thích sáng tạo, tìm lời giải hay  Đề tài tài liệu tham khảo cho học sinh thầy cô giáo làm nhiệm vụ bồi dưỡng học sinh giỏi  Việc vận dụng đề tài giới hạn lớp nói riêng cấp học THCS nói chung mà vận dụng nhiều cấp học cao 3.2.2.2 Cách giải pháp thực Xuất phát từ vấn đề nêu triển khai vấn đề sau: Hệ thống kiến thức cần ghi nhớ có liên quan đến dạng tốn Hệ thống hướng dẫn học sinh cách giải dạng tập từ dễ đến khó, từ đơn giản đến phức tạp Dạng 1: Tìm giá trị biến tỉ lệ thức Dạng 2: Chia tỉ lệ Dạng 3: Chứng minh tỉ lệ thức 3.2.2.3 Cách giải pháp thực cụ thể Hệ thống kiến thức cần ghi nhớ có liên quan đến dạng tốn tính chất dãy tỉ số a c a +c a - c a c * Từ = (b ¹ d,b ¹ - d) = suy = = b d b +d b- d b d a c e * Từ dãy tỉ số = = , ta suy b d f a c e a + c +e a - c +e = = = = ( giả thiết tỉ số có nghĩa) b d f b +d + f b- d + f a a a a * Nếu có n tỉ số ( n ³ ): = = = = n b1 b2 b3 bn a1 a1 + a2 + a3 + + an a1 - a2 + a3 + - an = = = b1 b1 + b2 + b3 + + bn b1 - b2 + b3 + - bn Sáng kiến kinh nghiệm Năm học 2019 – 2020 (Nếu đặt dấu “-“ trước số hạng tỉ số đặt dấu “-“ trước số hạng tỉ số đó) * Tính chất dãy tỉ số cho ta khả rộng rãi để từ số tỉ số cho trước, ta lập tỉ số tỉ số cho, số hạng số hạng có dạng thuận lợi nhằm sử dụng dữu kiện toán Hệ thống hướng dẫn học sinh cách giải dạng tập từ dễ đến khó, từ đơn giản đến phức tạp Dạng I: Tìm giá trị biến tỉ lệ thức * Tính chất dãy tỉ số nhau: a c a +c a −c = = = b d b+d b−d a c e a ± c ± e ma ± nc ± pe = - Tính chất mở rộng: = = = b d f b ± d ± f mb ± nd ± pf - Tính chất: Ta ln có (Giả thiết tỉ số có nghĩa) Ví dụ 1: Tìm x, y biết: x y = x + y = 20 Giải: Áp dụng tính chất dãy tỉ số ta có: x y x + y x + y 20 = = = = =4 2+3 5 ìï x ïï = Þ x = 2.4 Þ x = Þ ïí ïï y ïï = ị y = 3.4 ị y = 12 ợ3 Vậy Ví dụ 2: Tìm x, y biết: x = ; y = 12 x : ( −3) = y : y − x = 24 Phân tích đề bài: Ta phải viết tỉ lệ thức dạng dãy tỉ số Giải: Ta có: x : ( −3) = y : ⇒ x y = −3 Áp dụng tính chất dãy tỉ số ta có: x y y − x 24 = = = =3 −3 5 + Sáng kiến kinh nghiệm Năm học 2019 – 2020 ìï x ïï = Þ x = 3.( - 3) Þ x = - ï Þ í ïï y = Þ y = 3.5 Þ y = 15 ïï ỵ Vậy x = −9 ; y = 15 Ví dụ 3: Tìm x, y, z biết: x y z = = x + y − z = 10 12 15 Áp dụng tính chất dãy tỉ số ta có: x y z x + y − z 10 = = = = =2 12 15 + 12 − 15 ìï x ïï = ìï x = 8.2 = 16 ïï ïï ïï y Þ í = Þ ïí y = 12.2 = 24 ïï 12 ïï ïï z ïï z = 15.2 = 30 î =2 ïï 15 ïïî Vậy: x = 16 ; y = 24 ; z = 30 Nhận xét: Ở ví dụ ví dụ ta áp dụng tính chất dãy tỉ số Trong thực tế nhiều tập phải qua trình biến đổi đưa dạng để áp dụng tính chất dãy tỉ số Sau số dạng cách biến đổi Ví dụ 4: Tìm x, y, z biết: x y z = = x + y + z = 34 Phân tích đề bài: Để áp dụng tính chất dãy tỉ số nhau, ta phải biến đổi dãy tỉ số cho hệ số x, y, z tử dãy tỉ số hệ số x, y, z đẳng thức, cách áp dụng tính chất phân số Cụ thể nhân tử mẫu tỉ số x y với nhân tử mẫu tỉ số với áp dụng tính chất dãy tỉ số để tìm x, y, z Giải: Ta có: x y z 2x 3y z = = ⇒ = = 4 Áp dụng tính chất dãy tỉ số ta có: x y z x + y + z 34 = = = = =2 4+9+4 17 Sáng kiến kinh nghiệm Năm học 2019 – 2020 ìï x ïï = Þ x = 2.2 Þ x = ïï ïy Þ ïí = Þ y = 3.2 Þ y = ïï ïï z ïï = Þ z = 4.2 Þ z = ïỵ Vậy x = 4; y = 6; z = x −1 y − z − = = Ví dụ 5: Tìm x, y, z biết: x − y + z = 14 Phân tích đề bài: Cách làm giống ví dụ Giải: x −1 y − z − x − y − 3z − = = ⇒ = = Ta có: 12 Áp dụng tính chất dãy tỉ số ta có: x − y − 3z − x − − y + + 3z − = = = 12 − + 12 x − y + 3z − 14 − = = =1 8 ìï x - ïï = 1Þ x - 1= Þ x = ïï ï y- Þ ïí = 1Þ y - = Þ y = ïï ïï z - = 1Þ z - = Þ z = ïï ïïỵ Vậy: x = ; y = ; z = Nhận xét: Ở ta cịn dùng phương pháp đặt ẩn phụ Ví dụ 6: Tìm x, y biết: x = y 10 x − y = 68 Ở này, ta viết đẳng thức x = y dạng dãy tỉ số sau vận dụng cách làm ví dụ Ví dụ 7: Tìm x, y, z biết: x = y = z x + y + z = 169 Phân tích đề bài: Ta đưa dãy đẳng thức x = y = z dạng dãy tỉ số cho hệ số x, y, z dãy tỉ số bằng Cách làm chia tích cho 12 vì: BCNN ( 2;3; ) = 12 sau làm ví dụ Giải: 2x 3y 4z x y z = = = = = Từ: x = y = z ⇒ 12 12 12 Áp dụng tính chất dãy tỉ số ta có: x y z x + y + z 169 = = = = = 13 6 + + 13 Sáng kiến kinh nghiệm Năm học 2019 – 2020 ìï x ïï = 13 Þ x = 6.13 Þ x = 78 ïï ïy Þ ïí = 13 Þ y = 4.13 Þ y = 52 ïï ïï z ïï = 13 Þ z = 3.13 Þ z = 39 ïỵ Vậy x = 78 ; y = 52 ; z = 39 x y = x y = 112 Ví dụ 8: Tìm x, y biết: Phân tích đề bài: Để áp dụng tính chất dãy tỉ số nhau, ta phải biến đổi dãy tỉ số làm xuất tích x.y cách lập luận để chứng tỏ x ≠ x y nhân hai vế hai tỉ số = với x Thay x y = 112 vào tính Giải: x y Vì x y = 112 ⇒ x ≠ Nhân hai vế = với x ta được: x xy 112 = = = 16 7 x2 ⇒ = 16 ⇒ x = 4.16 ⇒ x = 64 ⇒ x = ±8 112 ⇒ y = −14 Nếu x = −8 ⇒ −8 y = 112 ⇒ y = −8 112 ⇒ y = 14 Nếu x = ⇒ y = 112 ⇒ y = Vậy: x = −8 ; y = −14 x = ; y = 14 Nhận xét: Ở ta cịn dùng phương pháp đặt ẩn phụ x y z Ví dụ 9: Tìm x, y, z biết: = = xyz = 810 Phân tích đề bài: Để áp dụng tính chất dãy tỉ số nhau, ta phải biến đổi dãy tỉ số làm xuất tích x.y.z cách lập luận chứng tỏ x ≠ biến đổi dãy tỉ số dạng ỉư x y z x ữ x y z xyz 810 ỗ = = ị ỗ ữ = = = = 27 Sau làm tương tự ví dụ ÷ ÷ 5 ỗ 30 30 ố2ứ x y y z = ; = x − y + 3z = 19 3 x y y z Phân tích đề bài: Đưa hai dãy tỉ số = ; = dãy ba tỉ số 3 cách biến đổi y hai dãy tỉ số mẫu sau làm giống ví dụ Giải: Ví dụ 10: Tìm x, y, z biết: Sáng kiến kinh nghiệm Năm học 2019 – 2020 x y x y = ⇒ =  x y z x y 3z 6 = ⇒ = = ⇒ = y z y z 12 27 = ⇒ =  Áp dụng tính chất dãy tỉ số ta có: x y 3z x − y + 3z 19 = = = = =1 12 27 − 12 + 27 19  x  = ⇒ x = 4.1 =  y ⇒  = ⇒ y = 6.1 ⇒ y = 6 z  = ⇒ z = 9.1 ⇒ z =  Vậy x = ; y = ; z = Ví dụ 11: Tìm x, y, z biết: y + z +1 x + z + x +y - = = = x y z x +y +z Giải: Áp dụng tính chất dãy tỉ số ta có: y + z +1 x + z + x +y - = = = = x y z x +y +z (y + z + 1) + (x + z + 2) + (x + y - 3) x +y +z 2(x + y + z) = = (vì x + y + z ¹ 0) Do x + y + z = 0,5 x +y +z Thay kết vào đề ta được: 