Một số dạng toán về tỉ lệ thức và tính chất của dãy tỉ số bằng nhau

Trong quá trình giảng dạy bộ môn toán tôi thấy phần kiến thức về tỉ lệ thức và dãy tỉ số bằng nhau là hết sức cơ bản trong chương trình Đại số lớp 7. Từ một tỉ lệ thức ta có thể chuyển thành một đẳng thức giữa 2 tích, trong một tỉ lệ thức nếu biết được 3 số hạng ta có thể tính được số hạng thứ tư. Trong chương II, khi học về đại lượng tỉ lệ thuận, tỉ lệ nghịch ta thấy tỉ lệ thức là một phương tiện quan trọng giúp ta giải toán. Trong phân môn Hình học, để học được định lý Talet, tam giác đồng dạng (lớp 8) thì không thể thiếu kiến thức về tỉ lệ thức. Mặt khác khi học tỉ lệ thức và tính chất của dãy tỉ số bằng nhau còn rèn tư duy cho học sinh rất tốt giúp các em có khả năng khai thác bài toán, lập ra bài toán mới. Với những lý do trên đây và với kinh nghiệm giảng dạy của mình tôi xin trình bày chuyên đề “Bồi dưỡng học sinh yếu một số dạng toán về tỉ lệ thức và tính chất của dãy tỉ số bằng nhau” trong Đại số lớp 7, và một số giải pháp để việc giải toán về tỉ lệ thức đạt hiệu quả cao.

PHÒNG GD&ĐT HUYỆN

TRƯỜNG TH&THCS

- 

BÁO CÁO CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HỌC SINH YẾU “Một số dạng toán về tỉ lệ thức và tính chất của dãy tỉ số bằng nhau” Tác giả chuyên đề:

Tháng 10 năm 2019

1 Tác giả chuyên đề, chức vụ, đơn vị công tác:

- Tác giả chuyên đề:

- Chức vụ: Giáo viên.

- Đơn vị công tác:

- Email:

2 Tên chuyên đề: “ Hướng dẫn học sinh giải một số dạng toán về tỉ lệ thức và

tính chất của dãy tỉ số bằng nhau”

3 Thực trạng giáo dục của nhà trường :

Trong nhiều năm đứng lớp giảng dạy, chuyên đề về tỉ lệ thức và tính chất của dãy tỉ số bằng nhau đã là niềm đam mê của tôi Tuy nhiên khi đi sâu vào giảng dạy, tôi thấy học sinh vẫn còn lúng túng với các phép tính trong tỉ lệ thức và đặc biệt là một số học sinh yếu về toán thì cảm thấy khó khăn, cảm thấy sợ khi làm bài tập về

tỉ lệ thức Bức xúc trước suy nghĩ của một số học sinh, tôi đã dành thời gian nghiên cứu các tài liệu trong sách giáo khoa cũng như sách tham khảo để tìm ra những dạng bài tập cơ bản nhất, những phương pháp giải đơn giản nhất để học sinh hứng thú hơn trong việc học tập và nâng cao kết quả học tập của mình

Trong quá trình giảng dạy bộ môn toán tôi thấy phần kiến thức về tỉ lệ thức và dãy tỉ số bằng nhau là hết sức cơ bản trong chương trình Đại số lớp 7 Từ một tỉ lệ thức ta có thể chuyển thành một đẳng thức giữa 2 tích, trong một tỉ lệ thức nếu biết được 3 số hạng ta có thể tính được số hạng thứ tư Trong chương II, khi học về đại lượng tỉ lệ thuận, tỉ lệ nghịch ta thấy tỉ lệ thức là một phương tiện quan trọng giúp ta giải toán Trong phân môn Hình học, để học được định lý Talet, tam giác đồng dạng (lớp 8) thì không thể thiếu kiến thức về tỉ lệ thức Mặt khác khi học tỉ lệ thức và tính chất của dãy tỉ số bằng nhau còn rèn tư duy cho học sinh rất tốt giúp các em có khả năng khai thác bài toán, lập ra bài toán mới

Với những lý do trên đây và với kinh nghiệm giảng dạy của mình tôi xin trình

bày chuyên đề “Bồi dưỡng học sinh yếu một số dạng toán về tỉ lệ thức và tính

chất của dãy tỉ số bằng nhau” trong Đại số lớp 7, và một số giải pháp để việc

giải toán về tỉ lệ thức đạt hiệu quả cao

4 Đối tượng học sinh, dự kiến số tiết dạy:

- Đối tượng học sinh: Học sinh khối 7

- Dự kiến số tiết dạy: 10 tiết

5 Hệ thống (Phân loại, bài tập đặc trưng) các dạng bài tập đặc trưng của chuyên đề:

- Dạng toán 3: Chứng minh tỉ lệ thức.

