Tuyển tập bất đẳng thức trong các kì thi đại học

Áp dụng BĐT Cơsi cho hai số chứng minh:a.. Chứng minh BĐT dựa vào BĐT Bunhiacôpxki... Áp dụng BĐT Cơsi cho hai số chứng minh:a... Chứng minh BĐT dựa vào BĐT Bunhiacôpxki 1... Tìm gi trị

1. Chứng minh: (a b)(b c)(c a) 8abc ; a,b,c 0+ + + ≥ ≥

2. Chứng minh: (a b c)(a+ + 2+b2+c ) 9abc ; a,b,c 02 ≥ ≥

3. Chứng minh: (1 a 1 b 1 c+ ) ( + ) ( + ) ≥ +(1 3abc với a , b , c )3 ≥ 0

21 Áp dụng BĐT Cơsi cho hai số chứng minh:

a a b c d 4 abcd + + + ≥ 4 với a , b , c , d ≥ 0 (Cơsi 4 số)

b. a b c 3 abc + + ≥ 3 với a , b , c ≥ 0 , (Cơsi 3 số )

xy

x 2 Định x để y đạt GTLN

III Chứng minh BĐT dựa vào BĐT Bunhiacôpxki

1. Chứng minh: (ab + cd)2≤ (a2 + c2)(b2 + d2) BĐT Bunhiacopxki

2. Chứng minh: sinx cosx+ ≤ 2

1 ab

4

1. Chứng minh: (a b)(b c)(c a) 8abc ; a, b, c 0+ + + ≥ ≥

 Áp dụng bất đẳng thức Cơsi cho hai số khơng m:

⇒ a b 2 ab , + ≥ b c 2 bc , + ≥ a c 2 ac+ ≥

⇒ (a b b c a c+ ) ( + ) ( + ) ≥8 a b c2 2 2 =8abc

2. Chứng minh: (a b c)(a+ + 2+b2+c ) 9abc ; a,b,c 02 ≥ ≥

 Áp dụng bất đẳng thức Cơsi cho ba số khơng m:

21 Áp dụng BĐT Cơsi cho hai số chứng minh:

a a b c d 4 abcd + + + ≥ 4 với a , b , c , d ≥ 0 (Cơsi 4 số)

 a b 2 ab , c d 2 cd+ ≥ + ≥

10

2Vậy: Khi x= 30 1+

2 thì y đạt GTNN bằng

+

30 13

3 2

III Chứng minh BĐT dựa vào BĐT Bunhiacôpxki

1. Chứng minh: (ab + cd)2≤ (a2 + c2)(b2 + d2) () BĐT Bunhiacopxki

() ⇔ a b2 2+2abcd c d+ 2 2 ≤a b2 2+a d2 2+c b2 2+c d2 2

⇔ a d2 2+c b2 2−2abcd 0 ≥ ⇔ (ad cb− )2≥0

2. Chứng minh: sinx cosx+ ≤ 2

 Áp dụng BĐT Bunhiacopski cho 4 số 1 , sinx , 1 , cosx :

° sinx cosx+ = 1 sinx 1 cosx+ ≤ (1 1 sin x cos x2+ 2) 2 + 2 ) = 2

Cho x, y, z > 0 v xyz = 1 Chứng minh rằng: x3 + y3 + z3≥ x + y + z.

9. (CĐBC Hoa Sen khối D 2006)

Cho x, y, z > 0; x + y + z = xyz Tìm gi trị nhỏ nhất của biểu thức A = xyz



ab bc ca 1Chứng minh: − ≤ ≤4 a 4 4;− ≤ ≤b 4 4;− ≤ ≤c 4

13 (Học viện NH TPHCM khối A 2001)

Cho ∆ABC cĩ 3 cạnh l a, b, c v p l nửa chu vi Chứng minh rằng:

Ch minh rằng với a ≥ 2, b ≥ 2, c ≥ 2 thì: logb c+ a log+ c a+ b log+ a b+ c 1>

16 (ĐH Quốc gia HN khối D 2001)

