Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống
1
/ 361 trang
THÔNG TIN TÀI LIỆU
Thông tin cơ bản
Định dạng
Số trang
361
Dung lượng
17,23 MB
Nội dung
BDT BẤT ĐẲNG THỨC VÀO LỚP 10 CHUYÊN 2009-2019 BDT Website: Tailieumontoan.com ĐÁP ÁN CÁC BÀI TOÁN BẤT ĐẲNG THỨC, CỰC TRỊ TRONG ĐỀ CHUN MƠN TỐN GIAI ĐOẠN 20092019 NĂM HỌC 2019-2020 Câu 1: [TS10 Chuyên KHTN Hà Nội, 2019-2020] Cho x, y số thực dương thỏa mãn: 4x + 4y Tìm giá trị nhỏ biểu thức: P = 17x + 17y +16xy + 17xy + 5x + 5y ≥ Lời giải Ta có: 4x + 4y + 17xy + 5x + 5y ≥ ⇔ ( x + y ) + 9xy + ( x + y ) ≥ Đặt t = x + y, t > , theo bất đẳng thức AM-GM, ta có: ( xy ≤ ≥ 2 x+y − )2 = t2 Do đó: 4t + t + 5t ≥ 2 ⇒ t ≥ −2 hay x + y 4 Ta có: P = 17x + 17y + 16xy = 17 ( x + y (x + y) ≥ 17 ( x + y) − 18 = Dấu “=” xảy x = y = 2(x + y) 2 ≥ 5 4 −1 ) −18xy 2 2 − = 6−4 Vậy giá trị nhỏ P − Câu 2: [TS10 Chuyên Sư Phạm Hà Nội, 2019-2020] Cho số thực x, y thay đổi, tìm giá trị nhỏ biểu thức: P = xy ( x − )( y + ) + 13x + 4y − 26x + 24y + 46 Lời giải Ta có: P = xy ( x − 2)( y + 6) + 13x2 + 4y2 − 26x + 24y + 46 (x − 2x )( y ) ( ) ( ) + 6y + 13 x2 − 2x + y2 + 6y + 46 = ( x − 1) − ( y + 3) − + 13 ( x − 1) − + ( y + 3) − + 46 Đặt a = x − 1, b = y + , đó: ( a − 1)( b − 9) + 13 ( a − 1) + ( b − 9) + 46 = a2 b2 − 9a2 − b2 + + 13a2 − 13 + P= 4b2 − 36 + 46 2 BDT LIÊN HỆ FLIE WORD PAGE:TÀI LIỆU TOÁN HỌC FB TRỊNH BÌNH BDT Website: Tailieumontoan.com = 4a +6 ≥ + 3b Dấu “=” xảy +a b a = x −1 = ⇔ x = 1, y = − ⇔ b = y + = Vậy giá trị nhỏ P Câu 3: [TS10 Chuyên Tin Hà Nội, 2019-2020] Cho a, b, c dương thỏa mãn: ab + bc + ca + abc = Chứng minh 1 = 1) rằng: a + b+ + +2 c +2 Tìm giá trị nhỏ nhất: P 2) = Lời giải ( a2 + b2 ) + + ( b2 + c ) + + ( c2 + a2 + )4 1) Ta có: + + = a b+ c +2 +2 ⇔ ( b + )( c + a + 2)( c + 2) + ) = ( a + 2)( b )( c + 2) ( 2)( a + +2 ( a + b + c) + 12 = ( ab + bc + ca) + ( a + b + abc + c) + 2) + (b+ ⇔ ab + bc + ca +4 ⇔ = ab + bc + ca Đẳng thức cuối theo giả thiết, phép biến đổi l| tương đương, đẳng thức cho chứng minh 2) Với x, y dương ta có bất đẳng thức: x2 + y2 ≥ ( x + y) (*) 1 1 ≤ + (**) ( x+ x y Thật vậy: * ) y ) ⇔ ( x −y )2 ≥ x+y (luôn đúng) ⇔( x + y ⇔ ( x −y x+ ≥ ( **) ⇔ 4xy ≥ y ) 4xy ) ≥ (luôn đúng) Các bất đẳng thức (*), (**) xảy dấu “=” x = y Lần