Hướng dẫn học sinh lớp 7 mở rộng, nâng cao và vận dụng các bài tập về tỷ lệ thức và tính chất của dãy tỉ số bằng nhau

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HỐ PHỊNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THỌ XUÂN SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM HƯỚNG DẪN GIÚP HỌC SINH LỚP PHÁT TRIỂN, NÂNG CAO VÀ VẬN DỤNG CÁC BÀI TẬP VỀ TOÁN TỈ LỆ THỨC VÀ TÍNH CHẤT CỦA DÃY TỈ SỐ BẰNG NHAU Người thực hiện: Đỗ Thị Dung Chức vụ: Giáo viên Đơn vị công tác: Trường TH THCS Xuân Thành SKKN thuộc mơn: Tốn Mục lục TT Nội dung Trang Mở đầu 1.1 Lí chọn đề tài 1.2 Mục đích nghiên cứu 1.3 Đối tượng nghiên cứu 1.4 Phương pháp nghiên cứu 2 Nội dung sáng kiến kinh nghiệm 2.1 Cơ sở lý luận 2.2 Cơ sở thực tiễn 2.3 Nội dung vấn đề 2.3.1 Lý thuyết 2.3.2 Các giải pháp thực 2.3.3 Các dạng toán 2.3.3.1 5-6 2.3.3.2 Dạng 1: Loại toán chứng minh đẳng thức từ tỷ lệ thức cho trước Dạng Tính giá trị biểu thức 2.3.3.3 Dạng :Tìm số chưa biết dãy tỉ số 6-11 2.3.3.4 Dạng 4: Vận dụng giải toán thực tế 11-13 2.4 Hiệu sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt động giáo dục, thân đồng nghiệp nhà trường 13-14 Kết luận kiến nghị 14 3.1 Kết luận 14 3.2 Kiến nghị 15 2-3 3-4 Mở đầu 1.1 Lí chọn đề tài Toán học ngày giữ vai trò quan trọng cách mạng 4.0 Nó ngày thu hút quan tâm nhiều người việc học toán trường phổ thơng kích thích ham muốn học sinh lứa tuổi Luật Giáo dục 2005 (điều 5) quy định: “ Phương pháp giáo dục phải phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động, tư sáng tạo người học; bồi dưỡng cho người học lực tự học, khả thực hành, lòng say mê học tập ý chí vươn lên”[1] Với mục tiêu giáo dục phổ thông “ giúp học sinh phát triển tồn diện đạo đức, trí tuệ, thể chất, thẩm mĩ kỹ bản, phát triển lực cá nhân, tính động sáng tạo, hình thành nhân cách người Việt Nam xã hội chủ nghĩa, xây dựng tư cách trách nhiệm công dân; chuẩn bị cho học sinh tiếp tục học lên vào sống lao động , tham gia xây dựng bảo vệ Tổ quốc” Chương trình giáo dục phổ thông ban hành kèm theo định số 16/2006/QĐ-BGDĐT ngày 5/5/2006 Bộ trưởng Bộ giáo dục Đào tạo nêu: “Phải phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động, sáng tạo học sinh; phù hợp với đặc trưng môn học, đặc điểm đối tượng học sinh; điều kiện lớp học; bồi dưỡng cho học sinh phương pháp tự học, khả hợp tác; rèn luyện kỹ vận dụng kiến thức vào thực tiễn; tác động đến tình cảm, đem lại niềm vui, hứng thú trách nhiệm học tập cho học sinh”[2] Muốn cho học sinh học sinh Trung học sở có tính tích cực, tự giác, chủ động, tư sáng tạo có lực tự học, khả thực hành, lòng say mê học tập ý chí vươn lên đòi hỏi người giáo viên phải có phương pháp dạy học đạt hiệu cao dạy Tôi giáo viên dạy mơn Tốn phân cơng giảng dạy mơn tốn dạy đến phần giải tốn tỷ lệ thức tính chất dãy tỉ số phần tập sách giáo khoa phần lớn tập trung vào số tập mở rộng nâng cao dạng tập học sinh ban đầu thường lúng túng tìm phương pháp giải thay đổi điều kiện tốn ban đầu khó khăn tìm cách giải vấn đề từ khơng tháo gỡ tạo tâm lí ngại “sợ” loại tốn Chính từ kinh nghiệm mà thân đúc kết giúp học trò tự tin hứng thú học dạng tốn nên tơi nghiên cứu viết sáng kiến với đề tài: “Hướng dẫn học sinh lớp mở rộng, phát triển vận dụng tập tỉ lệ thức tính chất dãy tỉ số nhau” 1.2 Mục đích nghiên cứu Trong trình dạy học sinh tiếp cận đến phần giải tốn tỷ lệ thức tính chất dãy tỉ số học trò sai lầm lời giải, gặp dạng toán phức tạp chút em lại sợ làm khơng được, có em lại thụ động việc giải Toán cần thay đổi chút đề khó tìm hướng giải Để em dễ tiếp cận dạng toán chứng minh đẳng thức từ tỷ lệ thức cho trước, chia số thành phần tỉ lệ với số cho trước