Bài 5: Cho tam giác ABC vuông tại A và AC > AB , D là một điểm trên cạnh AC sao cho CD < AD.Vẽ đường tròn D tâm D và tiếp xúc với BC tại E.Từ B vẽ tiếp tuyến thứ hai của đường tròn D với[r]
(1)Bài 1: Cho tam giác ABC có Â > 900 Vẽ đường tròn (O) đường kính AB và đường tròn (O’) đường kính AC Đường thẳng AB cắt đường tròn (O’) điểm thứ hai là D, đường thẳng AC cắt đường tròn (O) điểm thứ hai là E a)Chứng minh bốn điểm B, C, D, E cùng nằm trên đường tròn b)Gọi F là giao điểm hai đường tròn (O) và (O’) (F khác A) Chứng minh ba điểm B, F, C thẳng hàng và FA là phân giác góc EFD x c)Gọi H là giao điểm AB và EF Chứng minh BH.AD = AH.BD E HD: D A H O' O B F C a) ∠ AEB =900 ; ∠ ADC =900 Suy bốn điểm B, C, D, E cùng nằm trên đường tròn * ∠ AFB = ∠ AFC = 900(Góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) Suy ∠ AFB + ∠ AFC =1800 Suy ba điểm B, F, C thẳng hàng * ∠ AFE = ∠ ABE cùng chắn cung AE ∠ AFD = ∠ ACD cùng chắn cung AD Mà ∠ ECD = ∠ EBD (cùng chắn cung DE tứ giác BCDE nội tiếp) Suy ∠ AFE = ∠ AFD=> FA là phân giác góc DFE AH EH Chứng minh EA là phân giác tam giác DHE và suy AD ED (1) BH EH Chứng minh EB là phân giác ngoài tam giác DHE và suy BD ED (2) Từ và suy đpc/m Bài 2: Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB Từ A và B kẻ hai tiếp tuyến Ax và By Qua điểm M thuộc nửa đường tròn này, kẻ tiếp tuyến thứ ba, cắt các tiếp tuyến Ax và By E và F a) Chứng minh AEMO là tứ giác nội tiếp b) AM cắt OE P, BM cắt OF Q Tứ giác MPOQ là hình gì? Tại sao? c) Kẻ MH vuông góc với AB ( H thuộc AB) Gọi K là giao điểm MH và EB So sánh MK với KH d) Cho AB = 2R Gọi r là bán kính đường tròn nội tiếp tam giác EOF r Chứng minh rằng: R (2) HD: a) C/m tứ giác AEMO nội tiếp b) C/m tứ giác MPOQ là hình chữ nhật EM EF EM EF = = c) C/m MK FB và MK MF EM EA = C/m MK KH , từ đó suy MK = KH d) Gọi độ dài cạnh tam giác vuông EOF là a, b, c; và đường cao OM = R r a = C/m R a + b +c a a < = C/m a + b + c 2a a a > = C/m a + b +c 3a Từ đó suy điều phải c/m Bài 3: Cho đường tròn tâm O bán kính R Từ điểm A nằm ngoài đường tròn kẻ các tiếp tuyến AM và AN với đường tròn (M, N là các tiếp điểm) a) Chứng minh tứ giác AMON nội tiếp b) Biết AM = R Tính OA theo R c) Tính diện tích hình quạt tròn chắn cung nhỏ MN đường tròn tâm O theo bán kính R d) Đường thẳng d qua A, không qua điểm O và cắt đường tròn tâm O hai điểm B, C Gọi I là trung điểm BC Chứng tỏ năm điểm A, M, N, O và I cùng nằm trên đường tròn HD: a) Chứng minh tứ giác AMON nội tiếp: +Xét (O) có: AM là tiếp tuyến M AM OM ∠ OMA =900 (1) AN là tiếp tuyến N AN ON ∠ ONA=900 (2) Từ (1 , (2) ∠ OMA+ ∠ ONA =1800 Tứ giác AMON nội tiếp đường tròn đường kính OA b) Biết AM = R Tính OA theo R: OAM vuông M OA = OA = OM AM R2 R2 R c)Tính diện tích hình quạt tròn chắn cung nhỏ MN đường tròn tâm O theo bán kính R +Xét (O) có: Hai tiếp tuyến AM, AN cắt A AM = AN =R = OM = ON AMON là hình thoi (1) Mà: ∠ OMA =90 (cmt) (2) Từ (1) và (2) AMON là hình vuông ∠ MON =900 n0 = 900 (3) Squạt R n R 90 R 360 360 (đvdt) = = (MON) a) Chứng tỏ năm điểm A, M, N, O và I cùng nằm trên đường tròn +Xét (O) có:I