, Suy ra D thuộc đường tròn đường kính OM
2 OE.OK OA
OE.OK OA ⇒ = Mà OA OP= ( )=R 2 OE.OK OP ⇒ = · · 90 OPE ONE
⇒ = = ° ⇒ EN, EP là tiếp tuyến của ( )O
Bài 44. Cho tam giác ABC có ba góc đều nhọn, vẽ đường tròn tâm ( )O
đường kính BCcắt hai cạnh AB, AC lần lượt tại D và E. Gọi H là giao điểm của BE và CD.
a) Chứng minh ADHE là tứ giác nội tiếp.
b) Gọi F là giao điểm của AH và BC. Chứng minh rằng DH là tia phân giác của ·EDF.
Lời giải
a) Chứng minh ADHE là tứ giác nội tiếp.
Ta có: BDC BEC· = · = °90 (các góc nội tiếp cùng chắn nửa đường tròn ( )O )
· 90 · 90
BDC= ° ⇒ADH= °
· 90 · 900 BEC= ° ⇒AEH=
Khi đó: ADH AEH· +· =180°
Vậy ADHE là tứ giác nội tiếp.
Xét ∆ABC có: BE ⊥ AC (gt) CD ⊥ AB (gt)
Suy ra H là trực tâm của ∆ABC. Do đó AH là đường cao của ∆ABC. Nên AF ⊥ BC tại F
Xét tứ giác BDHFcó: BDH· = °90
BFH· = °90 (AF ⊥ BC tại F) Nên tứ giác BDHFnội tiếp.
Suy ra HBF FDH· =· ( 2 góc nội tiếp cùng chắn cung »HF) ( )1 Ta có ADHE là tứ giác nội tiếp.
· ·
EAH EDH
⇒ = (2 góc nội tiếp cùng chắn cung »EH) ( )2 Xét ∆AEH và ∆BFH có: AHE BHF· =· (đối đỉnh) E Fµ = = °$ 90 Suy ra EAH FBH· =· ( )3 Từ ( )1 , ( )2 và ( )3 ta được EDH FDH· =· DH
⇒ là tia phân giác của ·EDF.
Bài 45. Cho Cho đường tròn ( )O;R
đường kính AB. Điểm Mnằm trên ( )O;R với MA MB< (M A, M B≠ ≠ ). Tiếp tuyến tại Mcủa ( )O;R
cắt các tiếp tuyến tại A và Bcủa
( )O;R
lần lượt tại C,D.
a) Chứng minh tứ giác ACDB là hình thang vuông. b) Biết AD cắt ( )O;R
tại E khác A, OD cắt MB tại N. Chứng minh DE.DA DN.DO= .
c) Đường thẳng vuông góc với AB tại O cắt đường thẳng AM tại F. Chứng minh OFDBlà hình chữ nhật.
a) Vì AC,BD là các tiếp tuyến của ( )O;R
nên AC AB⊥ ; BD AB⊥ (tính chất tiếp
tuyến). AC // BD
⇒ ( tính chất từ vuông góc đến song song). ⇒ Tứ giác ACDB là hình thang.
Mà CAB· =900 (AC AB⊥ ) nên tứ giác ACBD là hình thang vuông. b) Ta có DB,DM là các tiếp tuyến của (O)
OD
⇒ là phân giác của ·MOB (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau).
OB OM R= = ⇒ΔOBM cân tại Ocó ODlà phân giác của ·MOB nên ODlà đường trung trực của BM ⇒DO BM⊥ tại N.
Xét ∆BOD vuông tại B có: BN DO⊥ ( cmt).
2
BD DN.DO
⇒ = ( hệ thức lượng trong tam giác vuông) ( )1 · 900
AEB= ( góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) hay BE AD⊥ .
Xét ∆BAD vuông tại B có: BE⊥AD ( cmt) 2
BD DE.DA
⇒ = ( hệ thức lượng trong tam giác vuông) ( )2 Từ ( )1
và ( )2
ta có DE.DA DN.DO= (cùng bằng BD2). c) AMB· =900( góc nội tiếp chắn nửa đường tròn).
