Vậy bất đẳng thức được chứng minh Bài 10: Cho a, b, c dướng tìm GTNN của biểu thức Giải: Từ bất đẳng thức quen biết sau: Xét hàm số:... Vậy bất đẳng thức được chứng minh... Vẻ đẹp của b
Trang 1Vẻ đẹp của bất đẳng thức
1
VỂ ĐẸP CỦA BẤT ĐẲNG THỨC
Bài 1: (Đề thi tuyển sinh đại học khối A năm 2004)
Cho a, b, c dương thỏa mãn Chứng minh rằng
Giải:
Tương tự (1) ta có:
Mặt khác theo Cô – si ta có:
Mặt khác ta có:
Từ (1), (2), (3) và (4) ta có:
Dấu đẳng thức đạt khi:
Trang 2Vẻ đẹp của bất đẳng thức
2
Bài 2: (Đề thi tuyển sinh đại học khối A năm 2005)
Giải:
Áp dụng bất đẳng thức Cô – si ta có:
Tương tự ta có:
Cộng các vế của (1), (2) và (3) lại ta được:
Bài 3: (Đề thi tuyển sinh đại học khối A năm 2009)
Cho các số thực không âm x, y và z thỏa mãn:
Chứng minh rằng:
Giải:
Theo đề bài ta có:
Theo Cô – si ta có:
Mặt khác:
Trang 3Vẻ đẹp của bất đẳng thức
3
Tương tự ta có: (4) Cộng các vế các bất đẳng thức (2), (3) và (4) lại ta được:
Kết hợp (1) ta được:
Dấu đẳng thức đạt tại x = y = z
Bài 4: (Đề thi tuyển sinh đại học khối A năm 2012)
Cho x, y, z thỏa mãn x + y + z = 0 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
Giải:
Nhận thấy x, y, z có vai trò bình đẳng nên P đạt GTNN khi x = y = z = 0
Khi đó x – y = 0, y – z = 0 và z – x = 0 do đó ta đánh giá theo điều kiện xảy ra dấu đẳng thức như sau:
Mặt khác ta có:
Ta có:
Từ (2) và cộng (3), (4) và (5) lại ta được
Từ (6) và (7) ta có:
Từ (1) và (8) ta có:
Trang 4Vẻ đẹp của bất đẳng thức
4
Dấu bằng đạt được khi: x = y = z = 0
Bài 5: Chứng minh rằng với mọi số dương ta có:
Giải:
Đặt:
Bất đẳng thức trở thành:
Áp dụng Cô-si ta có:
Cộng các vế các bất đẳng thức lại ta được:
Bài 6: Chứng minh rằng với mọi số dương ta có:
Giải:
Trang 5Vẻ đẹp của bất đẳng thức
5
Cộng các vế của các bất đẳng thức (1), (2) và (3) lại ta được:
Áp dụng Cô – si ta có:
Bài 7: Chứng minh rằng với mọi số dương ta có:
Giải:
Áp dụng Cô – si ta có:
Tương tự ta có:
Cộng các vế của các bất đẳng thức (1), (2) và (3) lại ta được:
Mặt khác ta có:
Trang 6Vẻ đẹp của bất đẳng thức
6
Từ (4) và (5) ta có:
Bài 8: Chứng minh rằng với mọi số dương ta có:
Giải:
Áp dụng Cô-Si ta có:
Tương tự ta có:
Cộng các vế của các bất đẳng thức (1), (2) và (3) ta được:
Cuối cùng ta đi chứng minh:
Thật vậy ta có:
Áp dụng Cô – si ta có:
Tương tự ta có:
Cộng các vế của (6), (7)và (8) lại ta được:
Trang 7Vẻ đẹp của bất đẳng thức
7
Dấu “=” đạt tại: a = b = c > 0
Chú ý: Với mọi số dương a, b, c ta có (Bạn đọc tự chứng minh)
Bài 9: Cho a, b, c dương thỏa mãn abc = 1 Chứng minh rằng
Giải:
Ta có:
Cộng các bất đăng thức (1), (2) và (3) lại ta có:
Áp dụng Cô – si ta có:
Từ (4) và (5) ta được:
Dấu bằng đạt khi a = b = c = 1 Vậy bất đẳng thức được chứng minh
Bài 10: Cho a, b, c dướng tìm GTNN của biểu thức
Giải:
Từ bất đẳng thức quen biết sau:
Xét hàm số:
Trang 8Vẻ đẹp của bất đẳng thức
8
Bài 11: Cho a, b, c dương chứng minh rằng
Giải:
Mặt khác áp dụng Cô – si ta có:
Theo Cô – si ta có:
Vậy ta có:
Dấu bằng đạt khi a = b = c Vậy bất đẳng thức được chứng minh
Trang 9Vẻ đẹp của bất đẳng thức
9
Chú ý: Với mọi a, b, c dương ta có: (Bạn đọc tự chứng minh)
Bài 12: Cho a, b là các số dương, tìm GTNN của biểu thức:
Giải:
Ta có:
Áp dụng Cô – si ta có:
Dấu đẳng thức xảy ra khi:
Bài 13: Cho a, b, c dương chứng minh rằng:
Giải:
Ta có:
Tương tự ta có:
Cộng các bất đẳng thức (1), (2) và (3) lại ta được:
Mặt khác ta lại có:
Trang 10Vẻ đẹp của bất đẳng thức
10
Từ (4) và (5) ta có:
Dấu đẳng thức xảy ra khi:
Bài 14: Cho a, b, c dương chứng minh rằng:
Giải:
Áp dụng Cô – si ta có:
Tương tự (1), (2) và (3) ta có:
Cộng các vế của các bất đẳng thức (1), (2) và (3) lại ta được:
Dấu đẳng thức đạt được tại a = b = c = 1
Bài 15*: Cho các số thưc không âm đôi một khác không
Tìm GTNN của biểu thức
Giải:
Ta có:
Trang 11Vẻ đẹp của bất đẳng thức
11
Theo Cô – si ta có:
Theo Cô – si ta lại có:
Vậy
Dấu đẳng thức đạt khi
Thân tặng các bạn học sinh khá giỏi Chúc các bạn học tập đạt kết quả cao
Ks Nguyễn Duy Hồng duyhong_xd@yahoo.com nguyenduyhong.ksxd@gmail.com