là trung điểm dây BC OI BC Suy ∠ OIA =900 nhìn đoạn OA I đường tròn đường kính OA (1) Tứ giác AMON nội tiếp đường tròn đường kính OA (2) Từ (1), (2 điểm A,M, N, O, I đường tròn đường kính OA Bài 4: Cho hình vuông ABCD, điểm M thuộc cạnh BC (M khác B, C) Qua B kẻ đường thẳng vuông góc với DM, đường thẳng này cắt các đường thẳng DM và DC theo thứ tự H và K Chứng minh: Các tứ giác ABHD, BHCD nội tiếp đường tròn; Tính ∠ CHK; Chứng minh KH.KB = KC.KD; 1 2 Đường thẳng AM cắt đường thẳng DC N Chứng minh AD AM AN HD: A B H M P + Ta có Nên + Ta có D C K N ∠ DAB =900 (ABCD là hình vuông) ∠ BHD =900 (gt) ∠ DAB + ∠ BHD = 180o Tứ giác ABHD nội tiếp ∠ BHD = 90o (gt) ∠ BCD = 90o (ABCD là hình vuông) Nên H; C cùng thuộc đường tròn đường kính DB Tứ giác BHCD nội tiếp ∠ BDC+ ∠ BHC = 180o ; ∠ CHK+ ∠ BHC = 180o Ta có: ∠ CHK= ∠ BDC mà ∠ BDC = 45o (tính chất hình vuông ABCD) ∠ CHK = 45o Xét KHD và KCB ∠ KHD = ∠ KHB = 90o; ∠ DKB chung KHD đồng dạng với (4) KH KD KCB (g.g) KC KB KH.KB = KC.KD (đpcm) Qua A kẻ đường thẳng vuông góc với AM, đường thẳng này cắt đường thẳng DC P Ta có: ∠ BAM = ∠ DAP (cùng phụ ∠ MAD) AB = AD (cạnh hình vuông ABCD) ∠ ABM = ∠ ADP = 900 Nên BAM = DAP (g.c.g) AM = AP Trong PAN có: ∠ PAN = 90o ; AD PN 1 2 2 nên AD AP AN (hệ thức lượng tam giác vuông) 1 2 AD AM AN Bài 5: Cho tam giác ABC vuông A và AC > AB , D là điểm trên cạnh AC cho CD < AD.Vẽ đường tròn (D) tâm D và tiếp xúc với BC E.Từ B vẽ tiếp tuyến thứ hai đường tròn (D) với F là tiếp điểm khác E a) Chứng minh năm điểm A ,B , E , D , F cùng thuộc đường tròn b) Gọi M là trung điểm BC Đường thẳng BF cắt AM,AE,AD theo IK AK = thứ tự các điểm N,K,I Chứng minh IF AF Suy ra: IF.BK=IK.BF c) Chứng minh tam giác ANF là tam giác cân HD: A F K I N D O B // M // E C Theo tính chất tiếp tuyến, ta có: ∠ BED= ∠ BFD = 900 Mà ∠ BAD= ∠ BAC= 900 (giả thiết) (5) Do đó: ∠ BED= ∠ BFD = ∠ BAD = 900 Vậy: năm điểm A,B,E,D,F cùng thuộc đường tròn đường kính BD Gọi (O) là đường tròn đường kính BD Trong đường tròn (O), ta có : D CUNGDE = CUNG DF (do DE, DF là bán kính đường tròn ) suy ∠ EAD = ∠ DAF Suy : AD là tia phân giác ∠ EAFF hay AI là tia phân giác KAF IK AK = Theo tính chất phân giác ta có IF AF (1) Vì AB AI nên AB là tia phân giác ngoài đỉnh A KAF BK AK = Theo tính chất phân giác ta có : BF AF (2) IK BK = Từ (1) và (2) suy : IF BF Vậy IF BK = IK BF (đpcm) Ta có AM là trung tuyến thuộc cạnh huyền BC nên AM=MC, đó AMC cân M, suy ∠ MAC = ∠ MCA Từ đó ∠ NAF = ∠ MAC+ ∠ DAF= ∠ MCA+ ∠ EAC ( vì AI là tia phân giác góc EAF) Mà ∠ EAB = ∠ MCA+ ∠ EAC ( góc ngoài tam giác AEC) Nên ∠ NAF = ∠ AEB Mặt khác : ∠ AFB = ∠ AEB ( hai góc nội tiếp cùng chắn cung AB) Suy : ∠ NAF = ∠ BFA = ∠ NFA Vậy ANF cân N (đpcm) Bài 6: Từ thiếc hình chữ nhật ABCD có chiều rộng AB= 3,6 dm, chiều dài AD=4,85 dm, người ta cắt phần thiếc để làm mặt xung quanh hình nón với đỉnh là A và đường sinh 3,6 dm, cho diện tích mặt xung quanh này lớn nhất.Mặt đáy hình nón cắt phần còn lại thiếc hình chữ nhật ABCD a) Tính thể tích hình nón tạo thành Chứng tỏ có thể cắt nguyên vẹn hình tròn đáy mà sử dụng phần còn lại thiếc ABCD sau đã cắt xong mặt xung quanh hình nón nói trên HD: (6) b=4,85 B H C I K E a =3,6 dm D A a)Hình khai triển mặt xung quanh hình nón có đỉnh A , đường sinh l = 3,6dm =AB là hình quạt tâm A , bán kính AB.Mặt xung quanh này có diện tích lớn góc tâm hình quạt 900 +Diện tích hình quạt là diện tích xung quanh hình nón có bán kính đáy là r , nên: l 2.90 l rl 360 l r 0,9 dm Sxq Do đó thể tích hình nón tạo là : 1 2 V r 2h r l r 3,14. 