tìm hai số biết tích tỉ số chúng từ có hứng thú, chủ động tìm tòi sáng tạo với đơn vị kiến thức mơn Tốn học nói chung, tơi nghiên cứu SKKN: “Hướng dẫn học sinh lớp mở rộng, phát triển vận dụng tập tỉ lệ thức tính chất dãy tỉ số nhau” Giúp học sinh nắm kiến thức giải toán tỷ lệ thức tính chất dãy tỉ số nhau, áp dụng làm tốt dạng toán từ đơn giản đến phức tạp Bên cạnh đó, học sinh vận dụng kiến thức giải tốn tỷ lệ thức tính chất dãy tỉ số để vận dụng giải dạng toán khác (thay tỉ số số hữu tỉ tỉ số số nguyên, tìm số hạng chưa biết tỷ lệ thức , tìm số hạng chưa biết cho dãy tỉ số tổng hiệu số hạng đó, chứng minh đẳng thức,…) Thông qua việc giải tập tập hình thành cho học sinh kĩ phân tích, kĩ quan sát, phán đốn, rèn tính cẩn thận, linh hoạt Khảo sát, kiểm tra lại chất lượng môn Tốn lớp dạy năm học trước, theo dõi kết học tập em đầu năm học mới, học kì I, kết học kì I 1.3 Đối tượng nghiên cứu - Kiến thức tỉ lệ thức tính chất dãy tỉ số - Các dạng toán nâng cao vận dụng tính chất tỉ lệ thức tính chất dãy tỉ số 1.4 Phương pháp nghiên cứu - Phương pháp phân tích tổng hợp lý thuyết - Phương pháp điều tra, khảo sát, thu thập thơng tin - Phương pháp phân tích tổng kết kinh nghiệm - Phương pháp chuyên gia - Phương pháp thống kê, xử lý số liệu Nội dung sáng kiến kinh nghiệm 2.1.Cơ sở lý luận Định hướng đổi phương pháp dạy học xác định nghị Trung ương khoá VII (01-1993), Nghị trung ương khoá VIII (12-1996), thể chế hoá Luật Giáo dục (2005), cụ thể hoá thị Bộ giáo dục đào tạo, đặc biệt thị số 14(4-1999) Luật giáo dục, điều 28.2, ghi: “Phương pháp giáo dục phổ thơng phải phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động, sáng tạo học sinh; phù hợp với đặc điểm lớp học, môn học; bồi dưỡng phương pháp tự học, khả làm việc theo nhó, rèn luyện kỹ vận dụng kiến thức vào thực tiễn, tác động đến tình cảm, đem lại niềm vui, hứng thú học tập cho học sinh”[3] Vì vậy, việc nắm vững lý thuyết lớp học sinh phải vận dụng lý thuyết cách hợp lý, khoa học để giải tập Bài tập Toán nhằm hình thành cho học sinh giới quan vật biện chứng, hứng thú học tập, có niềm tin, phẩm chất đạo đức người lao động Bài tập toán nhằm phát triển lực tư học sinh đặc biệt rèn luyện thao tác tư duy, hình thành phẩm chất tư sáng tạo Bài tập Toán nhằm đánh giá mức độ kết dạy học, đánh giá khả độc lập trình độ phát triển học sinh Dạy Tốn, học Tốn q trình tư liên tục, việc nghiên cứu tìm tòi, đúc kết kinh nghiệm người dạy Tốn học Tốn khơng thể thiếu Trong đó, việc chuyển tải kinh nghiệm để dạy tốt điều trăn trở nhiều giáo viên Việc truyền thụ kiến thức trở nên hấp dẫn học sinh giáo viên hiểu ý đồ sách giáo khoa, giúp học sinh nắm kiến thức cách hệ thống, dẫn dắt học sinh từ điều biết đến điều chưa biết Bên cạnh đó, việc khai thác, mở rộng kiến thức giúp học sinh say mê học Toán, phát huy khả tư sáng tạo Trên bục giảng, tiết dạy, để tạo hứng thú cho học sinh, người giáo viên phải ln tạo tình có vấn đề để học sinh so sánh, chọn lọc Từ rút kiến thức cần nhớ Cơ sở kiến thức: a Định nghĩa tỷ lệ thức: “ Tỷ lệ thức đẳng thức hai tỉ số a c = b d Ta viết: a : b = c : d a d ngoại tỉ(số hạng ngoài); b c trung tỉ (số hạng trong) [2] b Tính chất tỷ lệ thức : Tính chất 1: Nếu a c = b d a c = a.d = b.c b d Tính chất 2: Nếu a.d = b.c với a, b, c, d ≠ ta có tỷ lệ thức : a c a b d c d b = ; = ; = ; = b d c d b a c a a c Tính chất 3: Từ tỷ lệ thức = suy tỷ lệ thức : b d a b d c = , = , c d b a d b = c a [4] c Tính chất dãy tỉ số nhau: a c a c a+c a−c = suy = = = , (b ≠ ± d) b d b d b+d b−d a c i Tính chất 2: từ dãy tỉ số b = d = j ta suy ra: a c i a +c+i a−c+i = = = = , (giả thiết tỉ số có nghĩa) b d j b+d + j b−d + j