BẤT ĐẲNG THƯC ôn THI vào 10 PHẦN 02

CHUYÊN ĐỀ BẤT ĐẲNG THỨC  BÀI TẬP VẬN DỤNG Bài Với  x, y , z  là các số thực dương sao cho  x y.z    1      3 x  y 1 y  27 z 1 27 z  x 1 Chứng minh:  Lời giải Có:  x y.z   x y.z    Ta có:  x3   y   x.2 y  x  y       x3   y    xy  x  y  3z   Chứng minh tương tự:           y   3z         x   y  1  1  3z   x 1 x  2 y  1  y    3z   1 3     xy  x  y  z    yz  x  y  z    3xz  x  y  3z   3z   3  x 1   1 1      x  y  3z   xy yz 3zx  1      3 x  y 1 y  27 z 1 27 z  x 1 Bài Cho  x ,  y  là các số thực dương thỏa mãn  x  y     Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:  A   3xy   y 1 Lời giải A   3xy 3     y  xy  y  1 xy y4        xy  y     xy  y   3 xy  y  4 6    A 2 2 y  x  1     3 y 1  2 1 y   y  1   y   y     y  y       y     6 3  A với mọi  x, y   Vậy  AMin   khi  x  1; y    DIỄN ĐÀN GV TOÁN THCS VIỆT NAM 95 GIÁO VIÊN CÙ MINH QUẢNG CHUYÊN ĐỀ BẤT ĐẲNG THỨC    Bài Cho các số dương  a, b thoả mãn    3 a  b  a  b   ab  a  b     Tìm giá trị nhỏ nhất biểu thức:  M  a  b2     a b Lời giải   Ta có  3 a  b  a  b   ab  a  b    a  b   a  b2  ab  1  a  b  ab     3   Vì       a  b  ab   0  a,b  R         Khi đó ta có    a  b   a  b    a  b2  4   a  b  a b     M a b a b a b a b 4  1 4 1   M  a    b         a  b a b        Áp dụng bất đẳng thức Co-si cho các cặp số dương ta có:    4 a   a   a a   1 b   b     b  b    12     3 a b  a b   GTNN của  M  là          a a  a   Dấu “  ” xảy ra khi   b      b b 1  a  2b     Vậy  M đạt giá trị nhỏ nhất là  khi  a  2; b    Bài Cho  x ,  y là các số thực dương thỏa mãn  x  y     x   Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:  P  x   y      y Lời giải    x ,  y  :   x  y 2   x  xy  y    x  y   x  xy  y   x  y    x  y     x  y   x  y    DIỄN ĐÀN GV TOÁN THCS VIỆT NAM 96 GIÁO VIÊN CÙ MINH QUẢNG CHUYÊN ĐỀ BẤT ĐẲNG THỨC     x  y 2   x  xy  y   x2  xy  y  xy   x  y 2  xy   x y    xy x y 1     x y x y P  x 1 1 11 1 1 =  2     y  x  y      x  y  x y x y 2x 2y  x y  2x 2y x  y         P2 2     2  x2  y  Dấu  "  "  xảy ra khi và chỉ khi  x  y  2 2    2.1   Vậy giá trị nhỏ nhất của  P  là   khi  x  y    Bài Chứng minh rằng:    Với mọi  x  ,ta ln có   x       x3      x  x   Lời giải   Ta có   x       x3    x  x          x3     x    x   x          x   x   3x     x  x x          x    x   x     x   2  x  x x x     1   1       x    x  x   1   x      x   1     x  x  x x   x         x   x     x   1  x  x x         x  1       x     x   1    x  x  x       x x 0    x  1 Vì  x   nên     .  x   2 x  x    DIỄN ĐÀN GV TOÁN THCS VIỆT NAM 97 GIÁO VIÊN CÙ MINH QUẢNG CHUYÊN ĐỀ BẤT ĐẲNG THỨC  Bài Cho  a, b, c  là các số thực dương thỏa mãn:  ab  bc  ac  3abc  Tìm giá trị nhỏ nhất của  a2 b2 c2      c  c  a  a  a  b2  b  b2  c2  biểu thức  K  Lời giải  ab  bc  ac  3abc  Ta có  1    3    a b c         (1)    Cauchy a2 a2  c c2 ac 1         2 2 2 2 c 2a c c  a  c c  a  c c  a  c a c  a  Tương tự,  b2 1 c2 1 ,        2 2 a  a  b  a 2b b  b  c  b 2c 11 1  1 Khi đó  K         2a b c Vậy  Min K  a ,b ,c   a  b  c    2 Bài điểm) Cho  a ,  b  là các số khác   thỏa mãn điều kiện:   a  b  ab   a  b   ab  Tìm giá  trị lớn nhất của biểu thức  P  1      a b3 Lời giải Theo giả thiết:    a  b  ab   a  b   ab    a 2b  ab  a  ab  b2   a b Do  a  ;  b   nên chia cả hai vế cho  a b  ta được:    a 1     a ab b b Đặt  x  ;  y   ta được :  x  y  x  xy  y  (1)   x  y   x  y   3xy    x  y  xy   x y    x  y   Mà   x  y   xy  hay  xy   x  y Suy ra  2 x  y  x  y       x  y   x  y    0 x y  4  