Tuyển tập bất đẳng thức ôn thi THPT Toán

TÀI TÀI LIỆU LIỆU TỐN TỐN PHỔ PHỔ THƠNG THƠNG CHUYÊN ĐỀ BẤT ĐẲNG THỨC DÒNG TÂM SỰ Giọt nước bên thềm khẽ lặng thầm rơi đều nhanh dần theo giai điệu vu vi phát từ đàn ghi-ta cũ, nốt nhạc du dương hòa vào tâm người chìm vào nỗi cô đơn nhớ ngày xa Tháng 9, mùa khai trường bao cô cậu học trò sau tháng hè rộn rã, vui tươi Đứa gặp bạn cũ miệng ríu ríu rít câu chuyện tháng ngày không gặp, đứa gặp lại thầy tay bắt mặt mừng vừa tìm thấy thứ thân quen sau bao ngày xa cách Có cậu lại khăn gói chuẩn bị hành trang, xa đường làng quen thuộc thường đạp xe học, xa thôn quê nơi chứa đầy kỉ niệm để bắt đắt đầu hành trình chinh phục ước mơ hồi bão Lớp học trò đi, lại có lớp học trò lại vào, nhịp cầu nối tiếp cho bến bờ tri thức Chỉ đọng lại nơi đây, tình yêu nồng ấm, gắn kết vơ hình sống Tơi bắt đầu học Tốn từ thở nhỏ, lúc í a đếm 1, Quyển sổ tơi ghi tơi học, ngày lại thêm dầy hơn, trang chặng đường, hành trình tơi tìm tình u đích thực đời Nếu hỏi tơi "Vì tơi u Tốn ?", tơi biết thói quen sau cẳng thẳng, "mua vui" tưởng thưởng cho thân góc tối bình n Từ đọng lại sau tháng ngày học tập ghế nhà trường, cố gắng chọn lọc tổng hợp lại toán, cách chứng minh đặc sắc để hoàn thành chuyên đề TUYỂN TẬP BẤT ĐẲNG THỨC LUYỆN THI ĐẠI HỌC Bài viết này, tác giả chọn lọc toán kì thi thử đại học từ trường THPT, diễn đàn online trung tâm dạy thêm chất lượng để biên soạn lại thành chuyên đề dành cho người đam mê bất đẳng thức nói chung bạn ơn thi đại học nói riêng Đồng thời, quà nhỏ, xin dành tặng cho diễn đàn www.k2pi.net hồi ức đẹp sau năm dài gắn bó anh, chị, dù không gặp ln có gắn kết vơ hình lại, lẽ, lỡ yêu toán rồi! Bài viết tác giả viết vội ngày hè để hoàn thành kịp mừng sinh nhật lần thứ diễn đàn www.k2pi.net nên hẳn nhiều sai xót, mong nhận góp ý bạn đọc gần xa qua địa chỉ:ngohoangtoan1994@gmail.com www.k2pi.net TUYỂN TẬP BẤT ĐẲNG THỨC Ngơ Hồng Tồn Trường Đại học Y Dược Cần Thơ t e Mục lục Một số bất đẳng thức n i 1.1 Bất đẳng thức AM-GM 1.2 Bất đẳng thức Cauchy-Schwarz 1.3 Bất đẳng thức Minkowski p 2 Bất đẳng thức qua kì thi đại học 2007-2013 Tuyển tập bất đẳng thức 15 6.1 k w w w 6.2 Một số kí hiệu dùng tuyển tập 156 3.1 3.2 3.3 3.4 Bất đẳng thức kì thi thử trường 15 Bất đẳng thức đề thi thử diễn đàn 49 Bất đẳng thức đề thi thử trung tâm 73 Bất đẳng thức Thử sức trước kì thi THTT 82 Bất đẳng thức luyện thi 2014 85 BÀI TẬP 139 Phụ lục 149 Lời giải nhận xét câu cực trị đề thi đại học khối A 2013 149 MỘT SỐ BẤT ĐẲNG THỨC CƠ BẢN 1.1 1.1 Bất đẳng thức AM-GM MỘT SỐ BẤT ĐẲNG THỨC CƠ BẢN Bất đẳng thức AM-GM Phát biểu 1.1: Bất đẳng thức AM-GM t e Cho a1 , a2 , , an số thực khơng âm ta có: √ a1 + a2 + + an ≥ n n a1 a2 an (1.1) n i Đẳng thức xảy a1 = a2 = = an Tuy nhiên, giải toán ta hay quan tâm nhiều đến trường hợp n = 2và n = Mà ta thường biết đến phát biểu: √ Cho a, b ≥ Khi ta có: a + b ≥ ab Đẳng thức xảy khi: a = b Bất đẳng thức viết dạng khác tương đương là: • p k w w w a+b 2 ≥ ab • (a + b)2 ≥ 4ab • a2 + b2 ≥ 2ab • a2 + b ≥ (a + b)2 √ Cho a, b, c ≥ 0, ta có: a + b + c ≥ 3 abc Đẳng thức xảy a = b = c Bất đẳng thức có số ứng dụng khác phổ biến sau: Với số thực a, b, cta ln có: • a2 + b2 + c2 ≥ ab + bc + ca (a + b + c)2 • a2 + b + c ≥ • (a + b + c)2 ≥ (ab + bc + ca) • a2 b2 + b2 c2 + c2 a2 ≥ abc (a + b + c) • (ab + bc + ca)2 ≥ 3abc (a + b + c) 1.2 Bất đẳng thức Cauchy-Schwarz c Ngơ Hồng Toàn www.k2pi.net Trang 1.3 Bất đẳng thức Minkowski MỘT SỐ BẤT ĐẲNG THỨC CƠ BẢN Phát biểu 1.2: Bất đẳng thức Cauchy-Schwarz Với hai số thực tùy ý a1 , a2 , , an b1 , b2 , , bn ta có : n b i n n bi ≤ i=1 i=1 (1.2) i=1 Đẳng thức xảy a1 = a2 = = an Bất đẳng thức Cauchy-Schwarz dạng Engel Giả sử a1 , a2 , , an số thực b1 , b2 , , bn số thực dương an (a1 + a2 + + an )2 a1 a2 + + + ≥ Khi ta ln có : b1 b2 bn b1 + b2 + + b a1 a2 an Đẳng thức xảy = = = b1 b2 bn Tuy nhiên,khi giải toán ta hay quan tâm nhiều đến trường hợp n = 2và n = Khi ta gặp số đánh giá quen thuộc sau: Cho a, b, c > ta có: (a + b + c)2 2 • a +b +c ≥ 1 + + • (a + b + c) ≥9 a b c t e n i p k w w w 1.3 Bất đẳng thức Minkowski Phát biểu 1.3: Bất đẳng thức Minkowski  a , a , , a ∈ R+ n Cho < p ∈ Q+ ta có : b1 , b2 , , bn ∈ R+ n apk p n bpk + k=1 p n (ak + bk )p ≥ k=1 p (1.3) k=1 Nhưng ta quan tâm nhiều bất đẳng thức quen thuộc sau: √ √ • a2 + b2 + c2 + d2 ≥ (a + c)2 + (b + d)2 √ • a2 + b2 + c2 + m2 + n2 + p2 ≥ (a + m)2 + (b + n)2 + (c + p)2 • a1 + b + c Ngơ Hồng Tồn a2 + b2 + + an + b n ≥ (a1 + a2 + + an )2 + (b1 + b2 + + bn )2 Trang BẤT ĐẲNG THỨC QUA CÁC KÌ THI ĐẠI HỌC 2007-2013 BẤT ĐẲNG THỨC QUA CÁC KÌ THI ĐẠI HỌC 2007-2013 Đề thi đại học khối A-2007 Cho x, y, z số thực dương thay đổi thỏa mãn xyz = 1.Tìm giá trị nhỏ biểu thức: x2 (y + z) y (z + x) z (x + y) √ + √ √ + √ P = √ √ y y + 2z z z z + 2x x x x + 2y y t e Lời giải: Theo bất đẳng thức AM − GM ta có : x2 (y + z) ≥ 2x 2√ n i √ yz = 2x x Tương tự ta có:  y (z + x) ≥ 2y √y z (x + y) ≥ 2z √z p Ta tìm giá trị nhỏ biểu thức : √ √ √ 2y y 2x x 2z z √ + √ √ + √ P ≥ √ √ y y + 2z z z z + 2x x x x + 2y y k w w w √ √ √ √ √ √ Đặt a = x x + 2y y; b = y y + 2z z; c = z z + 2x x √ 4c + a − 2b √ 4a + b − 2c √ 4b + c − 2a Suy ra: x x = ; y y= ; z z= 9 4c + a − b 4a + b − 2c 4b + c − 2a c a b Do : P ≥ + + = + + b c a a c a ⇒ P ≥ (4.3 + − 6) = Đẳng thức xảy khi: x = y = z = + a b c + + b a a Đề thi đại học khối B-2007 Cho x, y, zlà số thực thay đổi Tìm giá trị nhỏ biểu thức : P =x x + yz Lời giải: Ta có: P = +y y + zx +z z + xy x2 + y + z x2 + y + z + xyz Mà ta có: x2 + y + z ≥ xy + yz + zx c Ngơ Hồng Tồn www.k2pi.net Trang −6 BẤT ĐẲNG THỨC QUA CÁC KÌ THI ĐẠI HỌC 2007-2013 nên P ≥ x2 + x y2 + y + + z2 + z t2 + với t > t Lập bảng biến thiên f (t) ta suy ra:f (t) ≥ , ∀t > Vậy giá trị nhỏ P Đẳng thức xảy x = y = z = Xét hàm số:f (t) = Đề thi đại học khối D-2007 t e Cho a ≥ b > Chứng minh rằng: + a b a + b a ≤ b n i Lời giải: Bất đẳng thức cho tương đương với: (1 + 4a )b ≤ + 4b Xét hàm số f (x) = a ⇔ ln + 4b ln (1 + 4a ) ≤ a b p (1 + 4x ) với x > Ta có: x k w w w x x x ln − (1 + ) ln (1 + 4x ) f (x) = nên f (a) ≤ f (b) Phép chứng minh hoàn tất Đề thi đại học khối B-2008 Cho x, y hai số thực thay đổi thỏa mãn x2 + y = 1.Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức: (x2 + 6xy) P = + 2xy + 2y Lời giải: (x2 + 6xy) (x2 + 6xy) = + 2xy + 2y x2 + y + 2xy + 2y 2 Nếu y = ta có x = Suy P = 2t2 + 12t Nếu y = đặt x = ty, đó: P = ⇔ (P − 2) t2 + (P − 6) t + 3P = (1) t + 2t + 3 Với P = 2,phương trình (1)có nghiệm t = Với P = 2,phương trình (1) có nghiệm khi: ∆ = −2P − 6P + 36 ≥ ⇔ −6 ≤ P ≤ 3 Giá trị lớn P = x = √ ; y = √ x = − √ ; y = − √ 10 10 10 10 Ta có: P = c Ngơ Hồng Tồn Trang BẤT ĐẲNG THỨC QUA CÁC KÌ THI ĐẠI HỌC 2007-2013 3 Giá trị nhỏ P = −6khi x = √ ; y = − √ x = − √ ; y = √ 13 13 13 13 Đề thi đại học khối D-2008 Cho x, y số thực không âm Tìm giá trị nhỏ giá trị lớn của: P = (x − y) (1 − xy) (1 + x)2 (1 + y)2 Lời giải: (x − y) (1 − xy) (x + y) (1 + xy) 1 ⇔− ≤P ≤ 2 ≤ ≤ 4 (1 + x) (1 + y) |(x + y) + (1 + xy)| Khi x = 0, y = giá trị lớn P = − Khi x = 1, y = giá trị nhỏ P = Phép chứng minh hoàn tất t e Ta có: |P | = n i Đề thi Cao đẳng-2008 p Cho hai số thực thay đổi x, ythỏa mãn x2 + y = 2.Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức P = x3 + y − 3xy k w w w Lời giải: Ta có: P = (x + y) x2 − xy + y − 3xy = (x + y) (2 − xy) − 3xy t2 − Đặt t = x + y Do x2 + y = nên xy = Suy ra: t2 − t2 − P = 2t − −3 = −t3 − t2 + 6t + 2 Do (x + y)2 ≥ 4xy nên t2 ≥ (t2 − 2) ⇒ −2 ≤ t ≤ Xét hàm số: f (t) = −t3 − t2 + 6t + với −2 ≤ t ≤ 2 13 Lập bảng biến thiên từ suy giá trị lớn P = giá trị nhỏ P = −7 Đề thi đại học khối A-2009 Chứng minh với số thực dương x, y, zthỏa mãn x (x + y + z) = 3yz,ta có: (x + y)3 + (x + z)3 + (x + y) (y + z) (z + x) ≤ 5(y + z)3 Lời giải: Đặt a = x + y, b = y + z, c = z + x Điều kiện toán trở thành: c2 = a2 + b2 − ab Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với: a3 + b3 + 3abc ≤ 5c3 a, b, c số thực c Ngơ Hồng Tồn www.k2pi.net Trang BẤT ĐẲNG THỨC QUA CÁC KÌ THI ĐẠI HỌC 2007-2013 dương thỏa mãn điều kiện c2 = a2 + b2 − ab = (a + b)2 − 3ab ≥ (a + b)2 − (a + b)2 = (a + b)2 ⇒ a + b ≤ 2c 4 a3 + b3 + 3abc ≤ 5c3 ⇔ (a + b) a2 + b2 − ab + 3abc ≤ 5c3 ⇔ (a + b) c2 + 3abc ≤ 5c3 ⇔ (a + b) c + 3ab ≤ 5c2 a+b Mà a + b ≤ 2c nên (a + b) c ≤ 2c 3abc ≤ Suy điều phải chứng minh 2 c ≤ 3c2 t e Đề thi đại học khối B-2009 n i Cho số thực thay đổi x, y thỏa mãn (x + y) + 4xy ≥ 2.Tìm giá trị nhỏ nhât biểu thức : A = x4 + y + x2 y − x2 + y + p Lời giải: Kết hợp (x + y)3 + 4xy ≥ (x + y)2 ≥ 4xy Suy ra: (x + y)3 + (x + y)2 ≥ ⇒ x + y ≥ k w w w x + y2 ≥ x2 + y 2 ⇒ A ≥ x2 + y A = x4 + y + x2 y − x2 + y + = x + y − x2 + y + 2 + x2 + y − x2 + y + 2 + − x2 + y + 1 (x + y)2 = ⇒ t ≥ ;do A ≥ t2 − 2t + Đặt t = x + y ta có x + y ≥ 2 9 Xét hàm số f (t) = t − 2t + 1; f (t) = t − > với t ≥ 2 Vậy giá trị nhỏ A x = y = 16 2 2 Đề thi cao đẳng-2009 Cho a b hai số thực thỏa mãn < a < b < Chứng minh rằng: a2 ln b − b2 ln a > ln a − ln b Lời giải: ln a ln b < +1 b +1 (t + 1) − 2t ln t ln t > 0, ∀t ∈ (0; 1) Xét hàm số f (t) = , t ∈ (0; 1).Ta có: f (t) = t t +1 (t2 + 1)2 Do f (t) hàm đồng biến (0; 1) Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với: c Ngơ Hồng Tồn a2 Trang BẤT ĐẲNG THỨC QUA CÁC KÌ THI ĐẠI HỌC 2007-2013 Mà < a < b < 1, nên f (a) < f (b) Suy điều phải chứng minh Đề thi đại học khối D-2009 Cho số thực không âm x, y thỏa mãn x + y = 1.Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức: S = 4x2 + 3y 4y + 3x + 25xy Lời giải: Do x + y = 1, nên t e S = 16x2 y +12 x3 + y +9xy+25xy = 16x2 y +12 (x + y)3 − 3xy (x + y) +34xy = 16x2 y −2xy+12 (x + y)2 = Ta tiến hành khảo sát Đặt t = xy, ta S = 16t − 2t + 12ta có ≤ xy = t ≤ 4 191 hàm số tìm giá trị nhỏ S 16 25 1 Giá trị lớn S = (x; y) = ; 2 2 n i p Đề thi cao đẳng-2010 CCho hai số thực dương x, y thay đổi thỏa mãn 3x + y ≤ 1.Tìm giá trị nhỏ biểu thức : 1 A= +√ x xy k w w w Lời giải: = x x+y Đẳng thức xảy khi: x = y = Ta có: A = 1 +√ ≥ + ≥2 x xy x x+y 2x (x + y) ≥ ≥8 3x + y Đề thi đại học khối B-2010 Cho sô thực không âma, b, c thỏa mãn a + b + c = 1.Tìm giá trị nhỏ biểu thức : √ M = a2 b2 + b2 c2 + c2 a2 + (ab + bc + ca) + a2 + b2 + c2 Lời giải: Ta có: M ≥ (ab + bc + ca)2 + (ab + bc + ca) + − (ab + bc + ca) (a + b + c)2 Đặt t = ab + bc + ca ta có ≤ t ≤ = 3 Đến ta khảo sát hàm số : √ , ta có :f (t) = 2t + − √ f (t) = t2 + 3t + − 2t 0; − 2t f (t) = − ≤ suy f (t) nghịch biến nên f (t) ≥ f (1 − 2t)3 c Ngơ Hồng Tồn www.k2pi.net = √ 11 −2 3>0 Trang BẤT ĐẲNG THỨC QUA CÁC KÌ THI ĐẠI HỌC 2007-2013 Suy f (t) hàm đồng biến nên f (t) ≥ f (0) = Vậy giá trị nhỏ M xảy (a; b; c) = (1; 0; 0) , (0; 1; 0) , (0; 0; 1) Đề thi đại học khối D-2010 Tìm giá trị nhỏ hàm số: y= √ √ −x2 + 4x + 21 + −x2 + 3x + 10 Lời giải: Điều kiện −2 ≤ x ≤ Ta có (−x2 + 4x + 21) − (−x2 + 3x + 10) = x + 11 > suy y > y = (x + 3) (7 − x) + (x + 2) (5 − x) − (x + 3) (7 − x) (x + 2) (5 − x) t e (x + 3) (5 − x) − (x + 2) (7 − x) + ≥ √ Suy y ≥ đẳng thức xảy x = = Đề thi đại học khối A-2011 n i p Cho x, y, zlà ba số thực thuộc đoạn [1; 4]và x ≥ y; x ≥ z.Tìm giá trị nhỏ biểu thức y z x + + P = 2x + 3y y + z z + x k w w w Lời giải: 1 √ a b dương, ab ≥ + ≥ a+1 b+1 + ab √ √ √ Thật vậy: bổ đề tương đương với ab − a − b ≥ với a b dương, ab ≥ Trở lại toán áp dụng bổ đề với x, y thuộc đoạn [1; 4] x ≥ y, ta có: Trước hết ta chứng minh: P = x 1 + + ≥ + z x 3y x 2x + 3y + 1+ 2+ 1+ y z x y Đẳng thức xảy x z = x = y y z P ≥ (1) Đặt t = x , t ∈ [1; 2] Khi y t2 + 2t2 + + t t2 −2 [t3 (4t − 3) + 3t (2t−) + 9] + , t ∈ [1; 2];f (t) = thỏa mãn xyz = Chứng minh : 1 + + ≤ 2 (x + 1) (y + z) (y + 1) (z + x) (z + 1) (x + y) Bài 52 Cho x, y, z ba số thực không âm cho số đồng thời x + y + z = Tìm giá trị lớn P = (x + y z + yz ) (y + z x + xz ) (z + x2 y + xy ) (1 − x) (1 − y) (1 − z) t e Bài 53 Cho a, b, c dương Tìm giá trị nhỏ của: P = Bài 54 Cho a,b > 0, √ a+b+c+1+ √ a+ 1+ + ab 1+ + bc 1+ ca n i √ √ b = 2013 Tìm giá trị nhỏ của: P = a + b + ab Bài 55 Cho số thực dương x, tìm giá trị nhỏ biểu thức: P = x + p 1 + 2 a b Bài 56 Cho số thực a, b, c > thỏa (a + c) nhất, giá trị nhỏ P = a+c−b b k w w w = (3x + 1)2012 10 , c ≥ 4b Tìm giá trị lớn b Bài 57 Cho a,b,c ba cạnh tam giác Chứng minh rằng: a2 + 2b + 1 + a+b−c c c+1 ≥5 Bài 58 Cho a, b, c số thực không âm Chứng minh rằng: 2b 2c 2a + + ≤ 3a2 + b2 + 2ac 3b2 + c2 + 2ab 3c2 + a2 + 2bc a+b+c Bài 59 Cho a, b, c số thực dương thỏa a + b + c ≤ Tìm giá trị lớn P =√ ab bc ca +√ +√ ab + 3c bc + 3a ca + 3b Bài 60 Chon x, y, z > thỏa mãn: x = y + z + xyz.Tìm giá trị lớn biểu thức : √ (z + z xy)2 2z √ P = + (x + y)(z + 1) (z + 1) z + Bài 61 Cho a,b,c dương Tìm giá trị nhỏ P = c Ngơ Hồng Tồn a + b+c b + a+c √ c (a + b + c) √ +√ √ a+b ab + ac + bc