Tính chất 1: Từ tỷ lệ thức a a a a n Tính chất 3: có n tỉ số nhau(n ≥ 2): b = b = b = = b n a a + a + a + + an a1 − a2 + a3 + − an a1 a2 a3 = = = = n = = b1 b2 b3 bn b1 + b2 + b3 + + bn b1 − b2 + b3 + − bn (giả thiết tỉ số có nghĩa) Lưu ý: Nếu đặt dấu “ - ” trước số hạng tỉ số đặt dấu “- ” trước số hạng tỉ số Tính chất dãy tỉ số cho ta khả rộng rãi để từ số tỉ số cho trước, ta lập tỉ số tỉ số cho, số hạng số hạng có dạng thuận lợi nhằm sử dụng kiện tốn Khi nói số x, y, z tỉ lệ với a, b,c tức ta có: x y z = = Ta viết: a b c x : y : z = a : b : c [5] Một số kiến thức cần ý: +) a na = b nb (n ≠ 0) n a c a c +) = ⇒   =   b d b d  n [6] 2.2 Thực trạng vấn đề trước áp dụng sáng kiến kinh nghiệm Thơng qua việc giải tốn phát triển tư độc lập, sáng tạo học sinh, rèn ý chí vượt qua khó khăn Đứng trước tốn, học sinh phải có vốn kiến thức bản, vững mặt lý thuyết Có thủ pháp thuộc dạng tốn đó, từ tìm cho đường giải tốn nhanh Để học sinh có điều trước hết phải xuất phát từ người thầy, người thầy phải đầu tư soạn theo chuyên đề dạng toán cách bản, sâu rộng, giúp học sinh nhìn nhận từ tốn cụ thể thấy toán khái quát Từ phương pháp giải khái quát thấy cách giải toán cụ thể Nhìn thấy liên quan toán với Biết vận dụng linh hoạt lý thuyết vào giải tốn Qua q trình giảng dạy nhận thấy học sinh ban đầu gặp khó khăn giải dạng tốn tơi làm số khảo sát có kết sau: TSHS Đầu năm 36 Giỏi SL % Khá SL % 16,6% 16,6 % Trung bình SL % 15 41,6% Yếu Kém SL % SL % 13, 9% 11,1 % Với lao động nghiêm túc xin trình bày phần nhỏ kinh nghiệm soạn nhằm giúp học sinh rèn kỹ giải dạng tốn vận dụng tính chất tỷ lệ thức dãy tỉ số đại số 2.3 Các giải pháp sử dụng để giải vấn đề Qua q trình giảng dạy tơi nhận thấy nhiều em lúng túng tìm phương pháp giải tập vận dụng nhằm giúp em nâng cao tư khả vận dụng đưa số cách phát triển toán vận dụng sau: Chứng minh đẳng thức từ tỷ lệ thức cho trước Tính giá trị biểu thức Tìm số chưa biết dãy tỉ số Vận dụng giải toán thực tế 2.3.1 Dạng 1: Loại toán chứng minh đẳng thức từ tỷ lệ thức, đẳng thức cho trước Phương pháp: Từ tỉ lệ thức a c = đặt tỉ số cho trước b d số k Hoặc để chứng tỏ hai tỉ số Bài 1.1[7]: Cho Giải: A C = ta chứng tỏ A D = B.C chứng tỏ B D A C có giá trị hay sử dụng tính chất tỉ lệ thức B D a c a c = chứng minh = b d a−b c −d Phân tích tìm tòi lời giải: Đối với tốn ta đặt a c = =k b d biến đổi tỷ lệ thức cho trước để chúng trở thành đẳng thức cần chứng minh a c b d b d a −b c−d a c ⇒ = ⇒ = ⇒ 1− = 1− ⇒ = = (đpcm) b d a c a c a c a −b c −d a c a b a −b a c ⇒ = Cách 2: = ⇒ = = (đpcm) b d c d c−d a −b c − d Cách 1: Cách 3: ( cách áp dụng vào nhiều toán dạng này) đặt a c = = k suy a = bk ; c = dk b d Ta có: a bk bk k = = = (1) a − b bk − b b( k − 1) k − c dk dk k = = = (2) c − d dk − d d (k − 1) k − a c = Từ (1) (2) suy a −b c −d Bài 1.2[8] Chứng minh : Nếu a c = ≠ b d a+b c+d = với a, b, c, d ≠ a −b c −d 5a + 3b 5c + 3d = b) 5a − 3b 5c − 3d a) Giải: Hướng dẫn: chứng minh tương tự theo Cách : a) Với a, b, c, d ≠ ta có: a c a c a +b c+d = ⇒ +1 = +1⇒ = b d b d b d a+b b = (1) c+d d a c a −b c −d a −b b = ⇒ = ⇒ = (2) b d b d c−d d a +b a−b a+b c+d = ⇒ = Từ (1) (2) => (đpcm) c+d c−d a −b c −d a c Cách 2: Đặt = = k suy a = bk ; c = dk b d a + b bk + b b.(k + 1) k + Ta có a − b = bk − b = b.(k − 1) = k − (1) c + d dk + d d (k + 1) k + = = = Và (2) c − d dk − d d (k − 1) k − a+b c+d = Từ (1) (2) suy a −b c−d ⇒ b) GV: Làm để xuất 5a, 5c, 3b, 3d? Từ a c a b 5a 3b 5a 5c 5a + 3b 5c + 3d = ⇒ = ⇒ = ⇒ = ⇒ = b d c d 5c 3d 3b 3d 5a − 3b 5c − 3d (áp dụng kết ) • Bài tốn khái quát sau: Bài 1.3 : Cho a c = Các số x, y, z, t thỏa mãn: xa + yb ≠ zc + td ≠ b d Chứng minh rằng: xa + yb xc + yd = za + tb zc + td (Cách gợi ý cho giải 3? Sử dụng cách có làm khơng?) • Ta mở rộng toán theo hướng khác Bài 1.4: Nếu a = c thì: b d Giải: Từ a + b ab = c + d cd ab a − b = cd c − d a c a b a b2 a + b2 = ⇒ = ⇒ = = (1) b d c d c d c +d2 a c a b a a b a a ab = ⇒ = ⇒ = ⇒ = (2) b d c d c c d c c cd từ a + b ab từ (1) (2) suy 2 = (đpcm) c +d cd Bài tập dạng: Cho tỉ lệ thức: a c = b d Chứng minh ta có tỉ lệ thức sau: (với giả thiết tỉ số có nghĩa) a2 + b2 a+b 1)   = c +d2 c+d  3) 2a + 5b 2c + 5d = 3a − 4b 3c − 4d ab ( a − b ) = 2) cd ( c − d ) 2 4) 2005a − 2006b 2005c − 2006d = 2006c + 2007d 2006a + 2007b a c = 5) a+b c+d a + 5ac 7b + 5bd = 6) a − 5ac 7b − 5bd 2008a − 2009b 2008c − 2009d = 7) 2009c + 2010d 2009a + 2010b a + 5ac 7b + 5bd = 8) a − 5ac 7b − 5bd 7a + 3ab 7c + 3cd = 9) 11a − 8b 11c − 8d • Nếu giả thiết mở rộng từ tỉ lệ thức thành dãy tỉ số lại vận dụng tính chất dãy tỉ số để giải: a b c a  a+b+c Bài 1.5: Cho = = Chứng minh rằng:   = b c d d b+c+d  Giải: Áp dụng tính chất dãy tỉ số ta có a b c a+b+c = = = b c d b+c+d  a+b+c  a b c a Từ suy  ÷ = = b+c+d  b c d d • Có thể khái quát cho dãy n tỉ số với phương pháp tương tự a a a a 2008 Bài 1.6: Cho dãy tỉ số nhau: a = a = a = = a 2009 CMR: Ta có đẳng thức: a1 a 2009 2008  a + a + a + + a 2008  = ÷  a + a + a + + a 2009  • Giả thiết thay tỉ lệ thức đẳng thức Với dạng tùy vào đẳng thức cho ta có cách biến đổi khác Bài 1.7: Chứng minh rằng: Nếu a = bc a+b c+a điều đảo lại có hay = a−b c−a khơng? Giải: + Ta có: a = bc ⇒ a b a b a +b a −b a+b c+a = ⇒ = = = ⇒ = c a c a c+a c−a a−b c−a + Điều đảo lại đúng, thật vậy: Ta có: a+b c+a = a −b c−a ⇒ ( a + b) ( c − a) = ( a − b) ( c + a ) hay ac − a + bc − ab = ac + a − bc − ab ⇒ 2bc = 2a ⇒ a = bc Bài 1.8: Chứng minh rằng: Nếu a + c = 2b (1) 2bd = c(b + d ) (2) 10 Giải: a Từ: b c d = = b+c+d a+c+d a+b+d b+c+a a b c d ⇒ +1 = +1 = +1 = +1 b+c+d a+c+d a+b+d b+c+a a+b+c+d b+a+c+d c+a+b+d d +b+c+a ⇒ = = = b+c+d a+c+d a+b+d b+c+a = (*) +) Xét a+b+c+d = suy M = - +) Xét a+b+c+d ≠ suy b+c+d = a+c+d = a+b+d= b+c+a Suy a = b=c=d nên tính M = Bài 2.4 : Cho a,b,c đơi khác thõa mãn Tính giá trị biểu thức P = a b c (1 + )(1 + )(1 + ) b c a a+b b+c c+a = = c a b Giải: Từ a+b b+c c+a = = c a b a+b b+c c+a ⇒ +1 = +1= +1 c a b Bước làm tương tự tâp 2.3 Bài 2.5[8] : Cho số a,b,c khác thõa mãn ab bc ca = = a+b b+c c+a ab + bc + ca a + b3 + c ab bc ca = = a+b b+c c+a a+b b+c c+a ⇒ = = ab bc ca 1 1 1 ⇒ + = + = + b a c b a c 1 ⇒ = = a b c Tính giá trị biểu thức P = Giải: Với a,b,c ≠0 ta có Suy a = b= c từ tính P = a b c ax + bx + c Bài 2.6: Cho P = Chứng minh a = b = c giá trị a1 x + b1 x + c1 1 P không phụ thuộc vào x 14 a b c Hướng dẫn : Đặt a = b = c = k 1 Dạng : Tìm sớ chưa biết dãy tỉ sớ 1.Tìm số hạng chưa biết Phương pháp giải: Áp dụng tính chất tỉ lệ thức x − 90 = − 10 x x − 90 = ⇒ x =900 ⇒ x =30 ⇒ x =± 30 Giải: Từ − 10 x 3x +2 3x − = Bài 3.2: tìm x biết : 5x +7 5x +4 Bài 3.1 Tìm x biết Giải: Cách 1: Từ 3x +2 =3x −1 ⇒ (3x +2)(5x +4) =(3x −1)(5x +7) 5x +7 5x +4 ⇒ 15x +22x +8 =15x +16x −7 ⇒ 6x =− 15 ⇒ x =2, Cách 2: Áp dụng tính chất dãy tỉ số 3x +2 3x −1 (3x +2) −(3x −1) = = = =1 5x +7 5x +4 (5x +7) −(5x +4) Suy 3x +2 = 5x +7 2x = -5 x = 2,5 2.Tìm nhiều số hạng chưa biết x +4 Bài 3.3: Tìm x y biết +y =7 x +y = 22 Giải: cách 1: áp dụng tính chất tỉ lệ thức Từ x +4 =4 ⇒ 7(x +4) =4(7 +y) ⇒ 7x =4y +y x y x +y 22 ⇒ = = = =2 +7 11 ⇒ x =8; y =14 Cách 2: Áp dụng tính chất dãy tỉ số Từ x +4 = +y x +4 +y x +4 +7 +y x +y +11 22 +11 ⇒ = = = = =3 +7 11 11 ⇒ x +4 =12 ⇒ x =8 y +7 =21 ⇒ y =14 Bài 3.4[9]: Tìm ba số x, y, z, biết rằng: x y y z = ; = x + y – z = 10 Giải: 15 