bất đẳng thức

Một số kinh nghiệm giải bài toán bất đẳng thức A. PHN M U Bt ng thc l mt trong nhng dng toỏn hay v khú i vi hc sinh trong quỏ trỡnh hc tp cng nh trong cỏc k thi, trc ht l k thi i hc m hu ht hc sinh THPT u phi vt qua. Ngoi ra bt ng thc cng l mt dng thng gp trong cỏc k thi hc sinh gii toỏn cỏc cp: Tnh, Quc gia, Olympic khu vc v Olympic quc t. giỳp cỏc em cú thờm mt s kinh nghim trong quỏ trỡnh hc tp nhm nm vng cỏc phng phỏp chng minh bt ng thc ng thi s dng linh hot hn trong vic gii cỏc bi toỏn v bt ng thc, tụi quyt nh vit ti ny nhm chia s cựng ng nghip, hc sinh v c gi mt s phng phỏp, kinh nghim gii bi toỏn bt ng thc. ti gm 2 phn c bn: Phn I: Mt s phng phỏp chng minh bt ng thc. Phn II: Bt ng thc lng giỏc trong tam giỏc. Do khuụn kh ca ti, mi phn tụi xin min nhc li cỏc kin thc c bn v bt ng thc vỡ nhng kin thc ny c trỡnh by chi tit trong sỏch giỏo khoa trung hc ph thụng, m ch tp trung vo cỏc phng phỏp bin i ng thi nờu mt s vớ d minh ha. Đinh Thị Lu Trờng THPT Chuyên Quảng Bình 1 Một số kinh nghiệm giải bài toán bất đẳng thức B. NI DUNG Phn I: MT S PHNG PHP CHNG MINH BT NG THC 1) Dựng cỏc phộp bin i thớch hp 2) Tam thc bc 2 3) Phng phỏp o hm, cc tr hm s 4) Quy np 5) Lng giỏc húa 6) Phng phỏp hỡnh hc 7) Cỏc BT thụng dng 8) Mt s phng phỏp khỏc I. S dng cỏc phộp bin i. Vớ d 1: CM vi a,b,c l 3 s dng thỡ 21 < + + + + + < ac c cb b ba a Gii: Vỡ a,b,c l 3 s dng nờn ta cú cba c ac c cba b cb b cba a ba a ++ > +++ > +++ > + Cng v theo v ta c ac c cb b ba a + + + + + <1 Mt khỏc ta cú cba cb ac c cba ba cb b cba ca ba a ++ + < +++ + < +++ + < + Cng v theo v ta c 2< + + + + + ac c cb b ba a Vớ d 2: CM Rx ta luụn cú 3 2 258 >+ xxxx Gii: Rxx x x x xxx xxxxxx >+ + = ++++=++ 0 3 1 3 1 3 1 2 3 2 3 1 3 1 3 1 . 2 3 .2 4 3 42 .2 3 2 2 2 4 22 48258 Đinh Thị Lu Trờng THPT Chuyên Quảng Bình 2 Một số kinh nghiệm giải bài toán bất đẳng thức Do ú 3 2 258 >+ xxxx (pcm) Vớ d 3: CMR Nn nn < + +++ 1 )1( 1 3.2 1 2.1 1 Gii: Ta cú )( 1 11 )1( 1 * Nk kkkk + = + Cho k=1, 2, n ri cng cỏc ng thc theo v ta cú 1 1 1 1 1 11 3 1 2 1 2 1 1 )1( 1 3.2 1 2.1 1 < + = + +++= + +++ nnnnn Vy ta cú pcm. II. Phng phỏp Tam thc bc 2. Vớ d 1: CMR 11 5913 423 25 11 5913 2 2 + ++ + xx x Gii: TX: Rx Gi 423 25 2 2 ++ + = xx x P thỡ 0242)53( 2 =++ PPxxP (*) (*) cú nghim x thỡ 11 5913 11 5913 0102611 0)53)(24(0 2 2' + + P PP PPP Vy 11 5913 423 25 11 5913 2 2 + ++ + xx x Du t bờn trỏi xy ra 121 )5913(13 = x Du t bờn phi xy ra Đinh Thị Lu Trờng THPT Chuyên Quảng Bình 3 Một số kinh nghiệm giải bài toán bất đẳng thức 121 )5913(13 + = x III. Phng phỏp hm s, dựng o hm. Vớ d 1 : CMR 0 > x thỡ xx < sin Gii : Xột hm s ( ) sin '( ) 1 cos 0 f x x x f x x = = )(xf ng bin Mt khỏc f(0)=0. Vy f(x)>0 vi mi x>0 hay vi mi x>0 thỡ xx < sin Vớ d 2: CMR nu 0<b<a thỡ b ba b a a ba << ln Gii: Xột hm s f(x)=lnx liờn tc v cú o hm trờn ( ) +,0 x xf 1 )(' = . Theo nh lớ Lagrange tn ti x 0 vi b<x 0 <a sao cho ab afbf xf = )()( )(' 0 b a x ba ba ba x ln lnln1 00 = = Vỡ b<x 0 <a nờn bxa 111 0 << suy ra pcm. Vớ d 3: Cho a,b,c,d l 4 s dng bt kỡ. CM 64 3 cdbdbcadacabbcdacdabdabc +++++ +++ Gii: Khụng mt tớnh TQ gi s dcba Xột hm s ))()()(()( dxcxbxaxxfy == f(x) l mt hm s liờn tc v cú o hm trờn R Vỡ f(a)=f(b)=f(c)=f(d)=0 v f(x) l mt hm bc 3 nờn tn ti 321 ,, yyy sao cho dycybya 321 sao cho 0)(')(')(' 321 === yfyfyf Vy ))()((4)(' 321 yxyxyxxf = Trong khai trin ta cú Đinh Thị Lu Trờng THPT Chuyên Quảng Bình 4 Một số kinh nghiệm giải bài toán bất đẳng thức )(2)(4 )(4 133221 321 cdbdbcadacabyyyyyy bcdabdacdabcyyy +++++=++ +++= Theo BT Cauchy 3 2 321 133221 )( 3 yyy yyyyyy ++ 64 3 cdbdbcadacabbcdacdabdabc +++++ +++ IV. Phng phỏp quy np. Phng phỏp ny c ỏp dng khi BT ph thuc 1 tham s Nn , vi cỏc bc chng minh nh sau: + Bc 1. C/m BT ỳng vi n=n 0 + Bc 2. Gi s BT ỳng vi n=k )( 0 nk ta cn chng minh BT ỳng vi n = k+1. + Bc 3. Kt lun BT ỳng vi mi Nn . Vớ d 1 : C/m * ,2 Nnn ta cú : (*) 13 1 2 12 6 5 . 4 3 . 2 1 + < n n n Gii: + Khi n=2 ta cú < 7 1 8 3 (*) ỳng. + Gi s BT ỳng vi n=k tc l 13 1 2 12 6 5 . 4 3 . 2 1 + < k k k Ta cn chng minh (*) cng ỳng vi n=k+1 )2( k . Tht vy 1 3 5 2 1 1 1 3 2 1 2 1 1 2 1 . . . . . 2 4 6 2 2 4 2 2 2 2 2 3 1 3 1 k k k k k k k k k k + + < < + + + + Ta cn chng minh 1420419 )484)(13()43)(144( )22.(1343).12( 43 1 1)1(3 1 22 12 . 