BÀI tập HÌNH ON THI vào 10 PHẦN 123

BÀI TẬP HÌNH HỌC ƠN THI HK II + TS 10 GIÁO VIÊN CÙ MINH QUẢNG ( O;R ) điểm M nằm ngồi đường trịn Từ M kẻ hai tiếp tuyến MA , MB ( A , B tiếp tuyến) N điểm di động đoạn AO Đường thẳng MN cắt Câu Cho đường tròn ( O) C D ( C nằm M N ), cắt đường thẳng OB P Gọi I trung điểm AB 1) Chứng minh tứ giác MAOB nội tiếp 2) Chứng minh : AC.BD = AD.BC 3) Khi OM = R CI a) Tính tỉ số MC b) Đường thẳng IN cắt AP E Tìm vị trí điểm N để diện tích tam giác AOE lớn Lời giải 1) Chứng minh tứ giác MAOB nội tiếp · AMO = 90° · ANO = 90° ⇒ tứ giác MAOB nội tiếp (đpcm) Theo tính chất tiếp tuyến ta có  2) Chứng minh : AC.BD = AD.BC Ta có ∆ACM # ∆DAM (g – g) ∆BCM # ∆DBM (g – g) TRƯỜNG THCS YÊN PHONG – Ý YÊN ⇒ ⇒ AC CM = AD AM ( 1) BC CM BC CM = ⇒ = BD BM BD AM ( ) PHONE: 0983.265.289 BÀI TẬP HÌNH HỌC ƠN THI HK II + TS 10 Từ ( 1) ( 2) GIÁO VIÊN CÙ MINH QUẢNG AC BC = ⇒ AC.BD = AD.BC suy AD BD (đpcm) 3) Khi OM = R 2 Ta có R 2 R R OM = R ⇒ OI = ⇒ AI = AO − IO = R −  ÷ = ữ 2 ẳ = 45° ⇒ ∆MAO ⇒ IA + OI = AO ⇒ ∆OAI vuông cân I ⇒ AOI vng cân A ⇒ Tứ giác MAOB hình vng có cạnh R Ta có MI.MO = R R = R 2 Lại có ∆ACM ∽∆DAM (g – g) ⇒ MI.MO = MC.MD ⇒ ⇒ AM MC = ⇒ MC.MD = MA = R DM MA MC MI = MO MD ∆MCI ∽∆MOD (c – g – c) ⇒ CI OD R = = = = MC MO R 2 Kẻ NK ⊥ IO ⇒ ∆NKO vuông cân K ⇒ NK = KO Xét ∆INK có : Xét ∆AOP có : Từ ( 1) ( 2) · tan NIO = NK OK ON = = IK IK AN ( NK //AI ) · tanOAP = OP OP ON = = OA AM AN ( OP//AM ) ( 1) · · · · · ta có tan NIO = tanOAP ⇒ NIO = OAP ⇒ tứ giác AIOE nội tiếp ⇒ AEO = 90° TRƯỜNG THCS YÊN PHONG – Ý YÊN PHONE: 0983.265.289 BÀI TẬP HÌNH HỌC ƠN THI HK II + TS 10 S∆AOE = GIÁO VIÊN CÙ MINH QUẢNG ( ) 1 R AE.OE ≤ AE + OE = AO2 = 4 R2 OE = AE ⇒ IE đường trung bình tam giác ∆ABP ⇒ N trung điểm AO ⇒ maxS∆AOE = ( O; R ) điểm S cố định nằm ngồi đường trịn ( O ) Kẻ hai tiếp tuyến SA SB đường tròn ( O; R ) ( A,B tiếp điểm) Đường thẳng qua S cắt đường tròn ( O ) C Câu Cho đường tròn D ( SC < SD C, O, D không thẳng hàng) Gọi E trung điểm đoạn thẳng CD 1) Chứng minh bốn điểm S, A, O, B thuộc đường tròn · · 2) Chứng minh AOB = 2.SEB ( ) O 3) Tia BE cắt đường tròn F Chứng minh tứ giác ACDF hình thang cân xác định