DIỄN ĐÀN GV TỐN THCS VIỆT NAM 98 GIÁO VIÊN CÙ MINH QUẢNG CHUN ĐỀ BẤT ĐẲNG THỨC    Ta có:  P  1    x  y    x  y   x  xy  y     x  y    (do 1)  a b Mà   x  y   nên    x  y    18   Vậy giá trị lớn nhất của  P  là 18 khi  x  y   và  a  b    Bài Cho các số thực thỏa mãn  x  y – xy     Tìm GTLN và GTNN của biểu thức  P  x  y   Lời giải +) Tìm GTLN của  P :  Ta có  x  y – xy      2    x  y – xy   x  y   x  y    P   x  y    P    x  y      Ta có   x  y    với mọi  x, y     Suy ra  P      x  y  Max P     x  y  2    x  y  xy    Vậy  Max P   khi  x  y  2   +) Tìm GTNN của  P :  Ta có  x  y – xy     x  y – xy       2   x  y   x  y      3P    x  y    Ta có   x  y    với mọi  x, y     Suy ra  3P   P       x     y  x   y    x   x  y   y  x      Min P        2   x  y  xy  3x    x     x         y   Vậy  Min P   khi  x  2 2 ; y  hoặc  x   ; y   .  3 3 DIỄN ĐÀN GV TOÁN THCS VIỆT NAM 99 GIÁO VIÊN CÙ MINH QUẢNG CHUYÊN ĐỀ BẤT ĐẲNG THỨC  Bài Cho ba số dương  a ,  b ,  c  thỏa mãn  ab  bc  ca    Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:  A  a2 b2 c2   ab bc ca   Lời giải a2 b2 c  a  b  c  , ta được   Áp dụng bất đẳng thức:     x y z x yz a2 b2 c2  a  b  c    a  b  c     A    a  b b  c c  a a  b  c    a  b   b  c   c  a    ab  bc  ca 4      Dấu  "  "  xảy ra khi  a  b  c    Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức:  A  a2 b2 c2    là   khi  a  b  c    ab bc ca Bài 10 Cho  x  y  z   Chứng minh:  14 x   14 y  14 z     Lời giải ĐKXĐ:  x, y, z  4   Áp dụng bất đẳng thức Cô –si cho hai số không âm  8    và  8  14x  , ta có:  8  8 14 x       14 x    1 8  14 x    x    14 x  8  7x     1 (1)  Chứng minh tương tự, ta có:  14 y  8 7y   1  14 z      7z     1   (2)  (3)  Cộng theo vế các bất đẳng thức (1), (2), (3) ta được:  14 x   14 y   14 z  24    x  y  z  1   Ta có:     DIỄN ĐÀN GV TOÁN THCS VIỆT NAM 100 GIÁO VIÊN CÙ MINH QUẢNG CHUYÊN ĐỀ BẤT ĐẲNG THỨC     x  y  z   x  y  z  xy  yz  zx   Mà:  xy  yx  zx   x  y  z    Suy ra:   x  y  z   3 x  y  z      Do đó:  x  y  z    Suy ra:    24        1 1  24   14 x  14 y  14 z  1 Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi  x  y  z     Bài 11 Tìm cặp số (x ; y) với y là số nhỏ nhất thỏa mãn điều kiện                       x2 + 5y2 + 2y – 4xy – 3 = 0  Lời giải Phương trình có nghiệm ẩn  x khi và chỉ khi     y   y  y        y2  y       y  1   2  y    3  y    Giá trị nhỏ nhất của  y  là  3  khi đó phương trình   x  12 x  36   x  6   Bài 12 Cho   x     Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:  A  2       x 3 5 x ( x  3)(5  x) Lời giải   Ta có   x   nên  x   0;5  x      Áp dụng BĐT Cauchy:    A   Áp dụng BĐT Cauchy:    Suy ra   x  3  x  2   x 3 5 x  x  3  x   x  3  x       x  3  x   x  3  x   x 35 x  1   1      Suy ra  A        Vậy GTNN  A   khi và chỉ khi  x    x  x    DIỄN ĐÀN GV TOÁN THCS VIỆT NAM  101 GIÁO VIÊN CÙ MINH QUẢNG CHUYÊN ĐỀ BẤT ĐẲNG THỨC  Bài 13 Cho  x, y  là các số thực dương thỏa mãn điều kiện  x  y   Tìm giá trị nhỏ nhất của  x biểu thức:  P  x  y   24 y Lời giải x   Ta có:  P  x  y   24 16  x  y     y x y x y  2  16      15   x y Vậy giá trị nhỏ nhất của  P  15  Dấu bằng xảy ra khi  x  2; y          2 42 Bài 14 Cho  a, b, c   Chứng minh rằng  a b2 c2    a  ab  b  b  bc  c  c  ca  a   b c a Lời giải Đặt  2 a b c    a  ab  b  b  bc  c  c  ca  a (*).  