SKKN một số kinh nghiệm vẽ thêm yếu tố phụ trong giải bài tập hình học 7

Tuy nhiên, qua thực tế dạy học cho thấy vẫnchưa có phương pháp chung nào cho việc vẽ thêm yếu tố phụ trong giải toán hìnhhọc, vì vậy nên tôi mạnh dạn trao đổi “Một số kinh nghiệm vẽ thêm

PHÒNG GD & ĐT HUYỆN KRÔNG ANA

I PHẦN MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài:

Trong quá trình dạy học và bồi dưỡng học sinh giỏi Toán cấp THCS, tôi nhậnthấy đa số học sinh đều rất sợ học Hình học Không chỉ đối với các em học sinhtrung bình, yếu, kém sợ học môn Hình học mà ngay cả học sinh khá, giỏi cũng vậy.Rất hiếm có học sinh thực sự yêu thích học Hình Cứ đến các tiết Hình học các emthường rất sợ và không thích học, cảm giác bị bắt buộc nên không có hứng thú họctập vì thế chất lượng học Hình học của học sinh chưa cao

Nguyên nhân chủ yếu là do các em chưa nắm vững được hệ thống kiến thức,chưa biết cách vẽ hình cũng như chưa biết cách trình bày lời giải một bài toán Hìnhhọc Do nắm kiến thức chưa sâu, hiểu vấn đề một cách mơ hồ, chưa nắm vững bảnchất kiến thức, chưa có khả năng vận dụng tốt kiến thức để giải bài tập, chưa nắmđược nhiều phương pháp giải các dạng toán Hình học nên học sinh thường gặp khókhăn khi giáo viên yêu cầu học sinh giải bài tập Ngay cả đối với các bài toán Hìnhhọc đã cho đầy đủ các yếu tố trên hình vẽ, vẫn còn nhiều học sinh chưa biết cách đểgiải bài toán thế nào chứ chưa kể đến các bài toán đòi hỏi phải vẽ thêm yếu tố phụ

để giải hoặc chứng minh

Có rất nhiều bài tập Hình học mà nếu chỉ sử dụng các yếu tố bài toán đã chothì chưa thể giải hoặc chứng minh được mà đòi hỏi phải vẽ thêm yếu tố phụ mớitìm ra được lời giải Cũng có nhiều bài toán Hình học mà việc vẽ thêm yếu tố phụlàm cho việc giải bài toán trở nên dễ dàng và thuận tiện hơn Ngoài ra, việc vẽ thêmyếu tố phụ còn giúp giáo viên thuận lợi trong việc ra đề kiểm tra cũng như mở rộng

và phát triển bài toán Tuy nhiên vẽ thêm yếu tố phụ như thế nào để có lợi cho việcgiải toán thì lại không hề đơn giản, thậm chí là rất khó khăn và phức tạp mà khôngphải giáo viên và học sinh nào cũng có thể làm được Việc vẽ thêm yếu tố phụ đòihỏi phải có sự sáng tạo và phải đạt được mục đích làm cho việc giải toán được dễdàng, thuận tiện và ngắn gọn hơn Tuy nhiên, qua thực tế dạy học cho thấy vẫnchưa có phương pháp chung nào cho việc vẽ thêm yếu tố phụ trong giải toán hìnhhọc, vì vậy nên tôi mạnh dạn trao đổi “Một số kinh nghiệm vẽ thêm yếu tố phụtrong giải bài tập Hình học 7” để giúp học sinh THCS nói chung và học sinh lớp 7nói riêng có thể hiểu sâu và nắm vững kiến thức, biết thêm một số cách vẽ yếu tốphụ để giải bài tập Hình học, nắm được nhiều phương pháp giải bài tập Hình họckhác nhau, giúp cho học sinh cảm thấy việc học nhẹ nhàng và có hiệu quả hơn, cóhứng thú với việc học Hình học hơn, nâng cao năng lực, phát triển trí tuệ và ócsáng tạo cho học sinh, đồng thời cũng là để rèn luyện, nâng cao trình độ chuyênmôn nghiệp vụ của bản thân cũng như trao đổi một số kinh nghiệm cùng quý Thầy

cô, bạn bè, đồng nghiệp

Người thực hiện: Nguyễn Thị Kim Thoa – Trường THCS Buôn Trấp 2

Rất mong được sự góp ý và trao đổi chân thành của quý thầy cô để kinhnghiệm nhỏ này hoàn thiện hơn và mang lại hiệu quả cao hơn trong dạy học Toán ởtrường THCS.

