HƯỚNG DẪN HỌC SINH GIẢI MỘT SỐ DẠNG TOÁN VỀ TỈ LỆ THỨC VÀ TÍNH CHẤT CỦA DÃY TỈ SỐ BẰNG NHAU

Nhằm đáp ứng yêu cầu đổi mới phương pháp giảng dạy, giúp học sinh tháo gỡ và giải quyết tốt những khó khăn, vướng mắc trong học tập đồng thời nâng cao chất lượng bộ môn nên bản thân đã chọn đề tài: “Hướng dẫn học sinh giải một số dạng Toán về tỉ lệ thức và tính chất của dãy tỉ số bằng nhau”.

PHÒNG GD-ĐT TRƯỜNG THCS ……………… =====***===== BÁO CÁO KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU, ỨNG DỤNG SÁNG KIẾN Tên sáng kiến: “ HƯỚNG DẪN HỌC SINH GIẢI MỘT SỐ DẠNG TỐN VỀ TỈ LỆ THỨC VÀ TÍNH CHẤT CỦA DÃY TỈ SỐ BẰNG NHAU ” Mơn: Tốn Tác giả sáng kiến: Tháng 2, năm 2021 MỤC LỤC STT Mục Lời giới thiệu Trang Tên sáng kiến Tác giả sáng kiến 4 Chủ đầu tư tạo sáng kiến Lĩnh vực áp dụng sáng kiến Ngày sáng kiến áp dụng lần đầu áp dụng thử Mô tả chất sáng kiến Những thông tin cần bảo mật 25 Các điều kiện cần thiết để áp dụng sáng kiến 25 10 Đánh giá lợi ích thu dự kiến thu 25- 27 áp dụng sáng kiến theo ý kiến tác giả 11 Danh sách tổ chức/ cá nhân tham gia áp dụng thử áp dụng sáng kiến lần đầu 27 12 Tài liệu tham khảo 29 DANH MỤC CÁC TỪ VIẾT TẮT SGK: Sách giáo khoa SBT: Sách tập SGV: Sách giáo viên HSG: Học sinh giỏi GV: Giáo viên HS: Học sinh – 25 BÁO CÁO KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU, ỨNG DỤNG SÁNG KIẾN Lời giới thiệu a Lý chọn đề tài Toán học mơn khoa học, hình thành cho học sinh tư logic, tính xác, tính hệ thống Vì vậy, việc nâng cao chất lượng hiệu q trình giảng dạy mơn Tốn vấn đề mà giáo viên dạy Tốn ln tìm hiểu khơng ngừng học hỏi Trong chương trình Đại số lớp 7, dạng tốn tỉ lệ thức tính chất dãy tỉ số nội dung quan trọng, sở, móng để giải toán đại lượng tỉ lệ thuận, đại lượng tỉ lệ nghịch.Trong phân mơn Hình học, để học định lí Talet, tam giác đồng dạng ( lớp 8) thiếu kiến thức tỉ lệ thức tính chất dãy tỉ số Qua thực tế giảng dạy nhiều năm, thấy việc học tỉ lệ thức tính chất dãy tỉ số khơng khó, cịn nhiều học sinh làm sai chưa thực được, chưa nắm vững phương pháp giải, chưa hình thành kĩ toán cụ thể b.Thực trạng vấn đề Thực tế, trường THCS Lũng Hòa phận học sinh tiếp thu chậm vận dụng kiến thức từ lí thuyết vào làm tập hạn chế Các em nhầm lẫn chưa sử dụng thành thạo tỉ lệ thức tính chất dãy tỉ số nhau, thời lượng làm tập cịn nên chưa giải dạng toán mở rộng, nâng cao Nguyên nhân học sinh tồn khuyết điểm : - Do thời lượng luyện tập cịn ít, nhà học sinh chưa chăm học, học sinh chưa có thời gian để ơn tập, làm tập, giải tập nhiều - Học sinh nắm kiến thức chưa tốt, chưa sâu, số học lí thuyết cách máy móc mà khơng hiểu rõ chất nên gặp nhiều khó khăn trình làm tập Nhằm đáp ứng yêu cầu đổi phương pháp giảng dạy, giúp học sinh tháo gỡ giải tốt khó khăn, vướng mắc học tập đồng thời nâng cao chất lượng môn nên thân chọn đề tài: “Hướng dẫn học sinh giải số dạng Toán tỉ lệ thức tính chất dãy tỉ số nhau” Trong phần nội dung sáng kiến chủ yếu số dạng Toán tỉ lệ thức tính chất dãy tỉ số Ở dạng Tốn tơi đưa số ví dụ mức độ áp