36 bài tập hình ôn thi học kì 1 hình 9 v1

BÀI TẬP HÌNH ƠN THI HỌC KÌ HÌNH HỌC BÀI TẬP HÌNH ƠN THI HỌC KÌ I Bài 1: (Thạch Thán - 2021) Cho tam giác ABC vuông A, đường cao AH, AB = 8cm, AC = 15cm a, Tính BC, AH, HC Chứng minh sinB = cosC b, Gọi P, Q hình chiếu H AB, AC Kẻ tiếp tuyến CM với đường tròn ngoại tiếp tứ giác APHQ (M thuộc cung nhỏ AQ) Chứng minh CM2 = CQ.CA c, Tính PA.PB + AQ.QC B H P O Q A C M a, BC = 17, AH = 120/17, HC = 225/17, sinB = cosC = AC/BC b, Tâm O đường trịn ngoại tiếp APHQ tâm hình chữ nhật, O thuộc AH => OH  HC => HC tiếp tuyến (O) => CH = CM (tính chất tiếp tuyến cắt nhau) => CQ.CA = CM2 = CH2 c, PA.PB + AQ.QC = PH2 +HQ2 = AH2 THẦY SƠN 0983630990 SỐ 6, NGÕ 804/8 QUANG TRUNG, HÀ ĐÔNG BÀI TẬP HÌNH ƠN THI HỌC KÌ HÌNH HỌC Bài 2: (Lê Quý Đôn - 2021) Cho đường trịn (O; R) Từ điểm A nằm ngồi (O) cho OA = 2R kẻ tiếp tuyến AB, AC đến (O) a, Chứng minh A, B, O, C thuộc đường tròn b, Gọi H giao điểm AO BC Tính OH, BC theo R c, Kẻ đường kính BD, từ C kẻ CK vng góc BD K AD cắt CK I Chứng minh CD//AO I trung điểm CK B H A O K I M C D a, AB, AC tiếp tuyến (O) (gt) => AB  BO, AC  CO (tính chất tiếp tuyến) => ABO  ACO  90o => B, C thuộc đường trịn đường kính AO => A, B, O, C thuộc đường tròn đường kính AO b, AB, AC tiếp tuyến (O) (gt) => AB = AC (tính chất tiếp tuyến cắt nhau) => A thuộc trung trực BC (1) Mặt khác, OB = OC (=R) => A thuộc trung trực BC (2) Từ (1) (2) => AO đường trung trực BC => AO vng góc với BC trung điểm H BC Xét tam giác vuông AOB có OH.OA = OB2 (Hệ thức lượng tam giác vuông) => OH  OB R R   OA 2R => AH  AO  OH  2R  R 3R  2 BH  OH AH (hệ thức lượng tam giác vuông AOB) => BH  R 3R 3R R   BH  2 H trung điểm BC (cmt) => BC = 2BH = R c, C thuộc (O), đường kính BD => BCD  90o => BC  CD THẦY SƠN 0983630990 SỐ 6, NGÕ 804/8 QUANG TRUNG, HÀ ĐƠNG BÀI TẬP HÌNH ƠN THI HỌC KÌ HÌNH HỌC Mà BC  AO (cmt) => AO // CD (cùng  BC) Kéo dài CD cắt AB M Ta có AB = AC (cmt) => ∆ABC cân A => ABC  ACB Mà ABC  AMC  90o (∆MBC vuông C) ACB  ACM  90o => AMC  ACM ( 90o  ABC  90o  ACB) => ∆AMC cân A => AC = AM Mà AC = AB => AM = AB Ta có CK//AB (cùng  BD) => IK DI CI   (định lý Talet) AB AD AM Mà AB = AM => IK = CI => I trung điểm CK THẦY SƠN 0983630990 SỐ 6, NGÕ 804/8 QUANG TRUNG, HÀ ĐƠNG BÀI TẬP HÌNH ÔN THI HỌC KÌ HÌNH HỌC Bài 3: (Bế Văn Đàn - 2021) Cho tam giác OAB vuông A (OA < AB) Vẽ đường tròn (O) bán kính OA = R Kẻ tiếp tuyến BC với (O; OA) a, Chứng minh A, B, C, O thuộc đường trịn b, Kẻ đường kính CD (O; OA), BD cắt (O; OA) E Chứng minh AD // BO DE CD  CE CB c, BO cắt (O; OA) M (M nằm O B) Giả sử AM = R, tính bán kính đường trịn nội tiếp ∆ABC theo R C O H M D E A B Gợi ý: b, AD // BO (cùng  AC); ∆ECD~∆CBD (g-g) c, AM = R => ∆OAM => OM = OH = R/2; M tâm đường tròn nội tiếp ∆ABC r = MH = R/2 THẦY