Đối với môn hình học nói chung và đối với môn hình học 7 nói riêng, đây là một môn học yêu cầu học sinh phải có trí tưởng tượng phóng phú, tư duy suy luận logic, sự sáng tạo cao. Đối với đa số học sinh, bộ môn hình học thường là bộ môn mà học sinh cảm thấy khó học và học yếu nhất. Đặc biệt là học sinh lớp 7, các em mới được tiếp cận với các hình cơ bản, các định lý, và phương pháp chứng minh hình học. Vì vậy, muốn nâng cao chất lượng học Hình học thì giáo viên cần phải có sự đầu tư về phương pháp, tìm phương pháp hợp lý để dẫn dắt học sinh tìm hiểu kiến thức bộ môn, giải các dạng bài tập, các ứng dụng thực tế của hình học trong thực tế. Trong thực tế giảng dạy, tôi thấy có nhiều bài toán hình khó mà để giải được nó thì học sinh phải biết cách vẽ thêm các đường phụ từ đó mới giải quyết được bài toán. Phương pháp giải toán bằng cách vẽ thêm yếu tố phụ là phương pháp không tự nhiên, muốn thực hiện được thì học sinh cần phải có những kĩ năng giải bài toán hình học tốt, có óc tư duy sáng tạo tốt mà điều đó không phải học sinh nào cũng có được, nó chỉ có được khi được rèn luyện từ rất sớm.Để có được điều đó, thì ngay từ lớp 7 giáo viên cần phải hình thành và rèn luyện cho học sinh kĩ năng vẽ hình phụ trong việc giải bài toán hình học.Từ những lý do trên tôi lựa chọn chuyên đề: “Vẽ thêm yếu tố phụ trong một số bài toán hình học 7”.
Trang 1phòng giáo dục & đào tạO VINH T̃ ƯƠ NG̀
trờng thcs thổ tang TANG
Trang 2Mục lục
A Phần mở đầu
1 Lý do chọn đề tài
2.Mục đích nghiên cứu
3 Đối tượng nghiờn cứu
Trang 3A PHẦN MỞ ĐẦU
1.Lý do chọn đề tài:
Xuất phát từ mục tiêu Giáo dục trong giai đoạn hiện nay là phải đào tạo ra con ngời có trí tuệ phát triển, giầu tính sáng tạo và có tính nhân văn cao Để đào tạo ra lớp ngời nh vậy từ nghị quyết TW 4 khoá 7 năm 1993 đã xác định ''Phải
áp dụng phơng pháp dạy học hiện đại để bồi dỡng cho học sinh năng lực t duy sáng tạo, năng lực giải quyết vấn đề" Nghị quyết TW 2 khoá 8 tiếp tục khẳng
định "Phải đổi mới giáo dục đào tạo, khắc phục lối truyền thụ một chiều, rèn luyện thành nề nếp t duy sáng tạo của ngời học, từng bớc áp dụng các phơng pháp tiên tiến, phơng tiện hiện đại vào quá trình dạy học, dành thời gian tự học,
tự nghiên cứu cho học sinh''.
Định hớng này đã đợc pháp chế hoá trong luật giáo dục điều 24 mục II đã nêu ''Phơng pháp giáo dục phổ thông phải phát huy tính tích cực, tự giác chủ
động sáng tạo của học sinh, phải phù hợp với đặc điểm của từng môn học, rèn luyện kỹ năng vận dụng kiến thức vào thực tiễn, tác động đến tình cảm đem lại niềm vui hứng thú học tập cho học sinh".