Trang 144 BÀI TẬP Bài 62 Cho số dương a,b,c thoả a2 + b2 + c2 = Chứng minh rằng: 1 a4 + 5a2 b4 + 5b2 c4 + 5c2 √ +√ +√ ≥ ( + + ) a +3 b +3 c +3 a c b Bài 63 Cho ba số thực dương x, y, z thỏa mãn xyz = Tìm giá trị nhỏ biểu thức: √ √ √ √ √ √ x x+y y y y+z z z z+x x √ + + P = √ √ x + xy + y y + yz + z z + zx + x Bài 64 Cho số thực không âm a, b, c thỏa mãn a + b + c = Chứng minh : t e + 2a + 2b + 2c 15 + + ≥ + 2a + 6a2 + 2b + 6b2 + 2c + 6c2 Bài 65 Cho a, b, c > thỏa mãn a + b + c = Chứng minh : n i a2 b2 c2 + + ≤ 3a + 3b + 3c + 18(ab + bc + ca) Bài 66 Cho x, y, z ba số thực thuộc đoạn [1; 3] x + y + 2z = 6.Tìm giá trị lớn nhỏ biểu thức : P = x3 + y + 5z p Bài 67 Cho số thực dương x, y thỏa mãn : x3 + 2y = Tìm giá trị nhỏ biểu thức : P = x4 + y k w w w Bài 68 Cho số thực x, y thuộc đoạn [1; 2] Tìm giá trị lớn nhỏ biểu thức : x2 T = x + xy + y Bài 69 Cho số thực dương x, y thỏa mãn điều kiện 2x + 3y = Tìm giá trị nhỏ biểu thức : 1 P = 252x + 28y + + x y Bài 70 Cho x; y; z > x + y + z = xyz Tìm giá trị nhỏ P = y−2 z−2 x−2 + + x2 y z2 Bài 71 Cho x, y số thực dương thỏa mãn điều kiện: (x2 + y ) = (x + y) Tìm giá trị nhỏ biểu thức: P = x+ y + y+ x Bài 72 Cho x, y, z ∈ [0; 1] thỏa mãn x + y + z = Tìm giá trị lớn của: x2 + y + z c Ngơ Hồng Tồn www.k2pi.net Trang 145 BÀI TẬP Bài 73 Cho x, y, z ≥ x+y+z =1 Tìm giá trị lớn : S = x2 y + y z + z x Bài 74 Cho a, b, c ba số thực dương thoả mãn a2 + b2 + c2 = Tìm GTLN : P = a3 + b3 + c3 − abc Bài 75 Cho x, y > : x + y = Tìm giá trị nhỏ biểu thức : P = x3 + y3 + 2xy − t e 1 − 2+ 2 x y xy Bài 76 Cho a, b, c > thoả mãn (a + b + c)3 = 32abc Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ a4 + b4 + c4 P = (a + b + c)4 n i Bài 77 Cho a, b, c > thỏa mãn abc = Tìm giá trị nhỏ : p P = a3 b3 + b3 c3 + c3 a3 − 6(a + b + c) Bài 78 Cho x, y, z ≥ 0; xyz = 1, chứng minh k w w w (x + y) (y + z) (z + x) ≥ (x + y + z − 1) Bài 79 Cho x > y > Chứng minh rằng: √ √ x2 x + 32 + 4y ≥ 24 x−y x + 2y Bài 80 Cho a,b,c > 0, a + 2b2 + c5 = Tìm giá trị lớn của: P = a3 bc Bài 81 Cho số thự không âm a, b, c cho a + b + c = Chứng minh rằng: b + c ≥ 16abc Bài 82 Cho số thực dương a, b, c Tìm GTLN biểu thức: P = a b c + + 3a + b + c 3b + a + c 3c + b + a Bài 83 Cho số thực dương a, b, c thỏa mãn điều kiện: a + b + c + ab + bc + ca = Chứng minh: a3 b c + + ≥ a2 + b + c ≥ b c a Bài 84 Cho x > 0; y > 0; x ≥ y; z Tìm của: P = c Ngơ Hồng Tồn x +2 y 1+ y z +33 1+ z x Trang 146 BÀI TẬP Bài 85 Cho x, y, z ≥ : xyz = Chứng minh rằng: x2 1 + + ≥ + 2x + y + z y + x + 2y + z z + x + y + 2z (x + y + z)3 Bài 86 Cho số thực x, y, z thay đổi thoả mãn điều kiện x2 + y + z = Tìm giá trị nhỏ biểu thức (x + y + z) − xy − yz + P = (xy + yz + 2xz)2 − Bài 87 Cho a, b, c > abc = Chứng minh rằng: a − + b b−1+ c c−1+ a ≤ t e Bài 88 Cho x, y > Tìm giá trị nhỏ n i (x3 + y ) − (x2 + y ) P = (x − 1)(y − 1) Bài 89 Cho số thực dương x, y, z thỏa mãn: x2 + y + z = Tìm GTNN biểu thức: p 2 P = 1 (x + y + z − 1) + + + 2 x y+y z+z x x y z Bài 90 Cho x, y, z ≥ thoả mãn: xyz = √ CMR: 3 √ 3 ≤ + (2z − x)2 k w w w 1 + (2x − y)2 + 1 + (2y − z)2 + Bài 91 Cho a, b, c ≥ thoả mãn ab + bc + ac = 2abc Tìm giá trị nhỏ biểu thức: P = 1 + + a(2a − 1)2 b(2b − 1)2 c(2c − 1)2 12 Bài 92 Tìm giá trị nhỏ hàm số f (x) = (32x5 − 40x3 + 10x − 1) + 16x3 − 12x + √ 5−1 Bài 93 Cho a, b, c > a + b + c = Tìm giá trị lớn biểu thức P = √ b a2 + + a √ b2 + + b c √ c2 + + c a Bài 94 Cho x, y, z số thực không âm thỏa mãn x + y + z = xy + yz + zx Tìm giá trị lớn biểu thức: (x + y + z)2 − (x + y + z) + M= e3x + e2y + e2z Bài 95 Cho x, y, z > x + y2 + z2 = P = Tìm : y + 2x2 + z x2 + 2y + z x2 + 2z + y ( + + ) xy + yz + zx x+1 y+1 z+1 c Ngô Hoàng Toàn www.k2pi.net Trang 147 2012 BÀI TẬP Bài 96 Cho số thực dương x, y, z thỏa mãn x + y + z = Chứng minh rằng: x3 4x + 4y + 4z + 162 + + ≥ 2 2 + xy + 3xyz y + yz + 3xyz z + zx + 3xyz x + y + z + 27 Bài 97 Cho x, y, z số thực dương thỏa mãn xyz = 1.Chứng minh rằng: 1 13 25 + + + ≥ x y z x+y+z+1 Bài 98 Cho x,y,z số thực thỏa: x + y + z = Tìm giá trị nhỏ |2x − y| + |2y − z| + |2z − x| − ln − Bài 99 Cho x, y, z ba số thực thuộc khoảng thức: P = − x4 − cos yz + t e 14(x2 + y + z ) + 10 10 ; Tìm giá trị nhỏ biểu 9 − y − cos zx n i + − z − cos xy Bài 100 Cho x, y, z ba số thực thỏa mãn x + y + z = 0.Tìm giá trị lớn biểu thức : P = ln p 14 (x2 + y + z ) + − x6 + y + z −|2x − y|−|2y − z|−|2z − x|−6 cos xyz k w w w c Ngơ Hồng Tồn Trang 148 PHỤ LỤC 6.1 6.1 Lời giải nhận xét câu cực trị đề thi đại học khối A 2013 Phụ lục Lời giải nhận xét câu cực trị đề thi đại học khối A 2013 Lời giải bất đẳng thức đề thi đại học khối A năm 2013 Trong kì thi tuyển sinh đại học khối A,A1 diễn vào ngày 4-5 tháng năm 2013 vừa qua,câu cực trị xem câu đánh đố phân loại thí sinh nhất.Cho đến thời điểm này,có nhiều lời giải khác đưa ra,các lời giải có tinh ý,khéo léo định.Chính thế,hơm tơi xin tổng hợp lại,trình bày dễ hiểu có đơi chút nhận xét tốn này.Những nhận xét ý kiến cá nhân tác giả,chính thế,có sai xót mong nhận góp ý bạn t e n i Bài toán Cho a, b, c ba số thực dương thoả mãn (a + c)(b + c) = 4c2 Tìm giá trị nhỏ biểu thức √ 32a3 32b3 a2 + b P = + − (b + 3c)3 (a + 3c)3 c p Lời giải (Ngô Hoàng Toàn) a b a b Từ giả thiết ta có :( + 1)( + 1) = 4.Đặt x = , y = x, y > ⇒ (x + 1)(y + 1) = c c c c Ta đưa bất đẳng thức cần chứng minh tìm giá trị nhỏ k w w w P = 32y 32x3 + − (3 + y)3 (3 + x)3 x2 + y Ta có đánh giá sau : (A + B)3 A +B ≥ Thật vậy,bất đẳng thức tương đương với 3 A3 + B ≥ AB(A + B) Mà A3 + B = (A + B)(A2 + B − AB) ≥ (A + B)(2AB − AB) = AB(A + B) Vậy nên ta có 32x3 32y + ≥8 (3 + y)3 (3 + x)3 x y + 3+y 3+x − (x + y)2 − 2xy Mà (x + 1)(y + 1) = ⇒ xy + x + y = (x + y)2 Theo AM − GM ta có = xy + x + y ≤ + x + y ⇒ x + y ≥ Đặt t = x + y, t ≥ 2.Vậy P viết lại thành P =8 c Ngơ Hồng Toàn t2 + 5t − 2t + 12 − √ www.k2pi.net t2 + 2t − Trang 149 6.1 Lời giải nhận xét câu cực trị đề thi đại học khối A 2013 ⇔P =8 √ Đặt f (t) = (t − 1)3 − Mà ta có t−1 − PHỤ LỤC √ t2 + 2t − t2 + 2t − (t−1)3 +1+1 ≥ 3(t−1) t3 −3t2 +3t−1+1+1 ≥ 3t−3 ⇔ t3 −3t2 +4 = (t+1)(t−2)2 ≥ t ≥ √ nên P ≥ 3t − − t2 + 2t − Khảo sát hàm số lập bảng biến thiên đoạn [2; +∞) √ Suy giá trị nhỏ P = − x = y = hay a = b = c > t e Lời giải (Lê Đình Mẫn) b a Ta đặt x = > 0, y = > Khi đó, giả thiết trở thành c c n i  xy = − x − y (x + 1)(y + 1) = ⇐⇒ xy + x + y = ⇒ x + y ≥ Biểu thức