SƠN 0983630990 SỐ 6, NGÕ 804/8 QUANG TRUNG, HÀ ĐƠNG BÀI TẬP HÌNH ƠN THI HỌC KÌ HÌNH HỌC Bài 4: (Kiêu Kỵ - 2021) Cho điểm M thuộc nửa đường trịn (O; R) đường kính AB Trên nửa mặt phẳng bờ AB chứa điểm M, kẻ tia tiếp tuyến Ax, By với nửa đường tròn Tiếp tuyến M nửa đường tròn cắt tia Ax C a, Chứng minh điểm A, C, O, M thuộc đường tròn Chỉ rõ tâm đường b, Tiếp tuyến M cắt tia By D Chứng minh AC + BD = CD COD vuông O c, Gọi E giao điểm AD BC, K giao điểm ME AB Chứng minh E trung điểm MK D M C E A K O B Gợi ý: b, CD + BD = CM + MD = CD CO, DO phân giác góc AOM BOM => COD  90o c, CM CA CE   (định lý Talet) => EM//BD//AC MD BD EB EM CE AE EK    => EM = EK BD CB AD BD THẦY SƠN 0983630990 SỐ 6, NGÕ 804/8 QUANG TRUNG, HÀ ĐƠNG BÀI TẬP HÌNH ÔN THI HỌC KÌ HÌNH HỌC Bài 5: (Nam Từ Liêm - 2021) Cho đường tròn (O) đường kính BC Kẻ tiếp tuyến Bx đường trịn (O) Trên tia đối tia CB lấy điểm A Kẻ tiếp tuyến AE với đường tròn (O), E tiểp điểm Tia AE cắt tia Bx điểm D a, Chứng minh bốn điểm B, D, E, O thuộc đường tròn b, Gọi H giao điểm BE với DO Chứng minh rằng: DB2 = DH.DO DO // EC c, Kẻ OM vng góc AB (M thuộc AD) Tia OM cắt EC N, DN cắt OE I, BN cắt DO J Chứng minh tứ giác BDNO hình chữ nhật I, M, J thẳng hàng N D I M E J H O B C A Gợi ý: a, B, D, E, O thuộc đường trịn đường kính DO b, DB2 = DH.DO (hệ thức lượng); DO//EC (cùng vng góc EC) c, ∆BOD = ∆OCN (cgv-gnk) => DO = NC DO//NC, DO = NC => DOCN hbh => BOND hình bình hành => BOND hình chữ nhật => J trung điểm DO NO = BD DNO = 90o Mà BD = DE => DE=ON => ∆DEO = ∆ODN (ch-cgv) => NDO  DOE => ∆DIO cân I => ID = IO => OJ trung tuyến đường cao ∆DIO => IJ  DO (1) Mặt khác, M trực tâm ∆DIO => OM  DO (2) Từ (1) (2) => I, M, J thẳng hàng THẦY SƠN 0983630990 SỐ 6, NGÕ 804/8 QUANG TRUNG, HÀ ĐÔNG BÀI TẬP HÌNH ƠN THI HỌC KÌ HÌNH HỌC Bài 6: (Nam Hồng - 2021) Cho đường tròn (O), đường kính AB Qua điểm M nằm đường trịn kẻ tiếp tuyến cắt tiếp tuyến A B (O) I K a, Chứng minh IK = AI + BK góc IOK = 90o b, Chứng minh I, A, M, O thuộc đường trịn c, Hạ MH vng góc AB H, C giao điểm MH BI Chứng minh C trung điểm MH K M I C A B H O a, IK = IM + MK = AI + KB OI OK phân giác MOA MOB => IOK  90o b, I, A, M, O thuộc đường trịn đường kính IO c, MH//IA//BK => IC IM IA  (ĐLTalet)  IB MK KB Xét ∆AIC ∆KBC có: AIC  CBK (so le trong); IC IA  IB BK => ∆AIC ~ ∆KBC (c-g-c) => ACI  CKB => ACI  ACB  CKB  ACB  180o => ACK  180o => A, C, K thẳng hàng => CM IC AC CH    KB IB AK KB => CM = CH => C trung điểm MH THẦY SƠN 0983630990 SỐ 6, NGÕ 804/8 QUANG TRUNG, HÀ ĐÔNG BÀI TẬP HÌNH ƠN THI HỌC KÌ HÌNH HỌC Bài 7: (Cao Bá Quát - 2021) Cho (O; R), từ điểm S ngồi đường trịn (O; R) cho OS = 2R, kẻ hai tiếp tuyến SA, SB với đường tròn (A, B tiếp điểm), gọi H giao điểm SO AB a, Chứng minh: SO⊥AB b, Chứng minh: OH.OS = R2 ∆SBA c, Vẽ cát tuyến SMN (O; R), xác định vị trí cát tuyến SMN để SM + SN đạt giá trị nhỏ A S H O M I N B Gợi ý: b, OH.OS = SA2 (hệ thức lượng ∆vuông ASO) SA = SB => ∆SAB cân, sinOSA = OA R   => OSA  30o SO 2R SO phân giác ASB => ASB = 60o => ∆SAB c, Gọi I trung điểm MN => SM + SN = 2SI => SM + SN  SI SI2 = SO2 – OI2 = 4R2 – IO2 SI  OI max  OI = R  SMN tiếp tuyến (O) Mở rộng: Tìm vị trí SMN để SM + SN max  OI  O trùng I  SMN qua O THẦY SƠN 0983630990 SỐ 6, NGÕ 804/8 QUANG TRUNG, HÀ ĐÔNG BÀI TẬP HÌNH ƠN THI HỌC KÌ HÌNH HỌC Bài 8: (Thăng Long - 2021) Cho đường tròn (O) điểm A nằm ngồi đường trịn Qua A kẻ tiếp tuyến AB, AC đến (O) a, Chứng minh A, B, O, C thuộc đường tròn, rõ tâm bán kính đường trịn b, Gọi H giao điểm AO BC, kẻ HK vng góc AB K Chứng minh OA vng góc BC OH.AH = BK.BA c, Chứng minh HK tiếp tuyến đường trịn đường kính AC HK qua trung điểm OC B K A O H N M C Gợi ý: a, A, B, O, C thuộc đường tròn đường kính AO, tâm trung điểm AO, bán kính AO/2 b, AB = AC, OB = OC => AO trung trực BC => OA vng góc BC OH.AH = BK.BA (=OB2) c, M trung điểm AC, đường trịn đường kính AC có tâm M qua H KH cắt CO N góc AHM + AHK = MAH + AHK = KAH + AHK = 90o => HK  MH => HK tiếp tuyến đường trịn đường kính AC * góc HCN = HBO (∆BOC cân) = KHB (KH//BO) => ∆HCN cân => HN = NC Góc NHO = 90o – NHC = 90o-HCN = HON => ∆HON cân => HN = ON => HN=ON=CN => HK qua trung điểm N OC THẦY SƠN 0983630990 SỐ 6, NGÕ 804/8 QUANG TRUNG, HÀ ĐƠNG BÀI TẬP HÌNH ƠN THI HỌC KÌ HÌNH HỌC Bài 9: (Trưng Vương - 2021) Cho điểm M thuộc nửa đường trịn (O; R) đường kính AB Gọi H, K hình chiếu O AM BM a, Chứng minh OHMK hình chữ nhật b, Tiếp tuyến M (O) cắt OH, OK E, F Chứng minh ME.MF = R2 c, Gọi I giao điểm OF nửa đường tròn (O) Chứng minh M di động nửa đường trịn đường kính AB F ln di động đường thẳng cố định điểm I cách cạnh tam giác FMB F M I E H A K O B Gợi ý: a, AMB = 90o OHMK hình chữ nhật (3 góc vng) b, ME  MO góc EOF = 90o (OHMK hình chữ nhật) => EM.MF = OM2 = R2 c, OF trung trực MB => FM = FB => ∆FMO = ∆FBO (c-c-c) => góc FBO = FMO = 90o => FB  OB => FB tiếp tuyến (O) B cố định => F thuộc tia By tiếp tuyến (O), By nằm phía nửa đường trịn, bờ AB Góc OIB = IBO => IFB+IBF = IBK + KBO Mà góc KBO = IFB (=90o – KOB) => IBF = IBK => BI phân giác góc KBF - FO phân giác góc MFB (t/c tiếp tuyến cắt nhau) => I giao điểm đường phân giác ∆FMB => I cách cạnh tam giác FMB THẦY SƠN 0983630990 SỐ 6, NGÕ 804/8 QUANG TRUNG, HÀ ĐƠNG BÀI TẬP HÌNH ÔN THI HỌC KÌ HÌNH HỌC Bài 25: (Quốc Oai - 2020) Cho nửa đường tròn (O; R), đường kính AB Trên nửa mặt phẳng chứa nửa đường tròn kẻ tiếp tuyến Ax Lấy D thuộc tia Ax (AD > R) BD cắt nửa đường tròn C a, Chứng minh ABC tam giác vuông BC.BD = 4R2 b, Tia phân giác AOC cắt AD E, cắt AC I Chứng minh CE tiếp tuyến (O) ED = EA