bất đẳng thức trong các kì thi thử đại học

NGÔ HOÀNG TOÀN YD-K38 2012 Con đường dẫn đến thành cơng là sự tơi luyện của bản thân ! Page 0 Chuyên đề BẤT ĐẲNG THỨC H ÀNH TRÌNH CỦA MƠ ƯỚC NGÔ HOÀNG TOÀN LỚP YD-K38 ĐẠI HỌC Y DƯC CẦN THƠ NGÔ HOÀNG TOÀN YD-K38 2012 Con đường dẫn đến thành cơng là sự tơi luyện của bản thân ! Page 1 BẤT ĐẲNG THỨC TRONG KÌ THI THỬ ĐẠI HỌC 2012 Phần 1.MỘT SỐ BẤT ĐẲNG THỨC CƠ BẢN I. Bất đẳng thức AM-GM: Cho 1 2 , , , n a a a là các số thực khơng âm thì ta có: 1 2 1 2 n n n a a a n a a a     Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 1 2 n a a a    . Tuy nhiên,khi giải tốn ta hay quan tâm nhiều đến trường hợp 2 n  và 3 n  .Mà ta thường được biết đến dưới phát biểu: 1. Cho , 0 a b  .Khi đó ta có: 2 a b ab   .Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi: a b  Bất đẳng thức này còn được viết dưới dạng khác tương đương là:     2 2 2 2 2 2 2 , 4 , 2 , 2 2 a b a b ab a b ab a b ab a b                2. Cho , , 0 a b c  Khi đó ta có: 3 3 a b c abc    .Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a b c   Bất đẳng thức này còn có một số ứng dụng khác khá phổ biến như sau: Với mọi số thực , , a b c ta ln có: i. 2 2 2 a b c ab bc ca      ii.   2 2 2 2 3 a b c a b c      iii.     2 3 a b c ab bc ca      iv.   2 2 2 2 2 2 a b b c c a abc a b c      v.     2 3 ab bc ca abc a b c      NGOÂ HOAØNG TOAØN YD-K38 2012 Con đường dẫn đến thành công là sự tôi luyện của bản thân ! Page 2 II. Bất đẳng thức Cauchy-Schwarz: Với hai bộ số thực tùy ý 1 2 , , , n a a a và 1 2 , , , n b b b ta có : Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 1 2 1 2 n n a a a b b b    . Bất đẳng thức Cauchy-Schwarz dạng Engel Giả sử 1 2 , , , n a a a là các số thực bất kì và 1 2 , , , n b b b là các số thực dương . Khi đó ta luôn có :   2 22 2 1 2 1 2 1 2 1 2 n n n a a a a a a b b b b b b           Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 1 2 1 2 n n a a a b b b    Tuy nhiên,khi giải toán ta hay quan tâm nhiều đến trường hợp 2 n  và 3 n  .Khi đó ta gặp một số đánh giá quen thuộc sau: Cho , , 0 a b c  ta có: i.   2 2 2 2 3 a b c a b c      ii.   1 1 1 9 a b c a b c            III. Bất đẳng thức Minkowski Cho 1 2 1 2 , , , , , , n n a a a b b b            và 1 p     .Khi đó   1 1 1 1 1 1 n n n p p p p p p k k k k k k k a b a b                            Nhưng ta quan tâm nhiều nhất là các bất đẳng thức quen thuộc sau: i.     2 2 2 2 2 2 a b c d a c b d        ii.       2 2 2 2 2 2 2 2 2 a b c m n p a m b n c p            iii.     2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 2 2 1 2 1 2 n n n n a b a b a b a a a b b b               NGÔ HOÀNG TOÀN YD-K38 2012 Con đường dẫn đến thành cơng là sự tơi luyện của bản thân ! Page 3 Phần 2.TUYỂN TẬP NHỮNG BÀI TOÁN BẤT ĐẲNG THỨC QUA CÁC KÌ TUYỂN SINH ĐẠI HỌC GIAI ĐOẠN 2007-2012 Bài 1.Cho , , x y z là các số thực dương thay đổi và thỏa mãn 1 xyz  .Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:       2 2 2 2 2 2 x y z y z x z x y P y y z z z z x x x x y y          Đề thi đại học khối A-2007 Lời giải Ta có:   2 2 2 2 x y z x yz x x    Tương tự ta có:   2 2 y z x y y     2 2 z x y z z   Ta tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : 2 2 2 2 2 2 y y x x z z P y y z z z z x x x x y y       Đặt 2 ; 2 ; 2 a x x y y b y y z z c z z x x       Suy ra: 4 2 4 2 4 2 ; ; 9 9 9 c a b a b c b c a x x y y z z          Do đó :   2 4 4 2 4 2 9 2 2 4 6 4.3 3 6 2 9 9 c a b a b c b c a P b c a c a b a b c a c a b a a                                             Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi: 1 x y z    NGOÂ HOAØNG TOAØN YD-K38 2012 Con đường dẫn đến thành công là sự tôi luyện của bản thân ! Page 4 Bài 2.Cho , , x y z là các số thực thay đổi .Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : 1 1 1 2 2 2 x y z P x y z yz zx xy                         Đề thi đại học khối B-2007 Lời giải Ta có: 2 2 2 2 2 2 2 x y z x y z P xyz       Mà ta có: 2 2 2 x y z xy yz zx      nên 2 2 2 1 1 1 2 2 2 x y z P x y z                         Xét hàm số:   2 1 2 t f t t   với 0 t  .Lập bảng biến thiên của   f t ta suy ra:   3 , 0 2 f t t    Suy ra:Giá trị nhỏ nhất của P là 9 2 .Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 1 x y z    . Bài 3.Cho 0 a b   .Chứng minh rằng: 1 1 2 2 2 2 b a a b a b                . Đề thi đại học khối D năm 2007. Lời giải Bất đẳng thức đã cho tương đương với:         ln 1 4 ln 1 4 1 4 1 4 a b b a a b a b        Xét hàm số     1 4 x f x x   với 0 x  .Ta có:         2 4 ln4 1 4 ln 1 4 ' 0 1 4 x x x x x f x x       NGOÂ HOAØNG TOAØN YD-K38 2012 Con đường dẫn đến thành công là sự tôi luyện của bản thân ! Page 5   f x  là hàm nghịch biến trên khoảng   0; .  Do   f x nghịch biến trên khoảng   0; .  và 0 a b   nên     f a f b  .Điều phải chứng minh. Bài 4.Cho , x y là hai số thực thay đổi thỏa mãn 2 2 1 x y   .Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức   2 2 2 6 1 2 2 x xy P xy y     Đề thi đại học khối B -2008 Lời giải     2 2 2 2 2 2 2 6 2 6 1 2 2 2 2 x xy x xy P xy y x y xy y          Nếu 0 y  ta có 2 1 x  .Suy ra 2 P  Nếu 0 y  Đặt x ty  ,khi đó:       2 2 2 2 12 2 2 6 3 0 1 2 3 t t P P t P t P t t           Với 2 P  ,phương trình   1 có nghiệm 3 4 t  . Với 2 P  ,phương trình   1 có nghiệm khi và chỉ khi: ' 2 2 6 36 0 6 3 P P P           3 P  khi 3 1 ; 10 10 x y  hoặc 3 1 ; 10 10 x y    6 P   khi 3 2 ; 13 13 x y   hoặc 3 2 ; 13 13 x y   NGOÂ HOAØNG TOAØN YD-K38 2012 Con đường dẫn đến thành công là sự tôi luyện của bản thân ! Page 6 Bài 5.Cho , x y là các số thực không âm .Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của:         2 2 1 1 1 x y xy P x y      Đề thi đại học khối D -2008 Lời giải Ta có:               2 2 2 1 1 1 1 1 4 4 4 1 1 1 x y xy x y xy P P x y x y xy                 Khi đó 0, 1 x y   thì 1 4 P   . Khi 1, 0 x y   thì 1 4 P  Bài 6.Cho hai số thực thay đổi , x y thỏa mãn 2 2 2 x y   .Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức   3 3 2 3 P x y xy    Đề thi Cao đẳng khối A-2008 Lời giải Ta có:         2 2 2 3 2 2 3 P x y x xy y xy x y xy xy          Đặt t x y   .Do 2 2 2 x y   nên 2 2 2 t xy   .Suy ra: 2 2 3 2 2 2 3 2 2 3 6 3 2 2 2 t t P t t t t                 Do   2 4 x y xy   nên   2 2 2 2 2 2 t t t       Xét hàm số:   3 2 3 6 3 2 f t t t t      với 2 2 t    NGOÂ HOAØNG TOAØN YD-K38 2012 Con đường dẫn đến thành công là sự tôi luyện của bản thân ! Page 7 Ta có bảng biến thiên từ đó suy ra giá trị lớn nhất của 13 2 P  giá trị nhỏ nhất của 7 P   . Bài 7.Chứng minh rằng với mọi số thực dương , , x y z thỏa mãn   3 x x y z yz    ,ta có:           3 3 3 3 5 x y x z x y y z z x y z          Đề thi đại học khối A-2009 Lời giải Đặt , , a x y b y z c z x       Điều kiện bài toán trở thành: 2 2 2 c a b ab    Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với: 3 3 3 3 5 a b abc c    , , a b c là các số thực dương thỏa mãn điều kiện trên.         2 2 2 2 2 2 2 3 1 3 2 4 4 c a b ab a b ab a b a b a b a b c                        3 3 3 2 2 3 2 3 2 3 5 3 5 3 5 3 5 a b abc c a b a b ab abc c a b c abc c a b c ab c                  Mà 2 a b c   nên   2 2 a b c c   và 2 2 3 3. . 3 2 a b abc c c          .Suy ra điều phải chứng minh. Bài 8.Cho các số thực thay đổi , x y thỏa mãn   3 4 2 x y xy    .Tìm giá trị nhỏ nhât của biểu thức :     4 4 2 2 2 2 3 2 1 A x y x y x y       Đề thi đại học khối B-2009 Lời giải Kết hợp   3 4 2 x y xy    và   2 4 x y xy   .Suy ra:     3 2 2 1 x y x y x y                  2 4 4 2 2 2 2 2 2 4 4 2 2 3 3 3 2 1 2 1 2 2 A x y x y x y x y x y x y              NGOÂ HOAØNG TOAØN YD-K38 2012 Con đường dẫn đến thành công là sự tôi luyện của bản thân ! Page 8           2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 3 9 2 1 2 1 2 4 4 x y x y x y A x y x y              Đặt 2 2 t x y   ta có   2 2 2 1 1 2 2 2 x y x y t       ;do đó 2 9 2 1 4 A t t    Xét hàm số   2 9 2 1 4 f t t t    ;   9 ' 2 0 2 f t t    với mọi 1 2 t  .Suy ra giá trị nhỏ nhất của A là 9 16 khi 1 2 x y   . Bài 9.Cho a và b là hai số thực thỏa mãn 0 1 a b    .Chứng minh rằng: 2 2 ln ln ln ln a b b a a b    Đề thi cao đẳng khối A -2009 Lời giải Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với : 2 2 ln ln 1 1 a b a b    Xét hàm số     2 ln , 0;1 1 t f t t t    .Ta có:         2 2 2 1 1 2 ln ' 0, 0;1 1 t t t t f t t t        Do đó   f t là hàm đồn biến trên   0;1 . Mà 0 1 a b    ,nên     f a f b  .Suy ra điều phải chứng minh. Bài 10.Cho các số thực không âm , x y thỏa mãn 1 x y   .Tìm