Hướng dẫn: toán chưa cho ta dãy tỉ số Vậy để xuất dãy tỉ số ta làm thề nào? Ta thấy tỉ số y y có hai số hạng giống nhau, làm để hai tỉ số có số hạng ( ta tìm tỉ số trung gian để xuất dãy tỉ số nhau), ta quy đồng hai tỉ số mẫu chung, muốn ta tìm BCNN(3;4)=12 từ mẫu chung 12 BCNN(3;4)=12 nên ta biến đổi sau: x y x y = ⇒ = ( nhân hai vế với ) (1) 12 y z y z = ⇒ = ( nhân hai vế với ) (2) 12 15 x y z Từ (1) (2) = = Áp dụng tính chất dãy tỉ số ta có: 12 15 x y z x + y − x 10 = = = = =2 12 15 + 12 − 15 Vậy x = 8.2 = 16 y = 12.2 = 24 z = 15.2 =30 x y z = = x + y − z = 186 15 20 28 GV : Bài cho x + y − z = 186 Bài 3.5[10] Tìm x, y, z biết: Làm để dãy tỉ số xuất biểu thức x + y − z = 186 ? Giải: Từ x y z 2x 3y z = = = = hay 15 20 28 30 60 28 Áp dụng tính chất dãy tỉ số ta có: 2x y z x + y − z 186 = = = = = 30 60 28 30 + 60 − 28 62 Suy 2x = 3.30 = 90 ⇒ x = 90:2 = 45 3y = 3.60 = 180 ⇒ y =180:3=60 z = 3.28 = 84 Bài 3.6 Tìm x, y, z biết: x −1 y − z − = = ( 1) 2x + 3y –z = 50 2x 3y 4z = = ( ) x + y +z = 49 b a Giải: a Ta biến đổi (1) sau : 2.( x − 1) 3.( y − 2) z − = = 2.2 3.3 16 hay ( x − 1) ( y − ) z − = = áp dụng tính chất dãy tỉ số ta có : ( x − 1) ( y − ) z − x − + y − − z + ( x + y − z ) + −2 − + 50 − = = = = = =5 4+9−4 9 x −1 = ⇒ x = 11 y−2 = ⇒ y = 17 z −3 = ⇒ z = 23 b Hướng dẫn: toán giả thiết cho x + y +z = 49 sống hạng dãy tỉ số lại 2x ; 3y ; 4z, làm để số hạng x ; y ; z ta tìm BCNN (2;3;4) = 12 khử tử để số hạng x ; y ; z Giải: Chia vế (2) cho BCNN (2;3;4) = 12 2x y 4z 2x 3y 4z x y z = = ⇒ = = = = hay 3.12 4.12 5.12 18 16 15 Áp dụng tính chất dãy tỉ số ta có: x y z x+ y+z 49 = = = = =1 18 16 15 18 + 16 + 15 49 => x = 18; y = 16; z = 15 Bài 3.7 Tìm số a1, a2, …a9 biết: a −9 a1 − a − = = = a1 + a + + a = 90 Giải : Áp dụng tính chất dãy tỉ số ta có: a − ( a1 + a + + a ) − ( + + + ) 90 − 45 a1 − a − = = = = = =1 9 + + + 45 Từ dễ dàng suy : a1 = a2 = a3 = = a9 = 10 x y z 2 Bài 3.8: Tìm ba số x,y, z biết = = x + y − z = −405 Giải: Cách 1: Đặt Thay vào x y z = = = k ⇒ x = 2k ; y = 3k ; z = 4k x + y − z = −405 ta 2.4k + 3.9k − 5.16k = −405 ⇒ k = Suy k = k = -3 Lần lượt thay k = k = -3 vào tìm (x;y;z) = (6;9;12) (x;y;z) = (-6;-9;-12) 17 x y z x2 y z 2 x y 5z = = ⇒ = = ⇒ = = Cách 2: Từ 4 16 27 90 Áp dụng tính chất dãy tỉ số ta có: x y z 2 x + y + z −405 = = = = =1 27 90 + 27 + 90 −405 x2 y2 z2 ⇒ = 9; = 9; = 9 16 Giải ta : (x;y;z) = (6;9;12) (x;y;z) = (-6;-9;-12) • Dạng vận dụng Bài 3.9: Tìm số x, y , z biết: x y3 z3 = = a) x2 + y2 + z2 = 14 64 216 2x + 3y − 2x + 3y − = = b) 6x y + z +1 z + x + x + y − = = = c) x y z x+ y+z Hướng dẫn: a) Từ x y z = = x y3 z3 = = biến đổi để đưa dãy tỉ số nhau: 64 216 sau áp dụng tương tự 3.7 b) c) Áp dụng tính chất dãy tỉ số 3.Tìm hai số biết tích tỉ số chúng x a Phương pháp giải: giả sử phải tìm hai số x, y, biết x.y=p y = b x a p Đặt y = b = k , ta có x=k.a, y=k.b đó: x.y=(k.a).(k.b)=p ⇒ k = ab Từ tìm k tính x y Chú ý: cần tránh sai lầm áp dụng “tương tự” tính chất dãy tỉ số nhau: x y xy = = (sai) a b ab Bài 3.10: Tìm hai số x y, biết x y = xy=10 Giải: x y = = k , ta có x=2k, y=5k Vì xy=10 nên 2k.5k=10 ⇒ 10k = 10 ⇒ k = ⇒ k = k = −1 Đặt + với k = x = 2.1 = ; y = 5.1 = 18 + với k = -1 x = 2.(-1) = -2; y = 5.(-1)= -5 Vậy x = 2; y = 5; x = - 2; y = - x Bài 3.11: Tìm x, y biết rằng: = y xy = 54 Giải: Hướng dẫn: Bài làm tương tự 3.9 nhiên ta làm theo cách khác sau : x y x x y x x xy 54 = ⇒ = ⇒ = = =9 2 6 2 suy x = 4.9 = ( 2.3) = ( ) = ( −6 ) ⇒ x = x = −6 54 với x = ⇒ y = = 54 với x = −6 ⇒ y = = −9 −6 x Bài 3.12: Tìm x y, biết y = x.y=40 x Hướng dẫn: tương tự 3.10 biến đổi y = thành Từ x y = làm tương tự 3.10 Đáp số: x = 4; y = 10; x = - 4; y = -10 Bài 3.13: Tìm x, y z biết x y z = = xyz = 20 12 x y z = = xyz = 810 b) a) Giải : ( Bài tương tự với tìm x,y) a) Đặt x y z = = = k , ta có x = 12k ; y = 9k; z = 5k 12 Vì xyz = 20 nên ( 12k ) ( 9k ) ( 5k ) = 20 ⇒ 540k = 20 ⇒ k = 3 Suy x = 12 = ; y = = ; z = = 20 1 = ⇒k= 540 27 5 Vậy x = 4; y=3; z= x y z = = = k , ta có x=2k ; y=3k ; z=5k Vì xyz = 810 nên (2k).