b c a Vì  a, b, c   nên áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho các số không âm  a, b, c, a b2 c , ,  ta được  b c a a2 a2 b2 b2 c2 c2 b  b  2a ,    c  c  2b ,   a  a  2c   b b c c a a Suy ra  Ta có   a b2 c  a b c a b2 c2    a  b  c  2        a  b  c (1)  b c a c a  b c a  b a2 b2 c2 a  ab  b b  bc  c c  ca  a   abc     a  b  c (2) b c a b c a Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho các số không âm a  ab  b b  bc  c c  ca  a , b, , c, ,a b c a ta được  a  ab  b b  bc  c c  ca  a  b  a  ab  b ,     c  b  bc  c ,     a  c  ca  a b c a (3)   a b2 c2      a  ab  b  b  bc  c  c  ca  a  hay   b c a   Từ (1), (2) và (3) suy ra   a2 b2 c2    a  ab  b  b  bc  c  c  ca  a b c a Do đó (*) được chứng minh. Dấu bằng xảy ra khi dấu bằng tại (1) và (4) xảy ra. Tức là  DIỄN ĐÀN GV TỐN THCS VIỆT NAM 102 GIÁO VIÊN CÙ MINH QUẢNG CHUN ĐỀ BẤT ĐẲNG THỨC     a2 b2 c2  b,  c,  a 2 2 2  b a  b , b  c , c  a c a    2 2 2 2 2 2 2  a  ab  b  b,    b  bc  c  c,    c  ca  a  a a  ab  b  b , b  bc  c  c , c  ca  a  a  b c a 2 2 2 a  b , b  c , c  a     a ( a  b)  0, b(b  c)  0, c(c  a )  Vì  a, b, c   nên suy ra dấu bằng xảy ra khi  a  b  c   Bài 15 Cho a, b, c là độ dài 3 cạnh của một tam giác. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:   P  a 2b  2c  a  b 2a  2c  b c  2a  2b  c Vì  a, b, c  là 3 cạnh của tam giác nên  2a  2c  b , 2a  2b  c2 , 2b  2c  a    đểu là các số dương.    Áp  dụng  3a  2b2  2c  a     Ta có:  cơng  2 thức  Cauchy  ta  có:  3a  2b  2c  a  a2  b2  c   a 2b  2c  a a  a2 3a  2b  2c  a  b  a2   a  b2  c c  a  b2  c2    P   Vậy GTNN  P   khi và chỉ khi  a  b  c  hay là tam giác đều.  2b  2c  a  2a  2c  b  2a  2b  c  a  b2  c2  3  2) Ta coi như hình vẽ thành bài tốn đường trịn tâm   O   nội tiếp tam giác đều  ABC  vậy tâm   O   của đường tròn sẽ trùng với trọng tâm tam giác  ABC  vậy nên đường cao của tam giác  đều là  3R  (với  R  là bán kinh đường tròn   O  )  Suy ra  BC  2.3R  3R   3 Thể tích hình nón là:  V   R h     3R 3R  3 R   Thể tích hình cầu là:  V   R   Vậy tính thể tích theo R phần hình nón nằm bên ngồi quả cầu kem là  V  3 R   R   R   3 Bài 16 Cho ba số dương  a ,  b ,  c  thoả mãn  ab  bc  ca     Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức  A  DIỄN ĐÀN GV TỐN THCS VIỆT NAM a2 b2 c2     ab bc ca 103 GIÁO VIÊN CÙ MINH QUẢNG CHUYÊN ĐỀ BẤT ĐẲNG THỨC    Lời giải Áp dụng bất đăng thức Bu-nhi-a-cốp-xki ta có       a2 b2 c2  2  a  b  c A   a  b  b  c  c  a      ( a  b  c)   ab bc ca Suy ra  A  abc   Áp dụng bất đẳng thức Cơ-si ta có  a  b  ab   b  c  bc   c  a  ca   Suy ra  a  b  b  c  c  a  Suy ra   a  b  c   , hay  Vậy nên  A    ab  bc  ca  2.1    abc    2 abc    2 Khi  a  b  c   thì  A    2 Vậy giá trị nhỏ nhất của  A  là    Bài 17 Cho  a, b   thỏa mãn  2a  ab    Tính giá trị nhỏ nhất của  T  a  2b   ab Lời giải   Ta có  2a  ab    a   b       Kết hơp với  a   ta suy ra  b     a    Ta có  T       a b   2b 2b a a 2b a     1   a 8b 8b a 8b 7 T  1      b   b  2bb        DIỄN ĐÀN GV TOÁN THCS VIỆT NAM 104 GIÁO VIÊN CÙ MINH QUẢNG CHUYÊN ĐỀ BẤT ĐẲNG THỨC  Bài 77 Cho  a, b  là các số không âm thỏa mãn  a  b       Chứng minh rằng:  a 3a  a  2b   b 3b  b  2a       Dự đoán dấu bằng xảy ra khi  a  b   Khi đó  3a  a  2b,  3b  b  2a  nên ta có thể áp dụng  bất đẳng thức Cauchy trực tiếp cho biểu thức trong dấu căn.  x y , dễ thấy  3a  a  2b 3b  b  2a a 3a  a  2b   a  2a  ab , b 3b  b  2a   b  2b  ab 2 Sử dụng bất đẳng thức Cauchy dạng  xy  Cộng hai bất đẳng thức này lại vế theo vế, ta được: M  a 3a  a  2b   b 3b  b  2a    a  b   2ab   2ab    Tiếp tục sử dụng bất đẳng thức Cauchy kết hợp với giả thiết, ta có:   2ab   a  b   Từ    đó ta có ngay M   Dấu bằng xảy ra   