viết lại sau: Để ý: k w w w • x2 + y = (x + y)2 + 2(x + y) − 6; • x3 1 3x + + ≥ ; (y + 3) 64 64 y+3 • y3 1 3y + + ≥ (x + 3)3 64 64 x+3 Suy p x3 y3 + − (y + 3)3 (x + 3)3 P = 32 P ≥ 32 3x 3y + − y + x + 16 − x2 + y (x + y)2 + 2(x + y) − (x + y)2 + 2(x + y) − √ Đặt t = x + y ≥ Khảo sát hàm f (t) = 3t − − t2 + 2t − [2; +∞) ta √ min[2;+∞) f (t) = − √ Vậy P = min[2;+∞) f (t) = − ⇐⇒ t = ⇐⇒ a = b = c > Lời giải (Võ Quốc Bá Cẩn) a b Đặt x = ; y = Khi ta có ,(x + 1)(y + 1) = 4.Và biểu thức P viết lại thành c c = 3(x + y) − − P = 32x3 32y + − (3 + y)3 (3 + x)3 x2 + y Sử dụng bất đẳng thức AM-GM ta có : 32x3 1 6x 32x3 6x + + ≥ ⇒ ≥ − 3 (3 + y) 2 y+3 (3 + y) y+3 c Ngơ Hồng Tồn Trang 150 PHỤ LỤC 6.1 Lời giải nhận xét câu cực trị đề thi đại học khối A 2013 Tương tự , 32y 6y − ≥ (3 + x) x+3 Do đó, P ≥ 6y 6x + − y+3 x+3 x2 + y − Tới đây,tiếp tục sử dụng bất đẳng thức AM − GM ta lại có 6x 3x(y + 3) 6x 15x − 3xy + ≥ 3x ⇒ ≥ y+3 y+3 t e Đánh giá tương tự ta có 6y 15y − 3xy ≥ x+3 Do ta đánh giá n i 15x − 3xy 15y − 3xy + − x2 + y − 8 15 = (x + y) − xy − x2 + y − P ≥ p Bây ta có ý giả thiết (x + 1)(y + 1) = viết lại thành xy + x + y = k w w w √ Từ ta có xy + xy ≤ xy + x + y = 3, tức xy ≤ 1.Đặt t = xy o < t ≤ ta có x + y = − t x2 + y = (x + y)2 − 2xy = (3 − t)2 − 2t = t2 − 8t + Do đó, P ≤ Ta có √ √ 15 29 21 (3 − t) − t − t2 − 8t + − = − t − t2 − 8t + = f (t) 8 f (t) = − 4−t 21 21 +√ =− + 8 t − 8t + 21 4−t 21 +√ =− + 8 −6t + 21 3√ 21 ≤− + 4−t 0, ∀t ∈ (2; +∞) (3t + 2)4 f (t) = Do f (t) hàm đồng biến [2; +∞) nên 36.24 + 28.23 25 −√ = − √ > 16 2 (3.2 + 2) √ Do f (t) hàm đồng biến [2; +∞) nên f (t) ≥ f (2) = − Lời giải (Diễn đàn mathscope) a+c b+c Đặt x = y = → xy = Suy c c 32(x − 1)3 32(y − 1)3 P = + − (x − 1)2 + (y − 1)2 (y + 2)3 (x + 2)3 Đặt t = x + y Theo bất đẳng thức AM − GM ta có f (t) ≥ f (2) = c Ngơ Hồng Tồn Trang 152 PHỤ LỤC 6.1 Lời giải nhận xét câu cực trị đề thi đại học khối A 2013 32(x − 1)3 1 6(x − 1) • , + + ≥ (y + 2) 2 y+2 • 32(y − 1)3 1 6(y − 1) + + ≥ (x + 2) 2 x+2 Suy x−1 y−1 + y+2 x+2 P ≥6 −2− √ t2 − 2t − Có x−1 y−1 x2 + x + y + y − t2 + t − 12 t−3 + = = = , y+2 x+2 (x + 2)(y + 2) 2(t + 4) √ √ nên P ≥ 3(t − 3) − − t2 − 2t − = 3t − t2 − 2t − − 11 Lại dùng AM − GM ta có t2 √ √ + t2 − 2t − √ √ 2 9t t2 − 2t − ≤ · = √ −2 2− t t Suy √ √ 9t − 11 + 2 P ≥ 3t − √ + t Vì xy = nên t ≥ suy √ 9t 3t − √ + = t 3− √ − √ 4 t e n i k w w w p √ t+ √ t+ t √ √ √ t· ≥ ·4+2 = 12 − t √ √ Suy P ≥ − Dấu có xảy a = b = c nên P = − Lời giải (Trung tâm luyện thi Thăng Long) a b a b Từ giả thiết ta có :( + 1)( + 1) = 4.Đặt x = , y = x, y > ⇒ (x + 1)(y + 1) = c c c c Ta đưa bất đẳng thức cần chứng minh tìm giá trị nhỏ 3− √ − √ 4 P = 32x3 32y + − (3 + y)3 (3 + x)3 x2 + y Áp dụng bất đẳng thức phụ 4(u3 + v ) ≥ (u + v)3 với u, v > 0.