0,9 3,6 0,9 2,96 dm3 3 b)Trên đường chéo AC, vẽ đường tròn tâm I bán kính r = 0,9 (dm) ngoại tiếp cung quạt tròn E , IH và IK là các đoạn vuông góc kẻ từ I đến BC và CD Ta có CI = AC - AI = 3,6 2 4,85 3,6 0,9 1,54 dm HI CI AB AC AB.CI IH 0,91 dm r 0,9 dm AC Vì IH // AB Tương tự : IK > r = 0,9 ( dm) Vậy sau cắt xong mặt xung quanh , phần còn lại thiếc ABCD có thể cắt mặt đáy hình nón Bài 7: Cho tam giác ABC có ba góc nhọn và H là trực tâm.Vẽ hình bình hành BHCD.Đường thẳng qua D và song song BC cắt đường thẳng AH E 1) Chứng minh A,B,C,D,E cùng thuộc đường tròn 2) Chứng minh BAE DAC 3) Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC và M là trung điểm BC,đường thẳng AM cắt OH G.Chứng minh G là trọng tâm tam giácABC (7) 4) Giả sử OD = a.Hãy tính độ dài đường tròn ngoại tiếp tam giác BHC theo a HD: a) Chứng minh A,B,C,D,E cùng thuộc đường tròn Vì BC //ED; Mà AE BC Nên AE ED AED 900 => E ( O ; AD / ) ABD ACD 900 (góc nội tiếp chắn ½ đường tròn (O) ) suy kết luận b) Chứng minh BAE DAC C1: vì BC //ED nên cung BE cung CD => kết luận C1: vì BC //ED nên CBD BDE ( SLT) Mà BAE ½ sđ cungBE Và CAD ½ sđ cungDC => cungBE cungDC => kết luận c) Vì BHCD là HBH nên H,M,D thẳng hàng.Tam giác AHD có OM là Đường T/Bình => AH = OM Và AH // OM.Hai tam giác AHG và MOG có HAG OMG AHG slt AGH MGO (đ đ) AH AG MOG ( g g ) 2 MO MG Hay AG = 2MG Tam giác ABC có AM là trung tuyến; G AM Do đó G là trọng tâm tam giác ABC d) BHC BDC ( vì BHCD là HBH) có B ;D ;C nội tiếp (O) bán kính là a Nên tam giác BHC nội tiếp (K) có bán kính a Do đó C (K) = 2 a ( ĐVĐD) A H G B O C M E D (8) Bài 8: Cho hình vuông cạnh a , lấy điểm M thuộc cạnh BC (M khác B,C) Qua B kẻ đường thẳng vuông góc với đường thẳng DM H, kéo dài BH cắt đường thẳng DC K 1.Chứng minh: BHCD là tứ giác nội tiếp 2.Chứng minh: KM DB 3.Chứng minh: KC KD = KH KB 4.Kí hiệu SABM , SDCM là diện tích tam giác ABM, tam giác DCM Chứng minh tổng (SABM + SDCM ) không đổi Xác định vị trí M trên BC để S2ABM + S2DCM đạt giá trị nhỏ Tìm giá trị nhỏ đó theo a A B H M D C K HD: (1đ) Xét tứ giác BHCD có: BHD 900 ( BH DM) BCD 900 (ABCD là hình vuông) Mà: Hai đỉnh H, C kề cùng nhìn BD góc 900 Nên BHCD là tứ giác nội tiếp 2.(1đ) Xét tam giác BDK có DH , BC là hai đường cao cắt M => M là trực tâm tam giác BDK =>KM là đường cao thứ ba nên KM BD (1đ) HKC và DKB đồng dạng (g.g) =>KC.KD = KH KB 1 AB.BM a.BM 4.(1đ) SABM = 1 DC.CM a.CM SDCM = 1 a(CM BM ) a 2 => SABM + SDCM = Ta có: S2ABM + S2DCM = không đổi (9) 2 a2 1 1 a BM a CM BM CM 2 a = BM (a BM ) a2 a a2 = BM 2 a2 a a4 a4 ( BM ) 2 8 Để S2ABM + S2DCM đạt giá trị nhỏ thì BM = a/2 hay M là trung điểm BC GTNN là a4 (10)