⇒BM AF⊥ tại M. Ta có BM ⊥AF; BM OD⊥ ( cmt) AF // OD ⇒ (cùng vuông góc vớiBM). · · FAO DOB ⇒ = ( hai góc đồng vị). Xét ∆AOF và ∆OBD có: · · FAO DOB= (cmt)
OA OB R= = · · 900 FOA DBO= = AOF OBD ⇒ ∆ = ∆ (g – c – g). FO BD ⇒ = ( hai cạnh tương ứng). Xét tứ giác OFBD có: FO // BD ( vì cùng ⊥AB) FO BD= ( cmt)
Suy ra tứ giác OFBD là hình bình hành (dấu hiệu nhận biết hình bình hành). Mà FOB· =900 (Vì FO AB⊥ ).
Suy ra tứ giác OFBDlà hình chữ nhật (dấu hiệu nhận biết hình chữ nhật).
Bài 46. Từ điểm A nằm ngoài đường tròn ( )O
kẻ hai tiếp tuyến AB, AC với đường tròn (
B, C là tiếp điểm). Trên nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng AO chứa điểm B vẽ cát tuyến
AMN với đường tròn ( )O (AM < AN , MN không đi qua O). Gọi I là trung điểm của MN. 1. Chứng minh tứ giácAIOC là tứ giác nội tiếp.
2. Gọi H là giao điểm của AO và BC. Chứng minh AH.AO AM.AN= và tứ
giác MNOH là tứ giác nội tiếp.
3. Qua M kẻ đường thẳng song song với BN, cắt AB và BC theo thứ tự tại E và F. Chứng minh rằng M là trung điểm của EF.
Lời giải
1 Vì I là trung điểm của MN suy ra OI ⊥MN hay góc AIO· = °90 . Mặt khác ACO· = °90 (do AC là tiếp tuyến của đường tròn ( )O ).
Xét tứ giác AIOC có ACO AIO· +· =180° nên tứ giác AIOC là tứ giác nội tiếp.
2 Xét hai tam giác ABM và ANB có góc µA chung, mặt khác ANB ABM· = · (góc nội tiếp chắn cung BM¼
và góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung BM¼ ). Suy ra hai tam giác ABM và ANB đồng dạng.
Ta có tỉ số đồng dạng
AB AM
AN = AB 2
AB AM.AN
Mặt khác ABO là tam giác vuông ở B và AH là đường cao, nên theo hệ thức lượng trong tam giác vuông ta có AB2 =AH.AO
( )2Từ ( )1 Từ ( )1
và ( )2
suy ra AH.AO AM.AN= .
Từ biểu thức AH.AO AM.AN= suy ra
AO AN AM =AH . Suy ra ∆AMH: ∆AON, nên AHM ANO· =· .
Suy ra tứ giác MNOH nội tiếp (góc ngoài bằng góc đối trong).
3 Gọi K là giao điểm của AN và BC.
Tứ giác MNOH là tứ giác nội tiếp (chứng minh trên), suy ra OHN OMN· = ·
(hai góc nội tiếp cùng chắn cung ON).
Mà OM OM= nên ∆OMN vân ở O. Suy ra OMN ONM· = · ⇒OHN ONM· =· .
Mặt khác ONM AHM· =· (góc ngoài và góc trong tại đỉnh đối diện của tứ giác nội tiếp) Suy ra OHN AHM· = · ⇒NHB MHB· =· , do đó BH là phân giác trong góc MHN và
AH là phân giác ngoài của góc MHN.
Áp dụng tính chất của đường phân giác ta có
HM KM AM
HN = KN = AN ( )3 Theo giả thiết MF // BN nên theo định lý Ta-lét ta có
MF KM BN = KN ; AM ME AN = BN ( )4 Từ ( )3 và ( )4 suy ra ME MF BN = BN ME MF ⇒ = .
Vậy M là trung điểm của EF.
