Từ một bất đẳng thức đơn giản

từ một bất đẳng thức đơn giản Ngời viết : Đỗ Đờng Hiếu Giáo viên trờng THPT Hà Văn Mao Bá Thớc – Thanh Hóa Thanh Hóa “Tìm đợc lời giải cho một bài toán là một phát minh” Polya.. Sẽ th

từ một bất đẳng thức đơn giản

Ngời viết : Đỗ Đờng Hiếu

Giáo viên trờng THPT Hà Văn Mao

Bá Thớc – Thanh Hóa Thanh Hóa

“Tìm đợc lời giải cho một bài toán là một phát minh” (Polya) Sẽ thông minh hơn nếu ta biết vận dụng nó để sáng tạo và tìm lời giải cho các bài toán mới Bài viết này đề cập đến một bất đẳng thức quen thuộc, đơn giản và một số bài toán áp dụng bất đẳng thức này

Bài toán: Với hai số dơng x và y ta có:

(1 1)

4

1 1

y x y

x   (1)

Đẳng thức xảy ra khi x=y.

Bất đẳng thức (1) có nhiều cách chứng minh ở đây đa ra hai cách chứng minh phổ biến nhất

Cách 1 Với hai số dơng x và y ta có:

(x  y) 2 0  (x + y)2 (1 1)

4

1 1 4

y x y x







Rõ ràng, đẳng thức xảy ra khi x = y

Cách 2 áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho hai số dơng ta có

x  y 2 xy,

xy y

x y

x

2 1 1 2 1 1







Từ đó: (x  y)( (1 1)

4

1 1 4 ) 1 1

y x y x y

Và đẳng thức xảy ra khi x=y

Cho các số dơng a, b, c, áp dụng bất đẳng thức (1) ta có

(1 1)

4

1 1 );

1 1 ( 4

1 1 );

1 1 ( 4

1 1

a c a c c b c b b a b

Cộng vế với vế các bất đẳng thức trên, ta đợc:

Bài toán 1 Cho ba số dơng a, b, c, ta có:

(1 1 1)

2

1 1 1

1

c b a a c c b b

a        (2)

Đẳng thức xảy ra khi a = b = c.

* áp dụng (2) cho 3 số a+b, b+c, c+a ta đợc:

( 1 1 1 )

2

1 2

1 2

1 2

1

a c c b b a b a c a c b c b

a              (3)

* Kết hợp (2) và (3) ta có

Bài toán 2 Với a, b, c là các số dơng:

(1 1 1)

4

1 2

1 2

1 2

1

c b a b a c a c b c b

a           (4)

Đẳng thức xảy ra khi a = b = c.

Chú ý: Nếu thêm giả thiết 111 4

c b

a thì bài toán 2 là nội dung câu V, Đề thi Đại học và Cao đẳng khối A, năm 2005

Bài toán 3 Chứng minh rằng với a, b, c dơng:

a c c b b a b a c a c b c b

1 3

1 3

1 2

1 2

1 2

1



























Giải: Vận dụng bất đẳng thức (1) ta có:

c b a a c b b a a c b b

a           2 

2 )

2 ( ) 3 (

4 2

1 3

1

a c b b a c c b b a c c

b           2 

2 )

2 ( ) 3 (

4 2

1 3

1

b a c c b a a c c b a a

c           2 

2 )

2 ( ) 3 (

4 2

1 3

1

Cộng vế với vế các bất đẳng thức trên và rút gọn ta co bất đẳng thức (5)

Đẳng thức xảy ra khi: a b c

c b a a c

b a c c b

a c b b a



































2 3

2 3

2 3

Bài toán 4 Hãy xác định dạng của tam giác ABC nếu các góc của nó luôn thỏa

mãn đẳng thức sau:

2

2

2 4

1 2

2 1

2 2

2 1

2 2

2 1

2

C tg

B tg

A tg

B tg

A tg

C tg A

tg

C tg

B tg C

tg

B tg

A tg













Giải: Đặt x  tg

2

, 2

, 2

C tg z B tg y

A



 thế thì x, y, z dơng và xy + yz + zx=1

Hệ thức trở thành:

1 x yz 1 y zx 1 z xy 4xyz1











Ta có:

xyz xyz

zx yz xy z y x zx

xy

z y yz zx

y x yz xy

z x

xy zx

z yz xy

z zx

yz

y zx xy

y yz

zx

x yz xy x

xy zx yz xy

z zx

yz zx xy

y yz

zx yz xy

x xy

z zx

y yz x

4

1 4

1 1 1 4

1 4

1

4

1 4

1 4

1

) (

) (

) (

) (

) (

) (

1 1

1















































































































































Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi: x = y = z hay tam giác ABC đều.

Bài toán 5 Cho x, y, z là các số thực thỏa mãn điều kiện x + y + z = 0, x +

1>0, y + 1 > 0, z + 4 > 0 Hãy tìm giá trị lớn nhất của

1 1 1













z

z y

y x

x Q

Giải: Đặt a = x + 1 > 0, b = y + 1 > 0, c = z + 4 > 0 Ta có: a + b + c = 6 và































c b a c

c b

b a

a

Theo bất đẳng thức (1) ta có:

3

1 3

8 3

3

8 16 4

4 4 ) 1 1 (



























Q

c b a c b a c b a

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi: 









































1 2 3

2

y x c

b a c b a c b a b a

Vậy :

3

1



MaxQ đạt đợc khi











 1 2 1

z

y x

Bài toán 6 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

A t x y y y z z y x z z x x t























Với x, y, z, t là các số dơng

Giải : Ta có:

0 4 ) (

4

4 4

) ( 4

) (

4 1 1

) ( 1 1

) (

4

4 ) 1 (

) 1 (

) 1 (

) 1 1 (



























































































































































t z y z

t z y x

t z y x z t t z y x y x

t x z y z t x z y t y x

t x

t z x z

x y z y

z t y t

y x

t x

x z x

z

z y z

y

y t y

t x A

Vậy MinA=0 khi x = y = z = t.

Trên đây là một số bài toán áp dụng bất đẳng thức (1) sau đây là một số bài tập

t-ơng tự:

Bài 1 Cho a, b, c là các số thực dơng Chứng minh các bất đẳng thức:

















































































b c a b c a b

a c a c b c b a

a c c b b a b a c a c b c b a

2

1 2

1 2

1 2

1 3 2

1 3

2

1 3

2

1 / 2

4

1 1 1

1 ) ( 3 2

1 )

( 3 2

1 )

( 3 2

1 /

1

Bài 2 Chứng minh rằng nếu a, b, c là các số thực dơng thỏa mãn điều kiện abc

= ab + bc + ca thì:

96

17 3 2

1 3

2

1 3

2

1

















 b c b c a c a b a

Bài 3 Cho x > 0, y > 0 thỏa mãn x + y  1 Tìm giá trị nhỏ nhất của:

xy

xy y x

A 2 1 2  2  4





Bài 4 Cho tam giác ABC có chu vi a + b + c = k (không đổi), BC = a, CA = b,

AB = c Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

b a c

ca a

c b

bc c

b a

ab T

2 2

2      







Bài 5.Cho tam giác ABC có chu vi 2p=a+b+c (a,b,c là độ dài 3 cạnh) Chứng

minh rằng:



























 a p b p c a b c p

1 1 1 2 1 1

1

***********************************