Đẳng thức xảy u = v x y Với u = ;v = ta có y+3 x+3 P ≥8 x y + 3+y 3+x − (x + y)2 − 2xy = x2 + y + 3(x + y) + xy + 3(x + y) + − x2 + y x y Dấu xảy = ⇒x=y y+3 x+3  S = x + y Đặt ,điều kiện S ≥ 4P P = xy Ta có c Ngơ Hồng Tồn    S>0 P =3−S ⇒   S ≥ 4P S>0 ⇒S≥2 S ≥ 12 − 4S www.k2pi.net Trang 153 6.1 Lời giải nhận xét câu cực trị đề thi đại học khối A 2013 PHỤ LỤC Thay vào ta S + 5S − P ≥ 2S + 12 − √ S + 2S − = (S − 1)3 − √ S + 2S − Đặt t = S − điều kiện t ≥ P ≥ t3 − √ t2 + 4t − = f (t) Xét hàm số f (t) khoảng [1; +∞) f (t) = 3t2 − √ Vì t ≥ nên t+2 = 3t2 − t + 4t + (t + 2)2 − ≥ ⇒ 3t2 − Suy t+2 (t + 2)2 t+2 t+2 ≥ 3t2 − √ −7 n i √ t+2 3t( 2t − 1) + 3(t − 1) √ f (t) ≥ 3t − √ = >0 2 Suy f (t) hàm đồng biến khoảng [1; +∞) nên p P ≥ f (t) ≥ f (1) = − Vậy giá trị nhỏ P − t e (t + 2)2 − √ √ 2 x = y = hay a = b = c a b Lời giải ( diễn đàn mathscope ) Đặt x = , y = suy xy + x + y = 3, lại có c c (x + y)2 (x + y)2 xy ≤ nên + x + y ≥ → x + y ≥ xy ≤ Xét biểu thức: 4 k w w w y 2xy + 3(x + y) 2xy + 3(x + y) x + = = = x+3 y+3 xy + 3(x + y) + xy + 3(x + y) + 3(xy + x + y) Sử dụng bất đẳng thức AM-GM cho số dương: 16a3 16a3 12a2 + + ≥ (b + 3c)3 (b + 3c)3 (b + 3c)2 Hoàn toàn tương tự: 16b3 16b3 12b2 + + ≥ (a + 3c)3 (a + 3c)3 (a + 3c)2 Suy ra: 32a3 32b3 a2 b2 + ≥ 12[ + ] − , (1) 3 2 (b + 3c) (a + 3c) (a + 3c) (b + 3c) Từ x y + = ta có x+3 y+3 a b a2 b2 + = → + ≥ 2 a + 3c b + 3c (a + 3c) (b + 3c) Do c Ngơ Hồng Tồn a2 b2 + − ≥ 2 (b + 3c) (a + 3c) Trang 154 PHỤ LỤC 6.1 Lời giải nhận xét câu cực trị đề thi đại học khối A 2013 a2 b2 a2 b2 + − − (b + 3c)2 (a + 3c)2 (a + 3c)2 (b + 3c)2 = (a2 − b2 )((a + 3c)2 − (b + 3c)2 ) (a − b)2 (a + b)(a + b + 6c) = (b + 3c)2 (a + 3c)2 (b + 3c)2 (a + 3c)2 Do x + y ≥ nên a + b ≥ 2c (a + b)(a + b + 6c) ≥ 16c2 Mặt khác (b + 3c)(a + 3c) = ab + 3c(a + b) + 9c2 ≤ 3(ab + bc + ca) + 9c2 = 18c2 nên a2 b2 + − ≥ 2 (b + 3c) (a + 3c) t e (a − b)2 (a + b)(a + b + 6c) 16(a − b)2 4(a − b)2 ≥ = (b + 3c)2 (a + 3c)2 182 c2 81c2 Do 12[ Lại có xy ≤ nên a2 16(a − b)2 b2 ] ≥ + − , (2) (b + 3c)2 (a + 3c)2 27c2 ab ≤ Do đó: c2 √ a2 + b √ − 2= c (a − b) +2− c2 √ n i p (a − b)2 c + 2ab − √ (a − b)2 (a − b)2 c2 ≤ √ , (3) √ 2.c2 (a − b)2 +2+ c2 k w w w ≤ 2= Từ (1),(2) (3) suy P ≥1− √ 2+( √ (a − b)2 16 − √ ) ≥ − 27 2 c2 Đẳng thức xảy a = b = c Nhận xét: Bài toán chẳng qua đổi biến bất đẳng thức để đưa toán ba biến a, b, c thật chất toán việc giải tốn hai biến mà thơi Chúng ta xét đến tập tương tự sau: Bài Cho x, y ∈ (0, 1] thỏa mãn điều kiện thức : P = 1 + = Tìm giá trị nhỏ của biểu x y 3y + 3x + + + (3x + y)(3y + x) 9y + 9x2 + Bài Cho số thực x, y > thỏa mãn x + y + = 3xy.Tìm giá trị lớn biểu thức : 3x 3y 1 P = + − + 2 y(x + 1) x(y + 1) x y c Ngơ Hồng Tồn www.k2pi.net Trang 155 6.2 Một số kí hiệu dùng tuyển tập 6.2 PHỤ LỤC Một số kí hiệu dùng tuyển tập MỘT SỐ KÍ HIỆU TRONG TUYỂN TẬP BĐT Bất đẳng thức (6.1) Giá trị lớn nhất,Giá trị nhỏ (6.2) GTLN (max),GTNN(min) t e Tồng hoán vị (a2 b) = a2 b + b2 c + c2 a (6.3) cyc n i p k w w w c Ngơ Hồng Tồn Trang 156 CHÚC MỪNG NĂM MỚI ——————————–♥♥♥———————————– t e n i k w w w p ... k w w w c Ngơ Hồng Tồn Trang 14 TUYỂN TẬP BẤT ĐẲNG THỨC 3.1 3.1 Bất đẳng thức kì thi thử trường TUYỂN TẬP BẤT ĐẲNG THỨC Bất đẳng thức kì thi thử trường Bài toán Cho a, b, c, d, e số thực dương... 3.3 3.4 Bất đẳng thức kì thi thử trường 15 Bất đẳng thức đề thi thử diễn đàn 49 Bất đẳng thức đề thi thử trung tâm 73 Bất đẳng thức Thử...TUYỂN TẬP BẤT ĐẲNG THỨC Ngơ Hồng Tồn Trường Đại học Y Dược Cần Thơ t e Mục lục Một số bất đẳng thức n i 1.1 Bất đẳng thức AM-GM 1.2 Bất đẳng thức Cauchy-Schwarz