vị trí cát tuyến SCD để diện tích tam giác SDF đạt giá trị lớn Lời giải 1) Chứng minh bốn điểm S, A, O, B thuộc đường trịn · S; A; O Ta có: SAO = 90 nên thuộc đường trịn đường kính SO · S; B; O Ta có: SBO = 90 nên thuộc đường trịn đường kính SO Vậy bốn điểm S, A, O, B TRƯỜNG THCS YÊN PHONG – Ý YÊN thuộc đường tròn PHONE: 0983.265.289 BÀI TẬP HÌNH HỌC ƠN THI HK II + TS 10 GIÁO VIÊN CÙ MINH QUẢNG CD OE ⊥ CD E 2) Vì Gọi trung điểm đoạn thẳng nên (tính chất đường kính dây cung) · SEO = 900 nên S; E; O thuộc đường trịn đường kính SO Vậy điểm S; E; O; B · · thuộc đường trịn đường kính SO ⇒ SOB = SEB · · Mà AOB = 2.SOB (tính chất tiếp tuyến cắt nhau) · · Do AOB = 2.SEB · B = AOB · AF 3) Ta có: (Tính chất góc nội tiếp) · · ⇒ SEB = AOB ·AOB = 2.SEB · Mà (cmt) · · Nên SEB = AFB mà góc vị trí đồng vị Nên AF / /CD (1) » · · SAC = SDA = sdAC Ta có: (2 góc nội tiếp chắn cung) » · · ADF = ABF = sdAF (2 góc nội tiếp chắn cung) » · · ASC = ABF = sdAE (2 góc nội tiếp chắn cung) · · · · ⇒ SAC + ASC = SDA + ADF · · · ⇒ SAC + ASC = CDF · · · Mà SAC + ASC = ACD · · ACD = CDF (2) Từ (1) (2) nên tứ giác ACDF hình thang cân Ta có S∆SAD = S∆SFD (cùng đáy SD chiều cao) Kẻ DH ⊥ SA tạ H S∆SAD = DH.SA Có TRƯỜNG THCS YÊN PHONG – Ý YÊN PHONE: 0983.265.289 BÀI TẬP HÌNH HỌC ƠN THI HK II + TS 10 Mà DH ≤ AH ≤ 2R S∆SAD max ⇔ DH max = 2R ⇔ A, O, D GIÁO VIÊN CÙ MINH QUẢNG thẳng hàng Diện tích tam giác SDF lớn vẽ cát tuyến SCD cho A;O; D thẳng hàng Câu Cho ( O ;R ) ( điểm A cố định bên O) ( O ) M , N Qua A , kẻ đường thẳng d cắt ( AM < AN ) Gọi I trung điểm MN Kẻ tiếp tuyến AB ,AC tới ( O ) , ( B ,C tiếp điểm B thuộc cung lớn MN ) · · a) Chứng minh: AOB = BNC b) Gọi H giao điểm OA BC Chứng minh AC = AM.AN tứ giác ONMH tứ giác nội tiếp c) Kẻ tiếp tuyến M , N cắt S Chứng minh HC phân giác góc MHN B ,C ,S thẳng hàng Lời giải a) ( O) Xét ta có: 1· · ⇒ BOA = BOC ·COA = BOA · (tính chất tiếp tuyến cắt nhau) (1) 1· · BNC = BOC » ( 2) Lại có: (góc nội tiếp góc tâm chắn BC ) TRƯỜNG THCS YÊN PHONG – Ý YÊN PHONE: 0983.265.289 BÀI TẬP HÌNH HỌC ƠN THI HK II + TS 10 · · ( 1) ( ) suy ra: AOB = BNC Từ GIÁO VIÊN CÙ MINH QUẢNG b) * Xét ∆AMC ∆ACN ta cú: chung A Ã Ã ẳ ACM = ANC (góc nội tiếp góc tạo tia tiếp tuyến dây cung chắn MC ) ∆ACN ( g.g ) Suy ∆AMC ∽ ⇒ AC AM = ⇒ AC = AM.AN ( 3) AN AC (đpcm) * Xét ( O) ta có: AC = AB (tính chất tiếp tuyến cắt nhau) ( ) OB = OC (bán kính O ) Do đó: AO đường trung trực BC ⇒ AO ⊥ BC (tại H ) µ chung A · · Xét ∆AHC ∆ACO ta có: AHC = ACO = 90° AH Suy ∆AHC ∽ ∆ACO ( 3) Từ ( 4) suy ra: AC ( g.g ) ⇒ AC = AO ⇒ AC AM.AN = AH.AO ⇒ = AH.AO ( ) AM AH = AO AN µ chung A   AM AH = ( cmt )  AO AN  ∆ AON ∆ AMH Xét ta có: Suy ∆AMH ∽ ∆AON · · ( c.g.c ) ⇒ AHM = ANO (hai góc tương ứng) ⇒ Tứ giác ONMH nội tiếp (góc ngồi đỉnh góc đỉnh đối) ( *) · · » ( 5) c) Ta có: OHN = OMN (góc nội tiếp chắn ON ) ( O) ) Xét ∆OMN ta có: OM = ON (bán kính ( ) · · ⇒ ∆OMN cân O ⇒ OMN = ONM · · · Lại có: ONM = ONA = AHM Từ ( ) ,( ) , ( ) ( 7) · · ( 8) suy ra: OHN = AHM · · · · ( 9) Lại có: OHN + NHC = 90° AHM + MHC = 90° Từ ( ) ,( ) · · · suy ra: NHC = MHC ⇒ HC tia phân giác MHN · · * Xét tứ giác SMON ta có: SMO = SNO = 90° (tính chất tiếp tuyến cắt nhau) TRƯỜNG THCS YÊN PHONG – Ý YÊN PHONE: 0983.265.289 BÀI TẬP HÌNH HỌC ÔN THI HK II + TS 10 · · ⇒ SMO + SNO = 180° ⇒ Tứ giác SMON nội tiếp ( **) Từ ( *) ,( **) GIÁO VIÊN CÙ MINH QUẢNG ta có điểm S , M , H , O , N thuộc đường tròn đường kính SO ( ) ⇒ SH ⊥ OH 10 ( 11) Lại có: BC ⊥ OH ( OA đường trung trực BC , H ∈ OA ) ⇒ CH ⊥ OH Từ ( 10 ) ;( 11) Câu Cho đường trịn ta có: B ,C ,S thẳng hàng ( O ) bán kính R , đường thẳng d khơng qua O cắt đường trịn hai điểm A, B Từ điểm C d ( A nằm B C ), vẽ tiếp tuyến CN với đường tròn ( N tiếp điểm; N thuộc cung AB lớn) Gọi E trung điểm đoạn AB a) Chứng minh bốn điểm C, E, O, N nằm đường tròn b) Chứng minh CN = CA.CB · · c) Gọi H hình chiếu điểm N OC Chứng minh OAB = CHA Tia CO cắt đường tròn (O) hai điểm D I ( I nằm C, D ) Chứng minh IC.DH = DC.IH Lời giải a) Vì E TĐ AB nên OE ⊥ AB ⇒ OE ⊥ CE ⇒ E ∈ đường trịn đường kính OC Vì CN tiếp tuyến đường tròn, N tiếp điểm nên CN ⊥ ON ⇒ N ∈ đường tròn đường kính OC Do E, N thuộc đường trịn đường kính OC hay bốn điểm C, E,O, N nằm đường trịn đường kính OC (ĐPCM) , suy tứ giác OECN nội tiếp  1»  · · ANC = CBN  = AN ÷ ·   ( góc nội tiếp góc tạo tia tiếp tuyến dây