Bất đẳng thức trong các kỳ thi đại học

Vậy bất đẳng thức được chứng minh Bài 10: Cho a, b, c dướng tìm GTNN của biểu thức Giải: Từ bất đẳng thức quen biết sau: Xét hàm số:... Vậy Dấu đẳng thức đạt khi Thân tặng các bạn học si

VỂ ĐẸP CỦA BẤT ĐẲNG THỨC Bài 1: (Đề thi tuyển sinh đại học khối A năm 2004)

Cho a, b, c dương thỏa mãn Chứng minh rằng

Giải:

Tương tự (1) ta có:

Mặt khác theo Cô – si ta có:

Mặt khác ta có:

Từ (1), (2), (3) và (4) ta có:

Dấu đẳng thức đạt khi:

Ks Nguyễn Duy Hồng Bài 2: (Đề thi tuyển sinh đại học khối A năm 2005)

Giải:

Áp dụng bất đẳng thức Cô – si ta có:

Tương tự ta có:

Cộng các vế của (1), (2) và (3) lại ta được:

Bài 3: (Đề thi tuyển sinh đại học khối A năm 2009)

Cho các số thực không âm x, y và z thỏa mãn:

Chứng minh rằng:

Giải:

Theo đề bài ta có:

Theo Cô – si ta có:

Mặt khác:

Tương tự ta có: (4) Cộng các vế các bất đẳng thức (2), (3) và (4) lại ta được:

Kết hợp (1) ta được:

Dấu đẳng thức đạt tại x = y = z

Bài 4: (Đề thi tuyển sinh đại học khối A năm 2012)

Cho x, y, z thỏa mãn x + y + z = 0 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

Giải:

Nhận thấy x, y, z có vai trò bình đẳng nên P đạt GTNN khi x = y = z = 0

Khi đó x – y = 0, y – z = 0 và z – x = 0 do đó ta đánh giá theo điều kiện xảy ra dấu đẳng thức như sau:

Mặt khác ta có:

Ta có:

Từ (2) và cộng (3), (4) và (5) lại ta được

Từ (6) và (7) ta có:

Ks Nguyễn Duy Hồng

Từ (1) và (8) ta có:

Dấu bằng đạt được khi: x = y = z = 0

Bài 5: Chứng minh rằng với mọi số dương ta có:

Giải:

Đặt:

Bất đẳng thức trở thành:

Áp dụng Cô-si ta có:

Cộng các vế các bất đẳng thức lại ta được:

Bài 6: Chứng minh rằng với mọi số dương ta có:

Giải:

Cộng các vế của các bất đẳng thức (1), (2) và (3) lại ta được:

Áp dụng Cô – si ta có:

Bài 7: Chứng minh rằng với mọi số dương ta có:

Giải:

Áp dụng Cô – si ta có:

Tương tự ta có:

Cộng các vế của các bất đẳng thức (1), (2) và (3) lại ta được:

Mặt khác ta có:

Từ (4) và (5) ta có:

Ks Nguyễn Duy Hồng

Bài 8: Chứng minh rằng với mọi số dương ta có:

Giải:

Áp dụng Cô-Si ta có:

Tương tự ta có:

Cộng các vế của các bất đẳng thức (1), (2) và (3) ta được:

Cuối cùng ta đi chứng minh:

Thật vậy ta có:

Áp dụng Cô – si ta có:

Tương tự ta có:

Cộng các vế của (6), (7)và (8) lại ta được:

Dấu “=” đạt tại: a = b = c > 0

Chú ý: Với mọi số dương a, b, c ta có (Bạn đọc tự chứng minh)

Bài 9: Cho a, b, c dương thỏa mãn abc = 1 Chứng minh rằng

Giải:

Ta có:

Cộng các bất đăng thức (1), (2) và (3) lại ta có:

Áp dụng Cô – si ta có:

Từ (4) và (5) ta được:

Dấu bằng đạt khi a = b = c = 1 Vậy bất đẳng thức được chứng minh

Bài 10: Cho a, b, c dướng tìm GTNN của biểu thức

Giải:

Từ bất đẳng thức quen biết sau:

Xét hàm số:

Ks Nguyễn Duy Hồng

Bài 11: Cho a, b, c dương chứng minh rằng

Giải:

Mặt khác áp dụng Cô – si ta có:

Theo Cô – si ta có:

Vậy ta có:

Dấu bằng đạt khi a = b = c Vậy bất đẳng thức được chứng minh

Chú ý: Với mọi a, b, c dương ta có: (Bạn đọc tự chứng minh)

Bài 12: Cho a, b là các số dương, tìm GTNN của biểu thức:

Ta có:

Áp dụng Cô – si ta có:

Dấu đẳng thức xảy ra khi:

Bài 13: Cho a, b, c dương chứng minh rằng:

Giải:

Ta có:

Tương tự ta có:

Cộng các bất đẳng thức (1), (2) và (3) lại ta được:

Mặt khác ta lại có:

Từ (4) và (5) ta có:

Ks Nguyễn Duy Hồng

Dấu đẳng thức xảy ra khi:

Bài 14: Cho a, b, c dương chứng minh rằng:

Giải:

Áp dụng Cô – si ta có:

Tương tự (1), (2) và (3) ta có:

Cộng các vế của các bất đẳng thức (1), (2) và (3) lại ta được:

Dấu đẳng thức đạt được tại a = b = c = 1

Bài 15*: Cho các số thưc không âm đôi một khác không

Tìm GTNN của biểu thức

Giải:

Ta có:

Theo Cô – si ta có:

Theo Cô – si ta lại có:

Vậy

Dấu đẳng thức đạt khi

Thân tặng các bạn học sinh khá giỏi

Chúc các bạn học tập đạt kết quả cao

Ks Nguyễn Duy Hồng duyhong_xd@yahoo.com nguyenduyhong.ksxd@gmail.com