c, Kẻ CH vng góc AB H CH cắt BE K Chứng minh IK // AB x D C E K I A H O B a, C thuộc đường trịn đường kính AB => ACB  90o => ∆ABC vuông C Ax tiếp tuyến (O) => Ax  AB hay AD  AB Xét ∆vuông ABD, đường cao AC có: BC.BD = AB2 (hệ thức lượng tam giác vuông) => BC.BD = (2R)2 = 4R2 b, Xét ∆AOE ∆COE có: OE chung; OA = OC (=R); AOE  COE (OE phân giác COA ) => ∆AOE = ∆COE (c-g-c) => OCE  OAE  90o (góc tương ứng) => EC  OC => CE tiếp tuyến (O) ∆AOE = ∆COE (cmt) => AE = EC (1) => ∆EAC cân E => EAC  ECA => ADC  90o  EAC  90o  ECA  ECD => ∆DEC cân E => EC = ED (2) Từ (1) (2) => AE = EC = ED c, CH  AB (gt), AD  AB (cmt) => CH//AD => CK BK HK HK    (Định lý Talet) => CK = CH DE BE AE DE EA, EC tiếp tuyến (O) => EC = EA EO phân giác góc AEC (tính chất tiếp tuyến cắt nhau) => EI vừa phân giác vừa trung tuyến ∆ cân AEC => I trung điểm AC Xét ∆ACH có I, K trung điểm AC CH => IK đường trung bình ∆ACH => IK//AH hay IK // AB THẦY SƠN 0983630990 SỐ 6, NGÕ 804/8 QUANG TRUNG, HÀ ĐÔNG BÀI TẬP HÌNH ƠN THI HỌC KÌ HÌNH HỌC Bài 26: (Thanh Trì - 2020) Cho (O) đường kính AC Kẻ tiếp tuyến Ax với (O), tia Ax lấy điểm B Từ B, kẻ tiếp tuyến BD với (O) (D tiếp điểm) AD cắt BO H, BC cắt (O) K a) Chứng minh bốn điểm A, B, D, O thuộc đường tròn b) Chứng minh: BH.BO = AB2 BH.BO = BK.BC c) Từ O vẽ đường thẳng song song với AD, cắt tia BA E Từ B vẽ đường thẳng vng góc với EC F, BF cắt AC M Chứng minh MH vng góc với BD B I K D H A E C M O F a, BA, BD tiếp tuyến (O) => AB  AO BD  AO (tính chất tiếp tuyến) => OAB  ODB  90o => A, D thuộc đường trịn đường kính BO => A, B, D, O thuộc đường trịn đường kính BO b, BA, BD tiếp tuyến (O) => AB = BD BO phân giác góc ABD (tính chất tiếp tuyến cắt nhau) => BO vừa phân giác vừa trung trực ∆ cân ABD => BO  AD trung điểm H AD Áp dụng hệ thức lượng ∆vng ABO có BH.BO = AB2 (1) K thuộc đường trịn đường kính AC => AKC  90o => AK  BC Áp dụng hệ thức lượng ∆vuông ABC có BK.BC = AB2 (2) Từ (1) (2) => BH.BO = BK.BC c, Gọi I trung điểm AB ∆ABM~∆ACE (g-g) => AM AB AI AI    AE AC AO AO => ∆AMI~∆AEO (c-g-c) => AIM  AOE AOE  ABO( 90o  BEO) => AIM  ABO => MI//BO => M trung điểm AO MH đường trung bình ∆AOD => MH // OD => MH  BD THẦY SƠN 0983630990 SỐ 6, NGÕ 804/8 QUANG TRUNG, HÀ ĐÔNG BÀI TẬP HÌNH ƠN THI HỌC KÌ HÌNH HỌC Bài 27: (Sơn Tây - 2020) Cho đường trịn (O; R) đường kính AB Vẽ tiếp tuyến Bx đường tròn (O) Trên nửa mặt phẳng bờ AB chứa tia Bx lấy điểm M thuộc (O) cho MA > MB Kẻ tia AM cắt Bx C Từ C kẻ tiếp tuyến thứ hai CD với đường tròn (O) (D tiếp điểm) a) Chứng minh OC vng góc với BD b) Chứng minh bốn điểm O, B, C, D thuộc đường tròn c) Chứng minh góc CMD = góc CDA d, Kẻ MH vng góc với AB H Tìm vị trí M để chu vi tam giác OMH đạt giá trị lớn D A M O H C B a, CD, BC tiếp tuyến (O) => CD = BC CO phân giác góc DCB (tính