2 Mục tiêu, nhiệm vụ của đề tài:

*Mục tiêu: Giúp giáo viên và học sinh nắm được một số phương pháp vẽ

thêm yếu tố phụ để giải bài tập Hình học 7 mà việc tìm được lời giải đòi hỏi phải vẽthêm yếu tố phụ mới có thể giải quyết được hoặc giúp cho việc giải Toán đượcthuận lợi, dễ dàng và ngắn gọn hơn Mặt giúp học sinh khắc sâu và nắm vững kiếnthức tổng hợp, phong phú để vận dụng vào việc giải hoặc chứng minh Hình học.Tạo niềm say mê, hứng thú học Hình học của học sinh, môn học mà nhiều học sinhrất sợ và không thích học, đồng thời nâng cao năng lực, phát triển trí tuệ và óc sángtạo cho học sinh

Đưa ra một số phương pháp vẽ thêm yếu tố phụ để giáo viên và học sinh cóthể áp dụng trong việc giải một bài tập Hình học nhằm nâng cao chất lượng giáodục và hiệu quả giảng dạy, phát huy được tính tích cực, chủ động và sáng tạo củagiáo viên cũng như của học sinh trong quá trình dạy học và bồi dưỡng học sinhgiỏi môn Hình học 7

Bồi dưỡng chuyên môn nghiệp vụ của bản thân, làm tài liệu tham khảo chogiáo viên và học sinh Giúp giáo viên và học sinh thấy được sự quan trọng của việc

vẽ thêm yếu tố phụ trong giải bài tập Hình học 7

*Nhiệm vụ: Tìm tòi, nghiên cứu tài liệu tham khảo về một số phương pháp

vẽ thêm yếu tố phụ để giải bài tập Hình học 7

Tích lũy kinh nghiêm thực tế trong quá trình giảng dạy và bồi dưỡng họcsinh giỏi và ra đề kiểm tra môn Hình học

Học hỏi từ bạn bè, đồng nghiệp qua trao đổi kinh nghiệm, sinh hoạt chuyênmôn hoặc dự giờ thăm lớp

3 Đối tượng nghiên cứu:

Một số phương pháp vẽ thêm yếu tố phụ trong giải bài tập Hình học 7

4 Giới hạn của đề tài:

Nghiên cứu về một số phương pháp vẽ thêm yếu tố phụ trong giải bài tậpHình học 7 ở trường THCS Buôn Trấp từ năm 20012 đến năm 2017

5 Phương pháp nghiên cứu:

a) Nhóm phương pháp nghiên cứu lý luận

- Phương pháp phân tích - tổng hợp tài liệu;

- Phương pháp khái quát hóa các nhận định độc lập

b) Nhóm phương pháp nghiên cứu thực tiễn

- Phương pháp điều tra;

- Phương pháp tổng kết kinh nghiệm giáo dục;

- Phương pháp nghiên cứu các sản phẩm hoạt động;

- Phương pháp lấy ý kiến chuyên gia;

- Phương pháp khảo nghiệm, thử nghiệm

c) Phương pháp thống kê toán học

II PHẦN NỘI DUNG

1 Cơ sở lý luận:

Trong Toán học, Hình học là phân môn đòi hỏi tư duy cao và có nhiều khảnăng nhất trong việc rèn luyện phương pháp suy luận khoa học Muốn đạt hiệu quảcao trong việc dạy và học Hình thì phải có phương pháp dạy và học tốt Không cóphương pháp tốt, không có hiệu quả cao Biết cách dạy Hình và biết cách học Hình,hiệu quả dạy và học sẽ tăng gấp nhiều lần Để dạy và học tốt môn Hình học thì đòihỏi cả giáo viên và học sinh phải nắm vững các kiến thức Hình học một cách sâu vàrộng; biết vận dụng linh hoạt, sáng tạo các kiến thức từ đơn giản đến phức tạp để cóthể giải được bài toán Hình học

Giúp học sinh nắm được phương pháp vẽ thêm yếu tố phụ để giải bài tậpHình học 7 là vô cùng quan trọng vì trong chương trình Toán 7, học sinh bước đầuđược làm quen với việc chứng minh Hình học, rèn kỹ năng vẽ hình, suy luận đểchứng minh các định lý, tính chất cũng như giải bài tập Hình học Vì vậy trong mỗitiết dạy bài mới, luyện tập, ôn tập, ôn thi học sinh giỏi, giáo viên cần linh động đưa

ra các dạng toán Hình học mà việc giải đòi hỏi phải vẽ thêm yếu tố phụ một cáchsáng tạo, hiệu quả, thuận lợi cho việc giải bài toán Sau khi học xong các em sẽ tự

hệ thống hóa được các kiến thức và các phương pháp giải cần nhớ để áp dụng vàobài tập và vào thực tế, việc học Hình học vì thế cũng sẽ nhẹ nhàng và có hiệu quảhơn Các em sẽ có thể tự giải được bài Toán Hình học dễ dàng và nhanh chóng,không còn thụ động trông chờ vào người khác