a  b  Bài 78 Với  a ,  b ,  c  là các số dương thoả mãn có  ab  bc  2ac  Tính giá trị nhỏ nhất của biểu  thức  P  ab cb    2a  b 2c  b Lời giải  Với  a ,  b ,  c  là các số dương ta có:  2ac , thay vào  P  ta được  ac 2ac c a  c     2ac 2c  ac ab  bc  2ac  b  2ac ac P 2ac 2a  ac a      a  a  c   2ac 2a  a  c   2ac  c  a  c   2ac 2c  a  c   2ac    a  3c c  3a     2a 2c 3 a c             2 c a   Vậy giá trị nhỏ nhất của  P  là 4 khi  a  b  c   Bài 79 Cho x  y  Chứng minh x  y  Lời giải Ta có  x  y   x  y   1  với mọi  x ,  y   Thật  vậy,  1  x  y  x  xy  y  x  xy  y    x  y     luôn  đúng  với  mọi  giá trị của  x ,  y   Áp dụng  1  ta có:  DIỄN ĐÀN GV TỐN THCS VIỆT NAM 138 GIÁO VIÊN CÙ MINH QUẢNG CHUN ĐỀ BẤT ĐẲNG THỨC    x  y  x 4 2 2  y  x   y2  2 2  và  x  y  x  y     2 Theo giả thiết ta có  x  y   nên  x  y    1 2 Suy ra  x  y        Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi  x  y     Bài 80 Một cơng ty du lịch dự định tổ chức một tour du lịch xun Việt nhân kỉ niệm ngày  giải phóng hồn tồn miền Nam  30   Cơng ty dự định nếu giá tour là   triệu đồng thì sẽ có  khoảng  150  người tham gia. Để kích thích mọi người tham gia, cơng ty sẽ quyết định giảm  giá và cứ mỗi lần giảm giá tour  100  nghìn đồng thì sẽ có thêm  20  người tham gia. Hỏi cơng  ty phải giảm giá tour là bao nhiêu để doanh thu từ tour xun Việt là lớn nhất.  Lời giải  Gọi  x là giá tour (triệu đồng;   x  )  Giá đã giảm so với ban đầu là   x  (triệu đồng)  Vì mỗi lần giảm giá tour  100  nghìn đồng thì sẽ có thêm  20  người tham gia nên số người tham  gia tăng thêm khi giảm   x  triệu đồng là  (2  x) : 0,1.20  400  200 x  (người)  Tổng số người tham gia là:  150  400  200 x  550  200 x  ( người)  Tổng doanh thu là :  L  x  550  200 x   ( triệu đồng)  Tìm  x  để doanh thu  L  lớn nhất với   x    Sử dụng bất đẳng thức Cơsi, chúng ta có:    2 1  200 x  550  200 x   550  3025 Dấ L  x  550  200 x    200 x  550  200 x          200 200  200    u  "  " xảy ra ⇔  200 x  550  200 x  400 x  550    x  1, 375   Vậy giá tour là 1,375000 triệu đồng.  2  1 Bài 81 Cho  x  0; y   thỏa mãn  x  y   Tìm giá trị nhỏ nhất của  M   x     y     x  y  Lời giải Chứng minh các bất đẳng thức phụ:  Ta có: với  a, b     a  b   a  b  2ab    a  b   a  b  2ab     2a  b 2 a 2 2  b  2ab  a  b   a  b 2        1    Lại có: với  a, b      a  b   a  b2  2ab   a  b  2ab  4ab     ab  a  b  ab  4ab  a  a  b   b  a  b   4ab DIỄN ĐÀN GV TOÁN THCS VIỆT NAM 139 *  .  GIÁO VIÊN CÙ MINH QUẢNG CHUYÊN ĐỀ BẤT ĐẲNG THỨC    Vì  a, b   ab  0; a  b     Do đó ta được:  *   a a  b ab  a  b   b  a  b ab  a  b  1     a b ab    4ab    ab  a  b       2      Áp dụng bất đẳng thức  1  và     cho  M  ta được:  2    1 1 1   M  x y    x y         M   x  y    x y  x y 2 x y  2 x y   1   M  2  (Áp dụng bđt thức Cauchy cho cặp số   x  y  ;      x y x y 2  25  M    3   (Vì  x  y  )  2 Dấu  "  "  xảy ra khi và chỉ khi  x  y     25 Vậy giá trị nhỏ nhất của  M  là     Bài 82 Cho hai số dương  x , y , có  x  y 1        Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức  B   1   1   x  y    Lời giải    x2  y  1    B 1  1    x2 y       x  y  ( x  1)( y  1)( x  1)( y  1)  xy  x  y  1 xy  x  y  1   x2 y x2 y2      xy   1 xy   1 x2 y2    x y  xy  1 2 x y xy    ( x  y )2 xy   4   8 xy  1 9 B9 xy Xảy ra dấu “=” khi  x  y  (TM )   Vậy GTNN  B  khi  x  y  DIỄN ĐÀN GV TOÁN THCS VIỆT NAM 2  140 GIÁO VIÊN CÙ MINH QUẢNG CHUYÊN ĐỀ BẤT ĐẲNG THỨC    Bài 83 Cho các số thực  a, b, c  thỏa mãn  a  b  c   và ab  bc  ca  15   Chứng minh rằng:  a  11   Lời giải Vì  a  b  c   b  c   a   ab  bc  ca  15  bc  15  a  b  c   15  a   a   a  7a  15   Áp dụng định lí Vi-ét đảo có  b và  c  là nghiệm của phương trình:   x    a  x  a  a  15    (ẩn  x )  Ta có:      a    a  a  15   3a  14a  11   3a  111  a    Để tồn tại hai số  b , c  thì      3a  111  a     a  Vậy  a  11   11   Bài 84 Cho ba số thực không âm  a  ; b  ; c  thay đổi thỏa mãn  a  b  c   .  Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức :  M  2019a  4026ab  2019b  2019b  4028bc  2019c  2020a  4030ac  2020c   Lời giải   Ta có  2019a  4026ab  2019b   a  b    Thật vậy:  2019a  4026ab  2019b   a  b     2019a  4026ab  2019b  3a  6ab  3b  2016 a  4032 ab  2016b      2016  a  2ab  b      2016  a  b    (ln đúng )  Ta có  2020b  4028bc  2020c   b  c    Thật vậy:  2020a  4028ab  2020b   a  b     2020b  4028bc  2020c  3b  6bc  3c  2017b  4034bc  2017c     2017  b  2bc  c      2017  b  c    ( ln đúng).  Ta có  2021a  4030ac  2021c   a  c    Thật vậy:  2021a  4030ac  2021c   a  c     2021a  4030ac  2021c  3a  6ac  3c  2018a  4036 ac  2018c    DIỄN ĐÀN GV TOÁN THCS VIỆT NAM 141 GIÁO VIÊN CÙ MINH QUẢNG CHUYÊN ĐỀ BẤT ĐẲNG THỨC     2018  a  2ac  c      2018  a  c    (luôn đúng).   M   a  b  c     Ta có  a  b  c  a b c  a b M  3       Thật vậy:  a  b  c    a b c b c    a b c    2a  2b  2c  ab  bc  ac   a c    (luôn đúng)     M    Vậy giá trị nhỏ nhất  M   dấu bằng xảy ra khi  a  b  c    Bài 85 Cho  a, b  là các số thực sao cho  a  ab  b  a  b  Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ  nhất của biểu thức  P  505a  505b Lời giải Tìm Min:   a  ab  b  a  b  a  b   a  b   b    2  P  505a  505b  505  a  b    MinP   Dấu  "  " xảy ra   a  b  Tìm Max:   a  ab  b  a  b   a  b   3ab  a  b     a  b Do  ab  2 3 a  b  a  b   a  b   (do   a  b   a  b   ab ab  0) 4  P  505.4  2020    Dấu  "  " xảy ra   a  b     MaxP  2020  tại  a  b  Bài 86 Với các số thực không âm  a, b, c  thỏa mãn  a  b  c   Tìm giá trị lớn nhất và giá trị  nhỏ nhất của biểu thức  P  ab  bc  ca  abc   Lời giải DIỄN ĐÀN GV TOÁN THCS VIỆT NAM 142 GIÁO VIÊN CÙ MINH QUẢNG CHUYÊN ĐỀ BẤT ĐẲNG THỨC    a  b2  c2  1  abc   Q   Ta có  P  ab  bc  ca  abc  2 2 2 2 Với  Q  a  b  c  abc  Ta tìm gtln gtnn của biểu thức  Q   Giả sử  c  a, b, c  ⇒   a  b  c  3c  ⇒   c    Ta có:  Q   a  2ab  b   c  2ab  abc    c   c  ab   c    Từ giả thiết có  ab   c  ⇒  a  b   và   ab    c      c  3c  18   Q    c   c    Ta có:  16 c  3c  18   c  1  c    16         4 4 Dấu bằng xay ra khi  a  b  c    Do   c   ⇒  c  c  1   ⇒    c   c  2c  6c   2c  c  1  4c     Dấu đẳng thức xảy ra tại  c  0, ab  0, a  b  c   hay  c  0, a  3, b   hoặc  c  0, a  0, b    ⇒  GTNN  của  Q  là 4 khi  a  b  c    Và  GTLN  của  Q  là 9 khi  c  0, a  3, b   và các hốn vị của nó.  GTNN của  P  là 0 khi  c  0, a  3, b   và các hốn vị của nó.  Vậy  GTLN  của  P  là   khi  a  b  c    Bài 87 Cho  xy  yz  xz   Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:  M   x  y   z   Ta có:  a  b  2ab  với mọi  a, b       z  x  xz   1   2 Chứng minh tương tự, ta được   z  y  yz       2                                 x  y  xy  3   Từ  1 ;    ;   3  ta suy ra   M  2( xy  yz  zx)      x     z    x  y  z   Dấu “ = ” xảy ra khi    xy  yz  xz    x      z   y 5 1 y 2   Vậy  M  đạt giá trị nhỏ nhất bằng 2.  DIỄN ĐÀN GV TOÁN THCS VIỆT NAM 143 GIÁO VIÊN CÙ MINH QUẢNG CHUYÊN ĐỀ BẤT ĐẲNG THỨC    Bài 88 Cho  a, b, c  dương và  a  b  c   Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức   ab bc ca     c  ab a  bc b  ca ab ab ab 1 1     ab   Ta có    2bc ac c  ab c  a  b  c   ab  b  c  a  c  A Tương tự   1 1  1 1  bc ca  bc    ca    ;    2ba ca 2cb ab  a  bc b  ca Suy ra   A ab  1  bc  1  ca  1             ac bc ba ca  cb ca   ab bc ab ac bc ac           2 ac a c bc cb ab a b  1   a  b  c     2 Dấu “=” xảy ra   a  b  c    1 Vậy giá trị lớn nhất của  A a  b  c  Bài 89 Cho 3 số thực dương  x, y, z  thỏa mãn điều kiện  x  y  z    Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức  P  x y z   y 1 z 1 x 1   Lời giải    Ta có   x xy xy xy xy  x  y   y     ( x, y, z  )   Do  y2 1 y2 1 y2 1 y x xy  x   y 1 2 Tương tự:  y yz z zx  y ;   z    z 1 x 1 2 Suy ra  P  x  y  z  xy  yz  zx   2 Lại có  xy  yz  zx  x  y  z  P  3 x  y  z  xy  yz  zx   3  3   Pmin   Dấu  "  "  xảy ra   x  y  z  2 DIỄN ĐÀN GV TOÁN THCS VIỆT NAM 144 GIÁO VIÊN CÙ MINH QUẢNG CHUYÊN ĐỀ BẤT ĐẲNG THỨC  Bài 90 Cho  x ,  y ,  z  là ba số thực thỏa mãn điều kiện:  x  x  1  y  y  1  z  z  1       Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức  P , biết rằng  P  x  y  z   Lời giải Theo bất đẳng thức Cauchy-Schwarz, ta có:  2 1.x  y  1.z   12  12  12  x2  y  z      x  y  z    x  y  z    4 Mà  x  x  1  y  y  1  z  z  1      x  y  z    x  y  z       x  y  z      x2  y  z2    3 x  y  z      3 x  y  z      x  y  z   3 x  y  z       x2  y  z2    x  y  z  1  P  x  y  z   P    x  y  z  4    x  y  z    P4 x  y  z Vậy  MaxP   khi  x  y  z    Bài 91 Cho các số thực dương  x ,  y  thỏa mãn:  x  y  15  Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức  A  x 1  y    Lời giải Với các số thực dương  x ,  y A  , giá trị của biểu thức  A được xác định A  x   y   x   y   điều kiện:  x  1; y     Chứng minh công thức:    ax  by    a  b  x  y  Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta có:    A2  x   y     2   x 1  y2                                            ( x   y  2).(1  1)                                            ( x  y  3).2                                            (15  3).2  36  .1   2   Suy ra A   ( vì  A  ) Dấu bằng xảy ra khi  x   y   x   y   x  y    Mà  x  y  15     Nên ta có hệ phương trình    x  y  15  x  (15  1) : x  (Thỏa mãn điều    x  y   y  (15  1) : y  kiện)    Vậy giá trị lớn nhất của biểu thức  A  là 6 khi  x  8;   y  DIỄN ĐÀN GV TOÁN THCS VIỆT NAM 145 GIÁO VIÊN CÙ MINH QUẢNG CHUYÊN ĐỀ BẤT ĐẲNG THỨC    Bài 92 Cho các số thực dương  x ,  y  là những số thực thỏa mãn:  x  y  xy   Tìm giá trị nhỏ  nhất của biểu thức  P  x  y   Lời giải 2 Ta có:   x     y     x  y    với mọi  x, y    x  x   y  y   x  xy  y      x  y    x  y  xy    24  x  y    Dấu bằng xảy ra khi  x  y    Vậy  MinP   khi  x  y    Bài 93 Cho hai số thực  x ,  y  thỏa mãn:  x  y  xy     2 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức  P  x  y  xy   Lời giải Do  x  y  xy  7  xy   ( x  y)   2 7 2   Thay  xy   ( x  y )  vào  P  x  y  xy , ta có:  P  x  y     x  y     2 P  x  y  14  x  y   x  x +4    y  y  1    x     y  1     x    với mọi  x ; y  P     Vì    y  1  x   x  2  x      Dấu  "  "  xảy ra khi và chỉ khi      y  1  2 y    y  Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức  P  là   tại  x   và  y    Bài 94 Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức  P   x   x   x   Lời giải + Điều kiện:  2  x    + Đặt  t   x   x   và  t    x2   2 x  2 x     x2 *    t2  t2    P  t     P  (t  1)2     2 Xét biểu thức  t   x   x     t    x2   Với mọi  x  thỏa mãn điều kiện xác định thì   t      x       x2     t      t     Mà  t   nên   t    DIỄN