dụng học sinh đại trà, với ví dụ tơi khai thác tập tương tự giúp học sinh củng cố nắm kiến thức số tập nâng cao dùng để bồi dưỡng học sinh thi học sinh giỏi 2.Tên sáng kiến Hướng dẫn học sinh giải số dạng Toán tỉ lệ thức tính chất dãy tỉ số 3.Tác giả sáng kiến - Họ tên: - Địa : Trường THCS - Số điện thoại: - Email: Chủ đầu tư tạo sáng kiến - Họ tên: - Địa : Trường THCS - Số điện thoại: - Email: Lĩnh vực áp dụng sáng kiến a.Phạm vi áp dụng sáng kiến Đề tài nghiên cứu phạm vi học sinh lớp 7A, 7B, 7C trường THCS ……… năm học 2019-2020 2020-2021 Ý tưởng đề tài phong phú, đa dạng, phạm vi nghiên cứu rộng, nên thân nghiên cứu số dạng tốn tỉ lệ thức tính chất dãy tỉ số chương trình SGK, SBT, số sách tham khảo toán hành số tập nâng cao dành cho học sinh giỏi thông qua đề thi giao lưu khảo sát học sinh giỏi Toán huyện Vĩnh Tường b.Vấn đề mà sáng kiến cần giải - Sắp xếp toán theo mức độ, dạng toán - Xây dựng phương pháp giải tỉ lệ thức tính chất dãy tỉ số - Đưa nhiều cách giải ứng với đơn vị kiến thức SGK, SBT - Củng cố kiến thức hồn thiện kĩ thực hành - Tìm cách giải hay, khai thác toán Ngày sáng kiến áp dụng lần đầu áp dụng thử: Từ tháng 10 năm 2019 Mô tả chất sáng kiến A.Về nội dung sáng kiến 7.1.Kiến thức 7.1.1 Tỉ lệ thức a) Định nghĩa: Tỉ lệ thức đẳng thức hai tỉ số - Tỉ lệ thức a c = b d a c = viết a : b = c : d b d - Trong tỉ lệ thức a : b = c : d , số a; b; c; d gọi số hạng tỉ lệ thức; a d số hạng hay ngoại tỉ; b c số hạng hay trung tỉ b) Tính chất * Tính chất (Tính chất tỉ lệ thức) a c = ⇒ a.d = b.c ( b, d ≠ 0) b d * Tính chất (Tính chất hốn vị tỉ lệ thức) a b Nếu a.d = b.c a, b, c, d ≠ ta có tỉ lệ thức: = c a b d c d b , = , = , = d c d b a c a 7.1.2 Tính chất dãy tỉ số * Tính chất 1: Từ dãy tỉ số a c a+c a−c = = = b d b+d b−d a c = ta suy ra: b d (b ≠ d b ≠ −d ) a c e * Tính chất 2: Từ dãy tỉ số b = d = f ta suy ra: a c e a+c+e a−c+e = = = = ( Giả thiết tỉ số có nghĩa) b d f b+d + f b−d + f 7.1.3 Chú ý Khi nói số x; y; z tỉ lệ với số a; b; c ta có dãy tỉ số x y z = = Ta viết: x : y : z = a : b : c a b c 7.2 Một số dạng toán phương pháp giải 7.2.1.Dạng 1: TÌM THÀNH PHẦN CHƯA BIẾT TRONG TỈ LỆ THỨC, DÃY TỈ SỐ BẰNG NHAU Ví dụ 1: Tìm x tỉ lệ thức sau : x −2 a) 27 = 3,6 b) − 0,52 : x = −9,36 : 16,38 x c) = 1,61 ( Bài 46 SGK trang 26- Toán 7- Tập 1) Phương pháp chung: Sử dụng tính chất tỉ lệ thức Từ a c = ⇒ a.d = b.c ( b, d ≠ ) b d x −2 Giải − 2.27 a) 27 = 3,6 ⇒ x.3,6 = −2.27 ⇒ x = 3,6 ⇒ x = −15 Vậy x = −15 b) − 0,52 : x = −9,36 : 16,38 ⇒ −9,36 x = −0,52.16,38 ⇒ x = − 0,52.16,38 ⇒ x = 0,91 − 9,36 Vậy x = 0,91 1 1,61 x 4 ⇒ x = 2,38 c) = 1,61 ⇒ x = 1,61 ⇒ x = 2 8 Vậy x = 2,38 Khai thác tốn: Bài 1: Tìm x biết: x − 60 = a) − 15 x −2 −x = b) x 25 ( Bài 69 trang 20 SBT- Toán 7- Tập 1) Giải a) x − 60 = ⇒ x = −15.(−60) ⇒ x = 900 ⇒ x = ±30 − 15 x Vậy x = ±30 −2 −x x = ⇒ = 16 ⇒x=± 8 ⇒ x = ⇒ x = x b) x 25 25 25 25 Vậy x = ± −5 = Bài 2: Tìm x biết: − x 3x − ( Đề thi giao lưu HSG Toán huyện Vĩnh Tường năm học 2011-2012) −5 = Điều kiện: x ≠ x ≠ − x 3x − 2 ⇒ 3.