Từ một bất đẳng thức đơn giản

từ một bất đẳng thức đơn giản Ngời viết : Đỗ Đờng Hiếu Giáo viên trờng THPT Hà Văn Mao Bá Thớc Thanh Hóa Tìm đợc lời giải cho một bài toán là một phát minh (Polya). Sẽ thông minh hơn nếu ta biết vận dụng nó để sáng tạo và tìm lời giải cho các bài toán mới. Bài viết này đề cập đến một bất đẳng thức quen thuộc, đơn giản và một số bài toán áp dụng bất đẳng thức này. Bài toán: Với hai số dơng x và y ta có: ) 11 ( 4 11 yxyx + + (1) Đẳng thức xảy ra khi x=y. Bất đẳng thức (1) có nhiều cách chứng minh ở đây đa ra hai cách chứng minh phổ biến nhất. Cách 1. Với hai số dơng x và y ta có: )( yx + 2 0 (x + y) 2 ) 11 ( 4 11 4 yxyx xy + + Rõ ràng, đẳng thức xảy ra khi x = y. Cách 2. áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho hai số dơng ta có yx + ,2 xy xy yxyx 21 . 1 2 11 =+ Từ đó: )( yx + ( ) 11 ( 4 11 4) 11 yxyxyx + + + Và đẳng thức xảy ra khi x=y. Cho các số dơng a, b, c, áp dụng bất đẳng thức (1) ta có ) 11 ( 4 11 ); 11 ( 4 11 ); 11 ( 4 11 acaccbcbbaba + + + + + + Cộng vế với vế các bất đẳng thức trên, ta đợc: Bài toán 1. Cho ba số dơng a, b, c, ta có: ) 111 ( 2 1111 cbaaccbba ++ + + + + + (2) Đẳng thức xảy ra khi a = b = c. * áp dụng (2) cho 3 số a+b, b+c, c+a ta đợc: ) 111 ( 2 1 2 1 2 1 2 1 accbbabacacbcba + + + + + ++ + ++ + ++ (3) * Kết hợp (2) và (3) ta có Bài toán 2. Với a, b, c là các số dơng: ) 111 ( 4 1 2 1 2 1 2 1 cbabacacbcba ++ ++ + ++ + ++ (4) Đẳng thức xảy ra khi a = b = c. Chú ý: Nếu thêm giả thiết 4 111 =++ cba thì bài toán 2 là nội dung câu V, Đề thi Đại học và Cao đẳng khối A, năm 2005. Bài toán 3. Chứng minh rằng với a, b, c dơng: accbbabacacbcba 3 1 3 1 3 1 2 1 2 1 2 1 + + + + + ++ + ++ + ++ (5) Giải: Vận dụng bất đẳng thức (1) ta có: cbaacbbaacbba ++ = ++++ ++ + + 2 2 )2()3( 4 2 1 3 1 acbbaccbbaccb ++ = ++++ ++ + + 2 2 )2()3( 4 2 1 3 1 baccbaaccbaac ++ = ++++ ++ + + 2 2 )2()3( 4 2 1 3 1 Cộng vế với vế các bất đẳng thức trên và rút gọn ta co bất đẳng thức (5) Đẳng thức xảy ra khi: cba cbaac baccb acbba == ++=+ ++=+ ++=+ 23 23 23 Bài toán 4. Hãy xác định dạng của tam giác ABC nếu các góc của nó luôn thỏa mãn đẳng thức sau: 2 . 2 . 2 .4 1 2 . 2 1 2 2 . 2 1 2 2 . 2 1 2 C tg B tg A tg B tg A tg C tg A tg C tg B tg C tg B tg A tg = + + + + + Giải: Đặt tgx = 2 , 2 , 2 C tgz B tgy A == thế thì x, y, z dơng và xy + yz + zx=1 Hệ thức trở thành: xyzxy z zx y yz x 4 1 111 = + + + + + Ta có: xyzxyz zxyzxy zyxzxxy zy yzzx yx yzxy zx xyzx z yzxy z zxyz y zxxy y yzzx x yzxy x xyzxyzxy z zxyzzxxy y yzzxyzxy x xy z zx y yz x 4 1 4 111 4 1 4 1 4 1 4 1 4 1 )()()()()()(111 = ++ = ++= + + + + + + + + = = + + + + + + + + + + + +++ + +++ + +++ = + + + + + Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi: x = y = z hay tam giác ABC đều. Bài toán 5. Cho x, y, z là các số thực thỏa mãn điều kiện x + y + z = 0, x + 1>0, y + 1 > 0, z + 4 > 0. Hãy tìm giá trị lớn nhất của 111 + + + + + = z z y y x x Q Giải: Đặt a = x + 1 > 0, b = y + 1 > 0, c = z + 4 > 0. Ta có: a + b + c = 6 và ++= + + = cbac c b b a a Q 411 3 111 Theo bất đẳng thức (1) ta có: 3 1 3 8 3 3 816444 ) 11 ( = = ++ + + ++ Q cbacbacba Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi: = == = == =++ =+ = 1 2 1 3 2 3 6 z yx c ba cba cba ba Vậy : 3 1 = MaxQ đạt đợc khi = == 1 2 1 z yx Bài toán 6. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức tx xz xz zy zy y yt x A + + + + + + + = 11 Với x, y, z, t là các số dơng. Giải : Ta có: 04 )(4 4 4 )( 4 )( 4 11 )( 11 )( 4 4)1()1()1()1 1 ( = +++ +++ = = +++ ++ +++ + + + + ++ + + + += = + + + + + + + + + + + = =+ + ++ + ++ + ++ + = tzyz tzyx tzyx zt tzyx yx txzy zt xzyt yx tx tz xz xy zy zt yt yx tx xz xz zy zy yt y tx A Vậy MinA=0 khi x = y = z = t. Trên đây là một số bài toán áp dụng bất đẳng thức (1) sau đây là một số bài tập tơng tự: Bài 1. Cho a, b, c là các số thực dơng. Chứng minh các bất đẳng thức: + + + + + ++ + ++ + ++ + + + + + ++ + ++ + ++ bcabcabacacbcba accbbabacacbcba 2 1 2 1 2 1 2 1 32 1 32 1 32 1 /2 4 1 . 111 )(32 1 )(32 1 )(32 1 /1 Bài 2. Chứng minh rằng nếu a, b, c là các số thực dơng thỏa mãn điều kiện abc = ab + bc + ca thì: 96 17 32 1 32 1 32 1 < ++ + ++ + ++ bacacbcba Bài 3. Cho x > 0, y > 0 thỏa mãn x + y 1 . Tìm giá trị nhỏ nhất của: xy xy yx A 4 21 22 ++ + = Bài 4. Cho tam giác ABC có chu vi a + b + c = k (không đổi), BC = a, CA = b, AB = c. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: bac ca acb bc cba ab T 222 ++ + ++ + ++ = Bài 5.Cho tam giác ABC có chu vi 2p=a+b+c (a,b,c là độ dài 3 cạnh). Chứng minh rằng: ++ + + cbacpbpap 111 2 111 *********************************** . một bất đẳng thức quen thuộc, đơn giản và một số bài toán áp dụng bất đẳng thức này. Bài toán: Với hai số dơng x và y ta có: ) 11 ( 4 11 yxyx + + (1) Đẳng. từ một bất đẳng thức đơn giản Ngời viết : Đỗ Đờng Hiếu Giáo viên trờng THPT Hà Văn Mao Bá Thớc Thanh Hóa Tìm đợc lời giải cho một bài toán là một phát