Bài 47. Từ điểm A nằm ngoài đường tròn ( )O
vẽ hai tiếp tuyến AD, AE(D, E là các tiếp điểm). Vẽ cát tuyến ABC của đường tròn ( )O
sao cho điểm B nằm giữa hai điểm A và C; tia AC nằm giữa hai tia AD và AO. Từ điểm O kẻ OI ⊥AC tại I..
a) Chứng minh năm điểm A, D, I, O, E cùng nằm trên một đường tròn. b) Chứng minh IA là tia phân giác của ·DIE và AB.AC AD .= 2
c) Gọi K và F lần lượt là giao điểm của ED với AC và OI. Qua điểm D vẽ đường thẳng song song với IE cắt OF và AC lần lượt tại H và P. Chứng minh
D là trung điểm của HP.
Lời giải
a) Chứng minh năm điểm A,D,I,O,E cùng thuộc một đường tròn
Xét tứ giác ADOE có: ADO· = °90 ;AEO· = °90 (Vì AE,AD là tiếp tuyến) ⇒ tổng hai góc đối diện bằng 180°: ADO AEO· +· =180°
Do đó A,D,O,E cùng thuộc một đường tròn đường kính OA ( )1 Xét tứ giác AIOE có:
· 90
AIO= ° (OI ⊥AC) · 90
AEO= ° (Vì AE là tiếp tuyến)
⇒ tổng hai góc đối diện bằng 180°: AIO AEO· +· =180°
Do đó A,I,O,E cùng thuộc một đường tròn đường kính OA ( )2 Từ ( ) ( )1 & 2 ⇒A,D,I,O,E cùng thuộc đường tròn đường kính OA
Cách 2: Ta chứng minh E,I,Dcùng nhìn AOdưới một góc vuông. Suy ra A,D,I,O,E cùng thuộc đường tròn đường kính OA.
b) Theo chứng minh phần a) ta có A,D,I,E cùng thuộc 1 đường tròn đường kính OA nên tứ giác ADIE nội tiếp
Lại có AE AD= ⇒AE AD» =» · ·
DIA AIE
⇒ = (góc nội tiếp chắn 2 cung bằng nhau)
Suy ra IA là tia phân giác góc ·DIE Xét tam giác ∆ABD và ∆ADC có :
· ·
ADB ACD= (Góc giữa tiếp tuyến và dây cung và góc chắn cung đó)
Suy ra ∆ABD: ∆ADC g.g( )
( ) 2 AD AB AD AB.AC dpcm AC AD ⇒ = ⇒ = .
c) Gọi K và F lần lượt là giao điểm của ED với AC và OI. Qua điểm D vẽ đường thẳng song song với IE cắt OF và AC lần lượt tại H và P. Chứng minh
D là trung điểm của HP.
c) Do IE//HP DP//IE ⇒ · · DPI EIP ⇒ = (So le trong)
Mà DIP AIE· = · (DIA AIE· = · )
· · DPI DIP ⇒ = DIP ⇒ ∆ cân tại D DI DP ⇒ = ( )1 Ta có : DH//IE⇒DHI EIO· = · (hai góc đồng vị)
Ta có : HID PID PIE EIO· +· =· +· = °90
Mà PID PIE· =· ⇒HID EIO· =· · ·
DHI HID HID
⇒ = ⇒ ∆ cân tại D⇒DI DH= ( )2 Từ ( ) ( )1 & 2 ⇒D là trung điểm của HP.
Bài 48. Cho đường tròn tâm O, đường kính AB. Trên tiếp tuyến của đường tròn ( )O
tại A lấy điểm C C A( ≠ ). Từ C vẽ tiếp tuyến thứ hai CD với đường tròn ( )O
Kẻ DK vuông góc với AB (K AB ,CB∈ ) cắt đường tròn ( )O
tại điểm thứ hai là M và cắt DK tại N. Chứng minh rằng:
a) Tứ giác AMNK nội tiếp đường tròn. b) AC2 =CM.CB.
c) MAD OCB· = · .
d) N là trung điểm của DK.