(3 x − 2) = −5.(1 − x ) ⇔ x − = −5 + 10 x ⇔ x − 10 x = −5 + ⇔ −x = ⇔ x = −1 ( thỏa mãn điều kiện) Vậy x = −1 Giải 37 − x = Bài 3: Tìm x biết: x + 13 ( Đề thi giao lưu HSG Toán huyện Vĩnh Tường năm học 2012-2013) Giải 37 − x = Điều kiện: x ≠ −13 x + 13 ⇒ 7.(37 − x) = 3.( x + 13) ⇔ 259 − x = 3x + 39 ⇔ −10 x = −220 ⇔ x = 22 ( thỏa mãn điều kiện) Vậy x = 22 x −1 x − = Bài 4: Tìm x biết x+2 x+3 Giải x −1 x − = Điều kiện: x ≠ −2 x ≠ −3 x+2 x+3 x −1 x − = Cách 1: x+2 x+3 ⇒ ( x − 1)( x + 3) = ( x − 2)( x + 2) ⇔ x + 3x − x − = x + x − x − ⇔ x + x − x = −4 + ⇔ x = −1 −1 ⇔x= ( thỏa mãn điều kiện) −1 Vậy x = Cách 2: x −1 x − = x+2 x+3 x −1 x−2 ⇔ +1 = +1 x+2 x+3 2x + 2x + 2x + 2x + ⇔ = ⇔ − =0 x+2 x+3 x+2 x+3 1 ⇔ (2 x + 1)( − )=0 x+2 x+3 ⇔ x + = ( x + ≠ x + ) −1 ⇔x= ( thỏa mãn điều kiện) −1 Vậy x = x y Ví dụ 2: Tìm x, y biết = x + y = 16 ( Bài 54 trang 30 SGK Toán 7- Tập 1) * Giáo viên xây dựng chương trình giải cách gợi ý học sinh + Bài toán gồm phần?( HS: Bài toán gồm phần- Phần dãy tỉ số x y = phần mối quan hệ biến x, y ) +Từ GV đưa phương pháp chung để giải Cách 1: Đặt giá trị chung x y = =k - Biểu diễn x, y theo k Từ thay vào điều kiện để tìm k - Thay k vào biểu thức chứa x, y tính - Đặt Cách 2: Sử dụng tính chất dãy tỉ số Cách 3: Sử dụng phương pháp * Trình bày lời giải Cách 1: Đặt x y = =k ⇒ x = 3k ; y = 5k Theo đề bài, x + y = 16 ⇒ 3k + 5k = 16 ⇒ 8k = 16 ⇒ k = Với k = x = y = 10 Vậy x = 6; y = 10 Cách 2: Áp dụng tính chất dãy tỉ số ta có: x y x + y 16 = = = =2 3+5 ⇒  x = 3.2 =  y = 5.2 = 10 Vậy x = 6; y = 10 Cách 3: Từ x y = ⇒x= y 5 Theo đề bài, x + y = 16 ⇒ 8 y + y = 16 ⇒ y = 16 ⇒ y = 16 : ⇒ y = 10 ⇒ x = 10 = 5 5 Vậy x = 6; y = 10 Chú ý: GV lưu ý cho HS gặp tốn có dạng nên lựa chọn giải theo cách nhanh gọn Khai thác tốn Bài 1: Tìm hai số x y biết: x = x b) = x c) = a) y x + y = −21 y x − y = y x − y = Kết quả: a) x = −6 y = −15 b) x = −9 y = −12 c) x = −6 y = −15 Bài 2: Tìm hai số x y biết: x a) y = x + y = −32 b) x = y y − x = 18 c) y = x x − y = −2 Kết : a) x = −12 y = −20 b) x = −63 y = −45 c) x = y = Bài 3: Cho tỉ lệ thức x y = biết x y = 90 Tìm x y Giải x y = =k ⇒ x = 2k ; y = 5k Theo đề bài, xy = 90 Cách 1: Đặt ⇒ 2k 5k = 90 ⇒ 10k = 90 ⇒ k = ⇒ k = ±3 - Với k = x = ; y = 15 - Với k = −3 x = −6 ; y = −15 Vậy x = 6; y = 15 x = −6; y = −15 Cách 2: Từ x y = ⇒x= y 5 Theo đề bài, x y = 90 2 y = 90 ⇒ y = 225 ⇒ y = ±15 - Với y = 15 x = 90 : 15 = ⇒ - Với y = −15 x = 90 : (−15) = −6 Vậy x = 6; y = 15 x = −6; y = −15 Cách 3: x y x y xy 90 x = = ⇒ x = 36 ⇒ x = ±6 Từ = ⇒   = = 5 2.5 10 2 - Với x = y = 90 : = 15 - Với x = −6 y = 90 : (−6) = −15 Vậy x = 6; y = 15 x = −6; y = −15 Cách 4: Hiển nhiên x ≠ x y x xy x = = Nhân hai vế với ta có: 5 x 90 ⇒ = = 18 ⇒ x = 36 ⇒ x = ±6 - Với x = y = 90 : = 15 - Với x = −6 y = 90 : (−6) = −15 Vậy x = 6; y = 15 x = −6; y = −15 Chú ý : Cần tránh sai lầm áp dụng « tương tự » tính chất dãy tỉ số x y xy 90 = = = =9 2.5 10 ⇒  x = 2.9 = 18 kết sai  y = 5.9 = 45 Qua giáo viên cần củng cố lại tính chất dãy tỉ số 1+ 2y 1+ 4y 1+ 6y = = Bài 4: Tìm x biết 18 24 6x ( Đề thi giao lưu HSG Toán huyện Vĩnh Tường năm học 2013-2014) Giải 1+ 2y 1+ 4y 1+ 6y = = Điều kiện: x ≠ 18 24 6x Áp dụng tính chất dãy tỉ số ta có: + y + y + y + y + + y + y 2(1 + y ) + y = = = = = = 18 24 6x 18 + x 18 + x 2(9 + x) + 3x 1+ 4y 1+ 4y = ⇒ + x = 24 ⇒ x = 15 ⇒ x = ( thỏa mãn điều kiện) Từ 24 + 3x Vậy x = 10 Đặt a c a = bk = = k ⇒ c = dk  b d a + b bk + b b.