13 1 22 >+<+ +++<+++ ++<++ + = ++ < + + + kkk kkkkkk kkkk kk k k k n õy ta thy (*) ỳng vi n=k+1. Đinh Thị Lu Trờng THPT Chuyên Quảng Bình 5 Một số kinh nghiệm giải bài toán bất đẳng thức Vy theo gi thit quy np (*) ỳng vi 2 n Vớ d 2: Cho x>0 CMR vi 1 n ta cú ! !3!2 1 32 n xxx xe n x +++++> Gii: +Vi n=1 ta cú ( ] xye y ,01 Vy 011 00 >+>>> xxexedydye xx xx x Vy BT ỳng vi n=1. + Gi s BT ỳng vi n=k 0)1( > xk tc l ! !3!2 1 32 k xxx xe k x +++++> Ta c/m BT cng ỳng vi n=k+1 tc l : )!1( !3!2 1 132 + +++++> + k xxx xe k x Tht vy theo gi thit quy np ta cú: 0 ! !3!2 1 32 >+++++> x k xxx xe k x Nh vy ta cú ( ] xy k yyy ye k y ,0 ! !3!2 1 32 +++++> Do ú ta cú: 2 0 0 2 3 1 (1 ) 2! ! 1 2! 3! ( 1)! x x k y k x y y e dy y dy k x x x e x k + > + + + + > + + + + + 2 3 1 1 2! 3! ( 1)! k x x x x e x k + > + + + + + + +Vy theo nguyờn lớ quy np ta cú BT ỳng vi 1n V. S dng phng phỏp lng giỏc húa. s dng phng phỏp lng giỏc húa, trc ht hc sinh phi nm vng cỏc tớnh cht, cụng thc v cỏc phộp bin i lng giỏc. Trờn c s ú, Đinh Thị Lu Trờng THPT Chuyên Quảng Bình 6 Một số kinh nghiệm giải bài toán bất đẳng thức trong mt s bi toỏn nu t cỏc giỏ tr n thớch hp qua cỏc hm s lng giỏc thỡ rt thun tin. Vớ d 1: CMR yx, ta cú: 4 1 1()1( )1)(( 4 1 2 )222 2222 ++ yx yxyx Gii: t << == 2 , 2 tgytgx Ta cú: dpcmA b tgtg tgtgtgtg yx yxyx A += ++= = ++ = ++ = 4 1 )22sin()22sin( 2 1 )cos()cos()sin()sin( )sinsincos)(coscossincos(sin )1()1( ).1)(( 1()1( )1)(( 22222222 2222 2222 )222 2222 2 *) Mt s bi tp: 1. CMR Ryx , thỡ 2 1 )1)(1( )1)(( 2 1 22 ++ + yx xyyx 2. Cho 4 s thc a, b, c, d thừa món =+ =+ 1 1 22 22 dc ba CMR 11 + bdac VI. Phng phỏp hỡnh hc. a) S dng cỏc BT v vect 1. vuvu ++ Du = xy ra vu, cựng chiu 2. vuvuvuvu Đinh Thị Lu Trờng THPT Chuyên Quảng Bình 7 Một số kinh nghiệm giải bài toán bất đẳng thức Vớ d 1: Cho a, b, c l 3 s thc bt kỡ CM 222222 2)()( cacbacba +++++ Gii: t );();( cbavcbau +== thỡ )2;2( cavu =+ Ta cú vuvu ++ suy ra pcm. Vớ d 2: CM Ryx , thỡ 5101224964 2222 ++++++ yxyxxyx Gii: t )23;1()2;3( yxvyxu =+= thỡ )3;4(=+ vu Li ỏp dng vuvu ++ suy ra pcm. Vớ d 3: CM cba ,, thỡ 444 )( cbacbaabc ++++ Chỳ ý: Phng phỏp vect c ỏp dng trong cỏc trng hp ta cú th biu din cỏc thnh phn ca bt thnh di cỏc vect tuy nhiờn nú ch ỏp dng thng thi khi khụng cú s rng buc no ca cỏc biờn cũn nu cú s rng buc thỡ ta thng dựng phng phỏp ta . b) Phng phỏp ta : Vớ d 4: Cho a,b thừa món a 2b + 2 = 0. CMR 6)7()5()5()3( 2222 +++ baba Gii: Chn A(3; 5) B(5; 7) M(a; b) vỡ thừa món a 2b + 2 = 0 nờn nm trờn ng thng x- 2y + 2=0 )( . Ly A i xng A qua )( ta cú A (5; 1) Ta cú MA+MB=MA +MB A B Hay 6)7()5()5()3( 2222 +++ baba Du = xy ra 2 7 5 = ba c) Cỏc phng phỏp khỏc: Vớ d 5: Cho 0<x, y, z<1. CM 1)1()1(()1( <++ xzzyyx Gii: Dng tam giỏc u cnh 1 nh hỡnh v Ta cú Đinh Thị Lu Trờng THPT Chuyên Quảng Bình 8 x y M A A B A C P N A z Một số kinh nghiệm giải bài toán bất đẳng thức [ ] 1)1()1()1( 1.1.60sin. 2 1 )1()1()1(60sin 2 1 00 <++ <++ <++ xzzyyx xzzyyx SSSS ABCBNMCPNAMP Vớ d 6: Cho a, b, c dng. CM 222222 3232 cacacbcbbaba ++++ Gii: Dng hỡnh nh hỡnh v sao cho: OA=a ; OB=b ; OC=c 00 3045 == BOCAOB p dng nh lớ hm s cosin trong tam giỏc ta cú: 2 2 2 2 2 3 AB a ab b BC b bc c = + = + 0 0 0 0 0 0 cos cos(45 30 ) cos45 cos30 sin 45 sin30 1 3 1 1 1 3 1 1 . . . 2 3 2 2 2 2 2 2 2 AOC = + = = = = Vy 22 32 cacaAC += tc l 222222 3232 cacacbcbbaba ++++ Du ng thc xy ra 0 2 1 2 3 sin75 4 4 2 AOB BOC AOC ab bc ac S S S ac b a c + + = + = = + *) Mt s bi tp 1. Cho a, b, c, d l 4 s thc thừa món +=++ +=++ )(1236 )(21 22 22 dcdc baba CM: 6226 )12()()()12( ++ dbca 2. CMR x ta cú Đinh Thị Lu Trờng THPT Chuyên Quảng Bình 9 c b a A O B C Một số kinh nghiệm giải bài toán bất đẳng thức 31)13(21)13(2122 222 +++++++ xxxxxx 3. Cho x, y thừa ++ + 042 02 082 xy yx yx C/m 20 5 16 22 + yx 4. Cho x, y, z dng thừa món xyz(x+y+z)=1 Tỡm MIN (x+y)(x+z) VII. S dng cỏc BT quen thuc. 1. Bt ng thc Cauchy a. Cho 2 s khụng õm x, y ta cú xy yx + 2 . Du = yx = Dng khỏc baba + + 411 Du = ba = b. Tng quỏt cho n s khụng õm n aaa , ,, 21 ta cú n n n aaa n aaa 21 21 +++ Vớ d 1 : Cho a, b, c l 3 s dng tựy ý CMR Rx ta cú xxx xxx cba b ca a bc c ab ++ + + Gii : p dng BT Cauchy cho cỏc cp s dng ta cú : x xxx x xxx x xxx a bc abca c ab b ca c ab cabc b ca a bc b ca bcab a bc c ab 2 . 2 2 . 2 2 . 2 = + = + = + Cng v theo v ta cú ta cú pcm. Đinh Thị Lu Trờng THPT Chuyên Quảng Bình 10 [...]