ĐÀN GV TOÁN THCS VIỆT NAM 146 GIÁO VIÊN CÙ MINH QUẢNG CHUYÊN ĐỀ BẤT ĐẲNG THỨC    t    x   x   (tm )   2  x    2  x  Với mọi  x  thỏa mãn điều kiện xác định  thì   Áp dụng BĐT Cơ – si ta có:  (2  x)(2  x)   x   x        x      t      t  2    Dấu “=” xảy ra    x   x  x  (thỏa mãn)  +Vì  t  nên   t  1  (2  1)       t  1  1       t  1   1      P      P      Suy ra  Pmax  t   x  2   + Vì  t  2 nên      t  1  2          t  1   2          t  1    2         P       P  2      Pmin  2   t  2  x      Vậy  Pmax  x  2  và  Pmin  2  x    Bài 95 Cho ba số thực dương  x , y , z  thỏa mãn  x  y  z   Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu  x  y y  z z  x3 thức  P  2  2  2   x y y z z x Lời giải  x3  y  x  y   x  y  xy      x2  y2 x2  y 2 Ta có:            x  y  Tương tự ta có:  xy  x  y  x y  x y xy  x  y  xy  x y   y z yz z x zx  ;    2 y z z x x3  y y3  z z  x3 x  y y  z z  x      x2  y y2  z2 z2  x2 2  P  x y z  6  Khi đó ta có:  P  DIỄN ĐÀN GV TOÁN THCS VIỆT NAM 147 GIÁO VIÊN CÙ MINH QUẢNG CHUYÊN ĐỀ BẤT ĐẲNG THỨC  x  y  y  z Dấu “=” xảy ra    x  y  z     z x   x  y  z  Vậy  MinP   khi  x  y  z      Bài 96 Cho  x ,  y ,  z  là các số dương thỏa mãn  x  y  z  2020   xy yz zx     2020 z  xy 2020 x  yz 2020 y  zx Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức  P    Lời giải   Thay  x  y  z  2020  vào biểu thức  P  ta được :  P  xy  x  y  z  z  xy xy xz  yz  z  xy  x  y  z  x  yz yz  yz   zx  x  y  z  y  zx zx  x  xy  xz  yz     xy  y  yz  zx Áp dụng bất đẳng thức Cơ-si, ta có :  xy  xz  yz  z  xy yz x  xy  xz  yz zx  xy  x  z  y  z  yz  x  z  x  y  zx   x  y  y  z  Cộng 2 vế  1 ,   2 ,   3  ta được :  xy  y  yz  zx xy xz  yz  z  xy   xy xy  xy xy    1      x  z y  z  y  z x  z   yz yz  yz yz         2   x z x y 2 x z x y  zx zx  zx zx         3   x y y z 2 x y y z  yz  x  xy  xz  yz zx xy  y  yz  zx  xy xy yz yz zx zx           2 y z x z x z x y x y y z   xy zx xy yz yz zx           2 y z y z x z x z x y x y   x y  z y  x  z z  x  y        2 y z xz x y  2020   x  y  z   1010   2 x  y  z 2020 x yz Dấu  “=” xảy ra khi và chỉ khi      x  y  z  2020 Vậy giá trị lớn nhất của biểu thức  P  1010  khi  x  y  z  DIỄN ĐÀN GV TOÁN THCS VIỆT NAM 148 2020   GIÁO VIÊN CÙ MINH QUẢNG CHUYÊN ĐỀ BẤT ĐẲNG THỨC    Bài 97 Cho  x   , y   , z   và  x  y  3z  20    x Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức  P  x  y  z       2y z Lời giải P x y 3z  3x   y   z                4  x   2y   z  x y x 3x 3x   3  x Ta có :    Ta có :   Ta có :  z x  y  3z   5  4 y y  2  3  2y 2y z z Ta có :    z     P  13    z Vậy giá trị nhỏ nhất  P  13  dấu bằng xảy ra khi  x   ; y   ; z     Bài 98 Với  x, y  , tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức  P  x  y  16  x  1 y  1 Lời giải  x  1 y  1  Ta có  x y  x  y  x y2  16  x  1 y  1  32 x y2 2 Khi đó  P   x  y   64 x y2 2 Lại có   x  y     x  y    x  y   12   x  y  2 64 64   x  y  2  32 x y2 x y2  P  20  P  10  Pmin  10 Dấu  "  "  xảy ra   x  y   P  12   x  y    Bài 99 Cho ba số x , y , z  thỏa mãn x  y  z  xyz   Tìm giá trị lớn nhấ tcủa biểu thức  S  x yz 1  x   y xz 1  y   z xy 1  z    Lờigiải  S x yz 1  x   y xz 1  y   z xy 1  z   x y z     yz  xyz.x xz  xyz y xy  xyz.z   Mà theo đề bài, x  y  z  xyz  nên ta có:    DIỄN ĐÀN GV TỐN THCS VIỆT NAM 149 GIÁO VIÊN CÙ MINH QUẢNG CHUYÊN ĐỀ BẤT ĐẲNG THỨC    S    x yz   x  y  z  x x yz  xz  x  x  y  z  x  y  x x  y x  z  x  x  y   xz   x  y  z  y y  x y  xz  yz  y  x  y   xy  zy  z  x  z  z  x  y  y  x  y y  z  y  x  y  Tacó x , y , z  nên suy ra  xy   x  y  z  z z  y  z  z y  x  z  z  x  z z  y  z  x  z  1   x y y z x z , , , , , đều là số dương.  