(3k).(5k) = 810 ⇒ 30k = 810 ⇒ k = 810 : 30 = 27 ⇒ k = b) Tương tự câu a: đặt Vậy x = 6; y = 9; z =15 Nhận xét: Qua tập Dạng ta đưa tốn tổng qt sau: 19 Tìm số x, y, z thõa mãn: x = y = z a b c ( 1) x+y+z = d( 2) (trong a, b, c, a+b+c ≠ a,b,c,d số cho trước) *) Cách giải: x = y = z = k ⇒ x = ka; y = kb; z = kc a b c Cách 1: Đặt Rồi thay vào (2) ka +kb + kc = d ⇒ k(a+b+c) = d ⇒ x= a.d a+b+c ⇒k = y= d a +b+c b.d a+b+c z= c.d a+b+c Cách 2: áp dụng tính chất dãy tỉ số ta có; x y z x+ y+z d = = = = a b c a+b+c a+b+c a.d ⇒ x= a+b+c b.d y= a +b +c c.d z= a +b+c *) Hướng khai thác toán sau : +) Giữ nguyên điều kiện (1) thay đổi điều kiện (2) : - m1x+m2y+m3z = e - n1x2+n2y2+n3z2 = f - x.y.z = g +) Giữ nguyên điều kiện (2) thay đổi điều kiện (1) : - x y y z = ; = a1 a2 a3 a4 - a2x = a1y ; a4y = a3z - b1x = b2y = b3z 20 - b1 x − b3 z b2 y − b1 x b3 z − b2 y = = a b c - x − b1 y − b2 z − b3 = = a1 a2 a3 +) Thay đổi hai điều kiện Bài tập dạng : Tìm x, y z biết a) x y z = = x + y − z = 28 10 21 b) 3x = y , y = z x − y + z = 32 c) x = y = z x + y − z = 95 x y d) = e) y z = x + y − z = 124 , 2x 3y 4z = = x + y + z = 49 f) x : y : z = : : 5z2 – 3x2 – 2y2 = 594; h) x = y = z xyz = 648 g) + y = + y = + y 18 24 x 6x y z i) y + z + = z + x + = x + y − = x + y + z Dạng 4: Vận dụng giải toán thực tế Bài 4.1 Ba lớp 7A, 7B, 7C có tất 153 học sinh Số học sinh lớp 7B học sinh lớp 7A, số học sinh lớp 7C số 17 số học sinh lớp 7B Tính số học 16 sinh lớp Hướng dẫn phân tích tìm lời giải: Trong tốn có ba số cần tìm có tổng 153 đặt ba số cần tìm ba ẩn Đồng thời cho mối liên hệ tỉ lệ hai ba số nghĩ đến việc lập dãy tỉ số để áp dụng tính chất dãy tỉ số để giải Giải: Gọi số học sinh ba lớp 7A, 7B, 7C theo thứ tự x, y, z theo đề ta có: 17 y 16 z 17 17 z y Do z = y nên y = 16 hay = (1) 16 17 16 x + y + z = 153, y = x , z = 21 y y x y x = hay = hay = (2) x 9 16 18 x y z Từ (1) (2) ta có = = 18 16 17 Do y = x nên Áp dụng tính chất dãy tỉ số ta có : x y z x+y+z 153 = = = = =3 18 16 17 18+16+17 51 Từ tìm x = 54; y = 48; z = 51 Vậy số học sinh ba lớp 7A, 7B, 7C 54; 48; 51 Bài 4.2[11]: Ba máy bơm nước bơm nước vào bể bơi có dung tích 235 m3 , biết thời gian để bơm m3 nước ba máy phút, phút phút Hỏi máy bơm mét khối nước đầy bể? Hướng dẫn: Bài có phương pháp giải tương tự , nhiên hi dung tích bể khơng đổi thời gian bơm nước số mét khối nước bơm có tích nhau.Điểm chốt từ dãy đẳng thức ta phải biến đổi để có dãy tỉ số để giải Giải: Gọi số mét khối nước bơm ba máy x (m 3), y (m3), z(m3) Theo ta có: x + y + z =235 (1) 3x = 4y = 5z Từ 3x = 4y = 5z suy 3x y z x y z = = = = hay (2) 60 60 60 20 15 12 Áp dụng tính chất dãy tỉ số , từ (2) (1) ta có: x y z x+y+z 235 = = = = =5 20 15 12 20+15+12 47 Do đó: x = 20 = 100; y = 15 = 75; z = 12 = 60 Vậy số mét khối nước bơm ba máy theo thứ tự 100 m , 75m3 60m3 Bài 4.3: Tìm ba số nguyên dương biết BCNN chúng 3150 tỷ số số thứ với số thứ 10 , số thứ với số thứ ba Hướng dẫn: Cách làm tương tự 4.1 Tuy nhiên sau có dãy tỉ số lại giải theo cách đặt tỉ số k Việc xuất phát từ điều kiện đề cho ba số cần tìm có bội chung nhỏ 3150, áp dụng giả thiết để tìm k tìm ba số Giải: Gọi ba số nguyên dương là: x; y; z Theo ta có: BCNN (x , y , z) = 3150 x x y x y = hay = hay = y 9 10 18 (1) 22 x 10 x z = hay = z 10 (2) Từ (1) (2) ta có : x y z = = 10 18 x y z = = =k 10 18 ⇒ x = 10k = 2.5.k   ⇒ y = 18.k = 32.2.k  ⇒ BCNN (x, y, z)=2.5.k.3  ⇒ z = 7.k  Đặt Mà BCNN (x, y, z) = 3150 = 2.32.52.7 nên 2.5.k.32.7 = 2.32.52.7 Từ suy : k = Suy x = 10.5 = 50; y =18.5 = 90; z = 7.5 = 35 Vậy số nguyên dương x = 50; y = 90; z = 35 Bài 4.4: Một miếng đất hình chữ nhật có diện tích 76,95 m có chiều rộng chiều dài Tính chiều rộng chiều dài miếng đất 19 Giải: Hướng dẫn: Áp dụng tương tự 4.3 Gọi chiều rộng chiều dài miếng đất hình chữ nhật x (m) ,y(m) Theo cho ta có x.y = 76,95 x = Đặt x y y hay = 19 19 x y = = k , ta có x = 5.k ; y=19.k 19 Vì x y = 76,95 nên (5.k).(19.k)=76.95 ⇒ 95k = 76,95 ⇒ k = 76,95 : 95 = 0,81 ⇒ k = 0,9 k = −0,9 + Với k = 0,9 x = 5.0,9 = 4,5 ; y = 19.0,9 = 17,1 + Với k = -0,9 x = 5.(- 0,9) = -4.5 ; y =19.(- 0,9) = - 17,1 Do x, y chiều rộng chiều dài miếng đất hình chữ nhật nên x = 4,5 y = 17,1 Vậy chiều rộng: 4,5(m); chiều dài: 17,1(m) Bài 4.5: Diện tích tam giác 27 cm3 biết tỉ số cạnh đường cao tương ứng tam giác 1,5 tính độ dài cạnh đường cao nói Giải: (Hướng dẫn : Phải nhớ lại cơng thức tính diện tích tam giác: a.h a độ dài cạnh ứng với đường cao h) Gọi độ dài cạnh đường cao nói a (cm) h (cm) a a.h = 27 = 1,5 h a Từ a.h = 27 ⇒ a.h = 54 (1) từ = 1,5 ⇒ a = 1,5h (2) h Theo ta có: 23 Thay a = 1,5h vào (1) ta có (1,5h).h = 54 ⇒ 1,5h = 54 ⇒ h = 36 ⇒ h = h = −6 Do h độ dài đường cao tam giác nên h = Từ h = nên a = Vậy độ dài cạnh 9(cm); độ dài đường cao 6(cm) Nhận xét : Dạng tốn vận dụng có phương pháp chung chọn số cần tìm ẩn, dựa theo đề vận dụng cách cách khác để lập dãy tỉ số vận dụng tính chất dãy tỉ số để giải 2.4 Hiệu sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt động giáo dục, thân đồng nghiệp nhà trường Bản thân sau nghiên cứu xong đề tài thấy hiểu sâu sắc tỷ lệ thức dãy tỷ số Tôi giảng dạy chuyên đề cho đối tượng học sinh khá, giỏi, tuỳ đối tượng mà chọn cho phù hợp thấy đa số em tiếp thu nội dung chuyên đề cách dề dàng, em hứng thu tự lập toán Qua việc thực sáng kiến kinh nghiệm trên, nhận thấy từ đầu năm học đến tinh thần học tập em nâng cao, em hứng thú học hơn, tiếp thu tốt, kết học tập học sinh nâng lên Không em lĩnh hội kiến thức giải tốn tỷ lệ thức tính chất dãy tỷ số mà em vận dụng vào việc giải vấn đề khác Toán học cấp II như: Hai đại lượng tỉ lệ thuận, Hai đại lượng tỉ lệ nghịch,… Sáng kiến kinh nghiệm giúp cho học sinh: Học sinh khơng sợ dạng toán chứng minh đẳng thức từ tỷ lệ thức cho trước, dạng tốn có tham số em nắm vận dụng tốt vào giải toán tương tự Khi đưa toán em nhận dạng nhanh tốn dạng Các em có kỹ tính tốn nhanh nhẹn, em biết cách biến đổi từ dạng toán phức tạp dạng biết cách giải.Các em khơng sợ dạng tốn Qua tập rèn luyện tư sáng tạo, linh hoạt tập phù hợp kiến thức chương trình Kết kiểm chứng sau cho thấy rõ tiến học sinh Giỏi Khá Trung bình Yếu Kém TSHS SL % SL % SL % SL % SL % Đầu 16,6 13, 11,1 16,6% 36 6 15 41,6% % 9% % năm Cuối 36,1 2,8 36 10 27,8% 13 12 33,3% % % HKI Kết luận kiến nghị 3.1 Kết luận Với đơn vị kiến thức tỉ lệ thức tính chất dãy tỉ số nói riêng kiến thức Tốn học THCS nói chung, người giáo viên cần khơng ngừng tìm hiểu, nâng cao hiểu biết, nâng cao lực tìm tòi phương pháp giảng dạy phù hợp nhằm tạo hứng thú học tập tăng cường khả 24 tự học học sinh Điều giúp cho giáo viên mà cho học sinh, người học tìm tòi hay, đẹp kho tàng tri thức Tốn học , từ thêm u thích học mơn Tốn Sáng kiến nguồn tài liệu tham khảo giáo viên dạy chun đề tốn tỉ lệ thức tính chất dãy tỉ số nhà trường đặc biệt công tác bồi dưỡng học sinh giỏi Toán chứng minh dẳng thức từ tỉ lệ thức cho trước đa dạng, ta nghiên cứu sâu đẳng thức phức