Câu 63. Từ điểm nằm ngoài đường tròn , kẻ hai tiếp tuyến , đến đường tròn tâm (, là các tiếp điểm). Qua kẻ đường thẳng nằm giữa và cắt đường tròn tại và ( nằm giữa và ). Gọi là trung điểm của . Gọi là trung điểm của . Đường thẳng vuông góc với tại cắt đường thẳng tại .
a) Chứng minh rằng năm điểm , , , , cùng nằm trên một đường tròn.
b) Chứng minh rằng và là tiếp tuyến của .
c) Đường thẳng cắt hai đường thẳng và lần lượt tại và ; đường thẳng cắt tại . Chứng minh rằngđi qua trung điểm của.
c)
Câu 64. Cho đường tròn . Điểm ở ngoài đường tròn sao cho . Kẻ hai tiếp tuyến , tới đường tròn (, là các tiếp điểm). Nối cắt tại , hạ tại , điểm thuộc cung nhỏ . Tiếp tuyến tại của đường tròn cắt , lần lượt tại , .
a) Chứng minh là tứ giác nội tiếp.
b) Chứng minh: .
c) Đường tròn đường kính cắt tại , gọi là trung điểm của . Chứng minh ba điểm , , thẳng hàng.
a) Do , là tiếp tuyến tại , của đường tròn
Nên và
Vậy tứ giác là tứ giác nội tiếp
b) Theo tính chất của hai tiếp tuyến cắt nhau, ta có: và là tia phân giác của
cân tại , có là phân giác là đường trung trực của
tại vuông tại và có đường cao là
c) vuông tại
là tia phân giác của ,
Mà cân là tam giác đều
Lại có:
Gọi là giao của đường tròn đường kính với
Hay
đều là trung điểm của
, , mà là trung điểm của (do là đường trung trực của ) là trung điểm của AN
vuông tại có ,
vuông tại
Gọi là giao điểm của và
(hai góc nội tiếp cùng chắn )
vuông tại
là trung điểm của trùng với
Vậy ba điểm , , thẳng hàng.
Câu 67. Cho đường tròn và dây . Trên cung lớn lấy điểm sao cho. Các đường cao và của tam giác cắt nhau tại .
Câu 68. Từ điểm ngoài đường tròn kẻ hai tiếp tuyến (, là tiếp điểm) và một cát tuyến nằm giữa hai tia và ... Gọi giao của với lần lượt là . Qua kẻ đường thẳng song song với cắt , lần lượt ở và . Gọi là điểm đối xứng của qua .
Câu 70. Cho hai đường tròn , cắt nhau tại hai điểm , . Trên tia đối của tia lấy điểm . Qua điểm kẻ các tiếp tuyến , với đường tròn (, là các tiếp điểm, nằm trong đường tròn . Đường thẳng cắt đường tròn tại điểm thứ hai là, đường thẳng cắt đường tròn tại điểm thứ hai là ; tiếp tuyến đường tròn tại cắt đường tròn tại điểm thứ hai là; giao điềm của các đường thẳng , là ; giao điểm của các đường thẳng , là .
Câu 72. Cho và một điểm nằm ngoài đường tròn. Qua kẻ các tiếp tuyến với ( là tiếp điểm). Trên nửa mặt phẳng bờ có chứa vẽ cát tuyến của sao cho , gọi là trung điểm của , cắt tại .
1. Chứng minh là tứ giác nội tiếp.
2. Chứng minh vuông góc với tại và
3. cắt tại hai điểm . Gọi là trung điểm của . Đường thẳng qua và vuông góc với cắt tại . Chứng minh và là trung điểm của .
1. Chứng minh là tứ giác nội tiếp.
2. Chứng minh vuông góc với tại và
3. cắt tại hai điểm . Gọi là trung điểm của . Đường thẳng qua và vuông góc với cắt tại . Chứng minh và là trung điểm của .
b) Tam giác vuông tại
(đơn vị độ dài)
+)