Nõng cao chất lượng dạy và học là nhiệm vụ lớn nhất trong quỏ trỡnh giỏo dục Với bộ mụn Toỏn núi riờng, việc nõng cao chất lượng dạy và học là một nhiệm vụ hết sức nặng nề Vỡ đõy là một mụn học cơ bản, cú nhiều ứng dụng trong cuộc sống, và là nền tảng cho cỏc mụn khoa học khỏc Mụn Toỏn yờu cầu cần phải rốn luyện cho học sinh cú kĩ năng tư duy logic, nhanh nhẹn, sỏng tạo và đảm bảo tớnh chớnh xỏc cao
Trong giai đoạn hiện nay, để nõng cao được chất lượng giỏo dục đại trà và chất lượng bồi dưỡng học sinh mũi nhọn đũi hỏi cụng tỏc giỏo dục luụn phải đổi mới về phương phỏp giỏo dục, đổi mới về kiểm tra đỏnh giỏ, đổi mới cả việc giao bài và kiểm tra việc làm bài tập về nhà của học sinh Việc nõng cao chất lượng dạy và học phải được thực hiện thường xuyờn, liờn tục trong từng tiết học, từng giờ lờn lớp
Đối với mụn hỡnh học núi chung và đối với mụn hỡnh học 7 núi riờng, đõy
là một mụn học yờu cầu học sinh phải cú trớ tưởng tượng phúng phỳ, tư duy suy luận logic, sự sỏng tạo cao Đối với đa số học sinh, bộ mụn hỡnh học thường là
bộ mụn mà học sinh cảm thấy khú học và học yếu nhất Đặc biệt là học sinh lớp
7, cỏc em mới được tiếp cận với cỏc hỡnh cơ bản, cỏc định lý, và phương phỏp chứng minh hỡnh học Vỡ vậy, muốn nõng cao chất lượng học Hỡnh học thỡ giỏo viờn cần phải cú sự đầu tư về phương phỏp, tỡm phương phỏp hợp lý để dẫn dắt học sinh tỡm hiểu kiến thức bộ mụn, giải cỏc dạng bài tập, cỏc ứng dụng thực tế của hỡnh học trong thực tế
Trong thực tế giảng dạy, tụi thấy cú nhiều bài toỏn hỡnh khú mà để giải được nú thỡ học sinh phải biết cỏch vẽ thờm cỏc đường phụ từ đú mới giải quyết được bài toỏn Phương phỏp giải toỏn bằng cỏch vẽ thờm yếu tố phụ là phương phỏp khụng tự nhiờn, muốn thực hiện được thỡ học sinh cần phải cú những kĩ năng giải bài toỏn hỡnh học tốt, cú úc tư duy sỏng tạo tốt mà điều đú khụng phải học sinh nào cũng cú được, nú chỉ cú được khi được rốn luyện từ rất sớm
Để cú được điều đú, thỡ ngay từ lớp 7 giỏo viờn cần phải hỡnh thành và rốn luyện cho học sinh kĩ năng vẽ hỡnh phụ trong việc giải bài toỏn hỡnh học
Trang 4Từ những lý do trên tôi lựa chọn chuyên đề: “Vẽ thêm yếu tố phụ trong một số bài toán hình học 7”.
2.Mục đích nghiên cứu:
Đưa ra một số cách vẽ thêm yếu tố phụ và một số bài tập có kẻ thêm yếu
tố phụ để giúp học sinh hình thành và rèn kĩ năng giải toán hình học lớp 7 Từ
đó nâng cao chất lượng dạy và học môn hình 7 và giúp học sinh có kỹ năng cơ bản cho việc học bộ môn hình học ở các lớp cao hơn
3.Đối tượng nghiên cứu:
Các bài tập cơ bản và nâng cao trong chương 1, chương 2, chương 3 hình học 7
Học sinh lớp 7 trường THCS
4.Phạm vi nghiên cứu:
Trong chuyên đề này tôi đưa ra một số cách vẽ thêm yếu tố phụ, giúp học sinh phân tích một số bài tập và phát hiện ra yếu tố phụ cần vẽ để từ đó giải được bài toán và có hướng tư duy cho các bài toán khác ở dạng tương tự
5.Phương pháp nghiên cứu:
Nghiên cứu chương trình, sách giáo khoa, các tài liệu tham khảo môn hình học 7
Nghiên cứu việc thực hành giải bài tập của học sinh
Nghiên cứu việc giảng dạy, hướng dẫn giải bài tập của giáo viên
Nghiên cứu các tình huống dạy học điển hình