tạp nhiều dạng tốn phức tạp mà chưa đưa sáng kiến kinh nghiệm Do đó, giáo viên phải tiếp tục nghiên cứu, phần hạn chế mà đề tài chưa đề cập đến 3.2 Kiến nghị Tuy có hạn chế nhìn chung giải pháp“Hướng dẫn học sinh lớp mở rộng, phát triển vận dụng tập tỉ lệ thức tính chất dãy tỉ số nhau” trang bị cho học sinh kiến thức chuyên sâu nhằm vận dụng để giải tập toán nâng cao tỷ lệ thức toán dãy tỉ số cách có hiệu Vì vậy, để thực có hiệu quả, tơi xin đưa số đề xuất: Giáo viên cần dạy kĩ kiến thức phần mở rộng, phần lưu ý cần khắc sâu để học sinh khơng bị sai sót Trong q trình giảng dạy ý rèn kĩ phân tích đề xem cho điều yêu cầu chứng minh tìm Bài tập sau có khác so với tập trước, rèn cho em cách nhìn phân tích tốn thật nhanh Sau tập, giáo viên nên hệ thống lại để học sinh khắc sâu ghi nhớ.Giáo viên phải tự học hỏi, tự bồi dưỡng để nâng cao lực chuyên môn Khi giảng dạy, giáo viên cố gắng lựa chọn tập có nội dung lồng ghép tốn thực tế để kích thích tính tò mò, muốn khám phá điều chưa biết chương trình Toán Đối với nhà trường: Do thời lượng dạy tiết khóa phải thực theo phân phối chương trình nên muốn thực giải pháp phải đưa vào dạy tự chọn bồi dưỡng học sinh giỏi khơng khơng có thời gian để luyện tập cho học sinh Đối với cấp quản lý cao Phòng giáo dục, sở giáo dục xin đề nghị thường xuyên tổ chức lớp tập huấn, chuyên đề , phổ biến cách làm hay, chuyên đề khó cho giáo viên học tập để nâng cao chuyên môn nghiệp vụ Sau thực đề tài “Hướng dẫn học sinh lớp mở rộng, phát triển vận dụng tập tỉ lệ thức tính chất dãy tỉ số nhau” Tơi nhận thấy học sinh có hứng thú học tập hơn, kết học tốt Tuy nhiên nhiều dạng tốn mà tơi chưa đưa đề tài Bởi tiếp tục nghiên cứu thêm vào năm học Với lực hạn chế việc nghiên cứu đầu tư, ghi lại kinh nghiệm thân, vấn đề tiếp thu tham khảo 25 sách tài liệu có liên quan nên việc trình bày sáng kiến kinh nghiệm tơi khơng tránh khỏi sai sót định Rất mong góp ý chân thành đồng nghiệp, Hội đồng khoa học cấp XÁC NHẬN Thanh Hóa, ngày 18 tháng năm 2019 CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ Tôi xin cam đoan SKKN viết, khơng chép nội dung người khác Người thực Đỗ Thị Dung 26 Tài liệu tham khảo - [1] Luật Giáo dục 2005 (điều 5) - [2] Chương trình giáo dục phổ thơng ban hành kèm theo định số 16/2006/QĐ-BGDĐT ngày 5/5/2006 Bộ trưởng Bộ giáo dục Đào tạo - [3] Luật giáo dục, điều 28.2 - [4] Sách giáo khoa Toán tập Nhà xuất giáo dục - [5] - [6] - [7] - [8] - [9] - [10] - [11] - DANH MỤC CÁC ĐỀ TÀI SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ĐÃ ĐƯỢC HỘI ĐỒNG ĐÁNH GIÁ XẾP LOẠI CẤP PHÒNG GD&ĐT, CẤP SỞ GD&ĐT VÀ CÁC CẤP CAO HƠN XẾP LOẠI TỪ C TRỞ LÊN Họ tên tác giả: Đỗ Thị Dung Chức vụ đơn vị công tác: Giáo viên trường TH THCS Xuân Thành TT Tên đề tài SKKN Vài hướng chứng minh bất đẳng thức có điều Kết Cấp đánh đánh giá Năm học giá xếp loại xếp loại đánh giá xếp (Phòng, Sở, (A, B, loại Tỉnh ) C) Phòng GD B 2016 - 2017 ĐT kiện phương pháp đổi biến Hướng dẫn học sinh lớp mở Phòng GD ĐT rộng, phát triển vận dụng B 2018 - 2019 tập tỉ lệ thức tính chất dãy tỉ số 28 ... Dạng 4: Vận dụng giải toán thực tế Bài 4.1 Ba lớp 7A, 7B, 7C có tất 153 học sinh Số học sinh lớp 7B học sinh lớp 7A, số học sinh lớp 7C số 17 số học sinh lớp 7B Tính số học 16 sinh lớp Hướng dẫn. .. cứu SKKN: Hướng dẫn học sinh lớp mở rộng, phát triển vận dụng tập tỉ lệ thức tính chất dãy tỉ số nhau Giúp học sinh nắm kiến thức giải tốn tỷ lệ thức tính chất dãy tỉ số nhau, áp dụng làm tốt... pháp Hướng dẫn học sinh lớp mở rộng, phát triển vận dụng tập tỉ lệ thức tính chất dãy tỉ số nhau trang bị cho học sinh kiến thức chuyên sâu nhằm vận dụng để giải tập toán nâng cao tỷ lệ thức