0,5 - x + 0,5- y + 0,5 - z - = = =2 x y z 1,5 - x 2,5- y - 2,5- z = = =2 Tức x y z - Vậy x = ;y = ;z = 6 Ví dụ 12: Tìm x, y, z biết: x y x z = ; = (1) x + y + z = −1009 9 Sáng kiến kinh nghiệm Năm học 2019 – 2020 x y x z = ; = dãy ba tỉ số giống ví dụ lập phương tỉ số để xuất x ; y ; z sau áp dụng tính chất dãy tỉ số để tìm x, y, z Giải: x y x y = ⇒ = Ta có: x y z x3 y3 z3 ⇒ = = ⇒ = = 64 216 729 Áp dụng tính chất dãy tỉ số ta có: x3 y3 z3 x3 + y + z −1009 = = = = = −1 64 216 729 64 + 216 + 729 1009 ⇒ x = 64 ( −1) = −64 ⇒ x = −4 Phân tích đề bài: Đưa hai dãy tỉ số y = 216 ( −1) = −216 ⇒ y = −6 z = 729 ( −1) = −729 ⇒ z = −9 Vậy: x = −4 ; y = −6 z = −9 a b c Ví dụ 13: Cho = = a + b + c ≠ ; a = 2012 Tính: b, c b c a Phân tích đề bài: Vì a + b + c ≠ ta áp dụng tính chất dãy tỉ số để tìm giá trị dãy tỉ số từ tìm giá trị a, b, c Giải: Vì a + b + c ≠ Áp dụng tính chất dãy tỉ số ta có: a b c a +b +c = = = =1 b c a b+c+a Mà a = 2012 ⇒ b = 2012 b = 2012 ⇒ c = 2012 Vậy: a = b = c = 2012 10 Sáng kiến kinh nghiệm Năm học 2019 – 2020 Bài tập áp dụng: Bài 1: Tìm x, y biết x y x y = a) = x − y = 30 b) x − y = 34 19 21 x y x y c) = x y = 180 d) = x y = 4 x y e) = x y = 16 f) 3x = y x + y = 208 Bài 2: Tìm x, y, z biết x y z a) = = x − y + z = 62 x y b) = ; = x − y + z = −15 y z x y z c) = = x y.z = 810 x y z d) = = x y.z = −1680 10 x y z e) = = x − y + z = 108 Bài 3: Tìm x, y, z biết x y a) = ; = x + y − z = 100 y 20 z x −1 y − z − = = b) x + y − z = 50 12 x − 15 y 20 z − 12 x 15 y − 20 z = = c) x + y + z = 48 11 1+ y 1+ y 1+ y = = 18 24 6x Bài 5: Tìm số t1 , t2 , , t9 biết t −9 t1 − t2 − t3 − = = = = t1 + t2 + + t9 = 90 Bài 4: Tìm x biết Dạng II: Chia tỉ lệ I – Một số ý: 1) x, y, z tỉ lệ thuận với a, b, c ⇔ x : y : z = a : b : c ( Hay 2) x, y, z tỉ lệ nghịch với a, b, c ⇔ x : y : z = x y z = = ) a b c 1 : : ( Hay ax = by = cz ) a b c II – Bài tập: Ví dụ 1: Chu vi hình chữ nhật 28 dm Tính độ dài cạnh, biết chúng tỉ lệ với 3; 11 Sáng kiến kinh nghiệm Năm học 2019 – 2020 Phân tích đề bài: Trong hình chữ nhật có hai kích thước chiều dài chiều rộng (cịn gọi hai cạnh hình chữ nhật) chiều rộng ngắn chiều dài Hai cạnh chúng tỉ lệ với 3; cạnh ngắn tỉ lệ với cạnh dài tỉ lệ với Nếu gọi hai cạnh hình chữ nhật a b ( < a < b ) Vì hai cạnh hình chữ a b nhật ti lệ với nên ta có: = Chu vi hình chữ nhật ( a + b ) nên ta có: ( a + b ) = 28 ⇒ a + b = 14 Như ta đưa toán dạng áp dụng tính chất dãy tỉ số Giải: Gọi hai cạnh hình chữ nhật a (dm) b (dm) ( < a < b ) Theo ta có: a b = ( a + b ) = 28 Từ ( a + b ) = 28 ⇒ a + b = 24 Áp dụng tính chất dãy tỉ số ta có: a b a + b 14 = = = =2 3+ ⇒ a = 3.2 = (TMĐK); ⇒ b = 4.2 = (TMĐK) Vậy độ dài hai cạnh hình chữ nhật dm dm Ví dụ 2: Cho tam giác ABC có góc A, B, C tỉ lệ với 7: 5: Các góc ngồi tương ứng tỉ lệ với số µ ,C µ Phân tích đề bài: Nếu gọi ba góc tam giác ABC là: µA, B µ µ µ µ ,C µ tỉ lệ với 7: 5: nên ta có A = B = C Vì