Ch minh rằng với mọi x ≥ 0 v với mọi α > 1 ta luơn cĩ: xα + α – 1 ≥ αx

Từ đó chứng minh rằng với 3 số dương a, b, c bất kì thì:

a) a2 + b2 + c2 ≥ ab + bc + ca b) (ab + bc + ca)2 ≥ 3abc(a + b + c)

24 (ĐH Nông nghiệp I khối A 2000)

Cho 3 số dương a, b, c thoả điều kiện abc = 1 Tìm gi trị nhỏ nhất của biểu thức:

(a + 1).(b + 1).(c + 1) ≥ (1+3abc)3

26 (ĐH Y HN 2000)

Giả sử x, y là hai số dương thoả điều kiện 2 3+ =6

x y Tìm gi trị nhỏ nhất củatổng x + y

31 (CĐSP Nhà trẻ – Mẫu giáo TƯ I 2000)

Chứng minh BĐT sau đây luôn luôn đúng với mọi số thực x, y, z bất kì khc

2R (a, b, c l cc cạnh của ∆ABC, R là bán kínhđường trịn ngoại tiếp) Dấu “=” xảy ra khi no?

36 (Đại học 2002 dự bị 3)

Giả sử x, y là hai số dương thay đổi thoả mn điều kiện x + y = 5

4 Tìm gi trị nhỏnhất của biểu thức: S = 4+ 1

38 (Đại học 2002 dự bị 6)

Cho tam gic ABC cĩ diện tích bằng 3

2 Gọi a, b, c lần lượt là độ dài các cạnh BC,

CA, AB và ha, hb, hc tương ứng là độ dài các đường cao kẻ từ các đỉnh A, B, C.Chứng minh rằng:

Khi nào đẳng thức xảy ra?

48 (Đại học khối B 2005 dự bị 2)

Chứng minh rằng nếu 0 ≤ y ≤ x ≤ 1 thì x y y x− ≤ 1

4.Đẳng thức xảy ra khi no?

z3 + 1 + 1 ≥ 33 3z ⇒ z3 + 2 ≥ 3z (3)Cộng (1), (2), (3) vế theo vế suy ra bất đẳng thức cần chứng minh.

3(t 1)

t < 0, ∀t ∈  

 

10;

3Bảng biến thin:

Từ bảng biến thin ta suy ra: A ≥ 10 Dấu "=" xảy ra khi x = y = z = 1

322

Vậy Amin = 10 đạt được khi x = y = z = 1

3.Vậy Amin = 10 đạt được khi x = y = z = 1

1 4y4y5

x y4x,y 0

7. (CĐKTKTCN1 khối A 2006)

Xét vế trái của BĐT đ cho: VT = 1+ + + + + + + +b c a 1 c a b 1

Vậy maxA = 20 (x = 3, y = 0), minA = –12 (x = 1, y = –10)

9. (CĐBC Hoa Sen khối D 2006)

Ta cĩ: x + y + z ≥ 33xyz ⇔ xyz ≥ 33xyz ⇔ (xyz)2≥ 27 ⇔ xyz ≥ 3 3Dấu "=" xảy ra ⇔ x = y = z = 3

(a b) 2ab 2 cc(a b) ab 1

Ta xem đây là hệ phương trình của a, b v đặt  + =

14 (ĐH Nông nghiệp I HN khối A 2001)

Áp dụng BĐT Côsi cho 2 số dương x3, y2 ta cĩ:

Trước hết chú ý rằng nếu a > 1, x > 1 thì hm số y = log x là đồng biến vàa

dương

Do đó hàm số y = logxa =

a

1log x l nghịch biến.