Việc đưa ra các dạng toán có vận dụng phương pháp vẽ thêm yếu tố phụ mộtcách hợp lý trong phần luyện tập, ôn tập, ôn thi học sinh giỏi sẽ có tác dụng rất lớntrong việc phát triển tư duy đồng thời tạo hứng thú học tập cho HS Phát triển trítuệ cho HS lớp 7 qua bộ môn Hình học là một vấn đề rất quan trọng, cần được thấutriệt trong mọi khâu của việc giảng dạy Toán: cách đặt vấn đề, nội dung các câu hỏi

Người thực hiện: Nguyễn Thị Kim Thoa – Trường THCS Buôn Trấp 4

gợi mở của GV khi giảng bài, cách GV kiểm tra và nội dung các câu hỏi, bài tậpkiểm tra, cách yêu cầu HS phân tích đề bài , phê phán các câu trả lời, các bài làmcủa học sinh có tác dụng rất lớn đến việc giáo dục tư duy độc lập, sáng tạo, óc phêphán cho HS, giúp các em biết thắc mắc, biết trình bày lập luận vấn đề một cáchchặt chẽ, logic, phát huy khả năng tìm tòi, nghiên cứu kiến thức mới

Việc vẽ thêm yếu tố phụ phải nhằm mục đích tạo điều kiện cho việc giải bàitập hình học được dễ dàng và ngắn gọn hơn chứ không phải là vẽ một cách tùy tiện,đòi hỏi cả giáo viên và học sinh phải có sự tìm tòi, sáng tạo Hơn nữa việc vẽ thêmyếu tố phụ phải đảm bảo tuân theo các phép dựng hình cơ bản và các bài toán dựnghình cơ bản

“Một số kinh nghiệm vẽ thêm yếu tố phụ trong giải bài tập Hình học 7” sẽgiúp giáo viên trau dồi được kiến thức, kỹ năng ra đề kiểm tra, mở rộng và pháttriển bài toán Hình học, nâng cao chất lượng và hiệu quả giảng dạy, giúp học sinhphát triển tư duy, phát huy tính tích cực, chủ động, sáng tạo trong giải bài tập Hìnhhọc, đồng thời giáo dục tư tưởng, ý thức, thái độ, lòng say mê học Hình học chohọc sinh lớp 7

2 Thực trạng vấn đề nghiên cứu:

Hình học là một môn học khó đối với học sinh, đặc biệt là học sinh trungbình, yếu, kém Chất lượng học Hình học thấp, rất nhiều học sinh bị hổng kiếnthức, nhiều em chưa nắm vững được các kiến thức cơ bản cần thiết Khả năng tưduy, phân tích tổng hợp của học sinh còn hạn chế, nhiều học sinh chưa có khả năngvận dụng kiến thức cơ bản vào làm bài tập Chính vì thế các em cảm thấy thực sựkhó khăn khi học Hình học, tâm lý e ngại, dẫn đến tư tưởng lười học, lười suy nghĩ,thiếu tự tin, sợ học môn Hình học

Trong quá trình giảng dạy và bồi dưỡng học sinh giỏi môn Hình học 7 cũngnhư dự giờ bạn bè, đồng nghiệp, tôi nhận thấy khi giáo viên đưa ra các bài tập sửdụng phương pháp vẽ thêm yếu tố phụ để giải đã tạo ra những tình huống bất ngờ,làm cho học sinh rất hứng thú với việc học tập Tuy nhiên việc vẽ thêm yếu tố phụnhư thế nào để có lợi cho việc giải toán thì lại không hề đơn giản mà rất khó khăn

và phức tạp với cả giáo viên và học sinh bởi vì thực tế dạy học cho thấy không cóphương pháp chung nào cho việc vẽ thêm yếu tố phụ cả Mỗi một bài toán lại cócách vẽ thêm yếu tố phụ khác nhau khác nhau Việc vẽ thêm yếu tố phụ để giải bàitập Hình học không chỉ khó khăn với học sinh trung bình, yếu, kém mà ngay cả họcsinh khá giỏi cũng cảm thấy ngại và lười suy nghĩ, tìm tòi Khi đọc đề bài toán, họcsinh chưa phân tích được các yếu tố bài toán đã cho, không biết vẽ hình hoặc vẽhình không chính xác, chưa biết sử dụng kiến thức nào, phương pháp nào để giảidẫn đến không làm được bài tập Một số học sinh định hướng được cách giải nhưnglại không biết cách trình bày bài như thế nào cho chặt chẽ, logic

Tuy nhiên trong quá trình dạy học, một số giáo viên chưa thường xuyên vàchưa có nhiều kinh nghiệm trong việc vẽ thêm yếu tố phụ khi giải bài tập Hình học