lượt áp dụng (*) (**) ta BDT có: ( a2+b2 ) ≤ +4 a+b+ = + )+ ( a2) ≤ (b+ 1 + a+2 b 2 4+ Tương tự: ( b2+c2 ) ≤ 1 + b+2 c +4 4+ Cộng theo vế ta được: LIÊN HỆ FLIE WORD PAGE:TÀI LIỆU TOÁN HỌC 1 ≤ ; ( c2+a +4 ) + ; 4c a+ + FB TRỊNH BÌNH BDT Website: Tailieumontoan.com P ≤ 1 1 1 1 + + = 1= a b+2 c+ 2+ 2 D}u “=” xảy a = b = c Vậy giá trị nhỏ P Câu 4: [TS10 Chuyên Toán Hà Nội, 2019-2020] Cho K = ab + 4ac − 4bc với a,b,c ≥ a + b + 2c = 1) Chứng minh rằng: K ≥ 2) Tìm giá trị lớn K Lời giải 1) Sử dụng bất đẳng thức AM-GM ta có: a + b + 2c b + 2c ⇒ −4bc 4bc ≤ ≤ ≥ − = 2 Mặt khác: a, b, c ≥ ⇒ K = ab + 4ac − 4bc ≥ − 4bc ≥ − Dấu “=” xảy a = 0, b = Cách khác: Ta có: Κ = ab + 4c ( a − b )= ( ,c= ) ab + ( − a − b ab + ( a − b ) − a − b2 )( a − b) 2b + ( a − ) b + 2a − 2a Do đó: 2b + ( a − ) b + 2a − 2a − K = ( * ) 2 Để tồn K phương trình (*) Phải có nghiệm: ( ) ∆ ≥ ⇔ ( a − 2) − 4.2 2a − 2a2 − K ≥ 8K ≥ 20a − 17a2 − Vì a,b,c ≥ a + b + 2c = ⇒ ≤ a ≤ Do đó: 2a − 17a = a ( 20 − 17a Do 8K ≥ − ⇒ K ≥ − )≥ a ( 20 − 17.1) = 3a ≥ 1 Dấu “=” xảy a = 0, b = ,c= 2) Sử dụng bất đẳng thức AM-GM ta có: a + b + 2c a ( b + 2c ) ≤ = LIÊN HỆ FLIE WORD PAGE:TÀI LIỆU TỐN HỌC FB TRỊNH BÌNH BDT Website: Tailieumontoan.com Mặt khác: a, b,c ≥ ⇒ K = ab + 4ac − 4bc ≥ ab + 4ac ≤ 2ab + 4ac = 2a ( b + 2c) ≤ + 2c) = Dấu “=” xảy khi: a = b + 2c,a + b + 2c = 1, bc = 0,ab = ⇒ a = Vậy giá trị lớn K Câu 5: [TS10 Chuyên Thái Bình, 2019-2020] < a, b, c 0 < Cho số thực a, b, c thỏa mãn + 3b + 4c 2a = thức P = Lời giải Ta có: P= = a ( 3b + 4c − 2) 3) + + + b ( 4a + 8c − 3) a ( − 2a − b ( − 6b − c ( − 4c 2) + b (1 − 2a) + 2b) 2a a2 ( − 3b2 3) Tìm giá trị nhỏ biểu + −1) + c ( 2a + 3b −1) −1) c ( − 2c +) 4c b2 ( − c2 ( − 2a) = + 2b) + 2c) Áp dụng bất đẳng thức AM-GM ta có: a ( −2a) ≤ a + a Tương tự: b Suy ra: P ≥ 2a + − = 27 ( − 2b) ≤ 27 ; c ( − 2c) ≤ 27 ( 2a + 3b + 4c ) = 81 Dấu “=” xảy a = b = c = c ( 2a + 3b 2 , b = 0, c = b ( 4a + 8c − a ( 3b + 4c − 2) a (1 − = (a+b 27 1 Vậy giá trị nhỏ P 81 Câu 6: [TS10 Chun Hịa Bình, 2019-2020] Cho hai số dương a, b thỏa mãn: a + b = 4ab Chứng minh rằng: BDT a + b ≥1 4b + 4a + 1 Lời giải LIÊN HỆ FLIE WORD PAGE:TÀI LIỆU TỐN HỌC FB TRỊNH BÌNH BDT Website: Tailieumontoan.com Ta có: a+b= 4ab ≤ Lại có: a 4b2 + ( ) a+ b ) ( a+ ⇔ b a+b +b − 1≥ ⇔ a ≥ a+b> 4ab = a 4ab 2 − ≥ a− = a − ab 4b2 +1 4b 4a2 = b 4a b b − ≥ b − b = a − ab 4a + 4a2 +1 4a a b 2 4b + 4a + Do đó: ) ( a+ b ( a + b ) − 2ab = ( a + + b )− ≥ Dấu “=” xảy a = b = ( a + b) = 2≥ 2 Câu 7: [TS10 Chuyên Hưng Yên, 2019-2020] Cho số thực không âm x, y, z thỏa mãn: x +y +z ≤ 3y Tìm giá trị nhỏ biểu thức: x+ y+ z+ ( 1) + ( ) + ( 3) P = Lời giải Sử dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz ta có: 2 1 11 + ≥ + ≥ 2 (*) (a + b) a 2 a b b Áp dụng bất đẳng thức (*) ta được: P = ( x+ 1 ) z+ + + y ( +1 ) ≥ x+z≤ P +z )≤ = ( 3y − y ) ≤ 64 y x+ Mặt khác: (x + 2 + 3y − y2 ≥ + ( 64 z+ 2≥ y 2 ) + z + 5 x+ BDT ≥ + 2y1 − y 2 8 − (y − 2) 2 Dấu “=” xẩy ( x, y, z ) = ( 1, 2,1) Vậy giá trị nhỏ P Câu 8: [TS10 Chuyên Hà Nam, 20192020] Cho số thực dương a, b, c thỏa mãn: a3 biểu thức: P= 1 + + a+1 b+1 c+1 b3 c3 ≤ Tìm giá trị nhỏ a2 + ab + b2 + bc + c c2 + ca + + + b2 a2 LIÊN HỆ FLIE WORD PAGE:TÀI LIỆU TỐN HỌC FB TRỊNH BÌNH 170 Website: Tailieumontoan.com Hay P ≥ ( 1+x ) + 2x + ≥ Do ta P ≥ thức Vậy bất đẳng ad − bc = chứng minh Đẳng thức xẩy 2a = 3d − c 2b = − 3c −d Câu 272: [TS10 Chuyên Nghệ An, 2009-2010] Cho a, b, c số thực dương thay đổi thỏa mãn a + b + c = Tìm giá trị nhỏ biểu thức: ab P= a2+b2+c2+ a + b+b bc + ca c + c 2a Lời giải Dự đo{n dấu đẳng thức xẩy a = b = c = giá trị nhỏ P Ta quy toán chứng minh bất đẳng thức a + b + c ab + bc + ca ≥ + a2b+b2c+c a Thật vậy, kết hợp với giả thiết ta có ( a2 + b2 + c ) = ( a + b + c )(a a3 + b + c + b + c2 + a2 b + b2 c + c ) a + ab2 + bc2 + ca2 Áp dụng bất đăngr thức Cauchy ta có a3 + ab2 ≥ 2a2 b; b3 + bc2 ≥ 2b2 c; c3 + ca2 ≥ 2c2a ( Suy Do ta ) ( ) a2 + b2 + c ≥ a2 b + b2 c + c 2a > a +b2+c ≥ a + b + c ab + bc + ab + bc + ca ca + + 2 a b+b c+c a2+b2+ a c2 Phép chứng minh hoàn tất ta a2+b2+c2+ a ab bc ca ( + + + b + c2 9− a2+b2+ Hay + a b Đặt t = a2 + b2 + c2 c2 + c ( ) a + b + c2 + ) ≥ ≥ Từ giả thiết a + b + c = ⇒ a LIÊN HỆ FLIE WORD PAGE:TÀI LIỆU TOÁN HỌC + b2 + c ≥ , ta t ≥ FB TRỊNH BÌNH 171 Website: Tailieumontoan.com Bất đẳng thức trở thành t+ −t ≥ ⇔ 2t − ) ≥ 2t + − t ≥ 8t ⇔ ( t − )( 2t Bất đẳng thức cuối t ≥ Vậy b|i to{n chứng minh xong Câu 273: [TS10 Chuyên Lam Sơn, 2009-2010] Gọi a, b, c l| độ dài ba cạnh tam giác