chất tiếp tuyến cắt nhau) => CO vừa phân giác vừa trung trực ∆ cân CBD => CO  BD b, CD, CB tiếp tuyến (O) => CD  DO BC  BO (tính chất tiếp tuyến) => CDO  CBO  90o => B, D thuộc đường trịn đường kính CO => O, B, C, D thuộc đường trịn đường kính CO c, M thuộc đường trịn đường kính AB => AMC  90o => AM  BM Áp dụng hệ thức lượng ∆vng ABC có CM.CA = CB2 Mà CB = CD (cmt) => CM.CA = CD2 => Xét ∆CMD ∆CDA có: góc C chung, CM CD  CD AC CM CD  (cmt) => ∆CMD ~ ∆CDA (c-g-c) CD AC => CMD  CDA (góc tương ứng) d, PMOH  MO  OH  MH Ta có: MH  OH  MO  R (định lý pytago cho ∆vuông MOH) THẦY SƠN 0983630990 SỐ 6, NGÕ 804/8 QUANG TRUNG, HÀ ĐÔNG BÀI TẬP HÌNH ƠN THI HỌC KÌ  HÌNH HỌC  Ta chứng minh bất đẳng thức  a  b   a  b2 với a, b ≥    a  b2  2ab  a  b2  a  b2  2ab    a  b   (luôn đúng) Dấu “=” xảy  a = b   Áp dụng bất đẳng thức  a  b   a  b2 ta có  MH  MO    MH  OH   2R2 => MH  MO  R => PMOH  MO  OH  MH  R  R Vậy max PMOH  R  R MH = MO  ∆MOH vuông cân H => MOH  45o  MOB  45o M nằm (O) cho MOB  45o THẦY SƠN 0983630990 SỐ 6, NGÕ 804/8 QUANG TRUNG, HÀ ĐƠNG 3 BÀI TẬP HÌNH ƠN THI HỌC KÌ HÌNH HỌC Bài 28: (Hai Bà Trưng - 2020) Cho nửa đường trịn tâm O, đường kính AB (AB = 2R) Trên nửa mặt phẳng bờ AB chứa nửa đường tròn kẻ hai tia tiếp tuyến Ax, By nửa đường trịn Lấy điểm C thuộc nửa đường tròn (C khác A B), qua điểm C kẻ tiếp tuyến nửa đường tròn cắt Ax, By thứ tự M N a/ Chứng minh bốn điểm A; M; C; O thuộc đường tròn b/ Nối điểm O với điểm M, điểm O với điểm N Chứng minh AM.BN = R2 c/ Đoạn ON cắt nửa đường tròn (O) I Chứng minh I tâm đường tròn nội tiếp tam giác CNB d/ Cho AB = 6cm Xác định vị trí hai điểm M N để hình thang AMNB có chu vi 18cm N C I M H A O B a, MC, MA tiếp tuyến (O) => MC  CO MA  AO (tính chất tiếp tuyến) => MCO  MAO  90o => A, C thuộc đường trịn đường kính MO => A, M, C, O thuộc đường trịn đường kính MO b, MC, MA tiếp tuyến (O) => OM phân giác COA (tính chất tiếp tuyến cắt nhau) => MOA  MOC NC, NB tiếp tuyến (O) => ON phân giác COB (tính chất tiếp tuyến cắt nhau) => NOB  NOC Ta có MOA  MOC  NOB  NOC  180o => 2MOC  NOC  180o  MON  90o => MOA  MON  NOB  180o  MOA  180o  90o  NOB  90o  NOB (1) Mà ONB  NOB  90o  ONB  90o  NOB (2) Từ (1) (2) => MOA  ONB  Xét ∆MOA ∆ONB có: MOA  ONB (cmt) MAO  OBN  90o THẦY SƠN 0983630990  SỐ 6, NGÕ 804/8 QUANG TRUNG, HÀ ĐÔNG BÀI TẬP HÌNH ƠN THI HỌC KÌ HÌNH HỌC => ∆MOA ~ ∆ONB (g-g) => AM AO   AM BN  AO.OB  R2 OB BN c, Ta có: NCI  ICO  OCN  90o => NCI  90o  ICO Mà CO = OI => ∆COI cân O => ICO  CIO => NCI  90o  CIO  90o  CIH (3) Mặt khác, NC, NB tiếp tuyến (O) => NC = MB NO phân giác CNB (tính chất tiếp tuyến cắt nhau) NC = NB => N thuộc trung trực BC OB = OC = R => O thuộc trung trực BC => NO đường trung trực BC => NO  BC H ∆vng COH có CIH  HCI  90o => HCI  90o  CIH (4) Từ (3) (4) => HCI  NCI => CI phân giác NCB NO hay NI phân giác CNB , CI phân giác NCB (cmt) => I tâm đường tròn nội tiếp tam giác CNB d, MC, MA tiếp tuyến (O), NB, NC tiếp tuyến (O) => MA = MC, NB = NC (tính chất tiếp tuyến cắt nhau) => MA + NB = MC + CN = MN PAMNB = AB + BN + NM + MA => 18 = + BN + NM + MA = + 2MN => MN = 6cm = AB MN = AB  AMNB hình chữ nhật MN // AB  M, N thuộc Ax, By cho MN // AB THẦY SƠN 0983630990 SỐ 6, NGÕ 804/8 QUANG TRUNG, HÀ ĐÔNG BÀI TẬP HÌNH ƠN THI HỌC KÌ HÌNH HỌC Bài 29: (Bắc Từ Liêm - 2020) Cho đường tròn (O; R), đường kính AB Qua B kẻ tiếp tuyến Bx với đường tròn (O) Trên tia Bx lấy điểm M cho MA cắt đường tròn (O) điểm thứ hai D Gọi E trung điểm đoạn thẳng AD a) Chứng minh AD.AM = 4R2 b) Chứng minh bốn điểm M, E, O, B thuộc đường trịn c) Kẻ BH vng góc với OM H, BH cắt đường tròn (O) C Chứng minh MC tiếp tuyến đường tròn (O) d) Tia AH cắt đường tròn (O) Q Chứng minh BQ qua trung điểm HM M C D P E Q H A O B a, D thuộc đường trịn đường kính AB => ADC  90o => AD  BD Áp dụng hệ thức lượng ∆vuông ABC có AD.AM = AB2 = 4R2 b, Ta có E trung điểm dây AD => OE  AD (Định lý đường kính-dây cung) => OED  90o => E thuộc đường trịn đường kính OM (1) MB tiếp tuyến (O) => MB  BO (tính chất tiếp tuyến) => MBO  90o => B thuộc đường trịn đường kính MO (2) Từ (1) (2) => M, E, O, B thuộc đường tròn đường kính MO c, Vì BH  OM (gt) => OH  BC => H trung điểm BC (định lý đường kính, dây cung) => OM đường trung trực BC => MC = MB, OC = OB (tính chất trung trực) Xét ∆OCM ∆OBM có: OM chung, MC = MB, OC = OB (cmt) => ∆OCM = ∆OBM (c-c-c) => OCM  OBM  90o => OC  CM => MC tiếp tuyến (O) d, Gợi ý: ∆BHM ~ ∆ACB, ∆BHP~∆AHC THẦY SƠN 0983630990 SỐ 6, NGÕ 804/8 QUANG TRUNG, HÀ ĐÔNG BÀI TẬP HÌNH ƠN THI HỌC KÌ HÌNH HỌC Bài 30: (Ba Đình- 2020) Cho nửa đường trịn (O; R), đường kính AB Trên nửa mặt phẳng bờ AB chứa nửa đường tròn, kẻ tiếp tuyến Bx với (O) Điểm M di động tia Ax (M khác B), AM cắt nửa đường tròn (O) điểm N (N khác A) Kẻ OE vng góc với AN E a) Chứng minh điểm E, O, B, M thuộc đường trịn đường kính OM b) Tiếp tuyến nửa đường tròn (O) N cắt tia OE K cắt MB D Chứng minh KA tiếp tuyến nửa đường tròn (O) c) Chứng minh KA.DB không đổi điểm M di động tia Bx d) Gọi H giao điểm AB DK, kẻ OF vng góc AB (F thuộc DK) Chứng minh BD/DF + DF/HF = K F N D E A M O B H a, Ta có OE  AN (gt) => OEM  90o => E thuộc đường trịn đường kính OM (1) MB tiếp tuyến (O) (gt) => MB  BO (tính chất tiếp tuyến) => MBO  90o => B thuộc đường trịn đường kính MO (2) Từ (1) (2) => M, E, O, B thuộc đường tròn đường kính MO b, Ta có OE  AN => E trung điểm dây AN => (Định lý đường kính-dây cung) => OE đường trung trực AN => OK trung trực AN => KA = KN, OA = ON (tính chất trung trực) Xét ∆OAK ∆ONK có: OK chung, KA = KN, OA = ON (cmt) => ∆OAK = ∆ONK (c-c-c) => OAK  ONK KN tiếp tuyến (O) => ON  NK => ONK  90o => OAK  ONK  90o => KA  AO => KA tiếp tuyến (O) c, OK, OD phân giác ngồi AON => KOD  90o => ∆KOD vng O KN, KA tiếp tuyến (O) => KN = KA (tính chất tiếp tuyến cắt nhau) KN  ON (t/c tiếp tuyến) DN, DB tiếp tuyến (O) => DN = DB (tính chất tiếp tuyến cắt nhau) THẦY SƠN 0983630990 SỐ 6, NGÕ 804/8 QUANG TRUNG, HÀ ĐƠNG BÀI TẬP HÌNH ƠN THI HỌC KÌ HÌNH HỌC => KA.DB = KN.DN KN.DN=ON2=R2 (hệ thức lượng ∆vuông KOD) => KA.DB = R2 khơng đổi d, Ta có KA//DB//OF (cùng  AB) => AKDB hình thang O trung điểm AB, OF//AK => F trung điểm DK Xét ∆vng KOD có F trung điểm KD => OF = Ta có BD//OF (cmt) => => KD = FD BD HD BD HD (định lý Talet) =>   DF HF FO HF BD DF HD DF HF     1 DF HF HF HF HF THẦY SƠN 0983630990 SỐ 6, NGÕ 804/8 QUANG TRUNG, HÀ ĐƠNG BÀI TẬP HÌNH ƠN THI HỌC KÌ HÌNH HỌC Bài 31: (Nam Từ Liêm - 2020) Từ điểm A nằm ngồi đường trịn (O), kẻ hai tiếp tuyến AB AC tới (O) (B, C tiếp điểm) Gọi H giao điểm AO BC a Chứng minh bốn điểm A; B; O; C thuộc đường trịn b Kẻ đường kính CD (O); DA cắt (O) E (E khác D) Chứng minh OA vng góc BC AE.AD = AH.AO c Gọi M trung điểm AC, BC cắt ME N; DE cắt BC I Chứng minh ME tiếp tuyến (O) OI vuông góc AN THẦY SƠN 0983630990 SỐ 6, NGÕ 804/8 QUANG TRUNG, HÀ ĐƠNG BÀI TẬP HÌNH ƠN THI HỌC KÌ HÌNH HỌC Bài 32: (Gia Lâm - 2020) Cho đường tròn (O;R) điểm M cố định (O), kẻ tiếp tuyến MA, MB với (O) (A, B tiếp điểm) a, Chứng minh bốn điểm M, A, O, B thuộc đường tròn b, Kẻ đường kính BD (O) Chứng minh OM vng góc AB MO song song với AD c, Trên cung nhỏ AB lấy điểm E từ E kẻ tiếp tuyến với (O) cắt MA, MB I K Chứng minh chu vi tam giác MIK độ lớn góc IOK khơng phụ thuộc vào vị trí điểm E d, Đường thẳng qua O vng góc với OM cắt MA, MB H G Tìm vị trí điểm E để tổng IH + KG có độ dài nhỏ H A D I E M O K B G b, MO//AD (cùng  AB) c, IA = IE, EK = KB (tính chất tiếp tuyến cắt nhau) => PMIK = MI + IK + MK = MI + IE + EK + MK = MI + IA + KB + MK = MA + MB khơng đổi (vì M (O) cố định) THẦY SƠN 0983630990 SỐ 6, NGÕ 804/8 QUANG TRUNG, HÀ ĐƠNG BÀI TẬP HÌNH ƠN THI HỌC KÌ HÌNH HỌC Bài 33: (Hà Đơng - 2020) Cho đường tròn (O; R) điểm A cố định thuộc đường tròn Kẻ tia Ax tiếp tuyến đường tròn (O) A Trên tia Ax lấy điểm M cố định (M không trùng A) Đường thẳng d thay đổi qua M không qua tâm O, cắt (O) hai điểm B C (B nằm C M; góc ABC < 90°) Gọi I trung điểm BC 1) Chứng minh bốn điểm A, O, I, M thuộc đường trịn 2) Vẽ đường kính AD đường trịn (O) Gọi H trực tâm tam giác ABC Chứng minh H đối xứng với D qua I Tính HA biết tâm O cách đường thẳng d cm 3*) Chứng minh H A thuộc đường tròn cố định đường thẳng d thay đổi M K B O A H J D I C a, A, O, I, M thuộc đường tròn đường kính OM b, H trực tâm ∆ABC => CH  AB, BH  AC Mà BD  AB, CD  AC => CH//BD, CD//BH => BHCD hình