Phương pháp thực nghiệm, tổng kết kinh nghiệm
Tham dự các lớp tập huấn, các lớp bồi dưỡng chuyên môn
Trang 5B NỘI DUNG
I CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TRẠNG CỦA VẤN ĐỀ
1.Cơ sở lý luận:
Khi tìm phương pháp giải bài toán hình học, có lúc việc vẽ thêm các yếu
tố phụ làm cho việc giải bài toán trở lên dễ dàng hơn, thuận lợi hơn Thậm chí phải vẽ thêm yếu tố phụ mới tìm ra lời giải Tuy nhiên vẽ thêm yếu tố phụ như thế nào để có lợi cho việc giải toán là điều khó khăn và phức tạp
Kinh nghiệm cho thấy rằng không có phương pháp chung cho việc vẽ thên các yếu tố phụ, mà là một sự sáng tạo trong khi giải toán, bởi vì việc vẽ thêm các yếu tố phụ cần đạt được mục đích là tạo điều kiện để giải được bài toán một cách ngắn gọn chứ không phải là một công việc tùy tiện
2 Cơ sở thực tiễn:
Giải bài toán hình có kẻ thêm đường phụ đòi hỏi phải thực hiện nhiều các thao tác tư duy Vì vậy đòi hỏi ở học sinh phải rèn luyện về mặt tư duy hình học Do đó trong các định lý ở sách giáo khoa, để chứng minh định lý phải sử dụng việc vẽ đường phụ thì sách giáo khoa (SGK) rất ít đề cập đến, việc làm các
ví dụ về bài toán ở trên lớp cũng rất hiếm khi có loại toán dạng này Tuy nhiên trong các bài tập thì SGK cũng đưa ra khá nhiều dạng toán này và nhất là ở các bài tập nâng cao thì các bài toán hay và khó lại là những bài toán khi giải cần phải kẻ thêm đường phụ
Trên thực tế, đối với học sinh khi giải các bài toán dạng này cần phải có rất nhiều thời gian nghiên cứu Do đó việc đi sâu vào nghiên cứu và tìm tòi các cách giải bài toán có vẽ thêm đường phụ đối với học sinh còn rất ít Còn đối với
đa số học sinh việc nắm vững về mục đích, yêu cầu khi vẽ các đường kẻ phụ cũng như kiến thức về một số loại đường phụ là còn rất hạn chế Các tài liệu viết riêng về loại toán này cũng rất hiếm cho nên việc tham khảo đối với học sinh còn gặp nhiều khó khăn
Vì vậy với trình bày của chuyên đề này sẽ là một nội dung tham khảo cho giáo viên để góp phần tạo nên cơ sở cho giáo viên có thể dạy tốt hơn loại toán hình có kẻ thêm đường phụ
Đa số học sinh còn lười học, chưa có ý thức tự đọc
Kĩ năng trình bày lời giải một bài toán hình học của học sinh còn nhiều hạn chế
Khi khảo sát ba lớp 7A, 7B, 7C của học sinh trường THCS Thæ Tang về một số bài toán có kẻ thêm yếu tố phụ, kết quả đạt được như sau:
Trang 6Lớp Tổng số Yếu Trung bình Khá Giỏi Tb trở lên
4 Những giải pháp mới của đề tài
Đề tài đã đưa ra được những giải pháp mới như sau:
Hệ thống được các cách vẽ thêm yếu tố phụ trong hình học 7 từ cơ bản đến nâng cao
Sắp xếp, mở rộng thêm các bài toán giúp học sinh rèn luyện kĩ năng vẽ thêm yếu tố phụ và trình bày lời giải bài toán hình học
Mỗi một bài toán đều có những nhận xét, rút kinh nghiệm cho từng bài toán
Áp dụng được cho cả học sinh đại trà và khá giỏi
II PHƯƠNG PHÁP THỰC NGHIỆM
1.Các bài toán dựng hình cơ bản:
Việc vẽ thêm các yếu tố phụ phải tuân theo các phép dựng hình cơ bản và một số bài toán dựng hình cơ bản Sau đây là một số bài toán dựng hình cơ bản trong hình học 7 có thể áp dụng
Bài toán 1: Dựng đường thẳng đi qua một điểm ở ngoài đường thẳng a song
song với đường thẳng a.