ba góc µA, B µ +C µ = 1800 Tổng ba góc tam giác 180 nên ta có: µA + B Từ ta tìm số đo góc tam giác, Mà tổng góc ngồi góc đỉnh tam giác bù Giải: µ ,C µ Gọi ba góc góc ngồi tam giác ABC là: µA, B ( µ ,C µ < 1800 µA1 ; B µ 1; C µ 00 < µA, B Theo ta có: µA B µ C µ µ +C µ = 1800 µA + B = = ) Áp dụng tính chất dãy tỉ số ta có: µA B µ C µ µA + B µ +C µ 1800 = = = = = 120 7+5+3 15 0 ⇒ µA = 7.120 = 840 ⇒ µA1 = 180 − 84 = 96 µ = 1800 − 600 = 1200 µ = 5.120 = 600 ⇒ B B 12 Sáng kiến kinh nghiệm Năm học 2019 – 2020 µ = 1800 − 360 = 1440 µ = 3.120 = 360 ⇒ C C µ :C µ = 960 :1200 :1440 = : : ⇒ µA1 : B 1 Vậy góc ngồi tương ứng tỉ lệ với: : : Ví dụ 3: Có 16 tờ giấy bạc loại 2000 đồng, 5000 đồng 10000 đồng, trị giá loại tiền Hỏi loại có tờ Phân tích đề bài: Gọi số tờ tiền loại 2000 đồng, 5000 đồng 10000 đồng a, b, c Vì giá trị loại tiền nên ta có: 2000a = 5000b = 10000c Có 16 tờ giấy bạc loại nên: a + b + c = 16 Giải: Gọi số tờ tiền loại 2000 đồng, 5000 đồng 10000 đồng a, b, c ( a,b,c Ỵ N* ) Theo ta có: 2000a = 5000b = 10000c a + b + c = 16 a b c Từ: 2000a = 5000b = 10000c ⇒ = = Áp dụng tính chất dãy tỉ số ta có: a b c a + b + c 16 = = = = =2 5 + +1 ⇒ a = 5.2 = 10 ; b = 2.2 = c = 1.2 = (TMĐK) Vậy số tiền loại 2000 đồng, 5000 đồng, 10000 đồng 10 tờ, tờ tờ Ví dụ 4: Ba đội cơng nhân I, II, III phải vận chuyển tổng cộng 1530 kg hàng từ kho theo thứ tự đến ba địa điểm cách kho 1500m, 2000m, 3000m Hãy phân chia số hàng cho đội cho khối lượng hàng tỉ lệ nghịch với khoảng cách cần chuyển Phân tích đề bài: Vì phân chia số hàng cho đội cho khối lượng hàng tỉ lệ nghịch với khoảng cách cần chuyển nên ta có: 1500a = 2000b = 3000c Tổng số hàng cần chuyển đến ba kho 1530 nên ta có: a + b + c = 1530 Giải: Gọi số lượng hàng chuyển tới ba kho a, b, c ( a, b, c > ) Theo ta có: 1500a = 2000b = 3000c a + b + c = 1530 a b c Từ: 1500a = 2000b = 3000c ⇒ = = Áp dụng tính chất dãy tỉ số ta có: a b c a + b + c 1530 = = = = = 170 4+3+ ⇒ a = 4.170 = 680 (TMĐK) b = 3.170 = 510 (TMĐK) c = 2.170 = 340 (TMĐK) Vậy số hàng cần chuyển tới ba kho A, B, C là: 680 tạ, 510 tạ, 340 tạ 13 Sáng kiến kinh nghiệm Năm học 2019 – 2020 Ví dụ 5: Một lớp học có 35 em, sau khảo sát chất lượng số học sinh xếp thành ba loại: Giỏi, trung bình Số học sinh giỏi tỉ lệ với 3, số học sinh trung bình tỉ lệ với Tính số học sinh loại Phân tích đề bài: Nếu gọi số học sinh giỏi, khá, trung bình lớp là: * a, b, c a, b, c ∈ N ( ) Vì số học sinh giỏi tỉ lệ với nên ta có: a b = Số học sinh trung bình tỉ lệ với nên ta có: b c = Lớp học có 35 em nên ta có: a + b + c = 35 Giải: * Gọi số học sinh giỏi, Khá trung bình lớp là: a, b, c ( a, b, c ∈ N ) a b b c = ; = Theo ta có: a + b + c = 35 a b a b  = ⇒ = c 12  a b = ⇒ = b c b c 12 15 = ⇒ =  12 15  Áp dụng tính chất dãy tỉ số ta có: a b c a+b+c 35 = = = = =1 12 15 + 12 + 15 35 ⇒ a = 8.1 = ; b = 12.1 = 12 ; c = 15.1 = 15 (TMĐK) Vậy số học sinh giỏi, khá, trung bình lớp