z x x y z y x y y z x z Với x , y , z  , áp dụng bất đẳng thức Côsi cho 2 số dương ta được  x x x x  2  z x x y z x x y y y y y  2  z y x y z y x y z z z z  2  y z x z y z x z x  z  x  x  y  y  z  y  x  y  z  y  z  x  z              Dấu "  "   ,   ,   đồng thời xảy ra khi và chỉ khi  x  y  z    Cộng vế với vế của    ,   ,    ta được   x x y y z z x           z  x  x  y  zx x y z y x y yz xz   x z x y y z x y          z  x  x  y  z x x y z y z  y x  y       x y z         z  x  x  y   z  y x  y y  z x  z         x y z          z  x  x  y   z  y  x  y   y  z  x  z  Từ  1  và     suy ra S  y  z  y  x  y      y  z  x  z   z   y  z x  z     z   Dấu "  " xảy ra khi và chỉ  x , y , z  x , y , z  x , y , z  x , y , z       x   x  y  z  (thỏa mãn).   x  y  z  xyz  3x  x3  3  x   x  y  z x  y  z x  y  z x  y  z   Vậy giá trị lớn nhất của  S  bằng  S  đạt được khi x  y  z    DIỄN ĐÀN GV TOÁN THCS VIỆT NAM 150 GIÁO VIÊN CÙ MINH QUẢNG CHUYÊN ĐỀ BẤT ĐẲNG THỨC    Bài 100 Cho  x , y  là các số thực dương thỏa mãn  x  y   .   Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức  A  xy   x y xy     Lời giải 1 1 1   Cho các số thực dương  x ,  y  ta có:   x  y         x y x y x y x Thật vậy  x  y  xy ;   1 1 1 1      x  y        x  y        y xy x y x y Ta có  x  y  xy   xy    xy  A  xy    1     xy     2 x y xy xy x  y xy xy   Ta có   xy      xy 1      x y xy  x  y  2 5     4xy  x  y   A  11   Vậy giá trị nhỏ nhất  A  11  dấu bằng xẩy ra khi  x  y    1 1 Bài 101 a) Cho  x, y , z  là ba số dương. Chứng minh   x  y  z           x y z     b) Cho  a, b, c  là ba số dương thỏa mãn  a  b  c   Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức  ab bc ca     A   a  3b  2c b  3c  2a c  3a  2b Lời giải a) Áp dụng bất đẳng thức  x y    cho hai số  x  0; y  ta chứng minh được  y x 1 1        x y z  x  y  z    Áp dụng bất đẳng thức ở phần a) ta có:  9ab ab ab a 9bc bc bc b    ;     ;  a  3b  2c c  a c  b b  3c  2a a  c a  b DIỄN ĐÀN GV TOÁN THCS VIỆT NAM 151 GIÁO VIÊN CÙ MINH QUẢNG CHUYÊN ĐỀ BẤT ĐẲNG THỨC    9ca ca ca c      c  3a  2b b  a b  c Cộng theo các vế của ba bất đẳng thức trên ta được   ab ab a bc bc b ca ca c           ca cb ac ab ba bc 9A  bc   ab ca   bc ca  a  b  c  ab    9A         ca ac cb bc ab ba Bài 102 Cho hai số thực dương  a, b  thỏa mãn  a  b  3ab     Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức  P  12ab 2  a  b   ab Ta có:  (a  b)   a  b2  2ab  (a  b)  4ab; a  b  Từ giả thiết  a  b  3ab   a  b   3ab   (a  b)2   a  b   2   a  b    a  b      a  b  2 3  a  b   2   a  b    3ab  (a  b)   1    a b ab ab 2   a b P  a  b  2  2    a2  b2      9 12ab 3ab 16  a  b    a  b2       ab a b 9 Giá trị lớn nhất của P bằng  16  khi a  b ab  a  b  3ab        DIỄN ĐÀN GV TOÁN THCS VIỆT NAM 152 GIÁO VIÊN CÙ MINH QUẢNG ...  b      2016  a  b    (luôn đúng )  Ta có  2020 b  4028 bc  2020 c   b  c    Thật vậy:  2020 a  4028 ab  2020 b   a  b     2020 b  4028 bc  2020 c  3b  6bc  3c  2017b  4034bc...  2021   9x Lời giải M  x  5x  1      2021  (9 x  x  1)   x    2020  (3 x  1)   x    2020   9x  9x  9x   Ta có:   x  1    Vì  x   nên      9x Áp dụng? ?bất? ?đẳng? ?thức Cauchy cho hai số ... GIÁO VIÊN CÙ MINH QUẢNG CHUYÊN ĐỀ BẤT ĐẲNG THỨC  Bài 60 Cho các số dương x, y, z  thỏa mãn x + y + z = 2020 . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức  P x y z   x  2020 x  yz y  2020 y  zx z  2020 z  xy Lời