Lời giải
a) Xét tứ giác AMNK có AMN· = °90 (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) ; · 90
AKN= ° (GT) ⇒ tứ giác AMNK nội tiếp đường tròn đường kính AN.
b) Ta có AC AB⊥ (tính chất của tiếp tuyến) ; AMB· = °90 (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn). Trong tam giác ACB vuông tại A, có AM là đường cao, theo hệ thức giữa cạnh và đường cao ta có : AC2 =AM.CB.
c) Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau, ta có : CA CD= ; mà OA OD= (bán
kính của ( )O
) ⇒OC là trung trực của AD⇒OC vuông góc với AD tại trung điểm I của AD.
Mặt khác ADB· = °90 (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)⇒AD DB⊥
OC// DB
⇒ (cùng vuông góc với AD)⇒OCB MBD· = · (hai góc so le trong) (1).
Mặt khác MAD MBD· = · (hai góc nội tiếp cúng chắn MD¼ ) (2). Từ (1) và (2), ta có MAD OCB· = · .
d) Theo chứng minh trên ta có AIC AMC· =· = ° ⇒90 tứ giác AIMC nội tiếp đường tròn đường kính AC⇒MID ACM· = · (cùng bù với ·AIM) mà
· ·
ACM MND= (hai góc so le trong, AC// DK (cùng vuông góc với AB))
· ·
MID MND
cùng chắn »DN) và DMN DAB· = · (hai góc nội tiếp cùng chắn »DB ) · ·
DIN DAB IN// AB
⇒ = ⇒ (có cặp góc đồng vị bằng nhau) mà I là trung điểm
AD (ý c)⇒ N là trung điểm của DK
Bài 49. Cho đường tròn tâm O và điểm P nằm ngoài ( )O
. Vẽ tiếp tuyến PC của ( )O
(C là tiếp điểm) và cát tuyến PAB (PA PB< ) sao cho các điểm A,B,C nằm cùng phía với
đường thẳng PO. Gọi M là trung điểm của đoạn thẳngAB và CD là đường kính của ( )O . a) Chứng minh tứ giác PCMO nội tiếp.
b) Gọi E là giao điểm của đường thẳng PO với đường thẳng BD. Chứng minh AM.DE AC.DO= .
c) Chứng minh đường thẳng CE vuông góc với đường thẳng CA.
Lời giải
a Vì PAB là cát tuyến và điểm P nằm ngoài ( )O
nên AB là dây cung của ( )O . Vì M là trung điểm của đoạn thẳngAB(gt) nên OM AB⊥ tại M (liên hệ đường kính và dây cung) ⇒AMO· = °90 (định nghĩa hai đường vuông góc)
Vì PC là tiếp tuyến của ( )O
(C là tiếp điểm) (gt) ⇒PCO· = °90 (định nghĩa tiếp tuyến)
Xét tứ giác PCMO có: · · ( 90 ) AMO PCO= = ° (cmt)
Hai góc này cùng nhìn PO hai góc bằng nhau.
⇒ Tứ giác PCMO là tứ giác nội tiếp (dhnb tứ giác nội tiếp) (đpcm).