Bài toán 2: Dựng đường thẳng đi qua một điểm vuông góc với đường thẳng
B
b
ac
Trang 7Dựng đường tròn (A;c) và đường tròn (C;a) Gọi B là giao điểm của
chúng.Tam giác ABC là tam giác cần dựng vì có AB = a; AC = b và BC = a
Chú ý: Nếu hai đường trong (A;c) và (C; a) không cắt nhau thì không
dựng được tam giác ABC
Bài toán 4: Dựng một góc bằng góc cho trước.
Cách dựng
Gọi là góc cho trước Dựng đường tròn (O;r) cắt Ox ở A và cắt Oy ở B ta được ∆ OAB
Dựng ∆ O’A’B’ = ∆ OAB(c-c-c) như bài toán 1, ta có Ô’ = Ô
Bài toán 5: Dựng tia phân giác của một góc xAy cho trước.
Cách dựng:
Dựng đường tròn (A; r) cắt Ax ở B và cắt Ay ở C
Dựng các đường tròn (B; r) và (C; r) chúng cắt nhau ở D Tia phân giác của
Thật vậy ∆ABD =∆ACD(c-c-c) ⇒ =
Bài toán 6: Dựng trung điểm của đoạn thẳng AB cho trước.
Dựng hai đường tròn (A; AB) và (B; BA) chúng cắt nhau tại C, D Giao điểm
của CD và AB là trung điểm của AB
Bài toán 7: Dựng đường trung trực của đoạn thẳng cho trước
Cách dựng:
Dựng đường tròn (A;r), (B;r) cắt nhau tại hai điểm C, D (Chú ý r > )
Đường thẳng CD là đường trung trực của AB
B
C
Dr
r1
2
Trang 8Trên đây là các bài toán dựng hình cơ bản, khi cần thì sử dụng mà không cần nhắc lại cách dựng.
Khi cần vẽ thêm đường phụ để chứng minh thì cũng phải căn cứ vào những đường cơ bản đã dựng để vẽ thêm không nên vẽ một cách tùy tiện
2) Các kiến thức thường găp trong giải toán:
2.1 Chứng minh hai đường thẳng song song
Khi nghiên cứu nội dung hình học 7, các dạng toán chứng minh hai đường thẳng song song ta thường sử dụng các kiến thức sau:
Dấu hiệu nhận biến hai đường thẳng song song
Vì vậy muốn chứng minh hai đường thẳng song song ta cần phải tìm cách
để vận dụng dấu hiệu nhận biết hoặc các định lý một cách linh hoạt
2.2 Chứng minh hai đoạn thẳng bằng nhau, hai góc bằng nhau:
Nếu hai tam giác bằng nhau thì suy ra được các cặp cạnh tương ứng bằng nhau, các cặp góc tương ứng bằng nhau Đó chính là lợi ích của việc chứng minh hai tam giác bằng nhau
Vì vậy muốn chứng minh hai đoạn thẳng bằng nhau (hay hai góc bằng nhau) ta thường làm theo các bước sau:
Bước 1: Xét xem hai đoạn thẳng (hay hai góc) đó là hai cạnh (hay hai góc) thuộc hai tam giác nào?