có ba góc nhọn Chứng minh với số thực x, y, z ta ln có: x y 2 2 2x + 2y + 2z2 z2 a +b +c > a + b + c2 Lời giải Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với x 2 2x2 − + y2 − 2y +z − a2 + b2 + c2 a ( ) (a ) b a2 + b2 + c2 ( c a2 + b2 + c2 ( x2 b + c2 − y2 a2 + c2 − b2 z2 a + b − c a2 ) ) a2 ⇔ c2 + b2 + ( ) b2 a2 + b2 + + c2 > 2z2 ( ) c2 a2 + b2 + + c2 >0 Do a, b, c l| độ dài cạnh tam giác nhọn nên a Nên ta b +c 2 +b −a 2 >c > 0; a ;b +c +c −b 2 >a > 0; a ;c +a +b −c 2 > b2 >0 Do bất đẳng thức B|i to{n chứng minh xong Câu 274: [TS10 Chuyên KHTN, 2009-2010] Với a, b, c số thực dương Chứng minh rằng: a2 b2 + 2 3a + 8b + 14ab a+b+ c ≥ c2 + 3c2 + 8a2 + 14ca 3b + 8c + 14bc Lời giải Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta 3a = + 8b + 14ab = 3a ( 2a + 3b) + 8b + 12ab + 2ab ≤ 4a a2 Suy 3a2 + 8b2 + a2 ≥ ( 2a + = a2 2a + + 9b + 12ab 14ab Áp dụng tương tự ta thu LIÊN HỆ FLIE WORD PAGE:TÀI LIỆU TOÁN HỌC FB TRỊNH BÌNH 172 Website: Tailieumontoan.com a 3a + 8b + 14ab b + c2 + 3b + 8c + 14bc 3c + 8a + 14ca a ≥ b2 + + c2 2b + 3c 2c + 3a a + 3b Mặt khác theo bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức ta a2 b2 c2 2a + 2b + 3b + 3c 2c + + 3a Do ta được: a2 ≥ c) = c2 + 3a + 8b + 14ab a+b+ c (a + b + b2 + (a + b + c) 2 3c2 + 8a2 + 14ca 3b + 8c + 14bc a+b+ c ≥ Vậy b|i to{n chứng minh xong Đẳng thức xẩy a = b= c Câu 275: [TS10 Chuyên KHTN, 2009-2010] Giả sử x, y, z số thực thoả mãn điều kiện ≤ x, y, z ≤ x + y +z= Tìm giá trị nhỏ lớn biểu thức: M = x4 + y4 + z4 + 12 ( − x)( − y)( − z) Lời giải Đặt a = x − 1; b = y − 1; c = z −1, ta −1 ≤ a; b; c ≤ a + b + c = Biểu thức M viết lại thành Để ý a + b + c = a thành +b +c ( +c M= a +4 a +b M= a +b )+ (a +b +c +c ( +b +6 a +c ) + ( a + b + c ) + −12abc − 3abc = nên biểu thức thử +b +c )+ Theo đ{nh gi{ quen thuộc a +b +c ≥ abc ( a + b + c a2+b2+c21 a+b+ ≥ c ( )= = ) Do suy M ≥ hay giá trị nhỏ M Đẳng thức xẩy a = b = c = hay x = y = z = Mặt khác −1 ≤ a; b; c ≤ nên ta có a ; b ; c ≤ Từ ta có a4≤ a2 ;b4≤ b2 ;c ≤ c ≤ ≤ a b ≤ c ( Suy M = a + b + c + a + b + c )+ ≤ ( LIÊN HỆ FLIE WORD PAGE:TÀI LIỆU TOÁN HỌC ) a+ b+ c + FB TRỊNH BÌNH 173 Website: Tailieumontoan.com Mà ta lại có a + b + c = nên ba số a, b, c có hai số âm, tức tồn hai số dấu Khơng