...Một số kinh nghiệm giải bài toán bất đẳng thức Du = xy ra khi v ch khi x=0 Vớ d 2 : Vi a, b, c dng CM a3 b3 c3 + + ab + bc + ca b c a Gii : ỏp dng BT Cauchy cho cỏc cp s dng ta cú : a3 a3 + ab 2 ab = 2a 2 b b b3 b3 + bc 2 bc = 2b 2 c c... mn1an m1 + m2 + + mn Vi m1 , m2 , , mn l cỏc s nguyờn dng tựy ý Gii: ỏp dng BT Cauchy cho m = m1 + m2 + + mn s ta cú: Đinh Thị Lu Trờng THPT Chuyên Quảng Bình 11 Một số kinh nghiệm giải bài toán bất đẳng thức m m m1 a1 + m2 a 2 + + mn a n m m a1m1 a 2 2 .a n n (1) Li ỏp dng cho m s dng ta cú m m1 m2 + + + n a1 a 2 an m m m m a1m1 a 2 2 .a n n (2) T (1) v (2) ta cú m1 m2 m + + + n m 2 an ... bn ) 2 (a12 + a 22 + + a n2 )(b12 + b22 + + bn2 ) a a a n 1 2 ng thc xy ra b = b = = b 1 2 n Vi quy c ai=0 thỡ bi=0 Đinh Thị Lu Trờng THPT Chuyên Quảng Bình 12 Một số kinh nghiệm giải bài toán bất đẳng thức Chng minh: 2 +Nu a12 + a22 + + an =0 suy ra BT luụn luụn ỳng 2 +Nu a12 + a22 + + an >0 Xột tam thc f ( x) = (a1 x b1 ) 2 + (a 2 x b2 ) 2 + + (a n x bn ) 2 2 2 2 2 f ( x) = (a12 + a 2 + + a... + 2 + + n ( b1 + b2 + + bn ) b bn 1 b2 2 2 2 a (a + a 2 + + a n ) 2 a a 1 + 2 + + n 1 b1 b2 bn (b1 + b2 + + bn ) Đinh Thị Lu Trờng THPT Chuyên Quảng Bình 13 Một số kinh nghiệm giải bài toán bất đẳng thức b) p dng kt qu a) ta cú a2 b2 1 (a + b + 1) 2 + 2 + 2 = 1 pcm b 2 + 2a a + 2b 1 + 2ab b + 2a + a 2 + 2b + 2ab + 1 Vớ d 3: Cho ab+bc+ca=1 a, b, c l 3 s dng CMR a b c + + (a + b + c) 2 b c... thc TJ m T j =0 n j A lỳc ú B T j A j =0 Vớ d 1: Nu x < 1 v n nguyờn, n>1 thỡ (1 + x) n + (1 x ) n < 2 n Gii: Ta cú Đinh Thị Lu Trờng THPT Chuyên Quảng Bình 14 Một số kinh nghiệm giải bài toán bất đẳng thức n i 2 n = (1 + x + 1 x ) n = (1 + x) n + (1 x) n + C n (1 + x ) n i (1 x) i i =1 Vỡ x < 1 nờn (1 + x) ni (1 x) i > 0 i 1,2, n 1 Vy 2 n > (1 + x) n + (1 x) n Vớ d 2: CMR m nguyờn dng,... n gin hn tỡm cc tr ca cỏc hm thnh phn Vớ d 1: Tỡm Max ca F ( x, y ) = x 2002 y (4 x y ) vi x,y l cỏc s thc thừa món Đinh Thị Lu Trờng THPT Chuyên Quảng Bình 15 Một số kinh nghiệm giải bài toán bất đẳng thức x 0 y 0 x + y 6 Gii: + Khi x + y 4 ta cú F 0 Du = xy ra x + y = 4 + Khi x + y < 4 ta cú x 0, y 0, 4 x y 0 p dng BT Cauchy cho 2004 s khụng õm ta c F = 20022002 x x x y.