Bước 2: Chứng minh hai tam giác đó bằng nhau
Bước 3: Từ hai tam giác bằng nhau suy ra các cặp cạnh (hay cặp góc) tương ứng bằng nhau
Tuy nhiên trong thực tế giải toán thì không phải lúc nào hai tam giác cần
có cũng được cho ngay ở đề bài mà nhiều khi phải tạo thêm các yếu tố phụ mới xuất hiện được các tam giác cần thiết và có lợi cho việc giải toán
Vì vậy yêu cầu đặt ra là làm thế nào để học sinh có thể nhận biết cách vẽ tên được các yếu tố phụ để giải toán hình học nói chung và giải toán hình học lớp 7 nói riêng
3)Mức độ và yêu cầu:
Trang 9Yêu cầu học sinh nắm vững các kiến thức:
Các góc tạo bởi một đường thẳng cắt hai đường thẳng, tính chất một đường thẳng cắt hai đường thẳng song song, dấu hiệu nhận biết hai đường thẳng song song, tiên đề Ơ-Clit về hai đường thẳng song song, các định lý về hai đường thẳng song song, từ vuông góc đến song song
Các định lý về tổng ba góc của tam giác
Các trường hợp bằng nhau của tam giác, tam giác vuông
Các kiến thức về tam giác cân, tam giác vuông cân, tam giác đều
Qua thực tế giảng dạy, tôi thấy một số phương pháp vẽ thêm yếu tố phụ đơn giản, thiết thực khi hướng dẫn cho học sinh thực hiện giải toán có hiệu quả cao
4) Kĩ năng cơ bản:
Yêu cầu học sinh nắm vững các kĩ năng: Vẽ hình theo diễn đạt bằng lời,
kĩ năng trình bày lời giải bài toán hình học, kĩ năng nhận dạng tình huống
III Nội dung cụ thể:
1.Cách 1: Vẽ đoạn thẳng, tia ,đường thẳng:
Ta thường nối hai điểm để tạo thành một đoạn thẳng, kẻ tia đối của một tia, Chẳng hạn:
+ Khi có trung điểm của một cạnh trong tam giác, ta thường kẻ đường trung tuyến, đường trung bình
+ Khi cần tạo góc ngoài của tam giác ta thường kẻ tia đối của tia chứa một cạnh của tam giác
+ Kẻ hai đường chéo của tứ giác
+ Kẻ đường trung bình của hình thang khi có trung điểm của hai cạnh bên
Bài toán 1: Cho hình vẽ, biết AB // CD; AC // BD CMR: AB = CD, AC =
BA
Trang 10Nhận xét:
Việc nối AD làm xuất hiện trong hình vẽ hai tam giác có một cạnh chung
là AD, muốn chứng minh AB = CD; AC = BD ta chỉ cần chứng minh ∆ ABD =
∆ DCA Do hai tam giác này đã có một cạnh bằng nhau (cạnh chung) nên chỉ cần chứng minh hai cặp góc kề cạnh đó bằng nhau là vận dụng được trường hợp bằng nhau góc - cạnh - góc Điều này thực hiện được nhờ vận dụng tính chất của hai đường thẳng song song
Để giúp học sinh rèn luyện kĩ năng, ta có thể cho HS làm thêm bài tập sau đây:
Bài toán 2:Trên hình vẽ cho biết AB = DB; AC = DC Chứng minh rằng:
Bằng cách suy luận như bài toán 1 Ta thấy hình phụ vẽ thêm là đoạn thẳng BC từ đó HS dễ dàng chứng minh được bài toán
“giả thiết ngầm” trong bài toán, đó là: Khi cho hai đường thẳng song song thì
“giả thiết ngầm” sẽ là các góc so le trong, các góc đồng vị bằng nhau Khi cho
Trang 11hai tam giác có hai cạnh bằng nhau thì “giả thiết ngầm” hoặc là có thêm cạnh
còn lại bằng nhau hoặc góc xen giữa hai cạnh ấy bằng nhau Từ đó định hướng cho học sinh cách vẽ thêm hình phụ
2 Cách 2 Từ một điểm cho trước, vẽ một đường thẳng song song hay vuông
Nhận xét
Từ lời giải của bài toán 1, ta nghĩ đến đường
phụ là tia Cz sao cho Cz và Ax nằm trên hai
nửa mặt phẳng đối nhau bờ AC và =
để có Ax//Cz Kết hợp với = + = = để có
By // Cz, ta sẽ chứng minh được Ax//By
Bài toán 1.2 Trên hình vẽ cho biết
+ + = 3600
Chứng minh rằng Ax//Cy
Nhận xét
Tương tự bài toán 1 ta chứng minh
Ax và Cy cùng song song với đường
thẳng thứ 3 + + = 3600 Ta
chọn đường phụ là tia Bz sao cho +
= 1800 Từ đó ta có Ax//Bz và chúng ta cũng chứng minh được Cy//Bz Do
đó Ax//Cy
Trang 12Dạng bài toán này một lần nữa ta lại thấy được yếu tố “giả thiết ngầm” trong bài toán là: Có một điểm nằm ngoài đường thẳng thì luôn có một đường thăng hoặc một tia song song với đường thẳng cho trước đó.