là: em, 12 em, 15 em Ví dụ 6: Độ dài cạnh góc vng tam giac vuông tỉ lệ với 8: 15, cạnh huyền dài 51cm Tính độ dài hai cạnh góc vng Phân tích đề bài: Gọi độ dài hai cạnh góc vng tam giác vng là: a, b ( a, b ∈ N ) * a b = 15 Áp dụng định lí Py – Ta – Go vào tam giác vng ta được: a + b = 512 Giải: Gọi độ dài hai cạnh góc vng tam giác vng là: a, b Vì hai cạnh tỉ lệ với 8: 15 nên ta có: ( a, b ∈ N ) * a b = a + b = 512 (Định lí Py – Ta – Go) 15 a b a2 b2 2 2 Từ a + b = 51 ⇒ a + b = 2601 = ⇒ = 15 64 225 Áp dụng tính chất dãy tỉ số ta có: Theo ta có: 14 Sáng kiến kinh nghiệm Năm học 2019 – 2020 a2 b2 a + b 2601 = = = =9 64 225 289 289 ⇒ a = 64.9 = 576 ⇒ a = 24 ; b = 225.9 = 2025 ⇒ b = 45 (TMĐK) Vậy độ dài hai cạnh góc vng tam giác vng là: 24cm, 45cm Ví dụ 7: Ba kho A, B, C chứa số gạo Người ta nhập vào kho A thêm số số gạo kho đó, xuất kho C số gạo kho Khi số gạo ba kho Tính số gạo kho lúc đầu, biết kho B chứa nhiều kho A 20 tạ gạo Phân tích đề bài: Gọi số gạo ba kho lúc đầu a, b, c 1 8a Số gạo kho A sau thêm số gạo kho A là: a + a = 7 8b Số gạo kho B sau xuất số gạo kho B là: b − b = 9 5c Số gạo kho C sau xuất số gạo kho C là: c − c = 7 Vì sau thêm vào kho A xuất kho B kho C số gạo ba kho 8a 8b 5c = = nên ta có: Lúc đầu kho B nhiều kho A 20 tạ nên ta có: b − a = 20 Giải: gạo kho đó, xuất kho B Gọi số gạo ba kho lúc đầu a, b, c ( a, b, c > ) 8a Số gạo kho A sau thêm là: a + a = (kg) 7 8b Số gạo kho B sau xuất là: b − b = (kg) 9 5c Số gạo kho C sau xuất là: c − c = (kg) 7 8a 8b 5c = = Theo ta có: b − a = 20 8a 8b 5c a b c = = ⇒ = = Từ 35 45 56 Áp dụng tính chất dãy tỉ số ta có: a b c b−a 20 = = = = =2 35 45 56 45 − 35 10 ⇒ a = 35.2 = 70 (TMĐK) b = 45.2 = 90 (TMĐK) c = 56.2 = 112 (TMĐK) Vậy: số gạo kho lúc đầu 70 kg, 90 kg 112 kg 15 Sáng kiến kinh nghiệm Năm học 2019 – 2020 Ví dụ 8: Ba xí nghiệp xây dựng chung cầu hết 38 triệu đồng Xí nghiệp I có 40 xe cách cầu 1,5km, xí nghiệp II có 20 xe cách cầu 3km, xí nghiệp III có 30 xe cách cầu 1km Hỏi xí nghiệp phải trả cho việc xây dựng cầu tiền, biết số tiền phải trả tỉ lệ thuận với số xe tỉ lệ nghịch với khoảng cách từ xí nghiệp đến cầu Phân tích đề bài: Gọi số tiền phải góp ba xí nghiệp là: a, b, c ( a, b, c > ) Vì số tiền phải trả tỉ lệ thuận với số xe tỉ lệ nghịch với khoảng cách từ xí 40 20 30 : : nghiệp đến cầu nên ta có: a : b : c = 1,5 Tổng số tiền mà ba xí nghiệp cần đóng 38 triệu nên ta có: a + b + c = 38 Giải: Gọi số tiền phải góp ba xí nghiệp là: a, b, c ( a, b, c > ) Theo ta có: 40 20 30 a :b :c = : : a + b + c = 38 1,5 40 20 30 a b c : : = 8:2:9 ⇒ = = Từ a : b : c = 1,5 Áp dụng tính chất dãy tỉ số ta có: a b c a + b + c 38 = = = = =2 + + 19 ⇒ a = 8.2 = 16 ; b = 2.2 = ; c = 9.2 = 18 (TMĐK) Ba xí nghiệp phải trả cho việc xây dựng cầu là: 16 triệu đồng, triệu đồng bà 18 triệu đồng Bài tập áp dụng: Bài 1: Tìm số có ba chữ số biết số bội 18 chữ số tỉ lệ với 1: 2: Bài 2: Năm lớp 7A, 