, Suy ra D thuộc đường tròn đường kính OM
2 AK.AO AB
AK.AO AB
⇒ = (hệ thức lượng trong tam giác vuông)
2AB AB AK AO ⇒ = Mà ( )2 2 2 2 3 2 8 2 3 AB AO OB R R R OA R(gt) = − = − = = 2 8 8 3 3 R R AK R ⇒ = = 2 8 16 3 3 9 R R AG . ⇒ = = đơn vị độ dài)
Bài 55. Cho ( )O;R
cố định, dây AB cố định không đi qua tâm O. Qua trung điểm I của dây AB, kẻ đường kính PQ vuông góc với AB (P thuộc cung nhỏ AB). E là điểm bất kì trên cung nhỏ QB (E không trùng với B và Q). QE cắt AB tại M ; PE cắt AB tại D.
1) Chứng minh 4 điểm P, I, M, E cùng thuộc một đường tròn. 2) Chứng minh IQD IMP· = · .
3) a) Kẻ tia Ax// PE, Ax cắt ( )O
tại điểm thứ hai F. Chứng minh BE QF⊥ .
b) Gọi H là chân đường vuông góc kẻ từ Q xuống AE. Chứng minh chu vi tam giác EHB luôn lớn hơn độ dài đoạn thẳng AB khi điểm E thay đổi trên cung nhỏ
QB.
1)
Ta có PIM· = °90 nên ba điểm P, I, M cùng thuộc đường tròn đường kính PM. ( )1 Ta lại có PEQ· = °90 (góc nội tiếp chắn nữa đường tròn ( )O
). Suy ra PEM· = °90 . Suy ra
ba điểm P, E, M cùng thuộc đường tròn đường kính PM. ( )2 Từ ( )1
và ( )2
suy ra 4 điểm P, I, M, E cùng thuộc đường tròn đường kính PM.
2) Tứ giác IDEQ có QID QED· +· = ° + ° =90 90 180° nên tứ giác IDEQ nội tiếp được một đường tròn.
Xét đường tròn ngoại tiếp tứ giác IDEQ có IQD IED· =· (hai góc nội tiếp cùng chắn cung
ID) . Mặt khác IED IEP IMP· = · = · (hai góc nội tiếp cùng chắn cung IP trong đường tròn đường kính PM).
Suy ra IQD IMP· =· .
3)a. Gọi K là giao điểm của BE và QF. Xét ( )O
có: APE ABE· =· (2 góc nội tiếp cùng chắn »AE), PAF PQF· = · (2 góc nội tiếp
cùng chắn »BF).
Mà APE PAF· +· =180° (do PE // AF)
⇒ BIQ BKQ· +· =180°.
Mà BIQ· = °90 suy ra BKQ· = ° ⇒90 BE QF⊥ .
b)
Trên AE lấy điểm G sao cho AG BE= .
Xét ∆AQG và ∆BQE có
AQ BQ= (Q là điểm chính giữa cung AB nên AQ BQ» =» )
· ·
QAG QBE= (hai góc nội tiếp cùng chắn cung QE của đường tròn ( )O ) AG BE= (theo cách vẽ)
Do đó ∆AQG= ∆BQE (c – g – c).
Suy ra QG QE= (hai cạnh tương ứng). Suy ra ∆EQG cân tại Q. Mà QH là đường cao nên cũng là đường trung tuyến. Suy ra HG HE= .
Suy ra PBHE =BH HE BE BH HG GA BH AH AB+ + = + + = + > (theo bất đẳng
thức tam giác).
Bài 56. Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp (O; R)
. Các đường cao AK, BI của tam giác ABC cắt nhau tại H. Các đường thẳng AK và BI cắt đường tròn ( )O lần lượt tại các điểm thứ hai là D và E. Chứng minh rằng:
1) Chứng minh tứ giác ABKI nội tiếp. 2) Chứng minh IK // DEvà OC IK⊥ .
3) Cho đường tròn ( )O và dây AB cố định. Chứng minh rằng khi điểm C di chuyển trên cung lớn AB thì độ dài bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác CIK luôn không đổi.