6 Hệ thống các phương pháp cơ bản, đặc trưng để giải các bài tập trong chuyên đề:

Để làm được các bài tập ở phần tỉ lệ thức này đầu tiên giáo viên cần cho học sinh nắm chắc được một số kiến thức cơ bản sau đây:

1) Định nghĩa, tính chất của tỉ lệ thức

a) Định nghĩa: Tỉ lệ thức là đẳng thức của hai tỉ số

a

b=

c d

Các số hạng a và d gọi là ngoại tỉ, b và d gọi là trung tỉ

b) Tính chất:

+Tính chất 1( tính chất cơ bản): Nếu

a c

b d thì ad = bc +Tính chất 2( tính chất hoán vị): Nếu ad = bc và a, b, c, d khác 0 thì ta có các tỉ

lệ thức:

a

b=

c

d ;

a

c=

b

d ;

d

b=

c

a ;

d

c=

b a

2) Tính chất của dãy tỉ số bằng nhau:

+ Từ tỉ lệ thức

a

b=

c

d ta suy ra

a

b=

c

d=

a+c b+d=

a−c b−d(b≠±d)

+ Mở rộng: Từ dãy tỉ số bằng nhau

a

b=

c

d=

e f

ta suy ra

a

b=

c

d=

e

f =

a+c+e b+d +f =

a−c +e b−d+f=

( giả thiết các tỉ số đều có nghĩa)

3) Chú ý:

Nếu có dãy tỉ số a2=b

3=

c

4 thì có thế viết là a: b: c = 2: 3: 4 hoặc ngược lại

Hoặc có thể nói các số a, b, c tỉ lệ với các số 2, 3, 4

7 Hệ thống các ví dụ, bài tập cụ thể cùng lời giải minh họa cho chuyên đề:

Phương pháp: Áp dụng tính chất cơ bản tỉ lệ thức

Nếu

a c b c a d a d

a d b c a b c

b d    d  c  b

Muốn tìm ngoại tỉ chưa biết ta lấy tích của 2 trung tỉ chia cho ngoại tỉ đã biết, muốn tìm trung tỉ chưa biết ta lấy tích của hai ngoại tỉ chia cho trung tỉ đã biết

*Bài tập 1: Tìm x trong tỉ lệ thức sau :

- 0,52 : x = - 9,36 : 16,38

9,36 0.52.16,38 0,52.16,38

0,91 9,36

x x





Học sinh có thể tìm x bằng cách xem x là số chia, ta có thể nâng mức độ khó hơn như sau :

a)

3x 3 4 5



1 2

0, 2 :1 : 6 7

53 x

có thể đưa các tỉ lệ thức trên về tỉ lệ thức đơn giản hơn rồi tìm x

*Bài tập 2: Tìm x biết :

60 15

x

x







Giải : Từ

2

60 15

900 30

x

x

x x x x







Suy ra x = 30 hoặc -30

Ta thấy trong tỉ lệ thức có 2 số hạng chưa biết nhưng 2 số hạng đó giống nhau nên ta đưa về luỹ thừa bậc hai có thể nâng cao bằng tỉ lệ thức cho học sinh khá giỏi như các tỉ lệ thức:

1 60

x

x



x

x







*Bài tập 3: Tìm x trong tỉ lệ thức

3 5

x x







Giải:

+ Cách 1: Từ

3 5

3 7 5 5

5 3 6

x

x

x x





+ Cách 2: Từ

x

 áp dụng t/c của dãy tỉ số bằng nhau ta có:

3 1

x

x





Với học sinh khá giỏi giáo viên có thể cho các em tiếp cận với những bài tập ở mức

độ cao hơn như:

*Bài tập 4: Tìm x trong tỉ lệ thức

       

x x

x x x x x x



Trong bài tập này x nằm ở cả 4 số hạng của tỉ lệ thức và hệ số đều bằng 1 do

đó sau khi biến đổi thì x2 bị triệt tiêu, có thể làm bài tập trên bằng cách áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau

Cách 2: x−2 x−1=x + 4

x+7=

x−2−(x+ 4) x−1−(x +7)=

−6

−8=

3

4 Từ đó ta có:

4 ( x−2)=3 ( x−1)=¿4 x−8=3 x−3

¿ >x=5

Phương pháp:

a) Xét bài toán cơ bản thường gặp sau:

Tìm các số x, y, z thoả mãn

x y z

a b c (1) và x +y + z = d (2) ( trong đó a, b, c, a+b+c  0 và a, b, c, d là các số cho trước)

+ Cách giải: Đặt ; ; .

x y z

k

a b c

x k a y k b z k c

    thay vào (2)

Ta có k.a + k.b + k.c = d

  d

k a b c d k

a b c

 

Từ đó tìm được

.

a d bd cd

a b c a b c a b c

b) Hướng khai thác từ bài trên như sau

+ Giữ nguyên điều kiện (1) thay đổi đk (2) như sau:

* k x k y k z e1  2  3 

*k x1 2k y2 2k z3 2 f

*x.y.z = g

+ Giữ nguyên điều kiện (2) thay đổi đk (1) như sau: - 1 2 3 4

;

x y y z

a a a a

- a x a y a y a z2  1 ; 4  3

- b x b y b z1  2  3

-

b x b z b y b x b z b y

-

z b

x b y b



+ Thay đổi cả hai điều kiện

Sau đây là một số bài tập minh họa cho phần này như sau:

*Bài tập 1: Tìm 3 số x, y, z biết 2 3 4

x y z

và x +y + z = 27 Giải: + Cách 1

x y z

k x k y k z k

Từ x + y + z = 27 ta suy ra 2k 3k 4k  27  9k 27  k 3

Khi đó x = 2.3 = 6; y = 3.3 = 9; z = 4.3 = 12

Vậy x = 6; y = 9; z = 12

+ Cách 2 Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có

27 3

2.3 6; 3.3 9; 4.3 12

x y z x y z

 

 

Từ bài tập 1 ở trên ta có thể thành lập các bài toán sau:

*Bài tập 2: Tìm 3 số x, y, z biết 2 3 4

x y z

và 2x + 3y – 5z = -21

Giải: +Cách 1: Đặt 2 3 4

x y z

=k

- Cách 2: Từ 2 3 4

x y z

suy ra

x y z

Áp dụng t/c của dãy tỉ số bằng nhau ta có:

3

6; 9; 12

x y z x y z

x y z

*Bài tập 3: Tìm 3 số x, y, z biết 2 3 4

x y z

và 2x23y2 5z2 405

Giải:

- Cách 1: Đặt 2 3 4

x y z

=k

- Cách 2: từ 2 3 4

x y z

suy ra :

x y z

áp dụng t/c dãy tỉ số bằng nhau ta có:

9

x y z x  y  z 

Suy ra :

2

2 2

2

2

2

4

9

16

x

y

z

Vậy x= 6; y = 9; z = 12 hoặc x = -6; y = -9; z = -12

*Bài tập 4: Tìm 3 số x, y, z biết 2 3 4

x y z

và x.y.z = 648

- Cách 1: Đặt 2 3 4

x y z

= k

- Cách 2: Từ 2 3 4

x y z

3

3

3

648 27

8

x x y z xyz x

 

 

Từ đó tìm được y = 9; z = 12

Có một số bài tập mà đề bài chưa cho sẵn một dãy tỉ số bằng nhau, nhưng bằng tính chất của tỉ lệ thức ta có thể đưa về dãy tỉ số bằng nhau dựa vào các điều kiện đã cho trong bài, trong quá trình giảng dạy giáo viên cần làm rõ bước chuyển đó cho học sinh, ví dụ các bài toán sau:

*Bài tập 5 Tìm x,y, z biết 6 9; 2

x y z x

và x +y +z = 27

Giải: Từ 6 9 2 3

x y x y

Từ 2 2 4

z x z

x   

Suy ra 2 3 4

x y z

Sau đó ta giải tiếp như bài tập 1

*Bài tập 6 Tìm x, y, z biết 3x = 2y; 4x = 2z và x + y+ z = 27

Giải: Từ 3 2 2 3

x y

x y 

Từ 4 2 2 4

x z

x z 

Suy ra 2 3 4

x y z

sau đó giải như bài tập 1

*Bài tập 7: Tìm x, y, z biết 6x = 4y = 3z và 2x + 3y – 5z = -21

Giải: từ 6x = 4y = 3z

x y z x y z

Sau đó giải tiếp như bài tập 2

*Một số bài tập tự luyện cho dạng toán 1:

Bài 1: T×m c¸c sè h÷u tØ x trong c¸c tØ lÖ thøc

a) 0,4 : x=x :0,9 b) 0,2 :11

5=

2

3:(6 x+7 ) c) 13

1

3:1

1

3=26 :(2 x+1) d)

37− x

x+13=

3 7

e)

3x+2

5 x+7=

3 x−1

5 x+1 g)

x+1

2 x +1=

0,5 x+2

x +3 h)

x

3,15=

0,15

7,2 i)

−2,6

x =

−12 42

k)

11

10,5=

6,32

x l)

41 10 9 4

= x

7,3

m)

x−2

5 =

3

8 n)

x−1

x +5=

6

7 p)

x2

6 =

24 25

Bài 2: T×m x, y biÕt

a)

x

2=

y

3 vµ x+y=-15 b)

x

3=

y

4 vµ y=12 c) 3x=7y vµ x-y=-16

d)

x

y=

17

13 vµ x+y=-60 e) x

2

9=

y2

16 vµ x2+y2=100

Bài 3: Cho tØ lÖ thøc

x

7=

y

3 TÝnh x vµ y biÕt a) x+y=110 b) x-y=50

Bài 4: T×m x, y biÕt

x

19=

y

21 vµ 2x-y=34

Bài 5: T×m x, y , z biÕt a) x=

y

2=

z

3 vµ 4x-3y+2z=36

b)

x−1

2 =

y−2

3 =

z−3

4 vµ x-2y+3z=14

Bài 6: T×m t1, t2, ,t9 biÕt

t1−1

9 =

t2−2

8 = =

t9−9

1 vµ t1 +t2 + +t9 =90

Bài 7: T×m x, y, z biÕt 2x=3y ; 5y=7z vµ 3x-7y+5z=30.

Bài 8: T×m a, b, c biÕt 2a=3b; 5b=7c vµ 3a-7b+5c=-30

Bài 9: T×m x, y, z biÕt

x:y:z=3:5:(-2) vµ 5x-y+3z=124

Phương pháp giải

-Bước 1: Dùng các chữ cái để biểu diễn các đại lượng chưa biết.

-Bước 2: Thành lập dãy tỉ số bằng nhau và các điều kiện theo đề bài cho.

-Bước 3: Tìm các số hạng chưa biết

-Bước 4: Kết luận.

Sau đây là một số bài tập minh họa cho dạng toán:

*Bài tập 1 Tính độ dài các cạnh một tam giác biết chu vi là 22 cm và các cạnh của

tam giác tỉ lệ với các số 2;4;5

Với học sinh yếu trước khi vào lời giải giáo viên cần có câu hỏi nhắc lại công thức tính chu vi của một tam giác là gì? Vì những em đó thường không nhớ công thức cũ

+Lời giải:

Gọi độ dài 3 cạnh của tam giác là a,b,c (cm, a, b, c0)

Vì chu vi của tam giác bằng 22 nên ta có a + b + c = 22

Vì các cạnh của tam giác tỉ lệ với 2;4;5 nên ta có

a

2=

b

4=

c

5

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta có

a

2=

b

4=

c

5=

a+b+c

2+4 +5=

22

11=2 Suy ra

a

b

c

Vậy độ dài ba cạnh của tam giác đó là 4cm,8cm,10cm

Ta thấy trong bài toán trên có 2 điều kiện là “ Chu vi tam giác bằng 22cm” và điều kiện “ các cạnh của nó tỉ lệ với các số 2;4 5” có thể thay điều kiện ( 2) như sau :

biết hiệu giữa cạnh lớn nhất và cạnh nhỏ nhất bằng 3 Khi đó ta có được

c-a=3

Và yêu cầu học sinh giải bài toán đó

*Bài tập 2:

Ba lớp 7A,7B,7C cùng tham gia lao động trồng cây ,số cây mỗi lớp trồng được tỉ lệ với các số 2;4;5 và 2 lần số cây của lớp 7A cộng với 4 lần số cây của lớp 7B thì hơn số cây của lớp 7C là 119 cây.Tính số cây mỗi lớp trồng được

(Giáo viên yêu cầu học sinh đọc kĩ điều kiện thứ hai để biểu thị được qua các

chữ cái)

+Lời giải:

- Gọi số cây trồng được của lớp 7A,7B,7C lần lượt là a,b,c (cây, a,b,c nguyên dương)