7B, 7C, 7D, 7E nhận chăm sóc vườn trường có diện tích 300m Lớp 7A nhận 15% diện tích vườn, lớp 7B nhận diện tích cịn lại Diện tích cịn lại vườn sau hai lớp nhận đem chia cho ba lớp 7C, 7D, 7E tỉ lệ với 1 : : Tính diện tích vườn giao cho lớp 16 Bài 3: Cho tam giác ABC có cạnh a, b, c , tỉ lệ với 2; 3; Chu vi tam giác ABC 45 cm Tính độ dài cạnh lớn tam giác ABC Bài 4: Số học sinh bốn khối 6, 7, 8, tỉ lệ với số 9; 8; 7; Biết số học sinh khối số học sinh khối 70 học sinh Tính số học sinh khối Bài 5: Tìm số có hai chữ số, biết tổng hai chữ số 10 tỉ số chữ số hàng chục chữ số hàng đơn vị Dạng III: Dạng chứng minh tỉ lệ thức I – Một số ý 16 Sáng kiến kinh nghiệm Năm học 2019 – 2020 Có nhiều phương pháp chứng minh tỉ lệ thức Sau số cách chứng minh tỉ lệ thức áp dụng tính chất dãy tỉ số nhau: a c A C Cho = Để chứng minh tỉ lệ thức ta làm: = b d B D A C Cách 1: Chứng minh tỉ số tỉ số ; chứng minh AD = BC B D Cách 2: Xuất phát từ a c = , vận dụng tính chất tỉ lệ thức để tạo tỉ lệ b d A C = B D II – Bài tập thức a c = với b, c, d ≠ Và c ≠ −d b d a+b c+d = Chứng minh rằng: b d Ví dụ 1: Cho tỉ lệ thức Phân tích đề bài: Quan sát tỉ lệ thức phải chứng minh, dùng phương pháp phân tích suy luân ngược để tìm hướng chứng minh Khi chứng minh ta chứng minh theo chiều xuôi Khi chứng minh ý điều kiện có nghĩa tỉ lệ thức Có: a c a b a+b b a+b c+d = ⇐ Cần CM: = ⇐ Cần CM: = ⇐ để CM: = b d c d c+d d b d Giải: a c a b a +b = ⇒ = = b d c d c+d b a+b c+d a+b ⇒ = ⇒ = d c+d d b a+b c+d = hay: (đpcm) b d a c Cách 2: Đặt = = k ( k ¹ ) a = kb,c = kd Ta có: b d Cách1: Từ a + b kb + b b(k + 1) k + = = = ; a kb kb k c + d kd + d d(k + 1) k + = = = c kd kd k a+b c+d = b d a+b c+d = Ví dụ 2: Cho ( a, b, c, d ≠ a ≠ b, c ≠ ± d ) a −b c −d a c Chứng minh = b d Vậy 17 Sáng kiến kinh nghiệm Phân tích đề bài: Năm học 2019 – 2020 a+b c+d a +b a −b a b a c = ⇐ = ⇐ = ⇐ = a−b c−d c+d c−d c d b d Giải: a+b c+d a +b a −b = ⇒ = a −b c −d c+d c−d a b a c ⇒ = ⇒ = (đpcm) c d b d a c Ví dụ 3: Cho tỉ lệ thức = với a, b, c, d ≠ b d ac a + c Chứng minh: = bd b + d Từ: Phân tích đề bài: 2 a c a c a  c  ac a c ac a + c = ⇐ = ÷ = ÷ ⇐ = = ⇐ = b d b d b d  bd b d bd b + d Giải: 2 a c a c a  c  ac a c Từ: = ⇒ =  ÷ =  ÷ ⇒ = = b d b d b d  bd b d a2 c2 a2 + c2 Mà: = = (2) b d b +d2 ac a + c Từ (1) (2) ⇒ (đpcm) = 2 bd b + d a c Ví dụ 4: Cho tỉ lệ thức = với a, b, c, d ≠ c ≠ d b d ( a − b) (c−d) Chứng minh: = (1) ab cd Phân tích đề bài: a c a b a −b a b  a −b  ab ( a − b ) = ⇐ = = ⇐ = ⇐ = ÷ b d c d c−d c d c−d  cd ( c − d ) 2 Giải: Từ: a c a b a −b = ⇒ = = b d c d c−d 18 Sáng kiến kinh nghiệm Năm học 2019 – 2020 a b  a −c  ab ( a − c ) ⇒ = = ÷ ⇒ c d b−d  cd ( b − d ) 2 ( a − b) (c−d) Hay = ab (đpcm) cd Ví dụ 5: Cho tỉ lệ thức a c = với a, b, c, d ≠ c ≠ −d b d ( a + b) 2014 (c+d) 2014 Chứng minh: a 2014 + b 2014 = 2014 c + d 2014 Phân tích đề bài: 2014 a c a b a +b  a +b  = ⇐ = = ⇐ ÷ b d c d c+d