7, không biết nên vẽ thêm yếu tố phụ như thế nào cho hợp lý nên khó khăn trongviệc hướng dẫn cho học sinh, do đó hiệu quả giảng dạy chưa cao Nguyên nhânchính là do giáo viên chưa thực sự đam mê nghiên cứu, tìm tòi, đào sâu và mở rộngkiến thức, chưa nắm được nhiều phương pháp giải toán Do tâm lý học sinh trungbình, yếu sợ học môn Hình nên giáo viên khi dạy giáo viên thường chỉ dạy qua kiếnthức và bài tập trong sách giáo khoa ở mức độ áp dụng kiến thức cơ bản trong bài

mà không cần phải mở rộng, khai thác kiến thức theo nhiều khía cạnh khác nhau,không đưa ra nhiều cách giải khác cho các bài tập, không đưa ra các bài tập đòi hỏiphải vẽ thêm yếu tố phụ để giải Chính vì thế việc giải bài toán bằng cách vẽ thêmyếu tố phụ thường chỉ áp dụng với đối tượng học sinh khá giỏi Để có thể khai thác

và mở rộng kiến thức theo nhiều khía cạnh khác nhau, từ đó đưa ra các bài toán vàphương pháp giải một cách hợp lý, có hiệu quả, kích thích được sự phát triển tưduy của học sinh và giúp học sinh nắm vững kiến thức hơn thì giáo viên phảithường xuyên tìm tòi, nghiên cứu, bổ sung kiến thức mới và đổi mới phương phápdạy học

Học sinh thường có hứng thú học hơn khi gặp các tình huống bất ngờ hoặc

có vấn đề và thường khắc sâu được kiến thức hơn, nhớ được lâu hơn khi tự tìm tòikiến thức mới, phương pháp giải mới cho một bài tập Hình học, mà việc giải mộtbài tập Hình học bằng vẽ thêm yếu tố phụ lại rất có hiệu quả trong việc tạo bất ngờ

và gây hứng thú học tập cho học sinh, giúp học sinh khắc phục được những sai lầmthường gặp do không nắm vững kiến thức trong quá trình giải toán

Để giải được dạng toán này thì đòi hỏi cả giáo viên và học sinh đều phảinắm vững kiến thức Hình học một cách sâu và rộng, nắm được phương pháp giảicủa nhiều dạng toán khác nhau và nắm được các phương pháp dựng hình cơ bản.Hơn nữa không phải lúc nào việc vẽ thêm yếu tố phụ cũng có hiệu quả, nếu không

áp dụng hợp lý thì càng làm cho học sinh tiếp nhận kiến thức một cách mơ hồ hơn

vì không biết nên vẽ thêm yếu tố phụ như thế nào, vận dụng kiến thức nào, cáchgiải nào để giải bài tập cho phù hợp Mặt khác không phải bài toán nào cũng cầnphải vẽ thêm yếu tố phụ để giải nên học sinh phải nhận biết được bài toán nào cần

và bài toán nào không cần vẽ thêm yếu tố phụ để giải

Chính vì thế mà việc giúp HS nắm vững kiến thức, nắm vững được các dạngtoán và phương pháp giải của dạng toán đó để vận dụng vào làm bài tập và giảiquyết các vấn đề thực tế cuộc sống, tạo niềm say mê, hứng thú học Toán cho HS là

vô cùng quan trọng Việc đưa ra một số dạng toán có thể giải bằng cách vẽ thêmyếu tố phụ làm cho tiết học có những tình huống bất ngờ, sinh động và vui vẻ hơn,tạo được hứng thú học tập cho học sinh, nhờ đó hiệu quả của tiết dạy cũng tăng lên,khắc sâu được kiến thức cho học sinh, giúp học sinh tiếp thu kiến thức mới mộtcách nhẹ nhàng hơn, nhớ được lâu hơn để từ đó áp dụng được vào bài tập tương tự

dễ dàng, biết chọn lựa phương pháp giải hay, hợp lý, ngắn gọn khi giải một bài

Người thực hiện: Nguyễn Thị Kim Thoa – Trường THCS Buôn Trấp 6

toán, phát triển tư duy và khả năng sáng tạo của học sinh Bồi dưỡng năng lực tựhọc, tự nghiên cứu và tìm tòi khám phá kiến thức mới cho học sinh.