(4 x... z 2 = 1 Gii: t A1 = xy + yz + zx; A2 = zx A = A1 + A2 Ta cú: ( x + y + z ) 2 0 x 2 + y 2 + z 2 + 2 A1 0 A1 1 2 Đinh Thị Lu Trờng THPT Chuyên Quảng Bình 16 Một số kinh nghiệm giải bài toán bất đẳng thức ng thc xy ra x + y + z = 0 2 2 2 x + y + z = 1 (1) Ta cng cú 1 1 1 1 1 A2 = z x ( z 2 + x 2 ) = (1 y 2 ) A2 2 2 2 2 2 ng thc xy ra y = 0 x = z x 2 + y 2 + z 2 = 1 (2) 1 x= 2 (1)... + (b c) 2 + (c a) 2 4 (3) Cng (2) v (3) ri bin i ta cú: a3 b3 b3 c3 c3 a3 9 + + (a b) 3 (b c) 3 (c a ) 3 4 Đinh Thị Lu Trờng THPT Chuyên Quảng Bình 17 Một số kinh nghiệm giải bài toán bất đẳng thức Vi mt s mi quan h nh trờn ta cú nhiu bt Vỡ vy trong c/m cn s dng khộo lộo quan h ú Phn II: BT NG THC LNG GIC TRONG TAM GIC I S liờn quan gia cỏc bt ng thc trong tam giỏc: Trong quỏ trỡnh chng... b)( p c) p abc 8 p abc p abc pr abc 8 4R 8 R 2r (2) S2 (2) l BT mi v hon ton khỏc so vi (1) CM (2) nh sau: Ta cú Đinh Thị Lu Trờng THPT Chuyên Quảng Bình 18 Một số kinh nghiệm giải bài toán bất đẳng thức 1 ab sin C = 2 R 2 sin A sin B sin C = pr 2 a+b+c 2 R 2 sin A sin B sin C = r 2 r 2 sin A sin B sin C 2 sin A sin B sin C A B C = = = 4 sin sin sin A B C R sin A + sin B + sin C 2 2 2 4 cos... 2 2 bc ca ab R 4S R 2 4S ha hb + hb hc + hc ha 2 (5) R (1) (3) (5) l mt BT mi liờn quan n cỏc ng cao Ta bin i (1) Đinh Thị Lu Trờng THPT Chuyên Quảng Bình 19 Một số kinh nghiệm giải bài toán bất đẳng thức (1) 1 8 2p 8(a + b + c) ( p a)( p b)( p c) abc ( p a )( p b)( p c) abc ( p a ) + ( p b) + ( p c ) 1 1 1 8 + + ữ ( p a )( p b)( p c) ab bc ca 1 1 1 1 1 1 + + 8 + + ữ ( . )2(2 84 . 8 8 .))()(()1( 2 rR abc p R abc prabc p S abc pcpbpapp (2) l BT mi v hon ton khỏc so vi (1) CM (2) nh sau: Ta cú Đinh Thị Lu Trờng THPT Chuyên Quảng Bình 18 Một số kinh nghiệm giải bài toán bất đẳng thức )(2 2 1 1 2 3 1coscoscos 2 sin 2 sin 2 sin4 2 cos 2 cos 2 cos4 sinsinsin2 sinsinsin sinsinsin2 2 sinsinsin2 sinsinsin2sin 2 1 2 2 dpcmrRCBA R r CBA CBA CBA CBA CBA R r r cba CBAR prCBARCabS =++= == ++ = ++ = === ( 2 3 coscoscos. sinh gii toỏn cỏc cp: Tnh, Quc gia, Olympic khu vc v Olympic quc t. giỳp cỏc em cú thờm mt s kinh nghim trong quỏ trỡnh hc tp nhm nm vng cỏc phng phỏp chng minh bt ng thc ng thi s dng linh. v bt ng thc, tụi quyt nh vit ti ny nhm chia s cựng ng nghip, hc sinh v c gi mt s phng phỏp, kinh nghim gii bi toỏn bt ng thc. ti gm 2 phn c bn: Phn I: Mt s phng phỏp chng minh bt ng thc.