tính tổng qt ta giả sử hai số l| b v| c Khi ta b+c= b+c= a Đến đ}y ta có M ≤ 14 a + ≤ 17 hay giá trị lớn M l| 17 Đẳng thức xẩy a = 1; b = − 1; c = hoán vị hay x = 2; y = 0; z = hoán vị Câu 276: [TS10 Chuyên Thái Bình, 2009-2010] a) Cho k số nguyên dương Chứng minh bất đẳng thức sau: ( b) Chứng minh rằng: k+ k < ) k+ 1+ + k − < + + 200 2010 45 Lời giải a) Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với ( k +) ) k+ − k ⇔ 2k + − 21 < k ( k + 1) ( >0⇔ k+1 − k >0 k k + k Bất đẳng thức cuối với k nguyên dương Vậy bất đẳng thức chứng minh b) Áp dụng kết câu a ta có VT = + + + 21 1 − + < 2 2 = 21− − 2010 1 3 1 8 5 < 1− 201 0 + = Vậy bất đẳng thức chứng minh xong Câu 277: [TS10 Chuyên TP Hồ Chí Minh, 200 + + 2 200 = VP − 201 0 2009-2010] a) Cho số thực a, b, c Chứng minh rằng: a2 + b2 + c ≥ ab + bc + ca + (a− b) ( b −c )2 (c −a) + + 26 2009 b) Cho a > 0; b < Chứng minh 1≥ 2+ a b 2a − b LIÊN HỆ FLIE WORD PAGE:TÀI LIỆU TỐN HỌC FB TRỊNH BÌNH 174 Website: Tailieumontoan.com Lời giải a)Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với (a − b) 2 Hay ( b −c +) (c− + a) 12 ( a − b) 13 (a− ≥ b) + ( b −c )2 26 + ( b −c ) + ( c −a) 2007 ( c + −a) 2 2009 ≥ Bất đẳng thức cuối Vậy b|i to{n chứng minh Đẳng thức xẩy a = b = c b) Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với 1+ ≥ 2a − b a −b Đặt c = − b , b < nên ta c > , bất đẳng thức viết lại thành 1+2≥ a c 2a + c Theo đ{nh gi{ quen thuộc ta 1+ 2= + 2≥ 2.4 = a c 2a c 2a + c 2a + c Vậy bất đẳng thức chứng minh Đẳng thức xẩy 2a = −b Câu 278: [TS10 Chuyên Phú Thọ 2009-2010] Cho x, y, z số thực dương cho xyz = x + y + z + Chứng minh rằng: + + ≤3 z xy yz x Lời giải Giả thiết b|i to{n viết lại thành + + = z+ x+1 y+1 Khi ta a + b + c = Từ Đặt a ;b ;c 1= = suy = z+ x+1 y+1 1− b+ ;y 1− c+ ;z 1− a+ a c b a c x= = = = = = b a a b b c a Bất đẳng thức cần chứng minh viết lại thành: LIÊN HỆ FLIE WORD PAGE:TÀI LIỆU TỐN HỌC FB TRỊNH BÌNH 175 Website: Tailieumontoan.com ab bc ca ( b + c )( c + a) ( c + a )( a + b) ( a + b )( b + c) + + ≤2 Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta được: ab ( b + c )( c + a) bc ( c + a )( a + b) ca (a + b b + )( c) a ≤1 b + 2b+c c+ a b ≤ c + 2c+a a+ b c ≤ a + 2a+b b+ c Cộng theo vế bất đẳng thức ta được: ab bc