- Theo bài ra ta có

a

2=

b

4=

c

5=

2 a

6 =

4 b

16 =

c

5=

2 a+4 b−c

6 +16−5 =

119

17 =7 Suy ra:

a

3=7→a=21

b

4=7 →b=28

c

5=7→c=35

Vậy số cây trồng được của 3 lớp 7A, 7B, 7C lần lượt là 21cây, 28cây, 35cây

*Bài tập 3: Tổng các luỹ thừa bậc ba của 3 số là -1009 Biết tỉ số giữa số thứ nhất

và số thứ hai là

2

3 , giữa số thứ hai và số thứ 3 là

4

9 Tìm ba số đó

Lời giải: Gọi 3 số phải tìm là a,b,c

Theo bài ra ta có

;

a a

b  c  và a3b3c3  1009

Giải tiếp ta được a= -4 , b=-6, c=- 9

*Bài tập 4: Ba kho thóc có tất cả 710 tấn thóc, sau khi chuyển đi

1 5

số thóc ở kho

I,

1

6 số thóc ở kho II và

1

11số thóc ở kho III thì số thóc còn lại của 3 kho bằng nhau Hỏi lúc đầu mỗi kho có bao nhiêu tấn thóc

+Lời giải:

-Gọi số thóc của 3 kho I, II, III lúc đầu lần lượt là a, b, c (tấn, a,b,c>0)

-Số thóc của kho I sau khi chuyển là

a a a

-Số thóc của kho II sau khi chuyển là

b b b

-Số thóc của kho III sau khi chuyển là

11 11

c c c

theo bài ra ta có

5a6b11cvà a+b+c=710 (*)

từ

5a6b11c 5.20a6.20b11.20c

710 10

25 24 22 25 24 22 71

a b c a b c 

(1)

Suy ra a = 25.10 = 250; b = 24.10 = 240 ; c = 22.10 = 220

Vậy số thóc lúc đầu của của kho I,II,III lần lượt là 250tấn , 240 tấn, 220 tấn Trong bài toán trên để từ bước (*) ra kết quả bước (1) thì nhiều học sinh còn chưa biết biến đổi thế nào Giáo viên cần dành thời gian nói rõ bước này cho học

sinh( nhân vào mẫu với số 20 chính là BCNN(4,5,10) = 20)

*Bài tập 5: Trong một đợt lao động ba khối 7, 8, 9 chuyển được 912 m3

đất , trung bình mỗi học sinh khối 7,8,9theo thứ tự làm được 1, 2 ;1, 4m3 m3;1,6m3

Số học sinh khối 7 và khối 8 tỉ lệ với 1 và 3 ; số học sinh khối 8 và khố 9 tỉ lệ với 4

và 5 Tính số học sinh của mỗi khối

+Lời giải:

Gọi số học sinh của khối 7,8,9 lần lượt là a,b,c(h/s)(a,b,c là số nguyên dương)

Số đất khối 7 chuyển được là 1,2a

Số đất khối 8 chuyển được là 1,4b

Số đất khối 9 chuyển được là 1,6c

Theo bài ra ta có 1 3 4; 5

a b b c

Và 1,2a +1,4b + 1,6c = 912 giải ra ta được a= 80, b= 240, c= 300

Vậy số học sinh của khối 7, 8, 9 lần lượt là 80 h/s, 240h/s, 300h/s

*Một số bài tập tự luyện tập cho dạng toán:

Bài 1 Tìm các cạnh của một hình chữ nhật biết tỉ số hai cạnh là 2/3 và chu vi hình

chữ nhật là 60m

Bài 2 Một khu đất hình chữ nhật có chiều dài và chiều rộng tỉ lệ với 3 và 2 Diện

tích là 5400m2 Hãy tính chu vi của hình chữ nhật đó

Bài 3 Học sinh lớp 7A đợc chia thành ba tổ, cho biết số học sinh tổ 1, tổ 2, tổ3 tỉ

lệ với 2, 3, 4 Tìm số học sinh mỗi tổ của lớp 7A, nếu số học sinh lớp 7A là 45 học sinh

Bài 4 Tìm hai số biết tỉ số của chúng là 5:7 Tổng các bình phơng của chúng là

4736

Bài 5 Tìm số đo các góc của một tam giác biết rằng số đo các góc của tam giác đó

tỉ lệ với 2, 3, 4

Bài 6 Tìm phân số

a

b biết rằng nếu cộng thêm cùng một số khác 0 vào tử và mẫu

thì giá trị của phân số không thay đổi

Bài 7 Năm lớp 7A, 7B, 7C, 7D, 7E nhận chăm sóc vờn trờng rộng 300m2 Trong

đó lớp 7A nhận 15% diện tích, lớp 7B nhận

1

5 diện tích còn lại Phần còn lại sau

khi hai lớp trên nhận đợc chia cho lớp 7C, 7D, 7E theo tỉ lệ

1

2;