cung); BCN b) Ta có CA CN ∆NBC ∽ ∆ANC ( g − g ) ⇒ CN = CB ⇒ CN = CA.CB chung nên TRƯỜNG THCS YÊN PHONG – Ý YÊN PHONE: 0983.265.289 BÀI TẬP HÌNH HỌC ƠN THI HK II + TS 10 GIÁO VIÊN CÙ MINH QUẢNG O ∆ CNO NH c) +) vuông , đường cao , áp dụng hệ thức lượng tam giác ta có CN = CH.CO Ta lại có CN = CA.CB ( cmt) Do Suy ( ) CA.CB = CH.CO = CN ⇒ CH CA = CB CO , · · ∆CAH ∽ ∆COB ( c.g.c ) ⇒ CHA = CBO (1) · · Vì OA = OB ( bán kính) nên ∆OAB cân O ⇒ OAB = ABO (2) · · Từ (1) (2) ta suy OAB = CHA (đpcm) +) Chứng minh tương tự ta có · · ∆CAI ∽ ∆CDB ( c.g.c ) ⇒ CAI = CDB (3) 1· · BDI = BOI · · º Mà ( góc nội tiếp góc tâm chắn BI ); IOB = CAH  ·  1· 1· · ⇒ CAI = CAH  = BDI = BOI ÷ · 2   ⇒ AI tia phân giác CAH · · · Mà AI ⊥ AD; CAH,HAB hai góc kề bù ⇒ AD tia phân giác BAH Xét ∆AHC có AI, AD đường phân giác phân giác đỉnh A ⇒ IC DC  AC  = = ÷⇒ IC.DH = IH.DC IH DH  AH  (đpcm) Câu Cho đường tròn ( O; R ) , đường kính AB Lấy C đường trịn ( O ) cho AC > CB , kẻ dây cung CD vng góc với đường kính AB E Gọi M điểm cung nhỏ AC Tia AM cắt tia BC S 1) Chứng minh SM.SA = SC.SB tam giác ABS cân ( O ) cắt tia BM N Chứng minh tứ giác ANSB 2) Qua A kẻ tiếp tuyến với đường tròn nội tiếp 3) Gọi K giao điểm AC BM Kẻ KH vng góc với AB H Chứng minh điểm M , H , D thẳng hàng 4) Tính diện tích hình trịn ngoại tiếp tam giác AMH theo R biết AM = R TRƯỜNG THCS YÊN PHONG – Ý YÊN PHONE: 0983.265.289 BÀI TẬP HÌNH HỌC ÔN THI HK II + TS 10 GIÁO VIÊN CÙ MINH QUẢNG Lời giải · ( O ) có AMB = 90° (góc nội tiếp chắn nửa đường trịn) 1) Xét · · · Mà AMB SMC góc kề bù ⇒ SMC = 90° · Chướng minh tương tự SCA = 90° Xét ∆SMB ∆SCA có: S$ chung · · SMB = SCA = 90° (cmt) Suy ∆SMB ∽ ∆SCA (g – g) SM SB = ⇒ SM.SA = SC.SB SC SA (đpcm) »AC ⇒ AM ¼ = MC ¼ M điểm ¼ ¼ · · Xét (O): AM = MC ⇒ ABM = SBM (chắn hai cung nhau) ⇒ · Xét ∆ABS có: AMB = 90° ⇒ BM ⊥ AS ⇒ BM đường cao · · · ABM = SBM (cmt) ⇒ BM phân giác ABS ⇒ ∆ABS cân B ¼ · ⇒ MAN = sdAM ·MAN có góc tạo tia tiếp tuyến dây cung ¼ = sdMC ·MBC ·MC ⇒ MBC · góc nội tiếp chắn ¼ ¼ · · · · Mà AM = MC ⇒ MAN = MBC hay SAN = SBC · · Xét tứ giác ANSB có SAN = SBC ; M , N hai đỉnh kề nhìn SN ⇒ ANSB nội tiếp (dhnb) · · · · 3) Xét tứ giác AHKM