Bài toán 2: Tam giác ABC có đường cao AH và trung tuyến AM chia góc A
thành ba góc bằng nhau
Chứng minh rằng ∆ ABC là tam giác vuông và ∆ ABM là tam giác đều?
HƯỚNG DẪN GIẢIMuốn chứng minh tam giác ABC vuông tại A ta cần kẻ thêm đường thẳng vuông góc với AC và chứng minh đường thẳng đó song song với AB, từ đó suy suy ra AB ⊥ AC và suy ra = 900
CHỨNG MINH
Vẽ MI ⊥ AC ( I ∈ AC)
Xét ∆ MAI và ∆ MAH có:
• Hˆ = Iˆ = 90 0( gt)
• AM là cạnh chung) ⇒∆ MAI = ∆ MAH ( cạnh huyền - góc nhọn)
• Aˆ 2 = Aˆ 3 (gt) ⇒ MI = MH ( 2 cạnh tương ứng) (1)
1 BM 2
1 MH
Trang 13∆ ABM cân và có 1 góc bằng 600 nên nó là tam giác đều.
Nhận xét:
Trong bài toán trên nếu chỉ có các yếu tố bài ra thì tưởng chừng như rất khó giải, tuy nhiên, chỉ bằng một đường vẽ thêm ( MI ⊥ AC) thì bài toán lại trở lên rất dễ dàng, qua đó càng thấy rõ vai trò của việc vẽ thêm yếu tố phụ trong giải toán hình học
3 Cách 3: Vẽ giao điểm của hai đường thẳng:
Hãy chú ý đến giao điểm của hai đường thẳng nếu hình vẽ tạo ra các tam giác liên quan đến các quan hệ trong đề bài.
Hãy nghĩ đến vẽ giao điểm của hai đường nếu hình vẽ tạo ra những hình mới có lợi cho chứng minh.
Bài toán (Trường hợp bằng nhau góc – cạnh – góc).
Cho tam giác ABC vuông tại A, tia phân giác của góc B cắt AC ở D Đường vuông góc với DB tại D cắt BC ở E Kẻ EH vuông góc với AC Chứng minh rằng AD = DH
Gọi K là giao điểm của AB và DE
BDK = BDE (g.c.g) suy ra DK = DE
ADK = HDE (cạnh huyền – góc nhọn)
Trang 14Ngoài cách vẽ thêm giao điểm của AD và DE ta có thể có cách vẽ thêm đường phụ khác là: Từ D kẻ DK vuông góc với BC.
Nhận xét chung : Qua bài toán ta thấy, yếu tố tư duy tự nhiên của bài toán khá
phức tạp, yêu cầu của việc vẽ thêm hình phụ lúc này chính là vẽ thêm một hình phụ sao cho có lợi cho chứng minh và việc vẽ thêm hình phụ phải tận dụng hết
giả thiết của bài toán Yếu tố “giả thiết ngầm” trong bài toán này ta cần phân
tích rõ cho học sinh là: Khi cho BD là tia phân giác của góc B, ta có thêm giả thiết là có hai tam giác vuông bằng nhau chứa cạnh BD, từ đó cho ta tư duy về
vẽ thêm đường phụ trong bài toán
4 Cách 4: Vẽ trung điểm của đoạn thẳng, vẽ đoạn thẳng bằng đoạn thẳng
cho trước.
Trong một tam giác, khi đã có trung điểm của một cạnh, ta thường vẽ trung điểm của một cạnh khác
Vẽ một đoạn thẳng bằng một đoạn thẳng cho trước nhằm tạo ra:
+ Một tam giác mới bằng một tam giác trong bài toán
+ Một tam giác cân để thuận lợi cho việc chứng minh
+ Tổng (hiệu) của hai đoạn thẳng
Bài toán 1: Cho tam giác ABC vuông tại A; M là trung điểm của cạnh BC