giá trị lớn nhât và giá trị nhỏ nhất của biểu thức:     2 2 4 3 4 3 25 S x y y x xy     Đề thi đại học khối D-2009 Lời giải NGOÂ HOAØNG TOAØN YD-K38 2012 Con đường dẫn đến thành công là sự tôi luyện của bản thân ! Page 9 Do 1 x y   ,nên       3 2 2 3 3 2 2 2 2 16 12 9 25 16 12 3 34 16 2 12 S x y x y xy xy x y x y xy x y xy x y xy                   Đặt t xy  ,ta được 2 16 2 12 S t t    ta có   2 1 0 4 4 x y xy t      Ta tiến hành khảo sát hàm số trên và tìm được giá trị nhỏ nhất của S là 191 16 khi   2 3 2 3 ; ; 4 4 x y            hoặc   2 3 2 3 ; ; 4 4 x y            Giá trị lớn nhất của 25 2 S  khi   1 1 ; ; 2 2 x y        Bài 11.Cho hai số thực dương , x y thay đổi thỏa mãn 3 1 x y   .Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : 1 1 A x xy   Đề thi cao đẳng khối A-2010 Lời giải Ta có:   1 1 1 2 1 2 4 8 2 . 8 3 2 A x x x y x x y x y xy x x y             Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi: 1 4 x y   . Bài 12.Cho các sô thực không âm , , a b c thỏa mãn 1 a b c    .Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức :     2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 3 2 M a b b c c a ab bc ca a b c          Đề thi đại học khối B-2010 Lời giải Ta có:       2 3 2 1 2 M ab bc ca ab bc ca ab bc ca           [...]... 2   4   Suy ra A  17  5 5 1 5 Khi x  y  thì đẳng thức xảy ra.Vậy giá trị nhỏ nhất của A là 4 4 17  5 5 4 Con đường dẫn đến thành cơng là sự tơi luyện của bản thân ! Page 14 NGÔ HOÀNG TOÀN YD-K38 2012 Phần 3.NHỮNG BÀI TOÁN BẤT ĐẲNG THỨC TRONG KÌ THI THỬ 2012 Chương I.CÁC BÀI TOÁN BẤT ĐẲNG THỨC TRONG ĐỀ THI THỬ CỦA CÁC TRƯỜNG Bài 1 Cho các số thực x, y , z  1 thỏa mãn xyz  1 Chứng minh rằng:... 20.Cho các số dương a, b, c thỏa mãn a  b  c  3 Chứng minh rằng : a 3 1 b  c  b 3 1 c  a  c 3 1 a  b  3 Đề thi thử Đại học lần 2 Trường THPT Chun Hạ Long -Quảng Ninh Lời giải Sử dụng bất đẳng thức AM-GM ta có : 3 1.1 1  b  c    a 3 1 b  c  111 b  c 3  b  c  3 3 3a  ab  ac 3 Tương tự ta có: b 3 1 c  a  3b  bc  ab 3 c 3 1 a  b  3c  ac  bc 3 Cộng vế theo vế các bất đẳng. ..  min P  1  Vậy nên ta có :  11 max P  6  Bài 26.Cho các số dương a, b, c thỏa mãn ab 2  bc 2  ca 2  3 Chứng minh rằng: 3 a  7  3 b  7  3 c  7  2( a 4  b 4  c 4 ) Đề thi thử trường THPT chun Hạ Long Lời giải Áp dụng bất đẳng thức AM-GM ta có : 3 a  7  13 a  7  8  8 a  23 8.8.(a  7)   4 4.3 12 Thi t lập các bất đẳng thức tương tự rồi cộng lại ta có: 3 a7  3 b7  3 c7  a...  b  c   10abc  AM  GM  1 1 Đẳng thức xảy ra khi a  , b  c  2 4 Bài 17.Cho các số dương x, y , z thỏa mãn xyz  1 Chứng minh rằng: x5  2 x 4  x3  x2  2 x  2 3  x  1  y4  4 y3  6 y 2  4 y  2  y  1 3  z 4  4z3  6z 2  4z  2  z  1 3  3 x 3 y 3 z 19    y z x 8 Đề thi thử đại học trường THPT Lê Văn Thịnh - Bắc Ninh Lời giải Bất đẳng thức đã cho tương đương với : x VT...  