Vì vai trị của a, b, c l như nhau, nên ta có thể giả thiết a ≥ b ≥ c Ta được:

VT= logb c+ a log+ c a+ b log+ a b+ c log≥ a b+ a log+ a b+ b log+ a b+ c log= a b+ abc

Vì a, b, c ≥ 2 nn abc ≥ 2ab = ab + ab > a + b

Do đó VT ≥ loga+babc > loga+b(a + b) = 1

16 (ĐH Quốc gia HN khối D 2001)

b 1 3 b.

c 2 2 c ;   + ≥ ÷

 

3 2

Theo BĐT Côsi ta có:

 + − ÷

⇒ 27 – 9(2a + 2b + 2c) + 3(4ab + 4bc + 4ca) – 8abc ≤ 1

⇔ 27 – 54 + 12(ab + bc + ca) – 8abc ≤ 1

⇔ 4abc ≥ 6(ab + bc + ca) – 14

⇔ 3(a2 + b2 + c2) + 4abc ≥ 3(a2 + b2 + c2) + 6(ab + bc + ca) – 14

= 3(a + b +c)2 – 14 = 13Đẳng thức xảy ra ⇔ 3 – 2a = 3 – 2b = 3 – 2c ⇔ a = b = c = 1

3Đẳng thức xảy ra ⇔ x = y = z = 1

⇔ (a + b) [4(a2 + b2 – ab) – (a2 + b2 + 2ab)] ≥ 0

⇔ (a + b)(3a2 + 3b2 – 6ab) ≥ 0 ⇔ (a + b)(a – b)2 ≥ 0

BĐT cuối cùng này đúng, nên BĐT cần chứng minh là đúng

b) (ab + bc + ca)2 = (ab)2 + (bc)2 + (ca)2 + 2(abbc + bcca + caab) ≥

≥ abbc + bcca + caab + 2abc(a + b + c) = 3abc(a + b + c)

24 (ĐH Nông nghiệp I khối A 2000)

y z z x x yTheo BĐT Bunhiacopxki ta có:

63( 2 3)y

6Vậy min(x + y) = 5 2 6+

n = ∑=n k

n k

k 0

1C

y2 + z2 – y2z – 1 ≤ 0 (4)Cộng (2), (3), (4) vế theo vế ta được:

2(x2 + y2 + z2) – (x2y + y2z + z2x) ≤ 3

32

2RDấu “=” xảy ra ⇔  = =a b cx y z= = ⇔ ∆ ∆

x y4

0 x

4

⇔ x = 1Lập bảng xt dấu f′(x), suy ra minS = 5

• Cch 3: 2 + 1= x 2 + y 1

2 x 2 y ≤ x y.+ 4+ 1

x 4y (3)Dấu “=” ở (3) xảy ra ⇔

x y4

x y4

S = a c+

b d ≥

++

1 b 1

b 50 = b2+ +b 50

50bVậy BĐT của đề ra đ được chứng minh

xyz = 9t+9

tvới t = ( xyz) 3 2 ⇒ 0 < t ≤  + +  ≤÷

9 ⇒Q(t) giảm trn  

 

 

10;

Dấu "=" xảy ra ⇔ x = y = z = 1

3.

40 (Đại học khối A 2003 dự bị 1)

• Tìm max: y = sin5x + 3 cosx ≤ sin4x + 3 cosx (1)

Ta chứng minh: sin4x + 3 cosx ≤ 3 , ∀x ∈ R (2)

⇔ 3 (1 – cosx) – sin4x ≥ 0 ⇔ 3 (1 – cosx) – (1 – cos2x)2 ≥ 0

⇔ (1 – cosx).[ 3 – (1 – cosx)(1 + cosx)2] ≥ 0 (3)

Theo BĐT Côsi ta có:

(1 – cosx)(1 + cosx)(1 + cosx) = 1

2(2 – 2cosx)(1 + cosx)(1 + cosx) ≤

• Tìm min: Ta cĩ y = sin5x + 3 cosx ≥ – sin4x + 3 cosx

Tương tự như trên, ta được miny = – 3 , đạt được khi x = π + k2π

36

Ta thấy trong các bất đẳng thức (1), (2), (3) thì dấu "=" xảy ra khi v chỉ khi

x = y = z Vậy đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x = y = z = 3

Dấu "=" xảy ra ⇔



+ + =

1 4

3 ≥ 0 ⇔ P 1S 4≥ (chia cho S2)Nn: A =

42