Qua các vấn đề về thực trạng đã nêu ở trên có thể thấy được sự cần thiết củaviệc hướng dẫn học sinh vẽ thêm yếu tố phụ khi giải bài tập Hình học 7, có thể thấyviệc giải bài toán bằng cách vẽ thêm yếu tố phụ mang lại hiệu quả rất lớn, ngoài ra

nó còn có tác dụng giáo dục học sinh về mọi mặt, đặc biệt là rèn khả năng tư duy,phát huy tính sáng tạo, rèn tính cẩn thận và rèn kỹ năng sử dụng ngôn ngữ chínhxác, chính vì thế trong quá trình giảng dạy giáo viên thực sự nên đưa ra các bài tậpHình học để hướng dẫn học sinh giải bằng cách vẽ thêm yếu tố phụ một cách hợp

lý

3 Nội dung và hình thức của giải pháp:

a Mục tiêu của giải pháp:

- Giúp GV nhận biết được trường hợp nào nên đưa ra bài toán cần vẽ thêmyếu tố phụ để giải khi dạy học môn Toán lớp 7 cho phù hợp để tạo hứng thú học tậpcho học sinh và nâng cao chất lượng, hiệu quả giảng dạy

- Giúp HS nắm vững được bản chất kiến thức, khắc sâu, mở rộng và nângcao kiến thức cho HS, giúp học sinh biết vẽ hình theo yêu cầu đề bài, biết trườnghợp nào cần vẽ thêm yếu tố phụ để giải toán, từ đó có thể vận dụng vào giải bài tập

từ cơ bản đến nâng cao

- Giúp HS tránh được những sai lầm thường gặp khi vẽ hình và khi giải bàitập Hình học, nắm được nhiều phương pháp giải khác nhau cho một bài toán, biếtchọn lựa cách giải hay, ngắn gọn, hợp lý để vận dụng vào giải bài tập, làm cho họcsinh thấy được cái hay, cái đẹp của Toán học

- Tạo ra các tình huống có vấn đề, khơi dậy trí tò mò, óc sáng tạo, niềm say

mê, hứng thú học tập môn Toán của HS

- Tạo ra các tình huống bất ngờ, thú vị, làm tiết học nhẹ nhàng, vui vẻ hơn,tạo sự thân thiện giữa GV và HS

- Phát triển tư duy độc lập sáng tạo, óc phê phán cho HS, giúp các em biếtthắc mắc, biết lật đi lật lại vấn đề, biết tìm tòi, suy nghĩ, rèn kỹ năng vẽ hình và khảnăng suy luận, bồi dưỡng năng lực tự học cho học sinh

b Nội dung và cách thức thực hiện giải pháp:

b.1 Vẽ thêm yếu tố phụ để chứng minh các định lý, tính chất.

Trong chương trình Hình học 7, HS đã bước đầu được làm quen với việcchứng minh định lý hoặc tính chất Hình học Để chứng minh được các định lý, tínhchất trong bài mới thì thường phải vẽ thêm yếu tố phụ để sử dụng kiến thức đã học

trước đó Do vậy giáo viên phải hướng dẫn, gợi ý để học sinh biết cách vẽ thêm yếu

tố phụ cho hợp lý

Ví dụ 1: Trong bài “Hai đường thẳng song song”, GV yêu cầu HS làm bài toán: “Cho hình vẽ sau, biết BAC AC· +· D 180 = 0 Chứng tỏ rằng AB //CD”

HS biết được dấu hiệu nhận biết hai đường thẳng

song “Nếu đường thẳng c cắt hai đường thẳng a và b và

trong các góc tạo thành có một cặp góc so le trong bằng

nhau (hoặc một cặp góc đồng vị bằng nhau) thì a và b song

song với nhau”

Do vậy cần phải tạo ra một cặp góc so le trong hoặc

một cặp góc đồng vị mà sẽ chứng minh được gặp góc đó bằng nhau Điều này gợicho ta nghĩ đến việc vẽ thêm tia đối của một trong bốn tia trên hình AB, AC, CA,CD

BAC AC+ = nên EC· D =·BAC

Mà ·EC v BACD à · là hai góc đồng vị nên AB // CD.Như vậy qua bài toán này, ta có thêm một tính chấtnữa về dấu hiệu nhận biết hai đường thẳng song song

như sau: “Nếu đường thẳng c cắt hai đường thẳng a và b và trong các góc tạo thành có một cặp góc trong cùng phía bù nhau thì a và b song song với nhau”

Ví dụ 2: Chứng minh rằng: Nếu hai góc nhọn xOy và mAn có Ox // Am,

Oy // An thì ·xOy mAn= · .

Vì bài toán cho các cặp đường thẳng song song nên Gv hướng dẫn học sinhlàm thế nào để có thể vận dụng được tính chất của hai đường thẳng song song.Nghĩa là cần vẽ thêm yếu tố phụ là một đường thẳng cắt các cặp đường thẳng songsong để tạo ra các cặp góc so le trong, đồng vị hoặc trong cùng phía Trong trườnghợp này ta có thể vẽ thêm yếu tố phụ là tia OA Khi đó trên hình sẽ xuất hiện cáccặp góc đồng vị bằng nhau, giúp cho việc chứng minh dễ dàng hơn

B A

A

O

n m

y x

* Tương tự ta cũng có thể chứng minh bài toán: “Nếu

hai góc xOy và mAn có Ox // Am, Oy // An và ·xOy= 90 0 thì

Qua bài toán này ta cũng chứng minh được một tính

chất nữa về hai góc có cạnh tương ứng song song: “Nếu hai

góc có cạnh tương ứng song song thì góc này vuông nếu góc

Khi đó hai góc xOy và mAt đều nhọn có Ox //

Am, Oy // At nên ·xOy mAt= · .