b Vì tứ giác PCMO là tứ giác nội tiếp (cma)
· ·
CMP COP
⇒ = (hai góc nội tiếp cùng chắn »CP) Mà COP EOD· = · (hai góc đối đỉnh)
· · CMP EOD ⇒ = Xét đường tròn ( )O có A, D ∈( )O nên: · 1 » 2 CAM = sđCB (tính chất góc nội tiếp) · 1 » 2 ODE= sđCB (tính chất góc nội tiếp) · · CAM ODE
⇒ = (hai góc nội tiếp cùng chắn một cung)
Xét ∆ACM và ∆DEO có: · · CAM ODE= (cmt) · · CMP EOD= (cmt) ACM DEO ⇒ ∆ ∽∆ (g – g) AC DE AM DO ⇒ = (hai cặp cạnh tương ứng) AM.DE AC.DO ⇒ = (tính chất tỉ lệ thức) (đpcm). c Vì ∆ACM∽∆DEO(cmb) CM AM OE DO ⇒ = (hai cặp cạnh tương ứng) Mà AM MB= (vì M là trung điểm củaAB)
OC OD= (cùng là bán kính của ( )O ) CM BM OE OC ⇒ = Vì CMA EOD· =· (cmb) Lại có: · · 180 CMA CMB+ = ° · · 180 EOD EOC+ = ° · · CMB EOC ⇒ = Xét ∆COE và ∆BMC có: · · CMB EOC= (cmt) CM BM OE = OC (cmt) COE BMC ⇒ ∆ ∽∆ (c – g – c) · · OCE MBC ⇒ = (hai góc tương ứng) ( )1 Xét đường tròn ( )O có: · ·
MBC ADC= (hai góc nội tiếp cùng chắn một cung »AC) ( )2 Từ ( )1
và ( )2
Mà hai góc này ở vị trí so le trong. AD CE
⇒ P (dhnb hai đường thẳng song song)
Ta lại có CAD· = °90 (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn ( )O
đường kính CD) AD AC
⇒ ⊥ (định nghĩa)
AC EC
⇒ ⊥ (định lý từ vuông góc tới song song) (đpcm)
Bài 50. Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn tâmO. Kẻ đường cao AD của tam giác và đường kính AK của đường tròn ( )O
. Hạ BE,CF cùng vuông góc với AK. a) Chứng minh: ABDE và ACFD là các tứ giác nội tiếp.
b) Chứng minh: tam giác ABC đồng dạng với tam giác DEF. c) Chứng minh: DF vuông góc với AB.
d) Cho BC cố định và điểm A chuyển động trên cung lớn BC. Chứng minh tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác DEF là một điểm cố định.
Lời giải
a) *AD BC,BE AK,CF AK⊥ ⊥ ⊥ lần lượt tại
· · · · 90
D,E,F⇒ADB ADC AEB AFC= = = = °
* Xét tứ giác ABDE có:
· · 90
ADB AEB= = °( chứng minh trên)
Mà D,E là hai đỉnh kề nhau
Nên tứ giác ABDE là tứ giác nội tiếp (dấu hiện nhận biết). * Xét tứ giác ACFD có:
· · 90
ADC AFC= = °( chứng minh trên)
Mà D,F là hai đỉnh kề nhau
Nên tứ giác ACFD là tứ giác nội tiếp đường tròn có tâm là trung điểm của AC. b) Xét đường tròn ngoại tiếp tứ giác ACFD có:
· ·
ACD DFA= (Hai góc nội tiếp cùng chắn »AD)⇒ACB DFE· = · · ·
* Tứ giác ABDE là tứ giác nội tiếp (chứng minh trên) Nên BAE EDC· =·
* Ta có:
· · ·
BAC BAE FAC= +
· · ·
EDF EDC CDF= +
Mà FAC DCF· = · ; BAE EDC· = · (chứng minh trên). Nên BAC EDF· = ·
Xét ∆ABC và ∆DEFcó: · · BAC EDF= · · ACB DFE= ABC ⇒ ∆ đồng dạng ∆DEF(g – g) c) Nối BK. Xét đường tròn ( )O đường kính AK có: +·ABK là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn
Nên ABK· = °90 ⇒KB AB⊥
+ KBC KAC· = · (hai góc nội tiếp cùng chắn cung KC) Mà FDC KAC· = · (chứng minh trên)
· · KBC FDC ⇒ = Mà hai góc ở vị trí đồng vị nên BK // DF. Mặt khác KB AB⊥ Do đó DF⊥AB. d)
Gọi I là trung điểm của dây BC cố định ⇒Điểm I cố định. Gọi J là trung điểm của dây AC.
IJ
⇒ là đường trung bình của ∆ABC nên IJ // AB. AB DF IJ DF IJ // AB ⊥ ⇒ ⊥
* J là trung điểm của dây AC
J
⇒ là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác ACFD. * Xét đường tròn ngoại tiếp tứ giác ACFD có:
J là tâm DF là dây IJ ⊥DF
IJ
⇒ vuông góc với DF tại trung điểm của DF. Hay IJ là đường trung trực của DF⇒ID IF= ( )1 * Nối CK.
Trong đường tròn ( )O
, ·ACK là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn ⇒ACK· = °90 .