có AMK = AHK = 90° ⇒ AMK + AHK = 90° + 90° = 180° · · ( 1) = KAH ⇒ tứ giác AHKM nội tiếp ⇒ KMH ( O) 2) Xét TRƯỜNG THCS YÊN PHONG – Ý YÊN PHONE: 0983.265.289 BÀI TẬP HÌNH HỌC ƠN THI HK II + TS 10 GIÁO VIÊN CÙ MINH QUẢNG · · · · Chứng minh: ∆CAE = ∆DAE ⇒ CAE = DAE hay DAB = KAH · · · · ( 2) Mà: DAB = BMD (2 góc nội tiếp chắn cung) ⇒ KHA = BMD · · · · ( 1) , ( ) ⇒ KMH = BMD hay BMH = BMD Từ H , D thuộc nửa mặt phẳng bờ BM ⇒ Tia MH & MD trùng ⇒ M , H , D thẳng hàng 4) Ta có: tứ giác AHKM nội tiếp nên đường tròn ngoại tiếp ∆AMH đường tròn ngoại tiếp tứ giác AHKM có đường kính AK AM R · · sinABM = = = ⇒ ABM = 30° · ⇒ MAC = 30° AB 2R Xét ∆AMB có AM AM R R 2R · cosMAK = ⇒ AK = = = = · AK 3 cosMAK cos30° Xét ∆MAK có AK 2R R r= = :2 = ⇒ Bán kính đường trịn ngoại tiếp ∆AMH 3 R 3 πR πr = π  ÷ =  ÷   ⇒ Diện tích hình trịn ngoại tiếp tam giác AMH (đvdt) ( O ) vẽ hai tiếp tuyến AD,AE(D,E tiếp điểm).Vẽ cát Bài Từ điêm A nằm ngồi đường trịn ( O ) cho B nằm A C.Tia AC nằm hai tia AD,AO Từ tuyến ABC đường tròn O kẻ OI ⊥ AC I a) Chứng minh điểm A, D, E, I,O nằm đường tròn b) Chứng minh IA tia phân giác DIE AB.AC = AD c) Gọi K F giao điểm ED với AC OI Qua D vẽ đường thẳng song song với EI cắt OF AC H P.Chứng minh D trung điểm HP Lời giải a) Ta có IB = IC ⇒ OI ⊥ BC = I (tính chất đường kính dây cung) · · · +) OIA = ODA = OCA = 90 · · · Mà góc OIA, ODA, OCA nhìn cạnh OA góc 90 Suy điểm A, D, E, I, O nằm đường tròn » · DIA = sdAD b) Ta có: (góc nội tiếp) » · EIA = sdAE (góc nội tiếp) » » Mà sd AD = sd AE TRƯỜNG THCS YÊN PHONG – Ý YÊN 10 PHONE: 0983.265.289 ... giác SMON ta có: SMO = SNO = 90° (tính chất tiếp tuyến cắt nhau) TRƯỜNG THCS YÊN PHONG – Ý YÊN PHONE: 0983.265.289 BÀI TẬP HÌNH HỌC ÔN THI HK II + TS 10 · · ⇒ SMO + SNO = 180° ⇒ Tứ giác SMON nội... PHONG – Ý YÊN 19 PHONE: 0983.265.289 BÀI TẬP HÌNH HỌC ƠN THI HK II + TS 10 BH / / EC ( cmt ) GIÁO VIÊN CÙ MINH QUẢNG CH / / EB ( cmt ) Suy tứ giác BNCE hình bình hành ( dấu hiệu nhận biết hình. .. = NE.NC 3) Chứng minh MN song song AB · · Tứ giác BFEC có: BFC = BEC = 90° TRƯỜNG THCS YÊN PHONG – Ý YÊN 23 PHONE: 0983.265.289 BÀI TẬP HÌNH HỌC ƠN THI HK II + TS 10 GIÁO VIÊN CÙ MINH QUẢNG