Ta lại có: mAn mAt · + · = 1800(hai góc kề bù)

Từ đó suy ra · xOy mAn + · = 1800

Nếu thay góc xOy tù và góc mAn nhọn thì ta cũng có · xOy mAn + · = 1800

Qua bài toán trên ta cũng chứng minh được một tính chất nữa về hai góc có

cạnh tương ứng song song: “Nếu hai góc có cạnh tương ứng song song thì chúng

bù nhau nếu một góc nhọn, một góc tù” (3)

Từ ba tính chất (1); (2) và (3) có được ở các bài toán trên ta có định lý sau:

“Nếu hai góc có cạnh tương ứng song song thì:

a) Chúng bằng nhau nếu cả hai góc đều nhọn hoặc đều tù

b) Góc này vuông nếu góc kia vuông

m A

t x

y

m

n O

A

AM = BC⇔ 2AM = BC, do đó ta tìm cách tạo ra đoạn thẳng bằng 2AM

rồi tìm cách chứng minh BC bằng đoạn thẳng đó Trong trường hợp này, yếu tốphụ cần vẽ thêm là điểm D sao cho M là trung điểm của AD

Xét ∆ABC và ∆BAD có: AC = BD, ·BAC=·ABD ( 90 ) = 0 , cạnh AB chung

⇒ ∆ ∆ABC = ∆BAD (c.g.c) ⇒ BC = AD (2 cạnh tương ứng)

AM = A ⇒AM = BC

* Vì M là trung điểm của BC nên AM là đường trung tuyến của tam giác

vuông ABC Do đó qua bài toán trên ta đã chứng minh được tính chất: “Trong một tam giác vuông, đường trung tuyến ứng với cạnh huyền bằng một nửa cạnh huyền”.

Trong quá trình dạy học Hình học, khi dạy một định lý hay tính chất nào đó,giáo viên có thể đưa ra một bài toán có nội dung là định lý, tính chất trong bài học,yêu cầu HS vận dụng kiến thức đã học để chứng minh, từ đó rút ra định lý, tínhchất qua bài toán Bằng cách này giáo viên vừa có thể tạo tình huống có vấn đề,vừa ôn lại được kiến thức đã học, vừa đưa ra được kiến thức của bài mới Nhưng đểvận dụng được kiến thức đã học để giải bài toán thì thường phải vẽ thêm yếu tốphụ Do đó HS phải nắm vững được kiến thức đã học, biết cách vẽ thêm yếu tố phụphù hợp để đưa về dạng toán đã biết Từ đó có thể giải bài toán dễ dàng

Người thực hiện: Nguyễn Thị Kim Thoa – Trường THCS Buôn Trấp 10

1 1

A

b.2 Vẽ thêm yếu tố phụ để mở rộng và phát triển bài toán.

Trong các tiết luyện tập ôn tập hoặc bồi dưỡng học sinh giỏi, sau khi cho HSlàm xong một bài toán hình nào đó, giáo viên có thể vẽ thêm yếu tố phụ trên hình

để khai thác, phát triển hoặc mở rộng bài toán, tạo ra các dạng bài toán mang tínhchất tổng hợp Làm như vậy sẽ kích thích được trí tò mò, phát huy khả năng tư duy,sáng tạo của học sinh, đồng thời làm cho học sinh hứng thú hơn với việc học Hìnhhọc Ngoài ra việc vẽ thêm yếu tố phụ để mở rộng bài toán còn giúp giáo viên ra đềkiểm tra Hình học dễ dàng hơn

Ví dụ 1: Cho tam giác cân ABC có AB = AC Trên tia đối của các tia BA

và CA, lấy hai điểm D và E, sao cho BD = CE Chứng minh DE //BC.