1

4;

5

16 Tính diện tích vờn giao cho mỗi lớp

Bài 8 Một trờng có ba lớp 7 biết rằng

2

3 học sinh lớp 7A bằng số học sinh lớp 7B

và bằng

4

5 số học sinh lớp 7C Lớp 7C có số học sinh ít hơn tổng số học sinh hai lớp kia là 57 bạn Tính số học sinh mỗi lớp

Bài 9 Ba tổ học sinh trồng đợc 179 cây xung quanh vờn trờng Số cây tổ I trồng so

với số cây tổ II bằng 6:11, so với số cây tổ III trồng bằng 7:10 Hỏi mỗi tổ trồng đợc bao nhiêu cây

Bài 10 Mỗi học sinh lớp 7A, 7B, 7C theo thứ tự trồng đợc 2cây, 3 cây, 4 cây Hỏi

mỗi lớp có bao nhiêu học sinh tham gia trồng cây biết rằng tổng số cây trồng đợc của ba lớp bằng nhau

Bài 11 Số học simh lớp 7A, 7B, 7C tỉ lệ với 10, 9, 8 Số học sinh lớp 7Anhiều hơn

số học sinh lớp 7B là 5 em Hỏi mỗi lớp có bao nhiêu học sinh

Bài 12 Có ba tủ sách đựng tất cả 2250 cuốn Nếu chuyển 100 cuốn từ tủ 1 sang tủ

3 thì số sách tủ 1, tủ 2, tủ 3 tỉ lệ với 16, 15 và 14 Hỏi trớc khi chuyển mỗi tủ có bao nhiêu cuốn sách

Bài 13* Tìm một số có ba chữ số biết rằng số đó chia hết cho 18 và các chữ số của

nó tỉ lệ với 1, 2, 3

*Phương phỏp:

Để chứng minh tỉ lệ thức A B=C

D ta thường dựng một số phương phỏp sau:

Phương phỏp 1: Chứng tỏ rằng A.D = B.C

Phương phỏp 2: Chứng tỏ hai tỉ số A B v à C

D cú cựng giỏ trị

Phương phỏp 3: Sử dụng tớnh chất của tỉ lệ thức

* Một số kiến thức cần chỳ ý

a

b=

n a

n b (n ≠0)

a b=c

d => (a b)n= (d c)n (n∈ N*)

Sau đây là một số bài tập minh họa ( giả thiết các tỉ số đã cho đều có nghĩa)

*Bài tập 1 Cho tỉ lệ thức a b=c

d Chứng minh rằng a−b a+b=c +d

c−d

Với bài toán này thì thông thường chúng ta sẽ hướng dẫn học sinh làm theo một số cách sau đây Với đa số học sinh thì các em sẽ chọn cho mình cách 1 và cách 2 sau :

+ Lời giải:

+ Cách 1:

Đặt a b=c

d = k => {a=kb c=kd

Tacó : a+b

a−b=

kb+b kb−b=

b (k +1)

b (k−1)=

k +1

k −1 c+ d

c−d=

kd +d

kd−d=

d (k+ 1)

d (k −1)=

k + 1

k −1 }

 a+b

a−b= c +d

c−d

+ Cách 2:

Từ a b=c

d=¿

a

c=

b d

Ta có: a c=b

d=

a+b c+ d=

a−b c−d

 a+b

a−b= c +d

c−d

Để học sinh hiểu và làm được tốt hơn theo cách này giáo viên cần hướng dẫn thật kĩ học sinh cách đặt tỉ lệ thức ban đầu bằng k, sau đó cách rút một đại lượng theo đại lượng kia k và cách thay như thế nào cho đúng, hợp lí để có kết quả cần chứng minh

Với những em học sinh khá toán giáo viên có thể hướng dẫn các em thêm cách làm sau để các em có thêm hướng lựa chọn phương pháp trong quá trình giải toán:

+Cách 3: Từ a b=c

d => { b a+1=

c

d+1=¿

a+b

b =

c+d

d =¿

a+b

c +d=

b d a

b−1=

c

d−1=¿

a−b

b =

c−d

d =¿

a−b c−d=

b d

 a+b

c+d=

a−b c−d =>a+b

a−b= c +d

c−d