ca ( b + c )( c + a) ( c + a)( a + b) ( a + b)( b + c) + + ≤2 Vậy bất đẳng thức chứng minh Đẳng thức xẩy a = b = c= Câu 279: [TS10 Chuyên Phú Thọ 2009-2010] Cho số thực không âm a, b, c cho ab + bc + ca = Chứng minh rằng: + a2+2 b2 + +2 c ≤ +2 Lời giải Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với b2 c2 ≥ + + 2 a +2 b +2 c +2 a2 Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức ta a2 b2 c2 (a + b + c )2 ( a + b + c) a + b + c + ( ab + bc a2+ b2+ c2+ a2+b2+c2 = + ca ) + + ≥ +6 = Vậy bất đẳng thức chứng minh Đẳng thức xẩy a = b = c = Câu 280: [TS10 Chuyên Đại học Vinh 2009-2010] Cho x, y, z số dương thỏa mãn x + 2y + 3z = 18 Chứng minh rằng: 2y + 3z + 3z + x + x + 2y + 5 5 + + ≥ 1 + 3z 1+x + 2y Lời giải LIÊN HỆ FLIE WORD PAGE:TÀI LIỆU TỐN HỌC FB TRỊNH BÌNH 176 Website: Tailieumontoan.com Đặt a = x; b = 2y; c = 3x, giả thiết trở thành a + b + c = 18 bất đẳng thức viết lại thành b+c+ c+a+ a+b+ 5 5 ≥ + + 1+ 1+ 1+a b c Bất đẳng thức tương đương với b + c + + c + a + + 1a + b + + + 5 + + ≥ 1+ 1+a 1+b c 7 1 Hay (a + b + c + 6) + + ≥ 1+a +c 1 +b Phép chứng minh hoàn tất ta + + ≥3 1+ + 1+a b 1c Thật theo bất đẳng thức Cauchy ta có 1+ + ≥ = 9=3 1+a + c + a + b + c 21 + b 17 Vậy b|i to{n chứng minh Đẳng thức xẩy a = b = c = hay x = 6; y = 3; z = Câu 281: [TS10 Chuyên Đại học Vinh 2009-2010] Cho số thực x, y thỏa mãn: x > y > Hãy tìm giá trị nhỏ biểu thức: P= x+ y( x −8 y) Lời giải Sử dụng BĐT Cauchy cho ba số dương ta có: P = ( x − y) + y + y( x −8 y) ≥ Đẳng thức xảy x −8 y = y 8 y = y ( x −8 y) x = 16 y ⇔ y = x = ⇔ y = 64 Vậy minP = x = y = LIÊN HỆ FLIE WORD PAGE:TÀI LIỆU TOÁN HỌC FB TRỊNH BÌNH 177 LIÊN HỆ FLIE WORD PAGE:TÀI LIỆU TỐN HỌC Website: Tailieumontoan.com FB TRỊNH BÌNH ...BDT Website: Tailieumontoan.com ĐÁP ÁN CÁC BÀI TOÁN BẤT ĐẲNG THỨC, CỰC TRỊ TRONG ĐỀ CHUN MƠN TỐN GIAI ĐOẠN 20092019 NĂM HỌC 2019-2020 Câu 1: [TS10... 4b2 − 36 + 46 2 BDT LIÊN HỆ FLIE WORD PAGE:TÀI LIỆU TOÁN HỌC FB TRỊNH BÌNH BDT Website: Tailieumontoan.com = 4a +6 ≥ + 3b Dấu “=” xảy +a b a = x −1 = ⇔ x = 1, y = − ⇔ b = y + = Vậy giá... PAGE:TÀI LIỆU TOÁN HỌC 1 ≤ ; ( c2+a +4 ) + ; 4c a+ + FB TRỊNH BÌNH BDT Website: Tailieumontoan.com P ≤ 1 1 1 1 + + = 1= a b+2 c+ 2+ 2 D}u “=” xảy a = b = c Vậy giá trị nhỏ P Câu