c+d  ( a + b) ⇐ 2014 (c+d) 2014 2014 a = ÷ c 2014 b = ÷ d  a + b) ( a 2014 b 2014 a 2014 + b 2014 = 2014 = 2014 ⇐ = 2014 2014 c d c + d 2014 c + d ( ) 2014 Giải: 2014 a c a b a +b  a  Từ: = ⇒ = = ⇒ ÷ b d c d c+d c a 2014 b 2014 ( a + b ) ⇒ 2014 = 2014 = 2014 c d (c+d) 2014 b = ÷ d  2014  a +b  = ÷ c+d  2014 (1) a 2014 b 2014 a 2014 + b 2014 Mà: 2014 = 2014 = 2014 c d c + d 2014 ( a + b) 2014 (c+d) 2014 Từ (1) (2) (2) a 2014 + b 2014 = 2014 (đpcm) c + d 2014 a c = với a, b, c ≠ c b a a2 + c2 Chứng minh rằng: = b b +d2 Ví dụ 6: Cho Phân tích đề bài: 2 a c a c a c a a2 c2 a a2 + c2 = ⇐ = ÷ = ÷ ⇐ = = ⇐ = c b c b  c  b b c b b c + b2 Giải: 19 Sáng kiến kinh nghiệm Năm học 2019 – 2020 2 a c a c a c Từ: = ⇒ =  ÷ =  ÷ c b c b  c  b a a2 c2 ⇒ = = (1) b c b 2 a c a2 + c2 a2 + c2 Mà: = = (2) = c b c + b2 b2 + c2 a a2 + c2 Từ (1) (2) ⇒ = (đpcm) b b + c2 a c Ví dụ 7: Cho = với a, b, c ≠ c b b − a b2 − a Chứng minh rằng: = 2 a a +c Phân tích đề bài: Giải: a c a c a c a a2 c2 a a2 + c2 = ⇐ = ÷ = ÷ ⇐ = = ⇐ = c b c b  c  b b c b b c + b2 b c2 + b2 b − a b2 − a2 ⇐ = 2⇐ = 2 a a +c a a +c Áp dụng kết phần a ta có: a c a a2 + c2 b b2 + c2 = ⇒ = 2⇒ = 2 c b b b +c a a +c b b2 + c2 ⇒ −1 = 2 −1 a a +c b a b2 + c2 a2 + c2 ⇒ − = 2− 2 a a a +c a +c b − a b2 + c2 − a − c2 ⇒ = a a2 + c2 b − a b2 − a (đpcm) ⇒ = 2 a a +c 5 a c Ví dụ 8: Cho tỉ lệ thức = với a, b, c, d ≠ a ≠ ± b; c ≠ ± d ≠ b d 3 3a + 5b 3c + 5d = Chứng minh tỉ lệ thức sau: 3a − 5b 3c − 5d Phân tích đề bài: 20 Sáng kiến kinh nghiệm Giải: Năm học 2019 – 2020 a c a b 3a 5b 3a + 5b 3a − 5b 3a + 5b 3c + 5d = ⇐ = ⇐ = = = ⇐ = b d c d 3c 5d 3c + 5d 3c − 5d 3a − 5b 3c − 5d a c a b 3a 5b 3a + 5b = ⇒ = ⇒ = = b d c d 3c 5d 3c + 5d 3a 5b 3a − 5b = = Mà: (2) 3c 5d 3c − 5d 3a + 5b 3c − 5d = Từ (1) (2) ⇒ 3c + 5d 3c − 5d 3a + 5b 3c + 5d ⇒ = (đpcm) 3c − 5d 3c − 5d a c Ví dụ 9: Cho tỉ lệ thức = với a, b, c, d ≠ b d a + 5ac 7a + 5bd Chứng minh: = 7b − 5ac 7b − 5bd Từ: (1) Phân tích đề bài: Giải: a c a ac 7a 5ac a a c = ⇐ ÷ = ⇐ = ⇐ = b d b bd 7b 5bd b b d 7a + 5ac a − 5ac 7a + 5ac 7b + 5bd ⇐ cm = ⇐ = 7b + 5bd 7b − 5bd 7a − 5ac 7b − 5bd 2 a c a ac a a c a Từ: = ⇒  ÷ = = ⇒ = b d b bd b b d b a 5ac a + 5ac (1) ⇒ = = 7b 5bd 7b + 5bd a 5ac a − 5ac Ta có: (2) = = 7b 5bd 7b − 5bd a + 5ac 7a − 5ac Từ (1) (2) ⇒ = 7b + 5bd 7b − 5bd a + 5ac 7b + 5bd (đpcm) ⇒ = a − 5ac 7b − 5bd Bài tập áp dụng: Bài 1: Cho tỉ lệ thức a c = ≠ ±1 với a, b, c, d ≠ Chứng minh rằng: b d 21 Sáng kiến kinh nghiệm a) a −b c −d = b d Bài 2: Cho tỉ lệ thức: Bài 3: Cho tỉ lệ thức Năm học 2019 – 2020 b) a+b c+d = a c c) a c = a −b c −d a +2 b+3 a b = = với a ≠ 2; b ≠ Chứng minh a −2 b−3 a c = Chứng minh tỉ lệ thức sau (với giả thiết tỉ số b d có nghĩa) a) ( a + b) (c+d) c) 2005a − 2006b 2005c − 2006d = 2006c + 2007 d 2006a + 2007b Bài 4: Cho = a2 + b2 c2 + d b) d) 2a + 5b 2c + = 3a − 4b 3c − 4d 2012a − 2013b 2012c − 2013d = 2013a + 2014b 2013c + 2014d a b