*Hướng dẫn giải:

Ta có: AB = AC (gt) và BD = CE (gt) nên AD = AED

Từ (1) và (2) ⇒·ABC= · DEA Mà ·ABCvà · DEA là hai góc đồng vị nên BC // DE

Sau khi HS giải xong bài toán trên, giáo viên vẽ thêm yếu tố phụ: Từ D kẻ DM vuông góc với BC, từ E kẻ EN vuông góc với BC” sau đó yêu cầu HS chứng minh:

C B

A

N M

E D

C B

A

1 2

1

2

Ta có: ∆AMD = ∆ANE (vì AD = AE, D¶1 =Eµ1, DM = EN )

⇒AM = AN (hai cạnh tương ứng) ⇒ ∆AMNcân tại A

GV tiếp tục mở rộng bài toán bằng cách vẽ thêm yếu tố phụ như sau: Từ B

kẻ BH vuông góc với AM tại H, từ C kẻ CK vuông góc với AN tại K, chúng cắt nhau tại I Yêu cầu HS chứng minh:

+) BH = CK, AH = AK

+) AI là tia phân giác chung của hai góc BAC và góc MAN.

+) AI là đường trung trực của BC

+) Tam giác IBC cân.

*Chứng minh: AI là tia phân giác chung của hai góc BAC và góc MAN.

Ta có: ∆AHI = ∆AKI (vì AI chung, AH = AK) ⇒·HAI =K· AI ⇒MAI· =·NAI (1)

∆AMD = ∆ANE (cmt) ⇒MA· D =NA· E ⇒HAB K C· = · A (2)

Từ (1) và (2) ⇒BAI C· = · AI(3)

Từ (1) và (3) ⇒ AI là tia phân giác chung của hai góc BAC và góc MAN

*Chứng minh: AI là đường trung trực của BC

Gọi O là giao điểm của AI và BCKhi đó ∆ABO =∆ACO (Vì AB = AC,

N M

E D

C B

A

1 2

1

2

2 1

O I

K H

N M

E D

C B

A

1 2

1

2

Ta lại có: ∆ABO = ∆ACO ⇒ OB = OC (2 cạnh tương ứng) (5)

Từ (4) và (5) ⇒ AO là đường trung trực của BC hay AI là đường trung trựccủa BC

*Chứng minh tam giác IBC cân:

∆ABI = ∆ACI (Vì AB = AC, BAI C· = · AI, AI chung) ⇒ IB = IC (2 cạnh tươngứng) ⇒ ∆IBC cân tại I

*Chứng minh AI vuông góc với DE:

Bài toán trên vẫn có thể tiếp tục mở rộng theo hướng khác, chẳng hạn có

thể yêu cầu HS chứng minh AI là đường trung trực của MN và DE; chứng minh HK // MN hoặc gọi P là trung điểm của DE, chứng minh ba điểm A, I, P thẳng hàng,

Ví dụ 2: Cho tam giác ABC cân tại A Trên cạnh BC lấy điểm D, trên tia đối của tia CB lấy điểm E sao cho BD = CE Từ D kẻ đường vuông góc với BC cắt AB ở M, từ E kẻ đường vuông góc với BC cắt AC ở N Chứng minh MD = NE.

*Hướng dẫn giải:

Ta có: ∆ABC cân tại A ⇒ =B Cµ µ1

Mà Cµ1 =C¶2(hai góc đối đỉnh) nên µB C=¶2 Hai tam giác vuông BDM và CEN có:

µ ¶ 2

B C= (cmt) và BD = CE (gt)

⇒ ∆BDM = ∆CEN (cgv – gnk)

*Sau khi học sinh giải xong, GV vẽ MN cắt DE tại I Yêu cầu HS chứng minh I

là trung điểm của DE.

Ta có: MD // NE (⊥BC) ⇒M¶ 1 =IN· E(2 góc so le trong)Hai tam giác vuông DMI và ENI có: M¶ 1 =·INE(cmt) và

MD = NE (gt)

⇒ ∆DMI = ∆ENI (cạnh góc vuông – góc nhọn kề)

1 2

N

M

E D

C B

A

I

1 2

1

M

E D

C B

A

⇒ DI = IE (2 cạnh tương ứng) hay I là trung điểm của DE.

* GV có thể tiếp tục vẽ thêm yếu tố phụ để tạo thêm hình như sau: Từ C

kẻ đường vuông góc với AC, từ B kẻ đường vuông góc với AB, chúng cắt nhau tại O rồi yêu cầu HS chứng minh AO là đường trung trực của BC.