( k + 1)  = = = k + 1 b b b a+b c+d  = ⇒ b d c + d dk + d d ( k + 1)  = = = k +1  d d d  ⇒ Cách ( Phương pháp 3) : Từ a c a b = ⇒ = b d c d Áp dụng tính chất dãy tỉ số ta có : a b a+b = = c d c+d Từ a+b b a+b c+d = ⇒ = c+d d b d Cách : Từ a c a c a+b c+d = ⇒ +1 = +1 ⇒ = b d b d b d Khai thác toán Bài 1( Bài 102b,c,d,e,f trang 50 SGK Toán 7- Tập 1) Từ tỉ lệ thức a c = , suy tỉ lệ thức sau : b d b) a−b c−d = b d c) a+b c+d = a c e) a c = a+b c+d f) a c = a−b c−d Bài 2: Cho a c = Chứng minh b d d) a−b c−d = a c a c = 3a + b 3c + d ( Bài 8.3 trang 23 SBT Toán 7- Tập 1) Bài 3: Cho a c = Chứng minh : b d a − b ab = a) c − d cd (a − b) ab = b) (c − d ) cd ( Bài 8.4 trang 23 SBT Toán 7- Tập 1) 15 Bài 4: Cho tỉ lệ thức a b a2 + b2 a = Chứng minh ta có tỉ lệ thức: = b c b + c2 c ( Đề thi giao lưu HSG Toán huyện Vĩnh Tường năm học 2009-2010) a c a d a + b ab = Bài 5: BiÕt với a,b,c, d ≠ Chứng minh : = = 2 b d b c c +d cd 2 2 ( a + b) a +b a +b ab 2ab a + 2ab + b =( ) (1) = = Gợi ý : Ta có 2 = = 2 (c + d ) c+d c +d cd 2cd c + 2cd + d a −b a + b ab 2ab a − 2ab + b ( a − b) =( ) (2) = = = = 2 2 (c − d ) c−d c +d cd 2cd c − 2cd + d a +b a −b c + d = c − d a+b a −b ) =( ) ⇒ Từ (1) (2) suy : ( c+d c−d a +b = b−a  c + d d − c Ví dụ 2: Cho bz − cy cx − az ay − bx x y z = = Chứng minh : = = a b c a b c ( Đề thi giao lưu HSG Toán huyện Vĩnh Tường năm học 2015-2016) Giải bz − cy cx − az ay − bx = = Điều kiện: a ≠ 0; b ≠ 0; c ≠ a b c ⇒ a.(bz − cy ) b(cx − az ) c (ay − bx) = = a2 b2 c2 Áp dụng tính chất dãy tỉ số ta có: a.(bz − cy ) b(cx − az ) c( ay − bx ) abz − acy + bcx − abz + acy − bcx = = = =0 a2 b2 c2 a2 + b2 + c2 z y c = b bz = cy x y z  x z ⇒ cx = az ⇒  = ⇒ = = a b c ay = bx  a c y x  =  b a Khai thác toán 3x − y z − x y − 3z = = Bài 1: Tìm x, y, z thỏa mãn x + y + z = 100 ( Đề thi giao lưu HSG Toán huyện Vĩnh Tường năm học 2016-2017) 16 Giải 3x − y z − x y − 3z = = ⇒ 5(3 x − y ) 3(2 z − x) 2(5 y − z ) = = 25 Áp dụng tính chất dãy tỉ số ta có: 5(3 x − y ) 3(2 z − x) 2(5 y − z ) 15 x − 10 y + z − 15 x + 10 y − z = = = = =0 25 25 + + 38 x y 2 = 3x = y  z x x y z ⇒ 2 z = x ⇒  = ⇒ = = 5 y = 3z  5y 2z  =  ⇒ x y z x + y + z 100 = = = = = 10 + + 10  x = 20 ⇒  y = 30  z = 50  x = 20 Vậy  y = 30  z = 50 3x − y z − x y − 3z = = Bài 2: Tìm x, y, z thỏa mãn x − y + z = 100 ( Đề thi giao lưu HSG Toán huyện Vĩnh Tường năm học 2018-2019) Làm tương tự Kết quả: x = 4; y = 6; z = 10 x = −4; y = −6; z = −10 Bài 3: Chứng minh : Nếu a( y + z ) = b( z + x) = c( x + y ) Trong a, b, c y−z z−x x− y số khác khác thì: a(b − c) = b(c − a) = c(a − b) Giải Vì a, b, c ≠ nên chia số a( y + z ) = b( z + x) = c( x + y ) cho abc ta được: a ( y + z ) b( z + x ) c ( x + y ) = = abc abc abc ⇒ y+z z+x x+ y = = bc ac ab Áp dụng tính chất dãy tỉ số ta có: 17 ⇒ y + z z + x x + y ( x + y ) − ( x + z ) ( y + z ) − ( x + y ) ( z + x) − ( y + z ) = = = = = bc ac ab ab − ac bc − ab ac − bc ⇒ y−z z−x x− y = = a (b − c) b(c − a ) c(a − b) 7.2.3.Dạng : TÍNH GIÁ TRỊ BIỂU THỨC 3x − y x Ví dụ 1: Cho tỉ lệ thức x + y = Tính giá trị tỉ số y Giải Cách 1: 3x − y Từ x + y = ⇒ 4(3x − y ) = 3( x + y ) ⇒ 12 x − y = 3x + y ⇒ 12 x − 3x = y + y ⇒ 9x = y x Vậy y = Cách 2: 3x −1 3x − y x y 3a − = ⇒ = Từ x + y = ⇒ x ( với a = y ) a +1 +1 y ⇒ 12a − = 3a + ⇒ 12a − 3a = + ⇒ 9a = ⇒ a = x Vậy y = Ví dụ 2: Cho y+z−x x y z = = Tính giá trị biểu thức P = x− y+z Phương pháp giải: Cách 1: Đặt giá trị chung x y z ( k ≠ 0) = = =k - Biểu diễn x, y, z theo k Từ thay vào P - Đặt Cách 2: Sử dụng tính chất dãy tỉ số Giải 18 Cách 1: x y z = = = k ( k ≠ 0) ⇒ x = 2k ; y = 3k ; z = 4k Đặt ⇒P = 3k + 4k − 2k 5k = = 2k − 3k + 4k 3k Vậy P = Cách 2: Áp dụng tính chất dãy tỉ số ta có: x y z y+z−x x− y+z = = = = 3+ 4− 2−3+ y+z−x x− y+z y+z−x = ⇒ = x− y+z ⇒ Vậy P = Khai thác toán: Cho x = y y = z Tính giá trị biểu thức A= 2x + 3y − 4z 3x + y − 5z Gợi ý : - Từ x = y ⇒ x y x y = ⇒ = 15 20 y = 5z ⇒ y z y z = ⇒ = 20 24 ⇒ x y z = = 15 20 24 Làm tương tự ví dụ 2, ta A = Ví dụ 3: Cho dãy tỉ số Tính giá trị biểu thức M = a b c d = = = b+c+d a+c+d a+b+d b+c+a a+b b+c c+d d +a + + + c+d a+d a+b b+c Giải Từ −6 a b c d = = = b+c+d a+c+d a+b+d b+c+a 19 (*) - Nếu a + b + c + d = ⇒ a + b = −(c + d ); b + c = −(a + d ) - Nếu a + b + c + d ≠ Từ (*) ta có : Vậy M = a + b + c + d = M = −4 a + b + c + d ≠ Khai thác toán: Bài 1: Cho số a, b, c, d thỏa mãn a b c d = = = b+c+d a+c+d a+b+d b+c+a a+b b+c c+d d +a = = = c+d a+d a+b b+c Tính giá trị biểu thức P = ( Đề thi giao lưu HSG Toán huyện Vĩnh Tường năm học 20082009) Gợi ý: Làm tương tự ví dụ ta được: P = −1 a + b + c + d = P = a + b + c + d ≠ Bài 2: Cho a, b, c đôi khác thỏa mãn a+b b+c c+a = = c a b  a  b  c  Tính giá trị biểu thức Q = 1 + 1 + 1 +   b  c  a Gợi ý Làm tương tự ví dụ ta Q = −1 a + b + c = Q = a + b + c ≠ Bài 3: Cho số a, b, c khác thỏa mãn Tính giá trị biểu thức N = ab bc ca = = a+b b+c c+a ab + bc + ca a3 + b3 + c3 Giải Với a; b; c ≠ ta có : ab bc ca = = a+b b+c c+a 20 ⇒ 1 = = ⇒ a = b = c ⇒ N =1 a b c 7.2.4.Dạng 4: ỨNG DỤNG TÍNH CHẤT CỦA TỈ LỆ THỨC, DÃY TỈ SỐ BẰNG NHAU VÀO GIẢI BÀI TỐN CHIA TỈ LỆ Ví dụ 1: Tìm số tự nhiên có ba chữ số biết số chia hết cho 18 chữ số tỉ lệ với 1; 2; Giải Vì vai trò a, b, c nên giả sử a, b, c chữ số số phải tìm xếp theo thứ tự từ nhỏ đến lớn ( a, b, c ∈ N * ;1 ≤ a, b, c ≤ 9) Theo đề bài, a b c = = Áp dụng tính chất dãy tỉ số ta có: a b c a +b +c a +b +c = = = = (1) 1+ + Vì số phải tìm chia hết cho 18 nên (a + b + c) 9 mà ≤ a + b + c ≤ 27 nên a + b + c ∈ { 9;18} Từ(1) ⇒ (a + b + c) 6 ⇒ a + b + c = 18 Khi đó: a b c a + b + c a + b + c 18 = = = = = =3 1+ + 6 a = ⇒ b = ( thỏa mãn điều kiện) c = Vì số phải tìm chia hết chữ số tận Vây số tự nhiên có ba chữ số cần tìm 396 936 Ví dụ 2: Số M chia thành ba số tỉ lệ theo phương ba số 24309 Tìm số M Giải Giả sử số M chia thành ba số a; b; c a b c = = Theo đề ta có: a + b + c = 24309  a = k a b c  = = =k ⇒ b = k Cách 1: Đặt  c = k  21 : : Biết tổng bình 2 k + k + k = 24309 25 16 36 2701 ⇒ k = 24309 ⇒ k = 32400 ⇒ k = ±180 3600  a = 180 = 72   - Với k = 180 b = 180 = 135 ⇒ M = 72 + 135 + 30 = 237  c = 180 = 30  ⇒  a = (−180) = −72   - Với k = −180 b = (−180) = −135 ⇒ M = −72 − 135 − 30 = −237  c = ( −180) = −30  Vậy M = 237 M = −237 a b c 5a 4b 6c 5a 4b 6c a b c = = ⇒ = = ⇒ = = ⇒ = = 2.60 3.60 60 24 45 10 Cách 2: a = 24k a b c ⇒ = = =k Đặt b = 45k 24 45 10 c = 10k ⇒ 576k + 2025k + 100k = 24309 ⇒ 2701k = 24309 ⇒ k = ⇒ k = ±3 a = 24.3 = 72 - Với k = b = 45.3 = 135 ⇒ M = 72 + 135 + 30 = 237 c = 10.3 = 30 a = 24.(−3) = −72 - Với k = −3 b = 45.(−3) = −135 ⇒ M = −72 − 135 − 30 = −237 c = 10.(−3) = −30 Vậy M = 237 M = −237 Khai thác toán : Một số M chia thành ba phần, cho phần thứ phần thứ hai tỉ lệ với ; phần thứ hai phần thứ ba tỉ lệ với Biết phần thứ ba phần thứ hai 150 Tìm số M ( Đề thi giao lưu HSG Tốn huyện Vĩnh Tường năm học 2014-2015) Đáp số: M = 3550 Ví dụ 3: Độ dài ba cạnh tam giác tỉ lệ với 2; 3; Ba chiều cao tương ứng với ba cạnh tỉ lệ với ba số nào? Giải Gọi a, b, c độ dài ba cạnh tam giác ; hb ; hc chiều cao tương ứng 22 1 a.ha = b.hb = c.hc ⇒ a.ha = b.hb = c.hc 2 a b c Vì độ dài ba cạnh tam giác tỉ lệ với ; ; nên = = a b c Đặt = = = k ( k ≠ ) Diện tích tam giác là: (1) ⇒ a = 2k ; b = 3k ; c = 4k 2h 3h 4h Từ (1) ⇒ 2k = 3k hb = 4k hc ⇒ 2.ha = 3.hb = 4.hc ⇒ a = b = c 12 12 12 h h h ⇒ a = b = c Vậy độ dài ba cạnh tam giác tỉ lệ với 2; 3; ba chiều cao tương tứng với ba cạnh tỉ lệ với 6; 4; Khai thác toán : Bài 1: Nếu tam giác có độ dài hai đường cao ; 52 đường cao thứ ba số phương đường cao thứ ba ? ( Đề thi giao lưu HSG Toán huyện Vĩnh Tường năm học 2013-2014) Giải Gọi độ dài ba cạnh tam giác a; b; c đường cao thứ ba có độ dài x ( Điều kiện a; b; c; x > ) 2 Diện tích tam giác là: S = a.3 = b.5 = c.x ⇒ 2S = 9a = 25b = cx 2S  a =   2S ⇒ b = 25   c = S  x Áp dụng bất đẳng thức tam giác có: a − b < c < a + b S S 2S S S − < < + 25 x 25 1 1 16 34 225 225 ⇒ − < < + ⇒ < < ⇒ 0; d > < ⇔ a.d < b.c b d b d ( Bài trang SBT Toán 7- Tập 1) Tính chất 2: Nếu b > 0; d > từ a c a a+c c < ⇒ < < b d b b+d d ( Bài trang SBT Tốn 7- Tập 1) Tính chất 3: a; b; c số dương a Nếu a a a+c < < b b b+c b Nếu a a a+c > > b b b+c Ví dụ 1: Cho a; b; c; d > Chứng minh rằng: 1< a b c d + + + ) (1) a+b+c a+b+c a+b+c+d Mặt khác: a a > (2) a+b+c a+b+c+d Từ (1) (2) ta có: a a a+d < < (3) a+b+c+d a+b+c a+b+c+d Tương tự ta có: 24 Cộng bất đẳng thức kép (3); (4); (5); (6) theo vế ta được: Ví dụ Cho a c a ab + cd c < b; d > Chứng minh rằng: < < b d b b +d2 d Giải Ta có a c a.b c.d ab cd < b; d > nên < ⇒ < b d b.b d d b d Theo tính chất ta có: ab ab + cd cd a ab + cd c < < ⇒ < < 2 b b +d2 d b b +d d B.Về khả áp dụng sáng kiến Trong chương trình Đại số giáo viên cần ý dạy cho học sinh nắm vững kiến thức tỉ lệ thức ( định nghĩa, tính chất), tính chất dãy tỉ số nhau, yêu cầu học sinh hiểu chất khơng phải thuộc tính chất cách máy móc Khi gặp tốn tỉ lệ thức tính chất dãy tỉ số nhau, học sinh cần: Quan sát đặc điểm toán, nhận dạng tốn.Từ đó, chọn lựa phương pháp giải cho phù hợp Xây dựng học sinh thói quen học tập, biết quan sát, nhận xét, đánh giá tốn theo quy trình định, sử dụng thành thạo kĩ giải toán thực hành, rèn luyện khả tự học, tự tìm tịi sáng tạo Khuyến khích học sinh tham gia học tổ, nhóm, học sáng tạo, tìm cách giải hay, cách giải khác Để giải vấn đề sử dụng phương pháp nghiên cứu: Nghiên cứu qua tài liệu: SGK, SGV, SBT toán 7, tài liệu có liên quan Nghiên cứu qua thực hành giải tập học sinh Nghiên cứu qua theo dõi kiểm tra Nghiên cứu từ thực tế giảng dạy, học tập đối tượng học sinh Những thông tin cần bảo mật Không 9.Các điều kiện cần thiết để áp dụng sáng kiến Phòng học, bảng, bàn ghế, học sinh, đồ dùng học tập… 10.Đánh giá lợi ích thu dự kiến thu áp dụng sáng kiến theo ý kiến tác giả 25 10.1 Đánh giá lợi ích thu dự kiến thu áp dụng sáng kiến theo ý kiến tác giả: Các tập mà đưa sáng kiến số dạng Toán mà học sinh lớp hay gặp đợt thi khảo sát, thi kiểm tra học kì, thi học sinh giỏi Đây chủ đề toán hay, nghiên cứu sâu thấy thú vị, áp dụng giải toán đại lượng tỉ lệ thuận, đại lượng tỉ lệ nghịch, đặc biệt khơng thể thiếu học phần chương III Hình học định lí Talet tam giác đồng dạng Qua giảng dạy số dạng toán tỉ lệ thức tính chất dãy tỉ số nhau, học sinh nắm vững vận dụng cách giải góp phần nâng cao hiệu giảng dạy giáo viên rèn học sinh khả tư toán, độ linh hoạt, sáng tạo kĩ thực hành học sinh Cụ thể kết kiểm tra dạng tốn tỉ lệ thức tính chất dãy tỉ số thống kê qua giai đoạn lớp 7A, 7B, 7C năm học 2020 – 2021 sau: a) Chưa áp dụng giải pháp Kiểm tra khảo sát chất lượng năm học 2020-2021 Thời gian Tuần học kì I TS HS Chưa áp dụng giải pháp 106 Trung bình trở lên Số lượng 43 Tỉ lệ (%) 40,57% Nhận xét: Đa số học sinh chưa nắm kĩ phân tích toán, chưa sử dụng thành thạo tỉ lệ thức cách trình bày giải cịn lung tung, làm chưa có phương pháp b) Áp dụng giải pháp Lần 1: Kiểm tra học kì I Thời gian Giữa học kì I TS HS Kết áp dụng giải pháp (lần 1) 106 Trung bình trở lên Số lượng 65 Tỉ lệ (%) 61,32% Nhận xét: Học sinh hệ thống, nắm kiến thức tỉ lệ thức vận dụng tốt tính chất tỉ lệ thức tính chất dãy tỉ số giải tốn Lần 2: Kiểm tra học kì I Thời gian Cuối học kỳ I TS HS Kết áp dụng giải pháp (lần 2) 106 Trung bình trở lên Số lượng 80 Tỉ lệ (%) 75,47% Nhận xét: Học sinh nắm vững kiến thức tỉ lệ thức, tính chất dãy tỉ số nhau, vận dụng thành thạo kĩ biến đổi, phân tích, biết dựa vào 26 toán biết cách giải truớc đó, linh hoạt biến đổi vận dụng tính chất tỉ lệ thức trình bày giải hợp lí có hệ thống logic, cịn số học sinh q yếu, chưa thực tốt 10.2 Đánh giá lợi ích thu dự kiến thu áp dụng sáng kiến theo ý kiến tổ chức nhân