c = = 2012 2013 2014 Chứng minh rằng: ( a − b ) ( b − c ) = ( c − a ) a + b ab với a, b, c, d ≠ ; c ≠ ± d = c + d cd a c a d CMR = = b c b d Bài 5: Cho a b c ax + bx + c = = giá trị P Bài 6: Cho p = Chứng minh a1 b1 c1 a1 x + b1 x + c1 không phụ thuộc vào x 3.3 Khả áp dụng giải pháp: - Đối tượng: Giáo viên học sinh - Thời gian: Năm học 2018 – 2019 đến năm học - Phạm vi: Là giáo viên trực tiếp giảng dạy mơn Tốn khối nên tập trung áp dụng học sinh lớp Trường THCS Lê Danh Phương, huyện Hưng Hà, tỉnh Thái Bình 3.4 Hiệu quả, lợi ích thu dự kiến thu áp dụng giải pháp: Sau thời gian đưa sáng kiến “Hướng dẫn học sinh lớp giải tập áp dụng tính chất dãy tỉ số nhau” vào áp dụng nhận thấy với cách làm mang lại hiệu cao việc rèn luyện lực sáng tạo toán cho học sinh Các em học sinh thực có hứng thú học tốn bồi dưỡng cho học sinh 22 Sáng kiến kinh nghiệm Năm học 2019 – 2020 giỏi, tự độc lập tìm tịi nhiều cách giải khác mà không cần nhiều gợi ý giáo viên 3.5 Các điều kiện cần thiết để áp dụng sáng kiến: Để thực tốt sáng kiến cần phải có điều kiện cần thiết sau:  Đối với giáo viên : - Để áp dụng chuyên đề vào việc giảng dạy đòi hỏi giáo viên thường xuyên trau để nâng cao kiến thức Trong tŕnh giảng dạy kiến thức sách giáo khoa, giáo viên cần tìm tịi đưa thêm kiến thức kĩ cho học sinh để từ nâng cao kiến thức cho học sinh - Hệ thống hóa kiến thức, dạng tập từ dễ đến khó, từ đơn giản đến phức tạp - Hướng dẫn học sinh cách tìm tịi mở rộng thêm vốn kiến thức - Kiến thức học sinh bền vững biết vận dụng kiến thức học vào việc giải thành thạo dạng tập, giáo viên phải rèn luyện cho học sinh  Đối với học sinh: - Học sinh cần phải biết xếp cơng việc, lịch học cho khoa học, phù hợp, linh hoạt, sáng tạo, thích ứng với điều kiện, hồn cảnh - Đối với học sinh phải nắm kiến thức, có khả phân tích từ tập đơn giản mở rộng tập khó - Khơng ngừng học hỏi, học thày, học bạn, học qua sách vở, qua nguồn tư liệu phong phú như: sách giáo khoa, sách tham khảo, báo chí, tạp chí, ngân hàng đề thi, đài, ti vi, máy tính, mạng internet Cam kết không chép vi phạm quyền Tôi xin cam đoan sáng kiến tự nghiên cứu, không chép vi phạm quyền tác giả khác Tôi xin chân thành cảm ơn Hưng Hà, ngày tháng năm 2019 23 Sáng kiến kinh nghiệm ĐƠN VỊ ÁP DỤNG SÁNG KIẾN Năm học 2019 – 2020 TÁC GIẢ Nguyễn Thị Mai 24 ... (Nếu đặt dấu “-“ trước số hạng tỉ số đặt dấu “-“ trước số hạng tỉ số đó) * Tính chất dãy tỉ số cho ta khả rộng rãi để từ số tỉ số cho trước, ta lập tỉ số tỉ số cho, số hạng số hạng có dạng thuận... tích đề bài: Để áp dụng tính chất dãy tỉ số nhau, ta phải biến đổi dãy tỉ số cho hệ số x, y, z tử dãy tỉ số hệ số x, y, z đẳng thức, cách áp dụng tính chất phân số Cụ thể nhân tử mẫu tỉ số x y... pháp giải tốn tính chất dãy tỉ số mang tính chất giới thiệu chưa sâu Trong giải tốn tính chất dãy tỉ số dạng toán đa dạng phong phú  Thực trạng học sinh:  Về hứng thú học dạng tốn tính chất dãy