*Hướng dẫn giải:

Hai tam giác vuông ∆ABO và ∆ACO có: AB = AC, AO chung

⇒ ∆ABO = ∆ACO (cạnh huyền – cạnh góc vuông)

1 2

A A

⇒ = (2 góc tương ứng)

Gọi H là giao điểm của AO và BC

Xét ∆ABH và ∆ACH có: AB = AC, µA1 =A¶2 , AH chung

⇒ ⊥ tại trung điểm H của BC

Vậy AO là đường trung trực của BC

Qua hai bài toán trên có thể thấy việc vẽ thêm yếu tố phụ có thể giúp giáoviên khai thác, mở rộng bài toán theo nhiều hướng khác nhau, tạo ra bài toán tổnghợp được rất nhiều kiến thức và nhiều cách chứng minh Hình học giúp giáo viênthuận lợi trong việc ôn tập hoặc ra đề kiểm tra

Trong quá trình giảng dạy, khi giáo viên đưa ra các bài tập có hình vẽ phứctạp và có nhiều câu hỏi ngay một lúc thì sẽ làm cho HS có cảm giác ngợp và vốn đã

sợ làm bài tập hình thì lại càng sợ hơn Không giống như Số học hay Đại số, chỉcần nhìn đề bài là học sinh nhận ra được yêu cầu của bài toán, nhận biết được dạngtoán, biết bài toán dễ hay khó và có làm được hay không, còn bài tập hình học thìbắt buộc học sinh phải vẽ được hình, dựa vào hình vẽ để giải, do mỗi bài lại cócách giải khác nhau nên học sinh thực sự cảm thấy rất khó khăn và luôn có tưtưởng ngại khó, sợ mình không làm được Chính vì thế giáo viên không nên đưa racác dạng bài tập có nhiều câu, mà nên khéo léo vẽ dần thêm các yếu tố phụ để mởrộng thêm bài toán sau khi học sinh làm xong từng câu, như vậy học sinh sẽ cảmthấy đỡ áp lực và hứng thú hơn với bài học mà giáo viên lại đưa ra được nhiều kiếnthức tổng hợp cho học sinh

Người thực hiện: Nguyễn Thị Kim Thoa – Trường THCS Buôn Trấp 14

2 1

N

M

E D

C B

A

b.3 Vẽ thêm yếu tố phụ để giải các bài toán mà nếu không vẽ thêm yếu

tố phụ thì không thể tìm được lời giải.

Trong qua trình dạy và học Hình học, chắc chắn cả giáo viên và học sinh sẽgặp phải những bài toán hình học mà nếu chỉ dựa vào các yếu tố bài toán đã chothì chưa thể tìm được lời giải Do đó cả GV và HS phải tìm cách vẽ thêm yếu tốphụ đưa bài toán về dạng quen thuộc hoặc có thể sử dụng các kiến thức đã học đểgiải Việc vẽ thêm yếu tố phụ một cách hợp lý thực sự rất khó đối với nhiều họcsinh, đòi hỏi phải có sự sáng tạo để thuận lợi cho việc giải toán chứ không phải vẽmột cách tùy tiện Do đó giáo viên phải biết cách gợi ý, dẫn dắt học sinh để tìm racách vẽ thêm yếu tố phụ cho phù hợp với bài toán đặt ra

Ví dụ 1: Cho tam giác ABC vuông tại A có ·ABC= 60 0 Chứng minh

có thể sử dụng để làm các bài toán liên quan đến nửa tam giác đều

Ví dụ 2: Cho ∆ABC có µA=600 Chứng minh BC 2 = AB 2 + AC 2 – AB AC

2

1 2

1

D C

Bài toán chỉ cho duy nhất một yếu tố là µA=600, mà lại yêu cầu chứng minh

BC2 = AB2 + AC2 – AB AC Dựa vào yếu tố đã cho thì chưa giải được bài toán nên

ta nghĩ đến việc vẽ thêm yếu tố phụ là đường vuông góc để tạo ra nửa tam giác đều

và để có thể áp dụng được định lý Pi-ta-go Trong trường hợp ta vẽ yếu tố phụ làđường thẳng CH vuông góc với AB (H ∈ AB) Áp dụng định lý Pi-ta-go vào cáctam giác vuông HAC, HBC ta sẽ có điều phải chứng minh

*Hướng dẫn giải:

Vẽ đường thẳng CH vuông góc với AB (H ∈ AB)

∆HAC vuông tại H có µA= 60 0 nên là nửa tam giácđều

2

AC AH

AC tại E Chứng minh rằng BD = CE.

Muốn chứng minh BD = CE, ta tìm cách tạo ra đoạn thẳng thứ ba rồi chứngminh chúng bằng đoạn thẳng thứ ba đó Muốn vậy ta cần vẽ thêm yếu tố phụ làđường thẳng qua B và song song với AC cắt DE ở F BF chính là đoạn thẳng thứ ba

đó

*Hướng dẫn giải:

Người thực hiện: Nguyễn Thị Kim Thoa – Trường THCS Buôn Trấp 16

60 °

2 1

H

C B

A

1

1

1 2 1

A

Vẽ đường thẳng qua B và song song với CE, gọi F là giao điểm của đườngthẳng này với đường thẳng DE.

Khi đó µB1 =Cµ (hai góc so le trong)

· D

BA

*Hướng dẫn giải:

Trên nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng BC có

chứa điểm A, vẽ tam giác đều BEC

∆ABC cân tại A

A