Biến đổi tơng đơng, đánh giá Bài 1. CMR 211 22 ++++ aaaa a Bài 2. CMR ( ) zyxxzxzzyzyyxyx ++++++++++ 3 222222 x, y, z Bài 3. CMR (x-2)(x-4)( x-6)(x-8) + 16 0 x Bài 4. Cho a, b, c thoả mãn a 2 + b 2 + c 2 = 1 . CMR : abc + 2( 1 + a + b + c + ab + bc + ca) 0 Bài 5. Cho a, b, c > 0. CMR 1) nếu ab 1 thì ab ba + + + + 1 2 1 1 1 1 22 2) nếu a, b, c 1 thì abc cba + + + + + + 1 3 1 1 1 1 1 1 333 Bài 6. Cho a, b, c > 0 thoả mãn bca 211 =+ . CMR 4 22 + + + bc bc ba ba Bài 7. Cho a+b 0. CMR 3 33 22 + + baba Bài 8. Cho a, b, c > 0. CMR 3 22 3 22 3 22 3 cba acac c cbcb b baba a ++ ++ + ++ + ++ Bài 9. CMR [ ] 1;021111 22 +++ ttttt Bài 10. CMR a 2 + b 2 + c 2 + d 2 + e 2 a( b + c + d + e ) a, b, c, d, e. a 2 + b 2 + c 2 + d 2 a( b + c + d) a, b, c, d. Bất đẳng thức Côsi Bài 1. Cho a, b, c > 0. CMR 1) a 4 + b 4 + c 4 ab 3 + bc 3 +ca 3 2) 3a 3 + 7b 3 9ab 2 3) 53 532 abba + 4) ba a b b a ++ 5) 33335 2 5 2 5 2 5 2 1111 dcbaa d d c c b b a ++++++ 6) a c c b b a a c c b b a ++++ 3 3 3 3 3 3 1 B i 2à . Cho x , y, z > 0 tháa m·n xyz = 1. CMR * 3 2 1 2 1 2 1 Nn zyx nnn ∈∀≥ + + + + + Bµi 3. Cho x, y, z > 0 tho¶ m·n x + y + z = 1 a) CMR + x 1 1 + y 1 1 64 1 1 ≥ + z b) T×m GTNN cña A = + x 3 2 + y 3 2 + z 3 2 Bµi 4. Cho a, b, c, m, n, p > 0. CMR a) ( ) a+1 ( ) b+1 ( ) ( ) 3 3 11 abcc +≥+ b) ( )( )( ) 3 3 3 mnpabcpcnbma +≥+++ Bµi 5. Cho a, b, c > 0. CMR a) 2 3 ≥ + + + + + ba c ac b cb a (BÊt ®¼ng thøc Nesbit n =3) b) nÕu abc = 1 th× ( ) ( ) ( ) 2 3 222 ≥ + + + + + bac ab acb ca cba bc . BÊt ®¼ng thøc Bunhiac«pxki Bµi 1. Cho a, b, c > 0. CMR a) ( ) ( ) 2 333 111 cba cba cba ++≥ ++++ b) ( ) ( ) ( ) 222333 3 cbacbacba ++++≥++ c) ( ) ( ) 3 333 9 cbacba ++≥++ Bµi 2. Cho a, b, c ≥ 4 1 − tho¶ m·n a+b+c = 1. CMR 211414147 ≤+++++< cba Bµi 3. CMR a) 1 1xy x y y x≥ − + − víi x, y ≥ 1 b) ( ) ( ) cbccacab −+−≥ víi 0 < c ≤ a, b Bµi 4. Cho a, b, c > 0. CMR a) ( a + b ) 4 ≤ 8(a 4 + b 4 ) b) ( ) ( ) 22 2222 dbcadcba +++≥+++ c) 17 98 2 22 ≥+ ba víi 2a + 3b ≥ 7 d) 3 222 222222 ≥ + + + + + ca ca bc bc ab ab víi ab + bc + ca = abc 2 Bài 5. Cho x, y > 0. Tìm GTNN a) A = yx 4 14 + với x + y = 1 b) B = x + y với 6 32 =+ yx c) C = 2 4 xx + d) D = 1 1 2 + + x x Bất đẳng thức về giá trị tuyệt đối Bài 1. Cho 10=++ zyx . CMR 4321 ++ zyx Bài tập làm thêm Bài 1. Cho a, b, c > 0 thoả mãn a + b = c. CMR 4 3 4 3 4 3 cba >+ Bài 2. CMR 11 3 2 3 ++ aaaa Bài 3. Tìm GTNN của biểu thức: a) A = 2 1 2 x x + với x > 0 b) B = 2 1 3 x x + với x > 0 c) C = ( ) 2 2 2 1 1 x x + + d) 2 2 2 2 2 2 111 z z y y x x +++++ biết rằng x, y, z > 0 và x + y + z 1 Bài 4. Cho x, y > 0 thoả mãn x 2 + y 3 x 3 + y 4 . CMR 2 2233 +++ yxyxyx Bài 5. Cho x, y, z > 0 thoả mãn xyz( x + y + z) = 1. Tìm GTNN P = (x+y)(x+z) Bài 6. Cho a, b, c > 0. CMR a) ba c ac b cb a ac c cb b ba a + + + + + << + + + + + 2 b) (a + 1) (b + 1) (a + c) (b + c) 16abc c) cba b ac a cb c ba ab c ca b bc a ++ + + + + + ++ 222 222222333 Bài 7. Cho a, b, c [-1,1] thoả mãn a + b + c = 0. Tìm GTLN, GTNN của P = a 2 + b 4 + c 6 3 Bµi 8. Cho a, b, c > 0 tho¶ m·n a+b+c = 1. T×m GTNN P = ba c ac b cb a + + + + + 222 Bµi 9. CMR a) 2222 11 yxyxyyxx ++≥+++++ b) + ≥+++++ 2 311 22 yx yyxx c) ( )( ) ( )( ) ababbababa −++−++≥++ 11112 22 Bµi 10. CMR a aa ∀≥+ +− 233 844 2 . Bµi tËp cñng cè Bµi 1. CMR víi a, b, c > 0 bÊt k× ta cã a) 2 cba ac ca cb bc ba ab ++ ≤ + + + + + b) cba b ca a bc c ab ++≥++ c) 222232323 1112 2 2 zyxxz z zy y yx x ++≤ + + + + + Bµi 2: T×m GTLN, GTNN ( nÕu cã ) cña biÓu thøc: a) 6 6 x y+ biÕt +) x 2 + y 2 = 2 +) x 4 + y 4 = 3 b) ( 2 - x ) 3 ( 4 + 3x ) 4 biÕt x ∈ [ ] 4 ; 2− c) ( x + 2y ) 3 ( 2x - y) biÕt 0 < y < 2x vµ x + y = 10 Bµi 3: T×m GTNN cña biÓu thøc: A = 2 1 2 x x + víi x > 0 ; B = 2 1 3 x x + víi x > 0 ; C = ( ) 2 2 2 1 1 x x + + ; D = ( ) 2 2 2 13 1 x x + + Bµi 4: Cho a,b,c > 0 .CMR: a) 2 222 cba ba c ac b cb a ++ ≥ + + + + + b) nÕu abc = 1 th× : ( ) ( ) ( ) 2 3 222 ≥ + + + + + bac ab acb ca cba bc Bµi 5: Cho x ≠ y vµ xy = 1.T×m GTNN: I = yx yx − + 22 4