Rèn cho học sinh thành thạo kĩ tỉ lệ thức tính chất dãy tỉ số nội dung quan trọng, sở móng cho việc học tốn Hình học sau Vì giáo viên cần : - Thường xuyên nghiên cứu tài liệu, sách tham khảo Sàng lọc nội dung hay, tâm đắc tích lũy thành kinh nghiệm cho thân - Luôn trao đổi học hỏi đồng nghiệp, lựa chọn phương án giảng dạy hiệu quả, phù hợp với đối tượng học sinh - Tạo điều kiện để học sinh phát triển tư cách toàn diện, gợi suy mê hứng thú học tập, tìm tịi sáng tạo, kích thích khơi dậy khả tự học học sinh, chủ động học tập * Tóm lại Từ thực tế giảng dạy áp dụng sáng kiến nhận thấy học sinh nắm vững kiến thức hơn, hiểu rõ cách giải toán dạng tập Kinh nghiệm giúp học sinh yếu giải tập mức độ nhất, học sinh trung bình nắm vững kiến thức chương trình học, rèn luyện kĩ thực hành theo hướng tích cực hố hoạt động nhận thức mức độ khác thông qua chuỗi tập Bên cạnh cịn giúp cho học sinh giỏi có điều kiện tìm hiểu thêm số cách giải khác, dạng toán khác nâng cao hơn, nhằm phát huy tài toán học, phát huy tính tự học, tìm tịi, sáng tạo học sinh học toán Mặc dù thân có nhiều cố gắng, nhiên đề tài khơng tránh khỏi thiếu sót hạn chế, mong Hội đồng khoa học góp ý xây dựng để đề tài tơi hồn thiện 11.Danh sách tổ chức /cá nhân tham gia áp dụng thử sáng kiến lần đầu STT Tên tổ chức/cá nhân Địa Phạm vi/Lĩnh vực áp dụng sáng kiến Lê Thị Hạnh Trường THCS Lũng Hịa Tốn Nguyễn Thị Thúy Vân Trường THCS Lũng Hịa Tốn Nguyễn Thị Thu Hằng Trường THCS Lũng Hịa Tốn 27 Lũng Hòa, ngày 19 tháng năm 2021 Thủ trưởng đơn vị/ Chính quyền địa phương (Ký tên, đóng dấu) Lũng Hòa,ngày 18 tháng năm 2021 Tác giả sáng kiến (Ký, ghi rõ họ tên) Bùi Quang Ba Vương Thị Phương Hoa 28 TÀI LIỆU THAM KHẢO Sách giáo khoa Toán – Tập Tác giả: Phan Đức Chính ( Tổng chủ biên)-Tơn Thân (Chủ biên)-Vũ Hữu Bình- Phạm Gia Đức - Trần Luận Sách tập Tốn – Tập Tác giả: Tơn Thân (Chủ biên)-Vũ Hữu Bình- Phạm Gia Đức-Trần LuậnPhạm Đức Quang Sách ôn tập Đại số – Nhà xuất giáo dục Tác giả: Nguyễn Ngọc Đạm- Vũ Dương Thụy Sách dạy học toán THCS theo hướng đổi lớp 7-Tập Tác giả: Tôn Thân-Vũ Hữu Bình- Bùi Văn Tun Sách dạng tốn phương pháp giải tốn 7- Tập Tác giả :Tơn Thân-Vũ Hữu Bình- Nguyễn Hữu Thanh-Bùi Văn Tuyên Sách nâng cao phát triển toán lớp 7- Tập Tác giả: Vũ Hữu Bình Sách tốn bồi dưỡng học sinh lớp Tác giả: Vũ Hữu Bình- Tơn Thân Một số đề thi giao lưu học sinh giỏi toán huyện Vĩnh Tường-Tỉnh Vĩnh Phúc 29 ... c 7.2.4 .Dạng 4: ỨNG DỤNG TÍNH CHẤT CỦA TỈ LỆ THỨC, DÃY TỈ SỐ BẰNG NHAU VÀO GIẢI BÀI TỐN CHIA TỈ LỆ Ví dụ 1: Tìm số tự nhiên có ba chữ số biết số chia hết cho 18 chữ số tỉ lệ với 1; 2; Giải Vì... dạy, giúp học sinh tháo gỡ giải tốt khó khăn, vướng mắc học tập đồng thời nâng cao chất lượng môn nên thân chọn đề tài: ? ?Hướng dẫn học sinh giải số dạng Toán tỉ lệ thức tính chất dãy tỉ số nhau? ??... 7.1.Kiến thức 7.1.1 Tỉ lệ thức a) Định nghĩa: Tỉ lệ thức đẳng thức hai tỉ số - Tỉ lệ thức a c = b d a c = viết a : b = c : d b d - Trong tỉ lệ thức a : b = c : d , số a; b; c; d gọi số hạng tỉ lệ thức;