bình hành => DH cắt BC trung điểm I BC HD => H đối xứng với D qua I OI đường trung bình ∆DAH => OI = AH/2 => AH = 4cm c, Gọi K điểm cho AOMK hình bình hành J đối xứng O qua I IJ // AH, IJ = AH = 2OI => AOJH hình bình hành => JH//AO JH = AO MJHK hình bình hành => MJ = HK => MJ = HK = MO = AK K cố định, KA không đổi => H, A thuộc đường tròn (K; KA) THẦY SƠN 0983630990 SỐ 6, NGÕ 804/8 QUANG TRUNG, HÀ ĐÔNG BÀI TẬP HÌNH ƠN THI HỌC KÌ HÌNH HỌC Bài 34: (Cầu Giấy - 2020) Cho đường tròn (O; R) dây AB khác đường kính Kẻ OI vng góc với AB I, tiếp tuyến đường trịn (O) A cắt đường thẳng OI M a) Chứng minh: OI.OM = R2 b) Chứng minh MB tiếp tuyến đường tròn (O) bốn điểm A, B, M, O thuộc đường tròn c) Kẻ đường kính AD đường trịn (O), tiếp tuyến đường tròn (O) D cắt đường thẳng AB điểm N Chứng minh MD vng góc với ON M B N A I H O D Gợi ý: a, ∆AMO vuông A, đường cao AI => OI.OM = OA2 = R2 b, OM trung trực AB => MA = MB => ∆MAO = ∆MBO (c-c-c) => MBO  90o => MB  OB => MB tiếp tuyến (O) => A, B, M, O thuộc đường trịn đường kính MO c, ∆MAO~∆AND (g-g) => AO/ND = MO/ AD => MA/AO = AD/DN => MA/OD = AD/DN => ∆MAD~∆ODN (c-g-c) => ADM  ODN => ADM  HOD  ODN  NOD  90o => OHD  90o => MD  ON THẦY SƠN 0983630990 SỐ 6, NGÕ 804/8 QUANG TRUNG, HÀ ĐÔNG BÀI TẬP HÌNH ƠN THI HỌC KÌ HÌNH HỌC Bài 35: (Thanh Xuân - 2020) Cho đường tròn (O) đường kính AB Vẽ tia tiếp tuyến Ax đường tròn (O) Trên nửa mặt phẳng bờ AB có chứa tia Ax, lấy điểm M thuộc đường trịn (O) (M khác A, M khác B) cho MA > MB Tiếp tuyến đường tròn (O) M cắt tia Ax E 1) Chứng minh bốn điểm A, E, M, O thuộc đường tròn 2) Chứng minh OE song song với MB 3) Gọi F giao điểm EB với đường tròn (O) Chứng minh EFM  EMB E M F A O B Gợi ý: a, A, E, M, O thuộc đường trịn đường kính EO b, OE trung trực AM => OE  AM AM  MB => OE//MB c, EF.EB = AE2 (hệ thức lượng) AE = EM (tính chất tiếp tuyến cắt nhau) => EF.EB = EM2 => ∆EFM ~ ∆EMB (c-g-c) => EFM  EMB THẦY SƠN 0983630990 SỐ 6, NGÕ 804/8 QUANG TRUNG, HÀ ĐÔNG BÀI TẬP HÌNH ƠN THI HỌC KÌ HÌNH HỌC Bài 36: (Tây Hồ - 2020) Cho đường trịn (O; R), đường kính AB Qua điểm A điểm B vẽ đường thẳng d d’ hai tiếp tuyến đường tròn Lấy điểm M thuộc đường trịn (O) (M khác A B) Qua M kẻ tiếp tuyến với đường tròn (O) cắt d d’ theo thứ tự C D a) Chứng minh bốn điểm A, C, M, O thuộc đường tròn b) Chứng minh tam giác OCD vuông 4AC.BD = AB2 c) Chứng minh AB tiếp tuyến đường tròn ngoại tiếp tam giác COD M N D C A O B a, A, C, M, O thuộc đường trịn đường kính OC b, OC, OD phân giác phân giác AOM => COD  90o 4AC.BD = 4CM.MD = 4OM2 = AB2 c, Gọi N trung điểm CD ∆vng COD => N tâm đường trịn ngoại tiếp ∆COD ON đường trung bình hình thang ABDC => ON//AC => ON  AB => AB tiếp tuyến đường tròn ngoại tiếp tam giác COD THẦY SƠN 0983630990 SỐ 6, NGÕ 804/8 QUANG TRUNG, HÀ ĐÔNG 4