Suy ra : 2P  1 1 2    4 xy x y 2 2 2 x y 2 Suy ra P  2 Vậy Pmin  2  x  y  1 2 Bài 15.Cho các số thực dương x, y , z thỏa mãn 4  x  y  z   3xyz Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức : P  1 1 1   2  x  yz 2  y  zx 2  z  xy Đề thi thử Đại Học Vinh lần 1 Lời giải Áp dụng bất đẳng thức AM-GM ta đươc: 2  x  yz  x  yz yz xy 2 z 2   2  44 2 2 2 Tương tự ta có : Con đường dẫn đến... xyz  8 4  x  y  z   3xyz  1 1 1 3     2 xy yz zx 4 Từ 1 ,  2  ta được P  3 8 Đẳng thức xảy ra khi x  y  z  2 Bài 16 Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn a  b  c  1 Chứng minh rằng: 2ab 3bc 2ca 5    c  ab a  bc b  ca 3 Đề thi thử trường THPT Lê Hồng Phong-Đồng Nai Lời giải Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với : Con đường dẫn đến thành cơng là sự tơi luyện của bản... minh rằng: 2 2 2  x   y   z        1  x 1   y  1   z 1  Đề thi thử trường THPT Chun đại học KHTN Hà Nội lần 2 Lời giải Cách 1: Đặt a  x y z ,b  ,c  x 1 y 1 z 1 Khi đó ta nhận thấy rằng:  a  1 b  1 c  1  abc  a  b  c  ab  bc  ca  1 Mặt khác cũng từ phép đặt ta đưa bất đẳng thức cần chứng minh về dạng: a 2  b 2  c 2  1 Hay : a 2  b 2  c 2  2(ab  bc...  1 17 Con đường dẫn đến thành cơng là sự tơi luyện của bản thân ! Page 23 NGÔ HOÀNG TOÀN YD-K38 2012 Bài 14.Xét các số thực dương x, y thỏa mãn điều kiện x  y  1 Tìm giá trị nhỏ nhất của: P x y  1 x 1 y Đề thi thử đại học THPT chun Lê Hồng Phong-Nam Định Lời giải Áp dụng bất đẳng thức AM-GM ta có:  x   y  P  y   x   y   x    P    x y 2     x y  x y 1 y 1 x ... 2  a 2 b  b 2 c  c 2 a  a  b  c Đặt t  a 2  b 2  c 2  t  3 Bất đẳng thức đã cho đưa về hàm số : f  t   t  9t ,t  3 2t Đến đây ta khảo sát hàm số tìm giá trị nhỏ nhất của P Bài 24.Cho các số thực dương a , b, c, d sao cho tổng bình phương của chúng bằng 4 Chứng minh rằng: a 3  b 3  c3  d 3  8 Đề Thi thử đại học THPT Đào Duy Từ Lời giải   Ta ln có: a 2 (a  2)  0  a 3  b 3... z  z  x  6 x 2  6 y 2  6 z 2 Suy ra: P  3 x  y  3 y  z  3 z  x  6 x 2  6 y 2  6 z 2  3 Đẳng thức xảy ra khi x  y  z  0 Bài 17 Cho các số thực x, y, z thỏa mãn các điều kiện x  y  z  0 và x 2  y 2  z 2  1 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P  x 5  y 5  z 5 Đề thi đại học khối B-2012 Lời giải Với x  y  z  0 và x 2  y 2  z 2  1 ta có: 2 0   x  y  z   x 2  y . YD-K38 2012 Con đường dẫn đến thành cơng là sự tơi luyện của bản thân ! Page 15 Phần 3.NHỮNG BÀI TOÁN BẤT ĐẲNG THỨC TRONG KÌ THI THỬ 2012 Chương I.CÁC BÀI TOÁN BẤT ĐẲNG THỨC TRONG ĐỀ THI. DƯC CẦN THƠ NGÔ HOÀNG TOÀN YD-K38 2012 Con đường dẫn đến thành cơng là sự tơi luyện của bản thân ! Page 1 BẤT ĐẲNG THỨC TRONG KÌ THI THỬ ĐẠI HỌC 2012 Phần 1.MỘT SỐ BẤT ĐẲNG THỨC. , , 0 x y z  thỏa mãn 1. xyz  Tìm giá trị nhỏ nhất của       2012 2012 2012 1 1 1 1 1 1x y z      Đề thi thử trường THPT chuyên Lê Hồng Phong-Thành phố Hồ Chí Minh Lời giải